Nguyên hàm các hàm số siêu việt

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 81
Vấn đề 10: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SIÊU VIỆT

Để xác đònh nguyên hàm của các hàm số siêu việt ta cần linh hoạt lựa chọn một
trong các phương pháp cơ bản sau:
1. Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản
2. Phương pháp phân tích
3. Phương pháp đổi biến
4. Phương pháp tích phân từng phần.

1. SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm siêu việt dựa trên các dạng nguyên hàm
cơ bản
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Bằng các phép biến đổi đại số, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về các
dạng nguyên hàm cơ bản đã biết.
Ví dụ 1: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/
xx
dx
I
ee
-
=
-
ò
b/
xx
xx
2.e

Jdx
169
=
-

Giải:
a/ Ta có:
xx
2xx
d(e)1e1
IlnC
2e1e1
-
==+
-+
ò

b/ Chia tử và mẫu số của biểu thức dưới dấu tích phân cho 4
x
, ta được:

x
xx
2x2xx
4
44
d
1
111
3

33
Jdxdx.lnC
44
2
444
lnln
111
33
333
éù
ỉư
ỉưỉư
-
êú
ç÷
ç÷ç÷
èø
èøëûèø
===+
ỉưỉưỉư
--+
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
òò


xx
xx
143
.lnC.

2(ln4ln3)43
-
=+
- +


2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Bài toán 2: Xác đònh nguyên hàm hàm siêu việt bằng phương pháp phân tích
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Cần hiểu rằng thực chất nó là một dạng của phương pháp hệ số bất đònh, nhưng ở
đây ta sử dụng các đồng nhất thức quen thuộc.
Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh :
x
dx
I.
1e
=
-
ò

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 82
Giải:
Sử dụng đồng nhất thức:
xx
11e)e=-+
Ta được:
xxx
xxx
1(1e)ee

1.
1e1e1e
-+
==+
---

Suy ra:
xx
x
xx
ed(1e)
I1dxdxxln1eC.
1e1e
ỉư
-
=+=-=--+
ç÷
--
èø
òòò

3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Bài toán 3: Xác đònh nguyên hàm hàm siêu việt bằng phương pháp đổi biến
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Phương pháp đổi biến được sử dụng cho các hàm số siêu việt với mục đích chủ
đạo để chuyển biểu thức dưới dấu tích phân về các dạng hữu tỉ hoặc vô tỉ, tuy nhiên
trong nhiều trường hợp cần tiếp thu những kinh nghiệm nhỏ đã được minh hoạ bằng các
chú ý trong vấn đề 4.
Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh :

2x
dx
I.
1e
=
+
ò

Giải:
· Cách 1: Đặt
2x22x
t1et1e=+Û=+
Suy ra:
2x
222
2x
tdtdxtdtdt
2tdt2edxdx&
t1t(t1)t1
1e
=Û===
---
+

Khi đó:
2x
2
2x
dt1t111e
IlnClnC

2t12
t1
1e1
-+
==+=+
+
-
++
ò

· Cách 2: Đặt: t = e
x

Suy ra:
x
x
dx
dtedxdt,
e
-
=-Û-=
2x2x2xx2x2
dxdxdxdt
.
1ee(e1)ee1t1
--
-
===
++++

Khi đó:
2xx
2x2
dxdt
lntt1Clnee1C.
1et1
--
=-=-+++=-+++
++
òò

Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh :
xx/2
dx
I
ee
=
-
ò

Giải:
Đặt
x/2
te
-
=
. Suy ra:
x/2
x/2
1dx

dtedx2dt,
2 e
-
=Û-=
x/2
xx/2xx/2x/2x/2
dxdxedx2tdt1
21dt
1tt1eee(1e)e(1e)
-
--
-
ỉư
====+
ç÷
-----
èø

Khi đó:
x/2x/2
1
I21dt2(elne1C.
t1
--
ỉư
=+=+++
ç÷
-
èø
ò

4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Bài toán 4: Tìm nguyên hàm các hàm siêu việt bằng phương pháp tích phân từng
phần
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 83
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Bài toán 1: Tính:
axax
ecos(bx)(hoặcesin(bx)vớia,b0¹
òò

Khi đó ta đặt:
axax
ucos(bx)usin(bx)
hoặc
dvedxdvedx
==
ìì
íí
==
ỵỵ

Bài toán 2: Tính:
x*
P(x)edxvớiR
a

ò

Khi đó ta đặt:
x
uP(x)
dvedx
a
=
ì
í
=
ỵ


Ví dụ 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
2x
f(x)(tgxtgx1)e.=++
Giải:
Ta có:
2x2xx
F(x)(tgxtgx1)e(tgx1)eetgxdx.=++=++
òòò
(1)
Xét tích phân
x
Jetgxdx.=
Đặt:
2
2
x
x
dx

utgx
du(1tgx)dx
cosx
dvedx
ve
ì
=
==+
ì
ï
Û
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:
x2x
Jetgx(tgx1)e.=-+
ò

Thay (2) vào (1) ta được
x
F(x)etgxC.=+ (2)

5. SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC NHAU
Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh:
2x

dx
I
1e
=
+
ò

Giải:
Ta có:
xx
2xx2x2x2x
dxdxedxd(e)
1eee1e1e1
--
---
===-
++++
(1)
Khi đó:
x
x2x
x
d(e)
Iln(ee1)C
e1
-
--
-
==-+++
+

ò

Chú ý: Ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến để làm tường minh lời giải, bằng cách:
Đặt t = e
x
. Suy ra:
x
2x2
dtdt
dtedx&
1et1t
==
++

Khi đó:
2
2
2
22
1
d
dtdt11
t
Iln1C
tt
11
t1t
t11
tt
ỉư

ç÷
èø
===-=-+++
+
++
òòò


x2x
ln(ee1)C.
--
=-+++
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 84
Đương nhiên cũng có thể đặt t = e
–x
ta sẽ thu được lời giải giống như trên, xong sẽ
thật khó giải thích với các em học sinh câu trả lời “Tại sao lại nghó ra cách đặt ẩn phụ
như vậy?”
Chú ý: Nếu các em học sinh thấy khó hình dung một cách cặn kẽ cách biến đổi để đưa
về dạng cơ bản trong bài toán trên thì thực hiện theo hai bước sau:
– Bước 1: Thực hiện phép đổi biến:
Đặt t = e
x

Suy ra:
xx2xx22
dtedx&ee2e2dxt2t2dt(t1)1dt=-+=-+=-+
Khi đó:
2

I(t1)1dt.=-+
ò

– Bước 2: Thực hiện phép đổi biến:
Đặt u = t – 1
Suy ra:
22
dudt&(t1)1dtu1du=-+=+
Khi đó:
222
u1
Iu1duu1lnuu1C
22
=+=+++++
ò


22
x
2xxx2xx
t11
(t1)1lnt1(t1)1C
22
e11
e2e2lne1ee2C
22
-
=-++-+-++
-
=-++-+-++

Ví dụ 8: Tìm nguyên hàm hàm số :
x
xx
e
f(x)
ee
-
=
+

Giải:
Chọn hàm số phụ:
x
xx
e
g(x)
ee
-
-
=
+

Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có:

xx
xx
ee
f(x)g(x)
ee

-
-
-
-=
+


xxxx
xx
1
xxxx
eed(ee)
F(x)G(x)dxlneeC
eeee
--
-
--
-+
Þ-===++
++
òò


xx
2
xx
ee
f(x)g(x)1F(x)G(x)dxxC.
ee
-

-
+
+==Þ+==+
+
ò

Ta được:
xx
xx
1
2
F(x)G(x)lneeC
1
F(x)(lneex)C.
2
F(x)G(x)xC
-
-
ì
+=++
ï
Þ=+++
í
-=+
ï
ỵ


BÀI TẬP
Bài 35. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

a/
xx
2.e; b/
x
1
;
1e+
c/
x
1x
;
x(1x.e)
+
+
d/
lnx
;
x

e/
xx
e.sin(e); f/
2x
2x
e
;
e2+
g/
1
;

xlnx
h/
2
x
x.e.

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 85
ĐS: a/
xx
2.e
C;
1ln2
+
+
b/
x
x
e
lnC;
1e
+
+
c/
x
x
xe
lnC;
1xe
+

+

d/
2
lnx.lnxC;
3
+ e/
x
cos(e)C;-+ f/
2x
1
lne1C;
2
++
g/ lnlnxC;+ h/
2
x
1
eC.
2
+
Bài 36. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
2x
x
e1
;
e
-
b/

3x23x
(1e).e;+ c/
2x
4x
e
;
e1+
d/
x
1
;
1e+
e/
2x
4x
e
e1+

f/
x
1
.e;
x
g/
cosx
sinx
;
e
h/
xx

1
.
e(3e)
-
+

ĐS: a/
xx
eeC;
-
++ b/
3x3
1
(1e)C;
9
++ c/
x7x3
44
44
(e1)(e1)C;
73
+-++
d/
x
t1
lnC,vớite1;
t1
-
+=+
+

e/
t1
2tlnC,vớit1lnx;
t1
-
++=+
+

f/
x
2eC;+ g/
x
eC;
-
+ h/
x
x
3e
lnC.
3e1
+
+

Bài 37. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
23x
xe; b/
2x
e.cos3x; c/
x

e.sinx; d/
3
lnx
;
x
ỉư
ç÷
èø
e/
n
x.lnx,n1.¹-
ĐS: a/
3x2
1
e(9x6x2)C;
27
-++ b/
2x
1
e(2cos3x3sin3x)C;
13
++
c/
x
1
e(sinxcosx)C;
2
-+ d/
32
2

1333
lnxlnxlnxC;
2242x
ỉư
-++++
ç÷
èø

e/
n1n1
2
xx
lnxC;
n1 (n1)
++
-+
+ +

Bài 38. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
2x
2
xe
;
(x2)+
b/
x
(1sinx)e
1cosx
+

+
c/
xx
ee2;
-
++ d/
2
11x
ln;
1x1x
+
--

e/
2
ln(xx1);+- f/
lnx
;
x1lnx+
g/
2
2
xln(xx1)
.
x1
++
+

ĐS: a/
x

x2
.eC;
x2
-
-+
+
b/
x
esinx
C;
1cosx
+
+
c/
x3x2x
e(ee)C;++
d/
2
11x
lnC;
41x
+
ỉư
+
ç÷
-
èø
e/
22
xln(xx1)x1C;+---+

f/
2
(1lnx)1lnx21lnxC;
3
++-++ g/
22
x1.nxx1xC.+++-+