Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán học chương 4 phan văn tân

LÝ THUYẾT
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Phan Văn Tân
Bộ mô Khí tượng


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.1 Khái niệm
• Khi giải quyết nhiều bài toán người ta thường gặp tình
huống là kết quả thí nghiệm được mô tả bởi một số (>1)
đại lượng ngẫu nhiên
• Khi đó ta nói có một “hệ các đại lượng ngẫu nhiên”
• Các tính chất của hệ đại lượng ngẫu nhiên không được
mô tả hết bởi những tính chất của các đại lượng ngẫu
nhiên riêng rẽ, chúng còn bao hàm cả những mối quan
hệ tương hỗ giữa các đại lượng ngẫu nhiên của hệ
• Giả sử xét đồng thời hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y,
khi đó mỗi cặp giá trị có thể của X và Y được xem như
các tọa độ của một điểm ngẫu nhiên trong mặt phẳng


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.1 Khái niệm
• Tương tự, nếu có ba đại lượng ngẫu nhiên X, Y, Z khi đó
mỗi bộ ba giá trị có thể của X, Y, Z sẽ là các tọa độ của
một điểm ngẫu nhiên trong không gian ba chiều
• Nếu có đồng thời n đại lượng ngẫu nhiên X1, X2,…,Xn
thì bộ n giá trị có thể (x1, x2,…, xn) của X1, X2,…,Xn là
tọa độ của điểm ngẫu nhiên trong không gian n chiều
• Vì vậy, có thể xem hệ các đại lượng ngẫu nhiên như là
biến ngẫu nhiên nhiều chiều hoặc vectơ ngẫu nhiên

• Nếu các đại lượng ngẫu nhiên thành phần là rời rạc ta có
hệ các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, ngược lại ta có hệ
các đại lượng ngẫu nhiên liên tục


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân bố xác suất
• Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X, Y), trong đó cả X và Y đều là
những đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, với
X={xi, i=1,2,…, n,…}, Y={yj, j=1, 2,…, m,…}
• Ký hiệu pi=P(X=xi), qj=P(Y=yj), pij=P(X=xi, Y=yj)
Y
Bảng phân bố
xác suất của
hệ hai đại
lượng ngẫu
nhiên rời rạc

y1

y2

…

ym

…

p11
p21

…
pn1
…

p12
p22
…
pn2
…

…
…
…
…
…

p1m
p2m
…
pnm
…

…
…
…
...
…

X
x1

x2
…
xn
…


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân bố xác suất
• Nhận thấy: Các sự kiện (X=xi) xung khắc, (Y=yj) xung khắc
• Î Các sự kiện (X=xi)(Y=yj) là nhóm đầy đủ các sự kiện xung
khắc nên Σpij = 1
• (X=xi)=Σj (X=xi)(Y=yj) Î P(X=xi)=P(Σj (X=xi)(Y=yj))=pi≡pi•
• (Y=yj)=Σi (X=xi)(Y=yj) Î P(Y=yj)=P(Σi (X=xi)(Y=yj))=qj≡p•j

∑∑ p

ij

i

=1

j

∑p

= pi ≡ pi•

∑p

= q j ≡ p• j

ij

j

ij

i

Y

y1

y2

…

ym

…

∑

p11
p21
…
pn1
…
p•1

p12
p22
…
pn2
…
p•2

…
…
…
…
…
…

p1m
p2m
…
pnm
…
p•m

…
…
…
...
…
…

p1•

p2•
…
pn•
…
1

X
x1
x2
…
xn
…
∑


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân bố xác suất
• Ví dụ 1: Gieo đồng thời một đồng tiền và một con xúc xắc. Gọi X
và Y lần lượt là kết quả nhận được của việc gieo đó; X={S, N},
Y={1,2,3,4,5,6}. Hãy lập bảng phân bố xác suất của hệ (X,Y).
• Giải: Ta có: P(X=S)=P(X=N)=1/2; P(Y=1)=…=P(Y=6)=1/6
• P(X=xi, Y=yj)=(1/2)*(1/6)=1/12
Y

1

2

3

4

5

6

∑

1/12
1/12
1/6

1/12
1/12
1/6

1/12
1/12
1/6

1/12
1/12
1/6

1/12
1/12
1/6

1/12
1/12

1/6

1/2
1/2
1

X
S
N
∑


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân bố xác suất
• Ví dụ 2: Tìm luật phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên X, Y khi
biết phân bố đồng thời của chúng được cho bởi
• Giải:
Y y1
y2
y3
• q1=P(Y=y1)=0.10+0.06=0.16
X
• q2=P(Y=y2)=0.30+0.18=0.48
x1
0.10 0.30 0.20
• q3=P(Y=y3)=0.20+0.16=0.36
x2
0.06 0.18 0.16
• p1=P(X=x1)=0.10+0.30+0.20=0.60
• p2=P(X=x2)=0.06+0.18+0.16=0.40

X

x1

x2

p

0.60

0.40

Y

y1

y2

y3

q

0.16

0.48

0.36

pi=pi •
qj=p•j

CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất
• Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X, Y), trong đó cả X và Y đều là
những đại lượng ngẫu nhiên liên tục.
• Định nghĩa: Hàm phân bố của hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y)
là hàm của hai đối số (x,y) được xác định bởi F(x,y)=P(X• Ý nghĩa hình học của hàm phân bố:
F(x,y) là xác suất để
điểm ngẫu nhiên
M(X,Y) rơi và hình
chữ nhật vô hạn có M(X,Y)
đỉnh trên bên phải
tại điểm có tọa độ
(x,y)

Y
y

(x,y)

x

X


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất
Tính chất:

lim F ( x, y ) = F ( x,+∞) = F1 ( x )
y → +∞
1)
lim F ( x, y ) = F ( +∞, y ) = F2 ( y )
x → +∞

2)

lim F ( x, y ) = F ( +∞,+∞ ) = 1

x → +∞
y → +∞

lim F ( x, y ) = F ( −∞, y ) = 0

x → −∞

3)

lim F ( x, y ) = F ( x,−∞) = 0

y → −∞

lim F ( −∞,−∞) = 0

x → −∞
y → −∞

4)
5)

NÕu x1 < x2 thi F ( x1 , y ) ≤ F ( x2 , y )
NÕu y1 < y2 thi F ( x, y1 ) ≤ F ( x, y2 )

P(α ≤ X < β,δ ≤ Y < γ ) = F(β,γ ) − F(α,γ ) − F(β,δ ) + F(α,δ )


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất
Chứng minh:
lim F ( x, y ) = F ( x,+∞) = F1 ( x )
y → +∞
1)
lim F ( x, y ) = F ( +∞, y ) = F2 ( y )
x → +∞

•
•
•
•
•

Sự kiện (XÎ F(x,+∞) = P(XTương tự:
Sự kiện (X<+∞, YÎ F(+∞,y) = P(X<+∞,Y

CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất
Chứng minh:
lim F ( x, y ) = F ( +∞,+∞ ) = 1
2)
x → +∞
y → +∞

lim F ( x, y ) = F ( −∞, y ) = 0

x → −∞

3)

lim F ( x, y ) = F ( x,−∞) = 0

y → −∞

lim F ( −∞,−∞) = 0

x → −∞
y → −∞

•
•
•
•

Sự kiện (X<+∞, Y<+∞) = U
Î F(+∞,+∞) = P(U) = 1
Sự kiện (X<-∞ , Y

Î F(-∞,y) = F(x, -∞) = F(-∞, -∞) =P(V) = 0


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất
Chứng minh:
NÕu x1 < x2 thi F ( x1 , y ) ≤ F ( x2 , y )
4)
NÕu y1 < y2 thi F ( x, y1 ) ≤ F ( x, y2 )
• Vì (x1khắc)
• Î (X• F(x2,y)=P(XP(X= F(x1,y)+ P(x1≤ X• Tương tự đối với trường hợp 2


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất
Chứng minh:
5) P(α ≤ X < β,δ ≤ Y < γ ) = F(β,γ ) − F(α,γ ) − F(β,δ ) + F(α,δ )
•
•

•
•
•

•

•

(X<β)=(X<α)+(α≤X<β), (Y<γ)=(Y<δ)+(δ≤Y<δ),
(X<β,Y<γ)=(X<β)(Y<γ)=
γ
=[(X<α)+(α≤X<β)][(Y<δ)+(δ≤Y< γ)]=
=(X<α, Y<δ)+(X<α, δ≤Y< γ)+
+(α≤X<β, Y<δ)+(α≤X<β, δ≤Y< γ)
δ
(X<α, δ≤Y< γ)=(X<α,Y<γ)–(X<α,Y<δ)
α
(α≤X<β, Y<δ)=(X<β, Y<δ)–(X<α, Y<δ
(X<β,Y<γ)=(X<α, Y<δ)+(X<α,Y<γ)–
–(X<α,Y<δ)+(X<β, Y<δ)–(X<α, Y<δ)+
+(α≤X<β, δ≤Y< γ)
F(β,γ)=F(α,δ)+F(α,γ)+F(β,δ) –F(α,δ) –F(α,δ)+P(α≤X<β, δ≤Y< γ)
P(α≤X<β, δ≤Y< γ)=F(β,γ)–F(α,γ)–F(β,δ)+F(α,δ)

β


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.3 Mật độ xác suất
• Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X, Y), trong đó cả X và Y đều là
những đại lượng ngẫu nhiên liên tục.
• Định nghĩa: Hàm mật độ phân bố xác suất của hệ hai đại lượng
ngẫu nhiên (X,Y) là đạo hàm riêng cấp hai của hàm phân bố xác
suất đồng thời F(x,y), ký hiệu là f(x,y)

∂ 2 F ( x, y )

f ( x, y ) =
∂x∂y


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.3 Mật độ xác suất
Ý nghĩa: Từ hệ thức P(α≤X<β, δ≤Y< γ)=F(β,γ)–F(α,γ)–F(β,δ)+F(α,δ)
Thay α, β, δ, γ lần lượt bởi x, x+Δx, y, y+Δy ta được:
P(x≤XChia hai vế cho diện tích miền chữ nhật và lấy giới hạn khi Δx→0, Δy→0

•
•
•

P( x < X < x + Δx, y < Y < y + Δy )
lim
=
Δx →0
ΔxΔy
Δy →0

y+Δy

F ( x + Δ x , y + Δy ) − F ( x , y + Δ y ) − F ( x + Δx , y ) + F ( x , y )
= lim
=
Δx → 0
x
y

Δ
Δ
Δy → 0
=

∂ F ( x, y )
= f ( x, y )
∂x∂y
2

y

x
Từ đó ta có công thức gần đúng để tính xác suất:
P(x
Một cách tổng quát, xác suất của điểm
ngẫu nhiên (X,Y) rơi vào một miền D nào
đó sẽ được xác định bởi

x+Δx

P(( X , Y ) ∈ D ) = ∫∫ f ( x, y )dxdy
D


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.3 Mật độ xác suất
• Tính chất:
1) f ( x, y ) ≥ 0

Tính chất này suy ra từ ý nghĩa của hàm mật độ
+∞ +∞

2)

∫ ∫ f ( x, y )dxdy = 1

−∞ −∞

⇒ F ( x, y ) =

Ta có P(( X , Y ) ∈ D) = ∫∫ f ( x, y )dxdy
D

x y

∫∫

f ( x, y )dxdy

− ∞− ∞

+∞ +∞

F ( +∞,+∞) =

x +∞

F1 ( x ) = F ( x , +∞ ) =

3)

Lấy giới hạn khi x→+∞, y→+∞ và để ý
đến tính chất 2) của hàm phân bố ta được

∫∫

f ( x , y ) dxdy

∫ ∫ f ( x, y )dxdy = 1

− ∞− ∞

−∞−∞
+∞ y

F2 ( y ) = F ( +∞ , y ) =

∫∫

f ( x , y ) dxdy

−∞−∞

Đạo hàm hai vế
ta được:

F1′( x ) = f1 ( x ) =

+∞

∫ f ( x , y )dy

−∞

F2′( y ) = f 2 ( y ) =

+∞

∫ f ( x , y )dx

−∞


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.3 Mật độ xác suất
• Các ví dụ:
• Ví dụ 1: Hệ đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) có mật độ phân bố xác
suất
1
f ( x, y ) = 2
π (1 + x 2 )(1 + y 2 )
Hãy tính xác suất để điểm ngẫu nhiên rơi vào miền chữ nhật
ABCD, với tọa độ của các đỉnh A(1,0), B( 3,0), C ( 3,1), D (1,1)
1
• Giải: P(( X , Y ) ∈ ( ABCD )) =
dxdy =
2
2
2

∫∫
π (1 + x )(1 + y )
ABCD
1

3

1
1 π π
dy
dx
dy π π
1
=
(
−
)
dy
=
( − )( arctg1 − arctg 0)
= 2∫
2 ∫
2
2
2 ∫
2
π 0 1+ y 3 4
π 3 4
π 0 1+ y 1 1+ x

1

1 π π
1
= 2.
=
π 12 4 48


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.3 Mật độ xác suất
• Các ví dụ:
• Ví dụ 2: Hệ (X,Y) có mật độ phân bố xác suất được cho bởi

•

⎧ 1
x2 y2
+
≤1
khi
⎪⎪ 6π
9
4
f ( x, y ) = ⎨
2
2
x
y
⎪0

+
>1
khi
⎪⎩
9
4
Tính các mật độ phân bố riêng f1(x) và f2(y)


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
⎧ 1
⎪⎪ 6π
f ( x, y ) = ⎨
⎪0
⎪⎩

4.3 Mật độ xác suất
• Các ví dụ:
•

Giải:
+∞

f1 ( x ) =

∫ f ( x, y )dy

−∞

⎧

⎪1
⎪
f1 ( x ) = ⎨ 6π
⎪
⎪0
⎩

+ 2 1−

x2
9

x2
x2
x2 y 2
2
+
≤ 1 ⇒ y ≤ 4(1 − ) ⇒ y ≤ 2 (1 − )
9
9
9
4

2
=
dy
∫ 2 9π
x

− 2 1−

9

x2 y2
khi
+
≤1
9
4
x2 y2
khi
+
>1
9
4

⎧ 2
2
9
−
x
⎪
9 − x khi x ≤ 3
f1 ( x ) = ⎨ 9π
⎪0
⎩
khi x > 3
⎧ 1
4 − y2
⎪

Tương tự
f 2 ( y ) = ⎨ 2π
⎪0
⎩
2

khi x ≤ 3
khi x > 3
khi y ≤ 2
khi y > 2


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.4 Hệ n đại lượng ngẫu nhiên
• Trong thực tế có thể xét đồng thời nhiều hơn hai đại lượng ngẫu
nhiên, chẳng hạn 3, 4,… đại lượng ngẫu nhiên
• Để tiện trình bày ta gọi đó là hệ n đại lượng ngẫu nhiên (n≥2)
• Xét hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2,…, Xn)
• Hệ này có thể được xem như một vector ngẫu nhiên n chiều
• Định nghĩa: Hàm phân bố của hệ n đại lượng ngẫu nhiên
(X1, X2, …, Xn) là hàm của n đối số (x1, x2,..., xn) được xác định
bởi F(x1, x2,..., xn)=P(X1• Định nghĩa: Nếu hàm F(x1, x2,..., xn) tồn tại đạo hàm bậc n thì hệ
(X1, X2, …, Xn) có hàm mật độ xác suất được xác định bởi

∂ n F ( x1 , x2 ,..., xn )
f ( x1 , x2 ,..., xn ) =
∂x1∂x2 ...∂xn

CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.4 Hệ n đại lượng ngẫu nhiên
• Có thể suy ra rằng
• F(+∞,..., xi,...,+∞)=P(X1<+∞,..., Xiđược gọi là hàm phân bố riêng của Xi
• Hàm mật độ riêng của Xi cũng có thể nhận được bằng cách đạo
hàm Fi(xi) theo xi hoặc suy ra từ hàm mật độ đồng thời:
+∞ +∞

f i ( xi ) =

+∞

∫ ∫ ... ∫ f ( x , x ,..., x )dx ...dx
1

− ∞− ∞

2

n

1

dxi +1...dxn

i −1

−∞

• Đối với một hệ đại lượng ngẫu nhiên, từ phân bố đồng thời
ta có thể xác định được các phân bố riêng của từng đại lượng
ngẫu nhiên thành phần
• Từ các phân bố riêng ta có thể xác định được các đặc trưng
riêng của chúng, như kỳ vọng, phương sai,…


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.4 Hệ n đại lượng ngẫu nhiên
• Mỗi bộ gồm m (mngẫu nhiên ban đầu được gọi là một hệ con của hệ ban đầu
• Hàm phân bố và hàm mật độ xác suất của hệ con này có thể nhận
được từ phân bố và mật độ đồng thời của hệ ban đầu
• Ví dụ: Phân bố của hệ con (X1, X2,…,Xm):
• F1,2,...,m(x1,..., xm)=F(x1,..., xm,+∞,...,+∞)=
= P(X1
∂ m F1, 2,...,m ( x1 , x2 ,..., xm )
f1, 2,...,m ( x1 ,..., xm ) =
∂x1...∂xm
+∞ +∞

f1, 2,...,m ( x1 ,..., xm ) =

+∞

∫ ∫ ... ∫ f ( x , x ,..., x )dx
1

− ∞− ∞

−∞

2

n

m +1

...dxn


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.4 Hệ n đại lượng ngẫu nhiên
• Đối với mỗi hệ con gồm hai đại lượng ngẫu nhiên thành phần
khác nhau bất kỳ ta có phân bố đồng thời được xác định bởi
• F(+∞,..., xj,...,xk,..., +∞)=P(X1<+∞,..., Xj=Fjk(xj,xk), j≠k, j,k=1,2,...,n
• Hàm mật độ đồng thời của hai đại lượng ngẫu nhiên Xi, Xj cũng có
thể nhận được bằng cách đạo hàm Fjk(xj,xk) theo xj, xk hoặc suy ra
từ hàm mật độ đồng thời:
+∞ +∞

f jk ( x j , xk ) =

+∞

∫ ∫ ... ∫ f ( x , x ,..., x )dx ...dx
1

− ∞− ∞

−∞

( j ≠ k , j, k = 1,2,..., n )

2

n

1

dx j +1...dxk −1dxk +1...dxn

j −1


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
• Xét hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2,…, Xn)
• Ký hiệu hệ này như một vector ngẫu nhiên n chiều
X=(X1, X2,…, Xn)
Khi đó:
• mx=M[X]=(M[X1], M[X2], ..., M[Xn])=(mx1, mx2,..., mxn) được gọi
là vector kỳ vọng của X, trong đó các thành phần của vector này
tương ứng là kỳ vọng của các đại lượng ngẫu nhiên thành phần
của vector ngẫu nhiên X
• Dx=D[X]=(D[X1], D[X2], ..., D[Xn])=(Dx1, Dx2,..., Dxn) được gọi là
vector phương sai của X, trong đó các thành phần của vector này
tương ứng là phương sai của các đại lượng ngẫu nhiên thành phần

của vector ngẫu nhiên X


CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
• Trong đó
+∞

mx j = M [ X j ] =

(

∫x

−∞

j

f j ( x j )dx j , j = 1,2,..., n

)

+∞

Dx j = D[ X j ] = M [ X j − mx j ] = ∫ ( x j − mx j ) 2 f j ( x j )dx j ,
2

−∞

( j = 1,2,..., n )

• Ngoài các đặc trưng riêng, khi xét hệ các đại lượng ngẫu
nhiên vấn đề quan trọng hơn là xét mối quan hệ giữa chúng
• Mối quan hệ này được đặc trưng bởi mômen tương quan
giữa các cặp đại lượng ngẫu nhiên thành phần