BAI GIANG CO NHIET CHUONG 4

BAØI GIAÛNG

VẬT LÝ 1

CƠ – NHIỆT
Isaac Newton ( 1642 – 1727 )

BIÊN SOẠN:

VÕ THỊ NGỌC THUỶ


CHƯƠNG IV:

CÔ HOÏC VAÄT RAÉN


4.1.Vật rắn - Khối tâm vật rắn .

•* Vật rắn :
•Hệ các chất điểm với khỏang cách không thay đổi trong quá
trình chuyển động của vật :
rij = M i − M j = const
n

M = ∑ mi
i

ur n ur
F = ∑ fi
i

•* Chuyển động tònh tiến:

•Bất kỳ đường thẳng nào thuộc
vật đều chuyển động song song
với chính nó.

Mj

Mi


M1

uur M
2
r12
ur
r1

ur
r2
O

Chuyển động tònh tiến :

uur uuuuur
r12 = const

uur ur ur

r12 = r2 − r1

ur
ur
uur ur
uuuuur
r2 ( t ) = r1 ( t ) + r12 = r1 ( t ) + const
+ Nếu

uur
d r12
=0
dt

(4.1)

biết phương trình chuyển động của chất điểm M 1
r
ur
r ( t ) = r1 ( t ) thì xác đònh được ph/t ch/đ của M 2 bất kỳ .


ur
ur
uur ur
uuuuur
r2 ( t ) = r1 ( t ) + r12 = r1 ( t ) + const
*

ur

ur
ur
d r2 uur d r1
= v2 =
+ 0 = v1
dt
dt

uur
ur
d v2 r
d v1 r
= a2 =
= a1
dt
dt
*

Các chất điểm
được chọn tùy ý.

M 1 và M 2

Trong chuyển động tònh
tiến,ở thời điểm t bất kỳ,mọi
chất điểm trong vật rắn có
cùng véc tơ vận tốc và véc tơ
gia tốc.
Khi khảo sát chuyển động
tònh tiến của vật rắn,chỉ cần

khảo sát chuyển động của
một điểm nào đó trong vật.

Thông thường điểm này được chọn là khối tâm của vật.


Xét chất điểmur
thứ “ i ”:

ur f
i
ai =
uuur mi

ur
mi ; fi

ur
; r
i

ur
ai = avat

ur ur

r
 ∑ mi  a = ∑ fi = F
 i


Giống phương trình chuyển động của một chất điể
ur m có ur
khối lượng: M = ∑ mi ,chòu tác dụng một lực: F = ∑ f i
nhận gia tốc :

r i ur uuur
a = ai = avat

Tưởng tượng vật được “thu lại” thành 1 điểm (chất điểm ),
đặc trưng đầy đủ cho cả vật về phương diện động lực
học,đó là “khối tâm” của vật .


Tọa độ của khối tâm :
* Xét hệ đơn giản gồm 2 chất điểm .
Đònh nghóa khối tâm của hệ là
m1
m
C
2
điểm C thỏa mãn hệ thức :
M1

M2

* Hệ gồm n chất điểm

uuuur
uuuuur
m1 M 1C + m2 M 2C = 0

(4.2)

m1 , m2 ,..., mi ,...mn

đặt tại các điểm M 1 , M 2 ,...M i ,...M n
Khối tâm của hệ n chất điểm mi là
điểm C được xác đònh bởi đẳng
thức véc tơ :

uuuur
∑ mi M iC = 0
n

i

(4.3)


* Đặt hệ chất điểm trong hệ
urtọa độ (O x,y,z):
Tọa độ của khối tâm C : rc uuur uuuur uuuuur
OC = OM i + M i C

uuur
uuuur
uuuur
mi OC = mi OM i + mi M i C
uuur
uuuur

uuuur
∑ mi OC = ∑ mi OM i +∑ mi M iC

Mi
uuuur
OM i

O

uuuur
M iC

i
i
i
uuur
ur
uuuur
OC ∑ mi = ∑ mi ri + ∑ mi M i C

C

uuur ur
OC = rc

ur uuur
rc = OC
Tọa độ khối tâm :

∑m

i

=m

i

uuuur
∑ mi M iC = 0 (4.3)

ur
ur
rc m = ∑ mi ri
i

ur 1
ur
rc = ∑ mi ri
m i

(4.4)


ur 1
ur
rc = ∑ mi ri
m i
1
xc = ∑ mi xi
m i

n

1
yc = ∑ mi yi
m i
Mi

m1
M1

C

uuuur
OM i

m2

uuuur
M iC

ur uuur
rc = OC

M2

uuuur
uuuuur
m1 M 1C + m2 M 2C = 0

n

n

O

zc = ∑ mi zi
i

O
C

M1

uuuur
∑ mi M iC = 0
n

i

M2

C

M3


Vận tốc của khối tâm

Động lượng của vật rắn bằng tích số của khối lượng của vật
rắn và vận tốc khối tâm của vật rắn đó.

Gia tốc của khối tâm

Khối tâm của vật chuyển động như là một chất điểm có khối
lượng bằng khối lượng của vật và chịu tác dụng của lực bằng
tổng hợp các ngoại lực tác dụng lên vật.


Hãy xác đònh vò trí khối tâm của hệ hai quả cầu khối lượng m1
và m2 .

ur 1
ur
rc = ∑ mi ri
m i

r≡x

2

∑m x

m1 x1 + m2 x2
=
=
m1 + m2
m1 + m2
i i

xCM

i =1

x1 = 0; x2 = d
m2 = 2m1

xCM

2
= d
3

d
Với hệ hai hạt,khối tâm nằm gần
hạt có khối lượng lớn hơn.


* Ví dụ (4.1) :
Ba viên bi khối lượng bằng nhau là m được gắn bởi các
thanh cứng nhẹ thành tam giác đều cạnh a.Xác đònh khối
tâm C trong hệ tọa độ Decartes.
Y

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ .
Các tọa độ là:

A

X

B

C

a
a 3
yA =
xA =
2
2
xB = y B = 0

M i → A, B, C

xC = a; yC = 0

uuur
uuur
uuur
m. AG + m.BG + m.CG = 0

uuur uuur uuur
AG + BG + CG = 0


OX

uuur uuur uuur
AG + BG + CG = 0

( xG − x A ) + ( xG − xB ) + ( xG − xC ) = 0
xA

a
a
3xG = x A + xB + xC = + 0 + a = 3
2
2

xG

( yG − y A ) + ( yG − yB ) + ( yG − yC ) = 0

OY

Y
A

3
3 yG = y A + yB + yC = a
+0+0
2
a 3
yG =
6

B

a
xG =

2

C

a a 3
G  ;

2 6 


* Ví dụ(4.2) :Xác đònh khối tâm của hệ ba quả cầu có khối lượng lần
lượt là m1= m2 = 1,0 kg ; m3 =2,0 kg,có tọa độ m1(1,0,0) ,
m2 (2,0,0 ) , m3 (0,2,0) (met). Xác đònh khối tâm và biểu
diễn theo các vectơ đơn vị.

xC

mx
∑
=
∑m

i i
i

m1 x1 + m2 x2 + m3 x3
=
m1 + m2 + m3
= ??

1, 0kg )(1, 0m ) + (1, 0kg )( 2m ) + ( 2, 0kg )( 0m )
(
=
1, 0kg + 1, 0kg + 2, 0kg

3, 0kg .m
=
= 0, 75m
yC = ??
4, 0kg
1, 0kg )( 0m ) + (1, 0kg )( 0m ) + ( 2, 0kg )( 2, 0m )
(
yC =
= 1, 0m
4, 0kg

uur
r
r
r
r
rC = xC i + yC j = 0, 75.i + 1, 0. j m

(

)


Hai vật khối lượng m1 và m2 nối với nhau bằng sợi dây
*Ví dụ (4.3) (BT

nhẹ không dãn,vắt qua ròng rọc treo trên trần nhà.Bỏ
ở nhà):
qua khối lượng ròng rọc và ma sát.Tính gia tốc của
khối tâm G của hệ.
Tọa độ khối tâm :

uur
rG =

(

Gia tốc khối tâur
m:

m1

uur
uur
uur d r
m1 a1 + m2 a2
G
aG = 2 = ?
dt
m1 + m2
2

m2
?

ur

ur
ur
1
1
m1 r1 + m2 r2
.∑ mi ri = ?
m1 + m2
∑ mi i

Dây căng ( không dãn )
Hai vật chuyển động ngược chiều nhau.

ur
uur
a1 = − a2

)


ur
ur
uur m a + m ( −a ) ( m1 − m2 ) ur
2
1
aG = 1 1
=
a1
m1 + m2
m1 + m2
+ m fm

m1 ñi xuoáng vôùi :
1
2
m1 − m2 )
(
m1 g
m2 g
a1 =
−
=
g
m1 + m2 m1 + m2
m1 + m2

ur ( m1 − m2 ) ur
a1 =
.g
m1 + m2
+

m1 p m2

(*)

m2

uur ( m1 − m2 )2 ur
aG =
.g
2

( m1 + m2 )
ñi xuoáng vôùi :

(*)

m1
m2

( m2 − m1 )
m2 g
m1 g
a2 =
−
=
g
m1 + m2 m1 + m2
m1 + m2
uur ( m2 − m1 )2 ur
aG =
.g
(*)
uur ( m2 − m1 ) ur
2
( m1 + m2 )
a2 =
.g
m1 + m2


KHỐI TÂM CỦA VẬT CÓ KÍCH THƯỚC

Trong thực tế, các vật không phải là các chất điểm, mà chúng có
kích thước và chiếm thể tích trong không gian khối lượng của nó
phân bố liên tục.
Phương trình xác định khối tâm của vật có kích thước:


Ví dụ 3.4: Xác định khối tâm của 1 thanh đồng chất
l: chiều dài của thanh
A: Tiết diện ngang của thanh
M: khối lượng của thanh
V= l.A : thể tích của thanh
Khối lượng riêng của thanh

Khi xét 1 phần tử vô cùng bé có đáy = A và độ dày là dx


ur
ur
uur m a + m ( −a ) ( m1 − m2 ) ur
2
1
aG = 1 1
=
a1
m1 + m2
m1 + m2
+ m fm
m1 ñi xuoáng vôùi :
1
2

m1 − m2 )
(
m1 g
m2 g
a1 =
−
=
g
m1 + m2 m1 + m2
m1 + m2

ur ( m1 − m2 ) ur
a1 =
.g
m1 + m2
+

m1 p m2

(*)

m2

uur ( m1 − m2 )2 ur
aG =
.g
2
( m1 + m2 )
ñi xuoáng vôùi :

(*)

m1
m2

( m2 − m1 )
m2 g
m1 g
a2 =
−
=
g
m1 + m2 m1 + m2
m1 + m2
uur ( m2 − m1 )2 ur
aG =
.g
(*)
2
( m1 + m2 )




4.2. Phương trình cơ bản của vật rắn quay :

r
li

+Vật rắn đang quay quanh trục ∆.

r
Xét chất điểm mi có vận tốc v i

r
ur r
vi = ω i .r i 

ur

ωi
r
ri

∆

mi

r
vi

Xác đònh véc tơ

+ Momen

ur

ωi

động lượng của chất điểm,theo
đònh

r nghóa
r u:r
r r

l i =  r i . p i  =  r i .mi v i 
r r ur
r i ⊥ vi , pi

2
li = mi rv
=
m
r
ω
r
=
m
ω
r
i i
i i( i i)
i i i

Các chất điểm có cùng vận tốc góc :

ωi = ω

li = miωi ri = ω mi ri
2

2

(4.6)


li = miωi ri 2 = ω mi ri 2
Momen động lượng của vật rắn quay đối với trục ∆ :

L = ∑ li = ω ∑ mi ri 2
i

Đặt I =

i

2
m
r
∑ i i : Momen quán tính của vật đối với trục ∆

ur
ur
L = I ωur→ urL = uIrω ur

Trường hợp tổng quát : ω = ω ( t ) ; L = L ( t )

ur
ur
ur
dL

dω
=I
= Iβ
dt
dt
ur

Đặt

uur d L
M=
dt

uur
ur
M = Iβ

(4.7)

Phương trình cơ bản của chuyển động quay vật rắn .


4.2. Phương trình cơ bản của vật rắn quay (tt):

Đặt:

Mơ men qn tính của vật với trục quay
Tổng hợp mơ men của các lực gây quay

Phương trình cơ bản của chuyển động quay

vật rắn .