Phương trình - bất phương trình mũ và logarit

Dương Phước Sang - 23 - THPT Chu Văn An














 !
 ! !
 !"
""
"

#
##
#

1. Phương trình mũ (đơn giản)
Các tính chất về luỹ thừa cần lưu ý: với
0, 0a b> >
và
,m n ∈ ℝ
ta có

( )
.
1 1
n
m n m n m mn
m
m
n
m n m
n
n
n n
n n
a a a a a
a
a a a
a
a a
a a
+
−
−
−
= =
= =
= =
i i
i i
i i

( )
( ) ( )
( ) .
n
n
n n n
n
a a
b
b
n n
a b
b a
ab a b
−
=
=
=
i
i
i

a) Phương trình mũ cơ bản: với
0a >
và
1a ≠
, ta có

x
a b=

vô nghiệm nếu
0b ≤


log
x
a
a b x b= ⇔ =
nếu
0b >

b) Phương pháp đưa về cùng cơ số: với
0a >
và
1a ≠
, ta có
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x= ⇔ =

c) Phương pháp đặt ẩn số phụ:
 Phương pháp giải chung:
0 Biến đổi phương trình theo
( )f x
a
, chẳng hạn:

2 ( ) ( )
. . 0

f x f x
m a n a p+ + =


( )
( )
1
. . 0
f x
f x
a
m a n p+ + =

1 Đặt
( )f x
t a=
(kèm điều kiện cho t) và thay vào phương trình
2 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm
0
t
(nếu có)
3 Đối chiếu nghiệm
0
t
tìm được với điều kiện ở bước 1 rồi tìm x.
 Lưu ý 1: gặp dạng
( ) ( )
. . 0
f x f x
m a n a p

−
+ + =
, ta dùng biến đổi
( )
( )
1
f x
f x
a
a
−
=

 Lưu ý 2: gặp dạng
2 ( ) ( ) 2 ( )
. .( ) . 0
f x f x f x
m a n ab p b+ + =
, ta chia 2 vế
phương trình cho
2 ( )f x
b

d) Phương pháp lôgarit hoá: với
0 1a< ≠
và
0 1b< ≠
, ta có
( ) ( ) ( ) ( )
log log

f x g x f x g x
a a
a b a b
   
= ⇔ =
   
   



www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 24 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
2. Phương trình lôgarit (đơn giản)
Phương pháp chung:  Đặt điều kiện xác định của phương trình
 Biến đổi phương trình để tìm x (nếu có)
 Đối chiếu x tìm được với điều kiện để kết luận
Các công thức và quy tắc tính lôgarit: với
0 1a< ≠
và b > 0,
0α ≠
:



log 1 0
a
=




log ( ) log
n
m
m
a
a
n
b b= ⋅
(
0n ≠
)


 log ( )
a
a
α
α= 

 .log ( ) log log
a a a
m n m n= + ( , 0m n > )



log
a
b

a b=



( )
log log log
m
a a a
n
m n= −
(
, 0m n >
)



log ( ) .log
a a
b b
α
α=



log
log
log
c
c
b

a
a
b =
(
0 1c< ≠
)



1
log log
a
a
b b
α
α
= ⋅



1
log
log
b
a
a
b =
(
1b ≠
)

a) Phương trình lôgarit cơ bản: với
0a >
và
1a ≠
, ta có
log
b
a
x b x a= ⇔ =

b) Phương pháp đưa về cùng cơ số: với
0a >
và
1a ≠
, ta có

log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
f x g x f x g x= ⇔ =
(kèm điều kiện
( ) 0f x >
)

log ( ) ( )
b
a
f x b f x a= ⇔ =

 Lưu ý: Nếu đã có ( ) 0f x > thì
2

log ( ) 2 log ( )
n
a a
f x n f x
 
=
 
 

 Nếu chỉ có
( ) 0f x ≠
thì
2
log ( ) 2 log ( )
n
a a
f x n f x
 
=
 
 

 Biến đổi sau đây rất dễ sai sót (không nên sử dụng):
 Đưa
α
ra ngoài:
log ( )
a
f x
α

 
 
 
thành
.log ( )
a
f x
α

 Tách
log ( ). ( )
a
f x g x
 
 
 
thành
log ( ) log ( )
a a
f x g x+

 Tách
( )
( )
log
f x
a
g x
 
 

 
 
thành
log ( ) log ( )
a a
f x g x
−

(chỉ được dùng các biến đổi trên khi
( ) 0, ( ) 0
f x g x
> >
)
 Nên dùng biến đổi dưới đây:
 Đưa α vào trong:
.log ( )
a
f x
α
thành
log ( )
a
f x
α
 
 
 

 Nhập
log ( ) log ( )

a a
f x g x
+
thành
log ( ). ( )
a
f x g x
 
 
 

 Nhập
log ( ) log ( )
a a
f x g x
−
thành
( )
( )
log
f x
a
g x
 
 
 
 

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 25 - THPT Chu Văn An

c) Phương pháp đặt ẩn số phụ:
0 Biến đổi phương trình theo
log ( )
a
f x
, chẳng hạn:
2
.log ( ) .log ( ) 0
a a
m f x n f x p+ + =

1 Đặt
log ( )
a
t f x=
và thay vào phương trình.
2 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm
0
t
(nếu có)
3 Từ
0
t t=
ta giải phương trình lôgarit cơ bản tìm x.
d) Phương pháp mũ hoá: với
0 1a< ≠
và
0 1b< ≠
, ta có
log ( ) log ( )

log ( ) log ( )
a b
f x g x
a a
f x g x a a= ⇔ =

3. Bất phương trình mũ – lôgarit (đơn giản)
 Cũng có các cách giải như cách giải phương trình mũ, lôgarit.
 Tuy nhiên khi giải bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
cần chú ý so sánh cơ số a với 1 để sử dụng tính đồng biến, nghịch biến
của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
 Hàm số mũ
x
y a=
đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi
0 1a< <

 Hàm số lôgarit
log
a
y x=
cũng đồng biến khi a > 1 và nghịch biến
khi
0 1a< <


VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 1 : Giải các phương trình sau đây:
a)

2
3
5 625
x x+
=
b)
(
)
1
5 7
2
3
(1, 5)
x
x
+
−
=
c)
1
2 .5 200
x x+
=

Bài giải
Câu a:
2 2
3 3 4
5 625 5 5
x x x x+ +

= ⇔ =
2 2
3 4 3 4 0x x x x⇔ + = ⇔ + − =

hoaëc 1 4x x⇔ = = −

Vậy, phương trình đã cho có 2 nghiệm:
vaø 1 4x x= = −

Câu b:
(
)
(
)
(
)
1 5 7 1
5 7
2 3 3
3 2 2
(1, 5) 5 7 1 1
x x x
x
x x x
+ − − −
−
= ⇔ = ⇔ − = − − ⇔ =
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x = 1
Câu c:
1

2 .5 200 2.2 .5 200 10 100 2
x x x x x
x
+
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x = 2

Bài 2 : Giải các phương trình sau đây:
a)
9 5.3 6 0
x x
− + =
b)
1 1
4 2 21 0
x x− +
+ − =

c)
2
5 2.5 5 0
x x−
− + =
d)
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + =

www.VNMATH.com


01688559752
Tài liệu tham khảo - 26 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Hướng dẫn giải và đáp số
Câu a:
2
9 5.3 6 0 3 5.3 6 0
x x x x
− + = ⇔ − + =

 Đặt
3
x
t =
(t > 0), phương trình trên trở thành:
(nhaän so vôùi )
(nhaän so vôùi )
2
3 0
5 6 0
2 0
t t
t t
t t

= >

− + = ⇔

= >





3t =
thì
3 3 1
x
x= ⇔ =

2t =
thì
3
3 2 log 2
x
x= ⇔ =

 Vậy, phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = 1 và
3
log 2x =

Câu b:
1 1
4 2 21 0
x x− +
+ − =
4
4
x
⇔ 2.2 21 0 4 8.2 84 0

x x x
+ − = ⇔ + − =

 Hướng dẫn: đặt
2 ( 0)
x
t t= >
. Đáp số:
2
log 6x =

Câu c:
2
50
5 2.5 5 0 5 5 0
5
x x x
x
−
− + = ⇔ − + =

 Hướng dẫn: đặt
5 ( 0)
x
t t= >
. Đáp số:
1x =

Câu d:
6.9 13.6 6.4 0

x x x
− + =
. Chia 2 vế của phương trình cho 4
x
ta
được:
( ) ( ) ( ) ( )
2
9 6 3 3
4 4 2 2
6 13 6 0 6 13 6 0
x x x x
⋅ − ⋅ + = ⇔ ⋅ − ⋅ + =

 Hướng dẫn: đặt
( )
3
2
( 0)
x
t t= >
. Đáp số:
1x = ±

Bài 3 : Giải các phương trình sau đây:
a)
2 2
log 4 log 1 1x x− + − =
b)
5 25 0,2

log log log 3x x+ =

c)
2
4 8
2
log 2 log log 13x x x+ + =
d)
2
3
3
log ( 2) log ( 4) 0x x− + − =

Hướng dẫn giải và đáp số
Câu a:
2 2
log 4 log 1 1x x− + − =

(1)
 Điều kiện:
4 0 4
4
1 0 1
x x
x
x x
 
 
− > >
 

⇔ ⇔ >
 
 
− > >
 
 
 
. Khi đó,
(1)
2
log ( 4)( 1) 1 ( 4)( 1) 2x x x x⇔ − − = ⇔ − − =

2
( 4)( 1) 4 5 0 0x x x x x⇔ − − = ⇔ − = ⇔ =
hoặc
5x =

 So với điều kiện x > 4 ta chỉ nhận nghiệm x = 5
 Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 5

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 27 - THPT Chu Văn An
Câu b:
5 25 0,2
log log logx x+ =

1
3
(2)
.

 Với điều kiện x > 0,
( )
2 1
1
5
5 5
(2) log log log 3x x
−
−
⇔ + =
 Đáp số:
3
3x =

Câu c:
2
4 8
2
log 2 log log 13x x x+ + = (3).
 Điều kiện: x > 0, khi đó
2
1
2 2 2
3
(3) 2 log log log 13x x x⇔ + + =

 Đáp số:
8x =

Câu d:

2
3
3
log ( 2) log ( 4) 0x x− + − =
(4).
 Điều kiện:
2
2 0
2
4
( 4) 0
x
x
x
x




− >
>



⇔
 
 
≠
− ≠
 





(I). Khi đó,
2
3 3
(4) 2 log ( 2) log ( 4) 0x x⇔ − + − =

2
2 2
3 3 3
log ( 2) log ( 4) 0 log ( 2)( 4) 0x x x x
 
⇔ − + − = ⇔ − − =
 
 

2
( 2)( 4) 1
( 2)( 4) 1
( 2)( 4) 1
x x
x x
x x

− − =

 
⇔ − − = ⇔

 

 
− − = −



 Đáp số: x = 3 và
3 2x = +

Bài 4 : Giải các phương trình sau đây:
a)
2
2 2
log log 6 0x x− − =
b)
2
2
2
4 log log 2x x+ =
c)
1 2
5 log 1 log
1
x x− +
+ =
d)
2
log (5 2 ) 2
x

x− = −

Hướng dẫn giải và đáp số
Câu a:
2
2 2
log log 6 0x x− − = (5)
 Điều kiện: x > 0, đặt
2
logt x=
, phương trình đã cho trở thành:
2
6 0 3t t t− − = ⇔ =
hoặc
2t = −

 Với
3t =
thì
2
log 3 8x x= ⇔ =
(thoả x > 0)
Với
2t = −
thì
2
2
log 2 2x x
−
= − ⇔ =

(thoả x > 0)
 Vậy, tập nghiệm của phương trình (5) là:
1
4
{ ;8}S =

Câu b:
2
2
2
4 log log 2x x+ =
(6)
 Điều kiện: x > 0, khi đó
www.VNMATH.com