Dạng lượng giác của số phức

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
54
Bài 6: Giải hệ phương trình:
1
3 1 2
( , )
1
7 1 4 2
x
x y
x y R
y
x y

 
 

 

  


 

 
 


 


.
Bài 7: Giải hệ phương trình sau:
1 2
1 2
1
2
2 3
z z
z z





 


Đs:
3 3
;
4 2
i i
 
 
 
 
 
và
3 3
;

4 2
i i
 
 
 
 
 

Bài 8: Giải các hệ phương trình:
a.
2 10
2 20
3 (1 ) 30
x iy z
x y iz
ix iy i z
  


  


   

b.
3 2
2010 2011
2 2 1 0
1 0
z z z

z z

   


  



c.
2
2
2 2
4
z i z z i
z z

   


 


d.
1 2
1 2
3
1 1 3
5
z z i

i
z z
  




 




Căn bậc hai của số phức

Bài 1: Tìm căn bậc hai của số phức:
a.
17 20 2 .z i 
b.
1 2
4 2
i c.
40 42i 
d. 11 4 3i
Bài 2: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a. -1 + 4 i.3 b. 4 + 6 i.5 c. -1 - 2 i.6 d. -5 + 12.i
Đs:
a. ).23( i b. ).53( i c. ).32( i d.  (2 + 3i)
Bài 3: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a. i341 b. i564 c. i621

C. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

Dạng 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác

Bài 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác
1 3
a. (1 3)(1 ) b.
1
i
i i
i

 


c. sin cosz i
 
  d.
5
tan
8
z i

 
www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
55
Giải:
a.1 3 2 cos( ) sin( )

3 3
i i
 
 
    
 
 
;1 2 cos sin
4 4
i i
 
 
  
 
 
.
Do đó (1 3)(1 ) 2 2 cos( ) sin( )
12 12
i i i
 
 
     
 
 
.
b. Từ phần trên ta có ngay kết quả
1 3 7 7
2 cos sin
1 12 12
i

i
i
 
  
   
   
   
 

   
 
.
c. Ta có sin cos cos( ) sin( )
2 2
z i i
 
   
      .
d.
5 1 5 5 1 7 7
tan sin cos cos sin
5 3
8 8 8 8 8
cos cos
8 8
z i i i
    
 

   

      
   
   

Bài 2: Tuỳ theo góc

, hãy viết số phức sau dưới dạng lượng giác (1 cos sin )(1 cos sin ).i i
   
   
Giải:
Xét số phức (1 cos sin )(1 cos sin )z i i
   
     , ta có
2 2
(2sin .2sin cos )(2cos .2sin cos )
2 2 2 2 2 2
z i i
     
  
2 2
4sin cos (sin cos )(cos sin )
2 2 2 2 2 2
2sin (sin cos sin cos (cos sin ))
2 2 2 2 2 2
i i
i
     
     

  

   

 
2sin sin cosi
  
  hay 2sin (sin cos )z i
  
  (*)
- Nếu sin  > 0, từ (*) có z 2sin cos( ) .sin( )
2 2
i
 
  
 
   
 
 

- Nếu sin  < 0, từ (*) ta có 2sin ( sin cos )z i
  
   
2sin cos( ) .sin( )
2 2
i
 
  
 
    
 
 

- Nếu sin  = 0  z = 0, nên không có dạng lượng giác xác định.
Bài 3: Viết các số sau dưới dạng lượng giác:
1. cosa – isina, a  [0;2). 2. sina + i(1 + cosa), a  [0;2).
3. cosa + sina + i(sina – cosa), a  [0;2)
Giải:
Ta có:
1. cos sin cos(2 ) sin(2 ) a i a a i a
 
     khi a  [0;2)
2.
 
2
sin 1 cosz a i a    2sin
2
a
cos
2
a
+ 2icos
2
2
a
= 2cos
2
a
(sin
2
a
+ i cos

2
a
)
- Nếu a  [0; )  cos
2
a
> 0  z
2
= 2cos
2
a
(cos(
2

-
2
a
) + i sin (
2

-
2
a
)
www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
56
- Nếu a  ( ;2 )  cos
2

a
< 0  z
2
= -2cos
2
a
(cos(
3
2

-
2
a
) + i sin (
3
2

-
2
a
)
- Nếu a  z
2
= 0(cos0 + isin0)
3.
 
3
cos sin sin – cosz a a i a a   
2
(cos

4
a

 

 
 
+ i sin
4
a

 

 
 

Bài 4: : Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. (1- i 3 )(1 + i) b.
1 3
1
i
i


c.
1
2 2i

Giải:
1. Ta có: 1- i 3 = 2

cos sin
3 3
i
 
 
   
  
   
 
   
 

(1+ i) = 2 cos sin
4 4
i
 
 

 
 

Áp dụng công tthức nhân, chia số phức ta đuợc:
(1- i 3 )(1 + i) = 2
2 cos sin
12 12
i
 
 
   
  

   
 
   
 

Tương tự
b.
1 3
1
i
i


=
2
7 7
cos sin
12 12
i
 
 
   
  
   
 
   
 

c.
1

2 2i
=
1
(1 )
4
i =
1
2 cos sin
4 4 4
i
 
 
   
  
   
 
   
 
=
2
cos sin
2 4 4
i
 
 
   
  
   
 
   

 

Bài 5: Viết số phức
 
2
3z i  dưới dạng lượng giác.
Giải:
Cách 1: Khai triển hằng đẳng thức rồi chuyển sang dạng lượng giác.
 
2
2
2 2 3 1 3
3 3 2 3 2 2 3 4 4
4 4 2 2
4 cos sin 4 cos sin
3 3 3 3
z i i i i i i
i i
   
   
          
   
   
   
 
     
     
     
 
     

 

Cách 2: Viết dạng lượng giác trước rồi áp dụng công thức Moa – vrơ.
3 1
3 2 2 cos sin 2 cos sin
2 2 6 6 6 6
i i i i
   
 
 
     
        
 
     
 
 
     
 
 

Suy ra:
 
2
2
3 2 cos sin 4 cos sin
6 6 3 3
i i i
   
 
   

       
        
 
       
   
       
   
 


Dạng 2: Các bài tập tính toán tổng hợp về dạng lượng giác

Bài 1: Cho số phức z có modul bằng 1 và

là 1 acgument của nó. Hãy tìm 1 acgument của các số phức sau:
www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
57
a.
1
2z
 b.
2
(sin 0)
2
z z

  c.
2

3
(cos 0)
2
z z

 
Giải:
Số phức z có thể viết dưới dạng: cos sinz i
 
 
a.
 
 
   
1 1 1 1
cos sin cos sin
2 cos sin 2 2
2
i i
i
z
   
 
          
 


   
1
cos sin

2
i acgument
     
      
 

b.
   
2
2
3 3
cos sin cos sin 2sin sin 2cos sin
2 2 2 2
z z i i i
   
   
       
- Nếu
2
3 3
sin 0 2sin sin cos
2 2 2 2
z z i
   
 
     
 
 

3 3 3

2sin sin cos
2 2 2 2 2 2 2
i Acgument
      
 
   
      
   
 
   
 

- Nếu
2
3 3
sin 0 2sin sin cos
2 2 2 2
z z i
   
 
     
 
 

3 3 3
2sin sin cos
2 2 2 2 2 2 2
i Acgument
      
 

   
       
   
 
   
 

c.
   
2
2
3 3
os isin os isin 2 os os 2 os sin
2 2 2 2
z z c c c c c i
   
   
      
- Nếu
2
3 3
cos 0 2cos cos sin
2 2 2 2
z z i
   
 
    
 
 

2
Acgument

 
- Nếu
2
3 3
cos 0 2cos cos sin
2 2 2 2
z z i
   
 
 
   
       
   
 
   
 

2
Acgument


  
Bài 2: Tính:
 
 
 
5

10
10
1 3
1 3
i i
z
i
 

 

Giải:
 
10 5
10
5
10
10
7 7
2 cos sin .2 cos sin
4 4 6 6
4 4
2 cos sin
3 3
i i
z
i
   
 
   

 
   
   

 

 
 

www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
58
10
10
35 35 5 5
2 cos sin cos sin
2 2 6 6
40 40
2 cos sin
3 3
i i
i
   
 
  
 
  
  


 

 
 
55 55
cos sin
3 3
cos5 sin 5 1
40 40
cos sin
3 3
i
i
i
 
 
 
 

 
 
    
 

 
 

Bài 3: Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết rằng:
1 3z z i  
và

iz
có một acgument
là .
6


Giải:
2
2
2
cos sin cos( ) sin( )
2 2 2 6 3
(cos sin )
1 3 3 3
( ) 1 1 1
2 2 2 2 2 4
iz ri r r i
z r i
r r r r
r i i iz r r
    
     
 
 
          
 
 
 
 
           

 
 

2
2
2
3 3 1 3 3
4 2
r r
z i r r
 
      
 
 
1 3 1 cos sin
3 3
iz z i r z i
 
        
Bài 4: Viết dạng lượng giác của số phức z biết rằng 2z  và một acgumen của
1
z
i
là
3
4


Giải:
Gọi  là một acgumen của z thì  là một acgumen của z mà

1 i
có một acgumen là
4

nên
1
z
i

có một acgumen là
4


  .
Theo giả thiết ta có
3
2 2 ( )
4 4 2
k l l
  
   
         
Vậy dạng luợng giác của z là: 2 cos sin
2 2
z i
 
 
 
 
 

.

Dạng 2: Sử dụng công thức Moa-vrơ tính toán

Bài 1: Tính giá trị
10 5
10
(1 ) ( 3 )
( 1 3)
i i
A
i
 

 

Giải:
Biểu diễn lượng giác cho các số phức:
7 7
1 2 cos sin
4 4
i i
 
 
  
 
 
; 3 2 cos sin
6 6
i i

 
 
  
 
 
và
4 4
1 3 2 cos sin
3 3
i i
 
 
   
 
 

Sau đó áp dụng công thức Moavrơ biến đổi
5 sin 5 1A cos i
 
   
.
Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau
www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
59
a.
 
10
9

(1 )
3
A
i
i



b.
5 7
cos sin (1 3 )
3 3
B i i i
 

 
 
 
 
c.
2009
2009
1
z
z
 . Biết
1
1z
z
  .

Giải :
a.
10
5
9 4
9
5 5
2 cos sin
2 cos sin
4 4
1 1
2 2
(cos sin )
3 3
16
2
2 cos sin
2 cos sin
2 2
6 6
i
i
A i
i
i
 
 
 
 
 

 
 
 


 
 
 
 
   
     
 
 
 

 
 
 
 
 
 

Vậy phần thực
1
16
  và phần ảo = 0
b.
7
5 7
cos sin (1 3 ) = cos sin 2 cos sin

3 3 3 3 3 3
i i i i i i
     
   
       
     
       
   
       
   

 
7 7 7
7 7
2 cos sin cos sin 2 cos2 sin 2 2 128
3 3 3 3
i i i i i i i
   
 
 
     
        
     
 
     
 

Vậy phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 128.
c. Từ
2

1 3
cos sin
1
2 3 3
1 1 0
1 3
cos sin
2 3 3
i
z i
z z z
z
i
z i
 
 


  


      


   
    

   
   


Khi cos sin
3 3
z i
 
  .
Ta có
2009
2009
2009
2009
1 1
cos sin
3 3
cos sin
3 3
z i
z
i
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 


 
 

2009
2009
2009 2009
cos sin cos sin cos sin
3 3 3 3 3 3
2009 2009 2 2
cos sin 2cos 669 2cos 1.
3 3 3 3
i i i
i
     
   

 
       
       
       
 
       
 

   
      
   
   

Tương tự :

2009
2009
1
cos sin 1
3 3
z i z
z
 
   
      
   
   

Bài 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết
2
2 2 3z i   .
Giải:
Ta chuyển 2 2 3i  sang dạng lượng giác rồi từ dạng lượng giác ta chuyển về dạng đại số.
1 3 2 2
2 2 3 4 4 cos sin
2 2 3 3
i i i
 
 
 
      
 
 
 
 

 

Suy ra:
www.VNMATH.com