Phương trình, bất phương trình, hệ đại số_01

Chương 1
Phương trình, bất phương trình, hệ đại số
1.1 Phương trình, bất phương trình đa thức
1.1.1 Phương trình, bất phương trình bậc hai
Bài 1.1 : Giải và biện luận các phương trình sau :
1. (m − 2)x
2
− 2mx + m + 1 = 0 ;
2.
a
x − 1
+
1
x − a
= 2.
Bài 1.2 : Cho phương trình :
(m
2
− 4)x
2
+ 2(m + 2)x + 1 = 0.
1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 1.3 : Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình sau vô nghiệm :
c
2
x
2
+ (a
2
− b

2
− c
2
)x + b
2
= 0.
Bài 1.4 : Cho phương trình :
x
2
− (2m + 3)x + m
2
+ 2m + 2 = 0.
1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
.
2. Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm
1
x
1
,
1
x
2
.
3. Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2

độc lập với tham số m.
4. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
= 2x
2
.
Bài 1.5 : Cho phương trình : x
2
− cosa.x + sin a − 1 = 0.
1. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi a.
2. Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
độc lập với a.
3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của E = (x
1
+ x
2
)
2
+ x

2
1
x
2
2
.
Bài 1.6 : Cho phương trình :
mx
2
− 2(m − 2)x + m − 3 = 0.
Tìm m để phương trình có :
11
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1. hai nghiệm trái dấu ; 2. hai nghiệm dương phân biệt ; 3. đúng một nghiệm âm.
Bài 1.7 : Giải các bất phương trình sau :
1.
x
2
− 4x + 3
3 − 2x
< 1 − x ;
2. (−x
2
+ 3x − 2)(x
2
− 5x + 6) ≥ 0 ;
3.
2
x + 2

+
1
2
≤
−4
x
2
+ 2x
;
4. x
2
+ (x + 1)
2
≤
15
x
2
+ x + 1
;
Bài 1.8 : Giải và biện luận các bất phương trình sau :
1. x
2
− mx + m + 3 > 0 ; 2. (m + 1)x
2
− 2(m − 1)x + 3m − 3 ≥ 0 ;
Bài 1.9 : Giải hệ bất phương trình sau :



x

2
− 7x + 6 ≤ 0
x
2
− 8x + 15 ≥ 0
Bài 1.10 : Tìm m để :
1. x
2
− mx + m + 3 ≥ 0, ∀x ∈ R ; 2. mx
2
+ 4x + m > 0, ∀x ∈ R ; 3. mx
2
− mx − 5 < 0, ∀x ∈ R.
Bài 1.11 : Tìm m để các hàm số sau xác định với mọi x ∈ R :
1. y =

m(m + 2)x
2
+ 2mx + 2 ;
2. y =
1

(1 − m)x
2
− 2mx + 5 − 9m
;
Bài 1.12 : Cho f(x) = (m + 1)x
2
− 2(m − 1)x + 3m − 3. Tìm m để bất phương trình :
1. f(x) < 0 vô nghiệm. 2. f(x) ≥ 0 có nghiệm.

Bài 1.13 : Tìm m để các bất phương trình sau có tập nghiệm là R :
1. 1 ≤
3x
2
− mx + 5
2x
2
− x + 1
< 6 ;
2.
¬
¬
¬
¬
¬
x
2
+ mx + 1
x
2
+ 1
¬
¬
¬
¬
¬
< 2 ;
Bài 1.14 : Cho bất phương trình : x
2
+ 6x + 7 + m ≤ 0. Tìm m để bất phương trình :

1. vô nghiệm.
2. có đúng một nghiệm.
3. có miền nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1.
Bài 1.15 : Tìm m để f(x) = mx
2
− 4x + 3m + 1 > 0 với mọi x > 0.
Bài 1.16 : Tìm m để f(x) = 2x
2
+ mx + 3 ≥ 0 với mọi x ∈ [−1; 1].
Bài 1.17 : Tìm m để f(x) = x
2
− 2mx − m ≥ 0 với mọi x > 0.
Bài 1.18 : Tìm m để f(x) = mx
2
− 2(m + 1)x − m + 5 > 0 với mọi x < 1.
Bài 1.19 : Tìm m để f(x) = 2x
2
− (3m + 1)x − (3m + 9) ≤ 0 với mọi x ∈ [−2; 1].
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 12
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1.1.2 Phương trình trình bậc ba
Bài 1.20 : Cho phương trình :
x
3
− (m
2
− m + 7)x − (3m
2

+ m − 6) = 0.
1. Tìm m để phương trình có một nghiệm là −1.
2. Với m > 0 tìm được ở câu trên, hãy giải phương trình .
Bài 1.21 : Giải các phương trình sau :
1. x
3
− 6x
2
+ 11x − 6 = 0 ;
2. 2x
3
+ x + 3 = 0 ;
3. x
3
− 5x
2
+ 7x − 2 = 0 ;
4. x
3
− 3
√
3x
2
+ 7x −
√
3 = 0 ;
Bài 1.22 : Tìm m để các phương trình sau có ba nghiệm phân biệt :
1. x
3
− (2m + 1)x

2
+ 3(m + 4)x − m − 12 = 0 ; 2. mx
3
− 2mx
2
− (2m − 1)x + m + 1 = 0 ;
Bài 1.23 : Tìm m để phương trình :
mx
3
− (3m − 4)x
2
+ (3m − 7)x − m + 3 = 0
có ba nghiệm dương phân biệt.
1.1.3 Phương trình, bất phương trình bậc bốn
Bài 1.24 : Giải các phương trình sau :
1. x
4
− 3x
2
+ 4 = 0 ;
2. (x − 1)(x + 5)(x − 3)(x + 7) = 297 ;
3. (x + 2)(x − 3)(x + 1)(x + 6) = −36 ;
4. x
4
+ (x − 1)
4
= 97 ;
5. (x + 3)
4
+ (x + 5)

4
= 16 ;
6. 6x
4
− 35x
3
+ 62x
2
− 35 + 6 = 0 ;
7. x
4
+ x
3
− 4x
2
+ x + 1 = 0 ;
8. x
4
− 5x
3
+ 10x
2
− 10x + 4 = 0 ;
9. x
4
− x
2
+ 6x − 9 = 0 ;
10. 2x
4

− x
3
− 15x
2
− x + 3 = 0.
Bài 1.25 : Tìm các giá trị của m sao cho phương trình
x
4
+ (1 − 2m)x
2
+ m
2
− 1 = 0.
1. Vô nghiệm ; 2. Có hai nghiệm phân biệt ; 3. Có bốn nghiệm phân biệt.
Bài 1.26 : Tìm các giá trị của a sao cho phương trình
(a − 1)x
4
− ax
2
+ a
2
− 1 = 0
có ba nghiệm phân biệt.
Bài 1.27 : Cho phương trình :
(m − 1)x
4
+ 2(m − 3)x
2
+ m + 3 = 0.
Tìm m để phương trình trên vô nghiệm.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 13
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 1.28 : Cho phương trình :
x
4
− (2m + 1)x
2
+ m + 3 = 0.
Tìm m để phương trình trên có bốn nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bé hơn −2 và ba nghiệm còn lại lớn hơn −1.
Bài 1.29 : Tìm h để phương trình sau đây có không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau :
x
4
+ hx
3
+ x
2
+ hx + 1 = 0.
Bài 1.30 : Cho phương trình :
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = m.
Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
1.2 Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối
1. Phương trình (bất phương trình) |f(x)| + g(x) < 0 (hoặc = , hoặc > , hoặc ≥ , hoặc ≤ ) tương đương với



f(x) ≥ 0
f(x) + g(x) < 0
hoặc




f(x) < 0
−f(x) + g(x) < 0.
Một số phương trình hoặc bất phương trình chứa nhiều hơn một dấu giá trị tuyệt đối thì việc phá dấu giá trị tuyệt đối
sẽ phức tạp hơn nhiều, phải chia thành nhiều trường hợp bằng cách lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị
tuyệt đối.
2. Phương trình (bất phương trình) | f(x)| < |g(x)| (hoặc = , hoặc > , hoặc ≥ , hoặc ≤ ) phương pháp đơn giản là bình
phương hai vế, chuyển vế, phân tích thành nhân tử.
3. Một số phương trình và bất phương trình thông dụng (giả sử a > 0).
• |x| = a ⇔ x = a hoặc x = −a.
• |x| < a ⇔ −a < x < a.
• |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a.
• |x| > a ⇔ x < −a hoặc x > a.
• |x| ≥ a ⇔ x ≤ −a hoặc x ≥ a.
Bài 1.31 : Giải phương trình |x
2
− 8x + 15| = x − 3.
Bài 1.32 : Giải các phương trình và bất phương trình sau :
1. |x
2
− 5x + 4| = x
2
+ 6x + 5;
2. |x − 1| = 2x − 1;
3. | − x
2
+ x − 1| ≤ 2x + 5;
4. |x

2
− x| ≤ |x
2
− 1|.
Bài 1.33 : Giải các phương trình và bất phương trình sau :
1.
¬
¬
¬
¬
¬
x
2
− 2
x + 1
¬
¬
¬
¬
¬
= 2;
2.
¬
¬
¬
¬
3x + 4
x − 2
¬
¬

¬
¬
≤ 3; 3.
¬
¬
¬
¬
2x − 3
x − 3
¬
¬
¬
¬
≥ 1;
4. |2x + 3| = |4 − 3x|.
Bài 1
.34 : Giải các bất phương trình sau :
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 14
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1. |x
2
− 5x + 4| ≤ x
2
+ 6x + 5; 2. 4x
2
+ 4x − |2x + 1| ≥ 5.
Bài 1.35 : Giải các bất phương trình sau :
1.

¬
¬
¬
¬
1 −
|x|
1 + |x|
¬
¬
¬
¬
≥
1
2
;
2. log
5
log
¹⁄₂

x
2
− 4|x|
|x| − 7

≤ 0 ;
3. |x
2
− 2x − 8| > 2x ;
4. |x

3
− 7x − 3| < x
3
+ x
2
+ 3 ;
5. |x
3
− x
2
+ 4| + x
3
− x
2
− 2x − 2 ≤ 0 ;
6. ||x| − 1| < 1 − x ;
7.
¬
¬
|x
2
− 3x − 7| + 2x − 1
¬
¬
< x
2
− 8x − 5 ;
8.
¬
¬

x
2
− |x
2
− 3x − 5| − 5
¬
¬
< x + 1 ;
9. |x − 1| + |x − 2| > 3 + x ;
10. log
3
|x
2
− 4x| + 3
x
2
+ |x − 5|
≥ 0 ;
11. ||3
x
+ 4x − 9| − 8| ≤ 3
x
− 4x − 1 ;
Bài 1.36 : Giải các bất phương trình sau :
1. |3x + 2| + |2x − 3| < 11 ;
2. |x
2
− 3x − 7| +|2x
2
− x − 9| + |3x

2
− 7x − 5| < x + 15 ;
3. |x − 1| + |2 − x| > 3 + x ;
4. |x
2
− 3x − 17| − |x
2
− 5x − 7| > 3.
Bài 1.37 : Tìm m để bất phương trình : x
2
+ |x + m| < 2 có ít nhất một nghiệm âm.
Bài 1.38 : Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số p :
2|x − p| + 5|x − 3p| + 4x + 6p + 12 ≤ 0.
Bài 1.39 : Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số p :
|2x + 21p| − 2|2x − 21p| < x − 21p.
Bài 1.40 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a sao cho bất phương trình
x
2
− |x − a| − |x − 1| + 3 ≥ 0
đúng với mọi x ∈ R.
Bài 1.41 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x
2
+ 2x − 1 + |x − a|
lớn hơn 2.
Bài 1.42 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x
2
+ |x − a| + |x − 1|
lớn hơn 2.

Bài 1.43 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = ax + |x
2
− 4x + 3|
lớn hơn 1.
Bài 1.44 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
y = 4x − x
2
+ |x − m|
nhỏ hơn 4.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 15
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1.3 Phương trình, bất phương trình chứa căn
Vấn đề 1 : Phương trình, bất phương trình cơ bản

Phương pháp chung là tìm cách bình phương hai vế (để giảm số căn, hoặc mất căn) với điều kiện là hai vế của phương trình
phải không âm.
1. Phương trình
√
f(x) =
√
g(x) ⇔



f(x) ≥ 0 (hoặc cũng có thể xét g(x) ≥ 0)
f(x) = g(x).
2. Phương trình

√
f(x) = g(x) ⇔



g(x) ≥ 0
f(x) =
(
g(x)
)
2
.
3. Bất phương trình
√
f(x) >
√
g(x) (hoặc ≥ ) tương đương với



g(x) ≥ 0
f(x) > g(x).
4. Bất phương trình
√
f(x) < g(x) (hoặc ≤ ) tương đương với










f(x) ≥ 0
g(x) ≥ 0
f(x) <
(
g(x)
)
2
.
5. Bất phương trình
√
f(x) > g(x) (hoặc ≥ ) tương đương với
(I)



f(x) ≥ 0
g(x) < 0
hoặc (II)



g(x) ≥ 0
f(x) >
(
g(x)
)

2
.
Bài 1.45 : Giải phương trình
√
x
2
+ 56x + 80 = x + 20.
Bài 1.46 : Giải bất phương trình
√
x
2
− 2x − 15 < x − 3.
Bài 1.47 : Giải bất phương trình
√
x
2
− 1 > x + 2.
Bài 1.48 : Giải các phương trình sau :
1.
√
2x
2
+ 4x − 1 = x + 1;
2.
√
4x
2
+ 101x + 64 = 2(x + 10);
3.
√

x
2
+ 2x = −2x
2
− 4x + 3;
4.
√
(x + 1)(x + 2) = x
2
+ 3x − 4.
Bài 1.49 : Giải các bất phương trình:
1.
√
x
2
+ x − 6 < x − 1;
2.
√
2x − 1 ≤ 2x − 3;
3.
√
2x
2
− 1 > 1 − x;
4.
√
x
2
− 5x − 14 ≥ 2x − 1.
Bài 1.50 : Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 16
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1. y =

¬
¬
x
2
+ 3x − 4
¬
¬
− x + 8;
2. y =

x
2
+ x + 1
|2x − 1| − x − 2
;
3. y =
Ö
1
x
2
− 7x + 5
−
1
x

2
+ 2x + 5
;
4. y =

√
x
2
− 5x − 14 − x + 3.
Bài 1.51 : Giải các phương trình sau :
1.
√
5x
2
− 6x − 4 = 2(x − 1); 2.
√
x
2
+ 3x + 12 = x
2
+ 3x.
Bài 1.52 : Giải các bất phương trình sau :
1.
√
x
2
+ 6x + 8 ≤ 2x + 3;
2.
2x − 4
√

x
2
− 3x − 10
> 1;
3. 6
√
(x − 2)(x − 3) ≤ x
2
− 34x + 48 ;
4.
√
x
2
− x − 12 ≥ x − 1;
5.
√
x
2
− 4x − 12 > 2x + 3;
6.
√
x + 5
1 − x
< 1.
Vấn đề 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ

Chúng ta thường sử dụng một số quy tắc đặt ẩn phụ như sau :
1. Nếu phương trình chứa hai loại căn, có thể
(a) Đặt u =
n

√
ax + b, rút x, thế vào phương trình được phương trình ẩn u.
(b) Hoặc cũng có thể đặt u =
n
√
u(x), v =
m
√
v(x), lũy thừa để rút ra ràng buộc giữa u và v để được 1 phương trình
theo u, v. Kết hợp với phương trình ban đầu, ta được hệ hai ẩn u, v.
2. Đặt u =
n
√
u(x), lũy thừa hai vế được phương trình chứa u, x. Kết hợp với phương trình ban đầu, ta được hệ hai ẩn
u, x.Giải phương trình bậc hai (có ∆ là bình phương một số).
3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn, đặt u =
√
u(x), đưa về phương trình bậc hai theo u với x coi như là tham số.
4. Nếu phương trình chứa
√
a ±
√
b và
√
ab ta thường đặt u =
√
a ±
√
b.
5. phương trình đẳng cấp, chẳng hạn đẳng cấp bậc 2 : A.x

2
+ B.xy + C.y
2
= 0. Có cách giải như sau :
(a) Xét y = 0, rút được x;
(b) Xét y  0, chia cả hai vế cho y
2
, đặt u =
x
y
, đưa được về phương trình bậc hai theo u.
Bài 1.53 : Giải các phương trình sau :
1. 3x
2
+ 21x + 18 + 2
√
x
2
+ 7x + 7 = 2 ;
2. x
2
+
√
x + 1 = 1 ;
3. 2(x
2
+ 2) = 5(x
3
+ 1) ;
4. 2x

2
− 3x + 2 = x
√
3x − 2 ;
5. 6x
2
− 10x + 5 − (4x − 1)
√
6x
2
− 6x + 5 = 0 ;
6.
4
√
97 − x +
4
√
x = 5 ;
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 17
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 1.54 : Giải các phương trình sau :
1.
√
x + 3 +
√
3x + 1 = 2
√
x +

√
2x + 2 ;
2.
√
2x
2
+ x + 6 +
√
x
2
+ x + 2 = x +
4
x
;
3. x
2
+ 2x
Ö
x −
1
x
= 3x + 1 ;
4.
4
√
x +
4
√
x + 1 = 2
4

√
2x + 1 ;
5.
√
x
2
+ 4x + 3 +
√
x
2
+ x =
√
3x
2
+ 4x + 1 ;
6.
3
√
x +
√
5 − x ≤ 3 ;
7.
3
√
x − 1 +
3
√
x + 1 = x
3
√

2 ;
8.
3
√
x +
3
√
x − 16 =
3
√
x − 8 ;
9.
3
√
2x
3
− 1 +
3
√
1 − x
3
= x ;
10.
√
x
2
− x + 1 +
√
x
2

+ x + 1 = 2 ;
11.
√
2x
2
+ x + 9 +
√
2x
2
− x + 1 = x + 4.
Bài 1.55 : Giải các phương trình sau :
1.
√
1 − x +
√
1 + x + 2
√
1 − x
2
= 4 ;
2. 2x +
√
x + 1 +
√
x + 2
√
x
2
+ x = 1 ;
3. x

2
+ 2x +
√
x + 3 + 2x
√
x + 3 = 9 ;
4. 2x
2
+ x +
√
x
2
+ 3 + 2x
√
x
2
+ 3 = 9 ;
Bài 1.56 : Giải các phương trình sau :
1. 2x
2
+ x + 3 = 3x
√
x + 3 ;
2.
√
x + 8 =
3x
2
+ 7x + 8
4x + 2

;
3.
√
x
2
+ x + 2 =
3x
2
+ 3x + 2
3x + 1
;
4.
x + 2 + x
√
2x + 1
x +
√
2x + 1
=
√
x + 2 ;
5. (
√
x + 3 −
√
x + 1)(x
2
+
√
x

2
+ 4x + 3) = 2x.
Bài 1.57 : Giải các phương trình sau :
1.
3
√
x + 1 +
3
√
x + 2 = 1 +
3
√
x
2
+ 3x + 2 ;
2.
3
√
x + 1 +
3
√
x
2
=
3
√
x +
3
√
x

2
+ x ;
3.
4
√
x + 1 +
√
x = 1 +
4
√
x
3
+ x
2
;
4.
√
x + 3 + 2x
√
x + 1 = 2x +
√
x
2
+ 4x + 3 ;
5.
√
x
3
+ x
2

+ 3x + 3 +
√
2x =
√
x
2
+ 3 +
√
2x
2
+ 2x ;
6.
√
x + 3 +
4x
√
x + 3
= 4
√
x ;
7. 4
√
x + 3 = 1 + 4x +
3
x
;
8. 2
√
x + 3 = 9x
2

− x − 4 ;
9. 12
√
x + 2
√
x − 1 = 3x + 9 ;
Bài 1.58 : Giải các phương trình sau :
1.
√
x + 3 +
3
√
x = 3 ;
2.
4
√
x +
4
√
x − 1 =
4
√
x + 1 ;
3.
√
2 − x
2
= (2 −
√
x)

2
;
4. 2x + 1 + x
√
x
2
+ 2 + (x + 1)
√
x
2
+ 2x + 3 = 0 ;
5. x
2
√
x + (x − 5)
2
√
5 − x = 11(
√
x +
√
5 − x) ;
6. 2x
3
= 1 +
3
Ö
x + 1
2
;

Bài 1.59 : Giải các phương trình sau :
1.
8
√
1 − x +
8
√
x = 1 ;
2. 2
√
x +
4
√
1 − 2x = 1 ;
3.
√
x + 4 +
√
x +
√
1 − x = 3 ;
4.
2 +
√
x
3 +
√
1 − x
=
√

x +
√
1 − x ;
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 18
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Vấn đề 3 : Phương pháp nhân liên hợp

Dạng 1 : Phương trình dạng
√
u(x) ±
√
v(x) = f(x), trong đó f(x) và u(x) − v(x) có cùng nghiệm x = x
0
.
(a) Phương trình trở thành
u(x) − v(x)
√
u(x) ∓
√
v(x)
= f(x).
(b) Chuyển vế, đặt (x − x
0
) làm nhân tử chung.
Dạng 2 : Phương trình dạng (
n
√
u

1
(x)±
n
√
v
1
(x)) + (
m
√
u
2
(x) ±
m
√
v
2
(x)) = f(x), trong đó f(x); u
1
(x)− v
1
(x); u
2
(x)− v
2
(x) có
cùng nghiệm x = x
0
(ở đây f(x) có thể đồng nhất bằng 0).
Phương pháp giải loại này là chúng ta nhân liên hợp theo từng cụm, đặt (x − x
0

) làm nhân tử chung.
Bài 1.60 : Giải các phương trình, các bất phương trình sau :
1. 3(2 +
√
x − 2) = 2x +
√
x + 6;
2.
x
2

1 +
√
1 + x

2
> x − 4;
3.
√
x − 2 +
√
4 − x = x
2
− 6x + 11;
4.
√
x − 2 +
√
4 − x = 2x
2

− 5x − 1;
5.
Ö
1 − x
x
=
2x + x
2
1 + x
2
;
6. x
2
+ x − 1 = (x + 2)
√
x
2
− 2x + 2;
7.
3
√
x + 24 +
√
12 − x = 6;
8. 2
√
x
2
− 7x + 10 = x +
√

x
2
− 12x + 20;
9. 2x
2
− 11x + 21 = 3
3
√
4x − 4;
10.
√
5x − 1 +
3
√
9 − x = 2x
2
+ 3x − 1.
Bài 1.61 : Giải các phương trình sau :
1.
√
x + 4 −
√
2x + 3 = x − 1 ;
2. x +
√
2x =
1
x
+
Ö

x +
1
x
;
3. (x − 1)
√
x + 1 +
√
2x + 1 =
√
x + 2 ;
4.
1
x
2
+
√
x + 5 =
1
x
+
√
2x + 4 ;
5. 2 +
√
x + 6 =
√
2x + 5 +
√
x + 3 ;

6. 1 +
4
√
x + 3 = x +
√
2x ;
7.
√
x + 2 +
√
x + 6 =
√
2x + 5 +
√
2x + 1 ;
8.
4
√
x + 8 +
√
x + 4 =
√
2x + 3 +
√
3x
Vấn đề 4 : Phương pháp đánh giá

Cơ sở của phương pháp này là chúng ta sử dụng bất đẳng thức hoặc phương pháp hàm số đế đánh giá.
Cách 1 : Cơ sở nhận dạng :
(a) Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b) và hàm số y = g(x) nghịch biến trên (a; b) thì phương trình

f(x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
(b) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f(x) = c (với c là hằng số)
nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 19
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Phương pháp giải là :
(a) Nhận thấy x = x
0
là một nghiệm của phương trình đã cho.
(b) Nếu x > x
0
, ta suy ra vế trái lớn hơn vế phải hoặc ngược lại.
(c) Nếu x < x
0
, ta suy ra vế trái lớn hơn vế phải hoặc ngược lại.
(d) Kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = x
0
.
Cách 2 : Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f(u) = f(v) tương đương với
u = v.
Cách 3 : Nếu hàm số y = f(x) thỏa mãn f
′
(x) = 0 có nhiều hơn 1 nghiệm thì chúng ta lập bảng biến thiên để suy ra
phương trình có tối ta bao nhiêu nghiệm, rồi nhẩm đủ số nghiệm đó, dẫn đến đó là tất cả các nghiệm của phương
trình.
Cách 4 : Nếu f(x) ≥ c và g(x) ≤ c thì phương trình f(x) = g(x) tương đương với




f(x) = c
g(x) = c.
Bài 1.62 : Giải các phương trình sau :
1.
√
x + 3 +
3
√
x = 3 ;
2.
√
x + 3 +

x +
√
x + 8 = 4 ;
3.
√
x
2
− x + 1 +
√
x
2
+ 7x + 1 = 4
√
x ;
4.
√

x + 3
1 +
√
2 − x
+
√
2x − 1 = 2 ;
5.
√
x
2
− x + 4 +
√
2x − 1 = 5 ;
Vấn đề 5 : Phương trình, bất phương trình có tham số

1. Sử dụng phương trình, bất phương trình cơ bản;
2. Sử dụng đặt ẩn phụ, và đặt điều kiện "chặt" cho ẩn;
3. Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai;
4. Sử dụng phương pháp hàm số để chỉ ra điều kiện có nghiệm.
Bài 1.63 : Tìm điều kiện của m để phương trình
√
x
2
+ 2x − m = 2x − 1 :
1. có nghiệm thực ; 2. có đúng một nghiệm thực ; 3. có hai nghiệm thực phân biệt.
Bài 1.64 : Tìm điều kiện của m để phương trình x +

x +
1

2
+
Ö
x +
1
4
= m có nghiệm thực.
Bài 1.65 : Tìm điều kiện của m để phương trình
√
16 − x
2
−
m
√
16 − x
2
− 4 = 0 có nghiệm thực.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 20
www.VNMATH.com www.VNMATH.com