Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán học chương 2 phan văn tân

LÝ THUY T
XÁC SU T VÀ TH NG KÊ
TOÁN H C
Phan V n Tân
B mô Khí t ng

10:07:29


Ch

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

2.1 Phép th , s ki n và xác su t s ki n
• Các khái ni m
c g p u tiên trong lý thuy t xác su t
là “phép th ” và “s ki n”
• “phép th ”
c hi u là m t b i u ki n xác nh, nó có
th là
o
o

•

m t thí nghi m c th
m t l n quan sát (quan tr c) s xu t hi n m t hi n t
ó

ng nào

M t phép th có th có nhi u k t c c khác nhau,
o
o

các k t c c này là các “s ki n” có th x y ra
S ki n th ng
c ký hi u b i các ch in A,B,C, v.v... ôi
khi có kèm theo ch s .
10:07:29


Ch

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

2.1 Phép th , s ki n và xác su t s ki n
• Ví d :
o

Khi gieo m t
•

•

o

ng ti n t c là ta ã ti n hành m t phép th .

K t qu nh n
c là hai k t c c:
ng ti n xu t hi n m t s p ho c
xu t hi n m t ng a
N u nh n
c m t s p ta nói “s ki n” ng ti n xu t hi n m t s p ã
x y ra

Gieo m t con xúc x c (ti n hành m t phép th )
•

•

•

Phép th này có 6 k t c c n: xu t hi n m t 1 ch m, 2 ch m, 3 ch m,
4 ch m, 5 ch m, 6 ch m
Các k t c c này c ng có th c u thành k t c c ph c h p: xu t hi n m t
có s ch m là ch n, xu t hi n m t có s ch m b i 3 v.v...
N u m t trong các k t c c xu t hi n ta nói “s ki n” (nào ó) ã x y ra

10:07:29


Ch

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

2.1 Phép th , s ki n và xác su t s ki n
• Ví d :
o

M a là m t hi n t ng khí t
này c ng là m t phép th .
•

ng

S k t c c c a phép th này có th là
o
o

•

ng. Vi c quan tr c hi n t

2 k t c c: “không m a” ho c “có m a”
3 k t c c: “không m a”, “m a d ng l ng” ho c “m a h n h p” (l ng và
r n)

Nói chung c n phân bi t rõ ba khái ni m: “Phép th ”,
“k t c c” và “s ki n”

10:07:29

Ch

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

2.1 Phép th , s ki n và xác su t s ki n
• Tu theo tính ch t xu t hi n c a các s ki n trong phép
th mà ta có th chia chúng ra ba lo i:
o

o

o

•

S ki n t t y u (hay s ki n ch c ch n) là s ki n nh t thi t
x y ra khi phép th
c th c hi n
S ki n b t kh (hay s ki n không th có) là s ki n nh t thi t
không x y ra khi th c hi n phép th
S ki n ng u nhiên là s ki n có th x y ra nh ng c ng có th
không x y ra khi th c hi n phép th

Ký hi u:
o
o
o

U là s ki n t t y u
V là s ki n b t kh
A là s ki n ng u nhiên
10:07:29


Ch

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

2.1 Phép th , s ki n và xác su t s ki n
• Ví d :
o

Gieo m t i m ng u nhiên lên m t ph ng, khi ó:
•
•
•

o

i m ó n m trong m t ph ng là s ki n t t y u
i m ó không n m trong m t ph ng là s ki n b t kh
i m ó r i vào m t mi n hình ch nh t cho tr c trên m t ph ng là s
ki n ng u nhiên

Ti n hành o nhi t
•

•
•

Nhi t
Nhi t
Nhi t

o
o
o

Hà N i vào m t ngày mùa hè:

c có giá tr >0oC là s ki n t t y u
c có giá tr <0oC là s ki n b t kh
c n m trong kho ng 25-30oC là s ki n ng u nhiên

10:07:29


Ch

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

2.1 Phép th , s ki n và xác su t s ki n
• Quan sát các s ki n ng u nhiên ta th y:
o
o

o

•

•

kh n ng xu t hi n c a chúng nói chung không
m t s s ki n th ng hay x y ra,
m t s khác th ng ít x y ra.

ng

u,

Ví d , v mùa ông khu v c vùng núi phía B c “nhi t
th ng d i 15 ”, nh ng “r t ít khi xu t hi n s ng
mu i”
n y sinh v n
tìm cách o l ng “ ch c ch n”
c a m t s ki n
o
o

Tìm cách gán cho m i s ki n m t s P(A) không âm.
S này
c g i là xác su t c a s ki n A.
10:07:29


Ch

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

2.1 Phép th , s ki n và xác su t s ki n
•
phù h p v i n i dung th c o “ ch c ch n” c a
s ki n, xác su t P(A) ph i
c xây d ng sao cho tho
mãn các òi h i h p lý sau:
o

o

o

Xác su t c a s ki n t t y u U b ng 1: P(U) = 1 (vì s ki n
ch c ch n 100% x y ra).
Xác su t c a s ki n b t kh V b ng 0: P(V) = 0 (ch c ch n
100% không x y ra).
Xác su t c a s ki n ng u nhiên A b k p gi a 0 và 1:
0 P(A) 1

10:07:29


Ch

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

2.2 Cách tính xác su t theo quan ni m
• Xét ví d :
o

o

o

ng kh n ng

Trong m t thùng kín ng n qu c u gi ng nhau v m i m t và
ch khác nhau v màu s c, trong ó có m qu tr ng và n-m qu
en. Th c hi n phép th : rút hú ho 1 qu . H i xác su t rút
c qu tr ng là bao nhiêu?
Nh n th y: Khi ti n hành rút hú h a m t qu , m i qu c u b t
k trong s n qu
u có th
c rút trúng, không phân bi t
màu s c
Nói cách khác: Do tính i x ng hoàn toàn c a các qu c u
nên m i qu
u có cùng kh n ng
c rút nh nhau

10:07:29

Ch

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

2.2 Cách tính xác su t theo quan ni m

ng kh n ng

N u g i A là s ki n rút
c qu có màu tr ng thì trong s n
k t thúc ng kh n ng c a phép th có m k t c c thu n l i cho
A
m
P
(
A
)
o Khi ó xác su t P(A) c a s ki n A s
c tính b i:
n
nh ngh a: Gi s m t phép th có t t c n k t c c ng kh
n ng, trong ó có m két c c thu n l i cho s ki n A. Khi ó xác
su t c a A là t s gi a s k t c c thu n l i cho A trên t ng s k t
c c ng kh n ng c a phép th
o

•

P( A)
o

m ( Sô kêt cuc thuân loi cho A)
n (Tông sô kêt cuc ông kha n n )

m
n

Ng i ta g i ây là nh ngh a xác su t theo quan ni m ng
kh n ng, hay “ nh ngh a c i n” c a xác su t vì nó r t thông
d ng trong th i k ra i c a lý thuy t xác su t
10:07:29


Ch

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

2.2 Cách tính xác su t theo quan ni m
o

o

o

o

o

o

ng kh n ng

N u A là s ki n ch c ch n U thì m i k t c c ng kh n ng c a
n
phép th
u thích h p cho A nên m = n, do ó P(U ) n 1
N u A là s ki n b t kh V thì không có k t c c thích h p nào
cho A nên m = 0, do ó P(V ) 0 0
n
N u A là s ki n b t k thì 0 m n nên 0 P ( A) 1
Cách tính xác su t theo công th c c i n có u i m là n gi n và tr c
quan
Tuy nhiên ph m vi áp d ng r t h n ch vì công th c này ch dùng
c cho
lo i phép th g m m t s h u h n k t c c và m i k t c c ng kh n ng
xu t hi n.
Khi v n d ng tính m và n, tr các tr ng h p gi n n, th ng ph i dùng
công c gi i tích t h p
10:07:29


Ch

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

2.2 Cách tính xác su t theo quan ni m
M t s ví d :
•

ng kh n ng

VD1: Gieo m t con xúc x c. H i xác su t xu t hi n: a). M t 6
ch m; b). M t b i c a 3
o Gi i: G i A là s ki n xu t hi n m t 6 ch m, B là s ki n xu t
hi n m t b i c a 3,
o
S k t c c kh n ng n = 6,
o s k t c c thu n l i cho A là m = 1, s k t c c thu n l i cho B là
m = 2 (m t 3 và m t 6).
o Do ó
P(A) = 1/6;
P(B) = 2/6 =1/3
10:07:29


Ch

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

2.2 Cách tính xác su t theo quan ni m
•

ng kh n ng

VD 2: Trong m t thùng có 3 qu c u tr ng và 5 qu c u en gi ng
h t nhau v kính th c. Rút hú ho 2 qu t thùng ó. Tính xác su t
xu t hi n: a) 2 qu tr ng; b) 1 qu tr ng và 1 qu en
o

o

o

o

o

Gi i: G i A là s ki n xu t hi n 2 qu tr ng, B là s ki n xu t hi n m t qu
tr ng và m t qu en
T ng s qu c u trong thùng là: 3+5 = 8. Coi các qu c u này nh 8 ph n t
ã cho.
M i cách rút 2 qu c u ng v i vi c ch n m t t h p ch p 2 t 8 ph n t .
V y có t t c n = C82 k t c c ng kh n ng.
S k t c c thu n l i cho A là nh ng cách ch n 2 trong s 3 qu tr ng. Vì v y
mA = C32. T ó P(A) = mA/n = C32/C82 = 3/28
S cách ch n qu tr ng là C31, s cách ch n qu en là C51. Do ó s k t c c
thu n l i cho B là mB = C31.C51. V y P(B) = mB/n = C31.C51/C82 = 15/28
10:07:29


Ch

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

2.2 Cách tính xác su t theo quan ni m
•

ng kh n ng

VD 3: Trong s N bài thi có M bài t t i m khá tr lên. Rút
ng u nhiên n bài nh p i m. Tính xác su t trong n bài
c
rút có m (mo Gi i: G i A là s ki n trong s n bài
c rút có m bài t t
i m khá tr lên.
o S k tc c
ng kh n ng chính là s cách ch n n t N bài: CNn
o S k t c c thu n l i cho A chính là tích c a s cách ch n m (bài
t i m khá tr lên) t M k t h p v i s cách ch n n-m (bài
không t i m khá) t N-M t c CMm.CN-Mn-m
o V y P(A) = CMm.CN-Mn-m/ CNn

10:07:29


Ch

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

2.3
•
•
•

•

•

nh ngh a xác su t theo t n su t
nh ngh a c i n c a xác su t ch áp d ng
c khi
phép th có m t s h u h n k t c c ng kh n ng
Th c t th ng g p nh ng phép th không có tính ch t ó
Ch ng h n phép th b n m t phát n vào bia thì các k t
c c trúng bia hay tr t không th coi là ng kh n ng
xu t hi n
kh c ph c h n ch ó c a nh ngh a c i n và
tính
c xác su t c a s ki n cho m t phép th r ng l n,
ng i ta
a vào nh ngh a xác su t theo quan i m
th ng kê
Khái ni m c b n a t i nh ngh a này là khái ni m t n
su t
10:07:29

Ch

2.3
•

•
•

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

nh ngh a xác su t theo t n su t

Gi s ti n hành N phép th cùng lo i, trong m i phép th có th
xu t hi n s ki n A,
G i M là s các phép th quan sát th y A xu t hi n
Khi ó t s M/N
c g i là t n su t xu t hi n s ki n A trong
lo t phép th ã
c ti n hành
P( A)

•

M
N

Ví d :
ánh giá ch t l ng s n phNm c a m t phân x ng,

ng i ta l y hú h a t kho 100 s n phNm và ti n hành ki m tra. K t
qu là có 7 s n phNm không t tiêu chuNn ch t l ng. V y t n su t
xu t hi n ph phNm c a phân x ng là p(A) = 7/100 = 0.7

10:07:29


Ch

2.3
•

KI N VÀ XÁC SU T

nh ngh a xác su t theo t n su t

Tính ch t:
o

o

o

o

•

ng 2. S

Tr s c a t n su t nói chung ph thu c vào s l ng N phép th

c ti n
hành.
Khi N bé, t n su t thay i rõ r t n u ta chuy n t lo t N phép th này sang
lo t N phép th khác.
Tuy nhiên th c nghi m ch ng t r ng, t n su t có tính n nh, ngh a là khi
s phép th N khá l n thì tr s c a t n su t bi n thiên r t ít xung quanh m t
h ng s xác nh nào ó
i v i các phép th thu c m u “thùng kín”, h ng s này trùng v i xác su t
tính theo công th c c i n

nh ngh a th ng kê c a xác su t: Xác su t c a s ki n là tr s
n nh c a t n su t khi s phép th t ng lên vô h n

10:07:29


Ch

2.3
•

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

nh ngh a xác su t theo t n su t

Tính n nh c a t n su t khi s phép th
l n
c xác minh

b ng nhi u thí nghi m công phu c a các nhà nghiên c u:
o

o

Laplace (th k XVIII) theo dõi các b ng th ng kê toàn n c Pháp và các
thành ph London, Peterbur, Berlin, ã tìm th y t n su t sinh con trai b ng
22/43 0,542
n th k XX, nhà toán h c Thu i n Crame c ng nh n th y tr s này r t
g n v i t n su t sinh con trai n m 1935 t i Thu i n

ng d ng:

•
o
o
o
o
o

Xác nh kích c qu n áo may s n ho c các dùng gia ình
Xác nh qui lu t ho t ng c a t i ph m trong i u tra hình s
Ch n th i i m phát sóng truy n tin qua các t ng i n ly
N ghiên c u công hi u c a thu c men ch a b nh
Trong Khí t ng Th y v n ?

10:07:29


Ch

2.3
•

nh ngh a th ng kê c a xác su t ã kh c ph c
ch c a nh ngh a xác su t c i n:
o

•

KI N VÀ XÁC SU T

nh ngh a xác su t theo hình h c

o

•

ng 2. S

Các k t c c không
S k t c c quá l n

cm ts h n

ng kh n ng xu t hi n

Tuy v y trong tr ng h p s k t c c là vô h n thì nh ngh a này
c ng không phù h p
B i v y, ng i ta a vào nh ngh a xác su t theo hình h c

10:07:29


Ch

2.3
•
•

Xét phép th có vô h n k t c c ng kh n ng
Gi s có th bi u th t p h p k t c c này b i m t mi n hình h c G
nào ó:
o

•

KI N VÀ XÁC SU T

nh ngh a xác su t theo hình h c

o

•

ng 2. S

m t o n th ng m t mi n ph ng,
m t m nh m t cong hay m t kh i không gian v.v...;

Gi s có th bi u th nh ng k t c c thu n l i cho s ki n A b i các
i m thu c mi n g G
Khi ó, xác su t c a s ki n A
c tính nh sau:
P(A) = (Kích th c c a mi n g)/(Kích th c c a mi n G)

10:07:29


Ch

2.3
•

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

nh ngh a xác su t theo hình h c

Ví d (Bài toán g p g ): Hai ng i h n g p nhau t i m t a i m
xác nh trong kho ng t 0 gi
n 1 gi và qui c v i nhau r ng
ng i n tr c ch ng i kia quá 20 phút thì s b i. Tính xác
su t h g p nhau, bi t r ng m i ng i có th
n ch h n vào
m t th i i m b t k trong kho ng th i gian trên.
o
o

o
o
o

Gi i: G i A là s ki n hai ng i g p nhau
G i x và y (phút) t ng ng là th i i m n i m h n c a ng i th nh t và
ng i th hai
S k t c c ng kh n ng chính là m i c p s (x,y) mà 0 x 60, 0 y 60
T p h p này
c bi u di n b i m t hình vuông có c nh b ng 60
Các k t c c thu n l i cho A là nh ng c p (x,y) sao cho |x-y| 20, hay
20

o

x

y

20

y

x 20

y

x 20

T p h p này ng v i mi n con c a hình vuông g m gi a các

y = x + 20 và y = x - 20

ng th ng
10:07:29


Ch

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

2.3 nh ngh a xác su t
theo hình h c
P( A)

SOHIQJK

20

SOPQR

60 60
60
3600 1600
3600

P( A)

R

x

y

J

Q

20
I

40 40
60
2000 5
3600 9

K

y

x 20
O

y

P

H

x 20

10:07:29


Ch

2.3

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

nh ngh a xác su t theo hình h c

Chú ý:
• V i
nh ngh a xác su t này, m t s ki n có xác su t b ng 0 v n có
th x y ra
• Ví d : Trên m t ph ng ngang v m t vòng tròn trong ó ánh d u
m t i m M.
ng t xa phóng lao vào mi n vòng tròn. Tính xác
su t lao phóng trúng i m M.
o

Trong tr ng h p này, di n tích c a mi n g b ng 0, do ó xác su t tính
c
s b ng 0. N h ng trên th c t v n có th phóng trúng i m M ã cho, t c s
ki n v n có th x y ra.

10:07:29


Ch

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

2.4 Quan h gi a các s ki n
•

Các s ki n trong m t phép th th ng liên
quan v i nhau b i các quan h sau ây:
o

o

o

o

Quan h kéo theo: S ki n A xu t hi n nh t thi t s
ki n B xu t hi n. Trong tr ng h p này ta nói s ki n
A kéo theo s ki n B, ho c A là tr ng h p riêng c a
B. Ký hi u A B, hay A là t p con c a B
Quan h t ng
ng:
ng th i s ki n A kéo theo
s ki n B và B kéo theo A, t c A B và B A. Ta nói

A và B là các s ki n t ng
ng. Ký hi u A=B
T ng c a hai s ki n: T ng c a hai s ki n A và B là
m t s ki n
c ký hi u là A B (hay A + B), sao
cho (A+B) x y ra khi và ch khi ho c A x y ra ho c B
x y ra (nói cách khác: khi và ch khi ít nh t m t trong
hai s ki n A và B x y ra)
Tích c a hai s ki n: Tích c a hai s ki n A và B là
m t s ki n
c ký hi u là A B (hay AB), sao cho
s ki n tích AB x y ra khi và ch khi c A và B cùng
x y ra

A

A

B

B

A+B

A

AB

10:07:29

B


Ch

ng 2. S

KI N VÀ XÁC SU T

2.4 Quan h gi a các s ki n
o

o

o

Hai s ki n xung kh c: A và B
c g i là xung kh c
n u A xu t hi n thì B không xu t hi n và ng c l i,
hay AB = V
Hi u c a hai s ki n: Hi u c a s ki n A và s ki n
B, ký hi u là A\B, là s ki n x y ra khi A x y ra
nh ng B không x y ra
S ki n i l p: Trong tr ng h p hi u c a hai s
ki n A và B, n u A là s ki n ch c ch n, A=U thì s
ki n A\B=U\B
c g i là s ki n i l p c a s ki n
B, ký hi u là B

B U\B

•

B

A

A

B

A\B

N h n xét: Ta có th m r ng các khái ni m trên
cho tr ng h p nhi u s ki n, ch ng h n t ng
c a nhi u s ki n, tích c a nhi u s ki n,…

10:07:29