ĐỀ THI HSG TOÁN 9

Tailieumontoan.com

Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

QUẬN, HUYỆN, THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Thanh Hóa, ngày 4 tháng 4 năm 2020


1

Website:tailieumontoan.com

TUYỂN TẬP ĐỀ THI
HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI
LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh luyện thi học sinh giỏi
môn toán lớp 9, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em bộ đề thi học sinh giỏi
toán lớp 9 thành phố Hà Nội qua các năm có hướng dẫn một số đề. Đây là bộ đề thi mang tính chất
thực tiễn cao, giúp các thầy cô và các em học sinh luyện thi học sinh giỏi lớp 9 có một tài liệu bám
sát đề thi để đạt được thành tích cao, mang lại vinh dự cho bản thân, gia đình và nhà trường. Bộ đề
gồm nhiều Câu toán hay được các thầy cô trên cả nước sưu tầm và sáng tác, ôn luyện qua sẽ giúp
các em phát triển tư duy môn toán từ đó thêm yêu thích và học giỏi môn học này, tạo được nền
tảng để có những kiến thức nền tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức ở các lớp, cấp học trên
được nhẹ nhàng và hiệu quả hơn.
Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng tuyển tập đề toán này để
giúp con em mình học tập. Hy vọng Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 9 thành phố Hà Nội này sẽ
có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung.
Bộ đề này được viết theo hình thức Bộ đề ôn thi, gồm: đề thi và hướng dẫn giải đề ngay

dưới đề thi đó dựa trên các đề thi chính thức đã từng được sử dụng trong các kì thi học sinh giỏi
toán lớp 9 của thành phố Hà Nội.
Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế,
sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!
Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ bộ đề này!

Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


2

Website:tailieumontoan.com

MỤC LỤC
Phần 1: Đề thi các quận thành phố Hà Nội
Đề số
Đề thi
1.
Đề thi huyện Trương Mỹ năm 2019-2020 (vòng 1)
2.
Đề thi huyện Trương Mỹ năm 2019-2020 (vòng 2)
3.
Đề thi huyện Thường Tín năm 2019-2020
4.
Đề thi huyện Ba Vì năm 2019-2020
5.
Đề thi huyện Cầu Giấy năm 2019-2020
6.

Đề thi huyện Thanh Xuân năm 2019-2020
7.
Đề thi huyện Đan Phượng năm 2018-2019
8.
Đề thi huyện Ba Vì năm 2017-2018
9.
Đề thi huyện Ba Đình năm 2017-2018
10.
Đề thi huyện Ba Đình năm 2016-2017
11.
Đề thi huyện Bắc Từ Liêm năm 2018-2019
12.
Đề thi huyện Đan Phượng năm 2018-2019
Phần 2: Đề thi thành phố Hà Nội

Trang

Đề số
Đề thi
13.
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2019- 2020
14.
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2018- 2019
15.
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2017- 2018
16.
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2016- 2017
17.
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2015- 2016
18.

Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2014- 2015
19.
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2013- 2014
20.
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2012- 2013
21.
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2011- 2012
22.
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2010- 2011
23.
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2009- 2010
24.
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2008- 2009
25.
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2007- 2008
26.
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2006- 2005
27.
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2004- 2005
28.
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2003- 2004
29.
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2002- 2003
30.
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2001- 2002
31.
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2000- 2001
32.
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 1999- 2000
33.

Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 1998- 1999
34.
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 1997- 1998
Phần 2: Hướng dẫn giải

Trang

Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


3

Website:tailieumontoan.com

Phần 1: Đề thi học sinh giỏi các quận, huyện
PHÒNG GD&ĐT TRƯƠNG MỸ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2019 -2020
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 1
Câu 1:

(1,25 điểm). Tìm số a, b trong sơ đồ sau:

b

9

a
6
9

7

12
Câu 2:

(5,0 điểm) Cho biểu thức A =

8

10

14
13

8

19
22

20

x

1
1
+
−
x −2
x +2 4− x

1) Tìm x để A < 1 .
1
x +3
2) Biết A =⋅ 19 + 8 3 + 19 − 8 3 − 1 , hãy tính giá trị của B =
: ( 2 A) .
2
2− x
x −3
3) Tìm giá trị của x nguyên để biểu thức P = A :
nhận giá trị nguyên?
2− x

)

(

4) Tìm x để A.
Câu 3:

(

)

x − 2 + 5 x = x + 4 + x + 16 + 9 − x

(3,25 điểm).

x + 2 x +1
=
vô nghiệm.
x − m x −1
2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y =
x + 2 (1 − x ) với 0 ≤ x ≤ 1 .
1) Tìm m để phương trình:

3) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

1 1
1
1
+ +
=
x y 6 xy 6

Câu 4: (3,5 điểm)
1) Cho x − 2 =
1 , hãy tính giá trị của D = x 5 − x 4 − 3 x 3 − 4 x 2 + 6 x + 2022 .
2) Tìm a, b để P ( x ) = 3 x 3 + ax 2 + bx + 9 chia hết cho Q ( x=
) x2 − 9 .
a 2 + b2 + c2  a + b + c 
3) Cho a, b, c là ba số thực bất kỳ. Chứng minh đẳng thức:
≥


3
3


Câu 5: (2,0 điểm) Cho ∆ABC nhọn. Các đường cao AD, BE , CF của ∆ABC cắt nhau tại H.
1) Chứng minh rằng ∆ABC đồng dạng với ∆AEF .
 = 45o , hãy tính diện tích tứ giác BCEF , biết diện tích ∆ABC là 60cm 2
2) Gỉa sử BAC
2

DC AC 2 + BC 2 − AB 2
=
.
BD BC 2 + AB 2 − AC 2
4) Chứng minh rằng: H cách đều ba cạnh của ∆DEF .
AH BH CH
+
+
≥ 3
5) Chứng minh rằng:
BC AC AB
3) Chứng minh rằng:

Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


4

Website:tailieumontoan.com
PHÒNG GD&ĐT TRƯƠNG MỸ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2019 -2020

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN (Vòng 2)

Đề số 2

Thời gian làm bài: 150 phút
-------------------------------

Câu 1 (3,0 điểm)
1. Chứng minh rằng: ( 20192019 + 20212020 ) 2020 .
2. Tìm các số tự nhiên n để n + 24 và n − 65 là số chính phương.
x
y
xy
−
−
Câu 2 (4,0 điểm) Cho H =
.
x + y − xy − y x + xy + x + y
x + 1 − xy − y
Tìm x, y nguyên để H = 20 .
Câu 3 (3,0 điểm)
1. Cho các số a, b, c, x, y, z dương thỏa mãn:

y
x
z
1 và
+
+
=
a
b
c

a
b
c
+
+
=
0.
x
y
z

x y z
+ + + 2019 .
a b c
2. Giải phương trình: 2 x 2 + 16 x=
− 6 4 x ( x + 8) .

Tính giá trị của biểu thức M =

Câu 4 (4,0 điểm)
1. Tìm a, b để f ( x ) = x 4 + 2 x 3 − x 2 + x ( a − 4 ) + b + 2 viết thành bình phương của một đa
thức.
2. Cho a, b là các số dương thỏa mãn (1 + a )(1 + b ) =
4,5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Q=

a 4 + 1 + b4 + 1 .

3. Cho a, b, c dương sao cho

a b c
+ + =
1 . Chứng minh:
b c a

b
c
a
+
+
≤ 1.
a
b
c

Câu 5 (7,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC vuông tại A

( AB < AC ) , đường cao

AH ( H thuộc BC ). Kẻ HD, HE

lần lượt vuông góc với AB, AC ( D thuộc AB , E thuộc AC ). Đường thẳng qua A vuông
góc với DE cắt BC tại I .
a) Chứng minh: I là trung điểm của BC .
b) Kẻ đường thẳng vuông góc với AI tại A cắt đường thẳng BC tại K . Chứng minh AB
là tia phân giác của góc KAH .
c) Chứng minh: AD.BD + AE.EC ≤ AI 2 .
2. Cho tam giác ABC , kẻ các đường phân giác trong AD, BE , CF của tam giác ABC .
a) Chứng minh AB.BD − BD.DC =
AD 2 .
1
1
1
1
1
1
b) Chứng minh:
.
+
+
<
+
+
AB AC BC AD BE CF

Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


5

Website:tailieumontoan.com

PHÒNG GD&ĐT THƯỜNG TÍN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2019 -2020

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN

Đề số 3

Thời gian làm bài: 150 phút
-------------------------------

1   2x + x −1 2x x + x − x 
 1
Bài 1. Cho biểu thức: P =
−
+
 .

:

x   1 − x
1+ x x
 1− x

a) Rút gọn P .
b) Chứng minh: P > 1 .
Bài 2.

Giải phương trình:
x − 4 x −1 + 3 + x − 6 x −1 + 8 =
1.

Bài 3.
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 6 x 2 y 3 + 3 x 2 − 10 y 3 =
−2 .
2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z =
2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

x2
y2
z2
.
+
+
y+z z+x x+ y

Bài 4:
1. Cho hai đường tròn ( O; R ) và đường tròn ( O′; R / 2 ) tiếp xúc ngoài nhau tại A .
Trên đường tròn ( O ) lấy điểm B sao cho AB = R và điểm M trên cung lớn

AB . Tia MA cắt đường tròn ( O′ ) tại điểm thứ 2 là N . Qua N kẻ đường thẳng
song song với AB .cắt đường thẳng MB tại Q và cắt đường tròn ( O′ ) ở P .
a) Chứng minh tam giác OAM đồng dạng tam giác O′AN .
b) Tính NQ theo R .
c) Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất tính giá
trị lớn nhất theo R .
2. Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó. Các tia AO , BO ,
CO cắt các cạnh BC , CA, AB theo thứ tự tại M , N , P . Chứng minh rằng:

OA OB OC
+
+
=
2.
AM BN CP
Bài 5:

Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện x3 + y 3 =x − y .
Chứng minh rằng x 2 + y 2 ≤ 1 .

Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


6

Website:tailieumontoan.com
PHÒNG GD&ĐT BA VÌ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2019 -2020

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN

Đề số 4

Thời gian làm bài: 150 phút
-------------------------------

 8x2
x+3
3x
1 
− 2
−
1+ 2
: 3
Câu 1: 1) Cho biểu thức P =

2
x + 5 x + 6  4 x − 8 x 3x − 12 x + 2 
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để=
P 0;=
P 1
c) Tìm các giá trị của x để P > 0

2) Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức A = n3 − 6n 2 + 9n − 2 là một số nguyên
tố.
Câu 2: 1) Giải các phương trình:

2 − x 2 + 2 x + − x 2 − 6 x − 8 =1 + 3

2) Cho ba số a, b, c thỏa mãn

1 1 1
1
+ + =
a b c a+b+c

Tính giá trị của biểu thức Q =
( a 27 + b27 )( b41 + c 41 )( c 2019 + a 2019 )
Câu 3: 1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n cho trước, không tồn tại số nguyên
dương x sao cho x ( x + 1)= n ( n + 2 )
2) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 .
Chứng minh rằng: A =

1
1
1
1
+ 2
+ 2
≤
2
2
2

a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a + 3 2
2

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , lấy điểm E bất kì trên AB , kẻ
HF vuông góc với HE ( F thuộc AC ).

a) Chứng minh HE.BC = EF . AB
b) Cho
=
AB 6=
cm, AC 8cm , diện tích tam giác HEF bằng 6 cm 2 . Tính các cạnh của
tam giác HEF .
c) Khi điểm E chạy trên AB thì trung điểm I của EF chạy trên đường nào?

 cắt nhau ở O . Trên tia AB lấy điểm E sao
Câu 5: Cho ∆ABC nhọn. Phân giác của A và C
cho AO 2 = AE. AC . Trên tia BC lấy F sao cho CO 2 = CF . AC . Chứng minh E , O, F thẳng
hàng.

Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


7

Website:tailieumontoan.com
PHÒNG GD&ĐT CẦU GIẤY

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2019 -2020

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN

Đề số 4

Thời gian làm bài: 150 phút
-------------------------------

Câu 1:

(5 điểm)

 2x x + x − x x + x 
x −1
x
.
+
−
.
−
x
1
−
2
x
+
x

−
1
x
x
2
x
−
1
1



1. Cho biểu thức P = 

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P .
2. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn: x3 + y 3 + z 3 = ( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x) 2 .
a) Tính x + y + z biết xy + yz + zx =
9.
b) Chứng minh rằng nếu z ≥ x; z ≥ y thì z > x + y .
Câu 2:

(5 điểm)
1. Giải phương trình:

− 3 5 3 x + 4 + 12 x 2 + 19 x − 21
9 x 2 + 33 x + 28 + 5 4 x=

2. Tìm các số nguyên ( x; y ) với x ≥ 0; y ≥ 0 thỏa mãn:

x3 + 3 y 2 + 4 xy + 4 x + 10 y − 12 =
0.
Câu 3: (3 điểm)
1. Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a 2 + b 2 + c 2 =
1 . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
T =a + b 2011 + c1954 − ab − bc − ac

2. Tìm số nguyên dương x để 4 x3 + 14 x 2 + 9 x − 6 là số chính phương.
Câu 4:

(6 điểm) Cho tam giác đều ABC cạnh a , hai điểm M , N lần lượt di động trên
AM AN
+
=
1. Đặt AM = x; AN = y.
hai đoạn AB, AC sao cho
MB NC
AM 1
= , tính diện tích tam giác AMN theo a .
a. Biết
AB 5
b. Chứng minh rằng MN = a − x − y .
c. Gọi D là trọng tâm tam giác ABC , K là trung điểm AB. Vẽ DI ⊥ MN , chứng minh
rằng: DI = DK .
Câu 5:

(1 điểm) Cho một bảng ô vuông 2019 × 2020, mỗi ô vuông con có thể tô một

trong hai màu xanh hoặc đỏ. Biết rằng ban đầu tất cả các ô đều được tô màu xanh. Cho

phéo mỗi lần ta chọn một hang hoặc một cột và thay đổi màu của tất cả các ô thuộc hàng
hoặc cột đó. Hỏi sau một số hữu hạn lần đổi màu ta có thể thu được một bảng gồm đúng
2000 ô vuông màu đỏ hay không?

Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


8

Website:tailieumontoan.com

PHÒNG GD&ĐT THANH XUÂN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2019 -2020

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN

Đề số 5

Thời gian làm bài: 150 phút
-------------------------------

Bài I (5,0 điểm)

 x −3

x +2
9− x   3 x −9
Cho biểu thức A = 
+
−
 : 1 −

x − 9 
2
−
x
3
+
x
x
+
x
−
6

 
a) Rút gọn A
3

b) Tìm giá trị của A khi x =

10 + 6 3

(

)

3 −1

6+2 5 − 5

Bài II (5,0 điểm)
1) Chứng minh rằng, nếu p và 8 p 2 + 1 là hai số nguyên tố lẻ thì 8 p 2 + 2 p + 1 là số
nguyên tố.
2) Tìm tất cả các số nguyên ( x; y ) sao cho: 5 ( x 2 + xy + y 2 ) = 7 ( x + 2 y )
Bài III (4,0 điểm)
1) Giải phương trình: x 2 + 4 x +=
5 2 2x + 3
2) Cho x, y, z là các số thực dương và các số thực a, b, c .

 a 2 b2 c2 
2
Chứng minh  + +  ( x + y + z ) ≥ ( a + b + c )
y z 
 x
3) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1
1
1
thức: P =
+
+
1+ 2x 1+ 2 y 1+ 2z
Bài IV (4,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a . Trên CB, CD lần lượt lấy các điểm

M , N sao cho chu vi tam giác CMN có chu vi là 2a . Gọi giao điểm của đường thẳng BD
với các đường thẳng AM , AN lần lượt là E , F . Giao điểm của MF và NE là H

1) Tính số đo MAN
2) Chứng minh AH ⊥ EF

3) Gọi diện tích tam giác AEF , AMN lần lượt là S1 , S 2 . Tính

S1
S2

Bài V (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng cho 2020 điểm, khoảng cách giữa hai điểm bất kì đôi một khác
nhau. Nối mỗi điểm trong số 2020 điểm này với điểm ở gần nhất tương ứng. Chứng minh
rằng với cách nối đó không thể nhận được một đường gấp khúc khép kín.

Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


9

Website:tailieumontoan.com

PHÒNG GD&ĐT ĐAN PHƯỢNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2019 -2020

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN

Đề số 6

Thời gian làm bài: 150 phút
-------------------------------

Câu 1. (2,0 điểm) Tính:
a. A
=

3.

(

)

12 − 27 + 5 − 75

b. B= 2 45 +

(1 − 5 )

2

8

−

5 +1

.

Câu 2. (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a.
b.

1
x − 2 − 4 x − 8 + 9 x − 18 =
0
2

x2 − 4x + 4 = 2x − 1

Câu 3. (2,0 điểm)
Cho hai biểu thức A =

x
x −2

và B
=

2 x
x −3

−

x+9 x
với x > 0, x ≠ 4, x ≠ 9.
x−9

a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 100;
b. Rút gọn biểu thức B;
c. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M = A : B có giá trị nguyên.
Câu 4. (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) , đường cao AH . Gọi D và E lần lượt
là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB, AC.
a. Cho
=
BH 4=
cm, CH 9 cm . Tính AH , DE ;
b. Chứng minh AD. AB = AE. AC ;
 cắt BC tại K . Gọi I là trung điểm của AK .
c. Đường phân giác của BAH
Chứng minh tam giác AKC cân và CI vuông góc với AK ;
1
1
1
d. Dựng IM vuông góc với BC tại M . Chứng minh =
+
.
2
2
AH
AK
4CI 2

Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


10

Website:tailieumontoan.com
PHÒNG GD&ĐT BA ĐÌNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017 -2018

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN

Đề số 7

Thời gian làm bài: 150 phút
-------------------------------

Bài 1 (4 điểm):
Rút gọn các biểu thức sau:
A = 29 + 12 5 − 2 3 16 + 8 5

 a + a 2 − b2 a − a 2 − b2
=
−
B 

 a − a 2 − b2 a + a 2 − b2


 a 4 − a 2b 2
(với a ≠ 0; b ≠ 0; a > b )
:
2

b


Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình:

3 −=
x x

3+x

b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 3
Chứng minh rằng:

a
b
c
2018
+
+
>
1 + b2 1 + c 2 1 + a2 2003

Bài 3 (4 điểm):
Từ điểm A ở ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O),
(B, C là các tiếp điểm). Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN=2ON. Đường trung trực của
AM
đoạn thẳng CN cắt OA tại M, tính tỉ số
.
AO
Bài 4: (4 điểm)
Cho ∆ ABC vuông tại A. Các tứ giác MNPQ và ADEF là các hình vuông sao cho: M
thuộc cạnh AB; N,P thuộc cạnh BC; Q thuộc cạnh AC; D,E,F tương ứng thuộc cạnh AB,
BC, CA. So sánh diện tích 2 hình vuông MNPQ và ADEF.
Bài 5 (4 điểm)
1. Tìm tất cả các số nguyên x để

x + 19 ;

2 x + 10 ;

3 x + 13 ;

4 x + 37 đều là số

nguyên.
2. Trong một buổi gặp mặt có 294 người tham gia, những người tham gia, những
người quen nhau bắt tay nhau. Biết nếu A bắt tay B thì một trong hai người A và B
bắt tay không quá 6 lần. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu cái bắt tay.

Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


11

Website:tailieumontoan.com
PHÒNG GD&ĐT BA ĐÌNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 -2017

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút

Đề số 8

-------------------------------

 x x −1 x x +1 
1
Bài 1. ( 5 điểm) Cho biểu thức A = 
+
− 4  .
−2
 x −1 1+ x
 x− x
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị biểu thức A khi x =

(

2+ 3 − 2− 3

)(

3+ 5 − 3− 5

)

Bài 2.( 5 điểm):
a) Giải phương trình: x 2 − 3 x + 4= 2 x − 1 .
b) Tìm số nguyên x sao cho 3 x 3 − 5 x 2 + 7 x − 6 chia hết cho x 2 + 2 .
Bài 3. ( 4 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB , M là điểm bất kì thuộc nửa đường
tròn, M ≠ A, B . Gọi H là hình chiếu của M trên AB . E và F lần lượt là hình chiếu của

H trên MA, MB .
a. Chứng minh HA
=
.HB EA.EM + FB.FM ;
b. Tìm vị trí của điểm M để

EA.EH + FB.FH đạt giá trị lớn nhất.

Bài 4: ( 3 điểm):
Cho nửa đường trong ( O ) đường kính AB . Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB
( Ax, By và nửa đường tròn cũng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M thuốc nửa
đường tròn ( M khác A và B ) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn nó cắt tia By tại C ; tia

BM cắt tia Ax tại D. Chứng minh rằng AC vuông góc với OD .

Bài 5.( 4 điểm)

8.
1) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + 2b + 3c =
Tìm giá trị nhỏ nhất của M =

6 3 8
+ + .
a b c

2) Tìm số thực x để biểu thức 3 1 + x + 3 1 − x là số nguyên.

Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


12

Website:tailieumontoan.com
PHÒNG GD&ĐT BẮC TỪ LIÊM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2018 -2019

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

Đề số 9
Câu 1:

-------------------------------

(4,0 điểm)
1. Cho biểu thức:

1 1
1
A=
+
 + .
 x y  x + y + 2 xy

(

2
x+ y

)

3

 1
1  x− y
.
+

 :
 x
y

 xy xy

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 + 5 ; y = 3 − 5
a −b b−c c −a
c
a
b
+
+
;Q =
+
+
2. Cho 2 biểu thức: P =
với a, b, c ≠ 0
c
a
b
a −b b−c c −a
3abc . Chứng minh rằng: P.Q = 9
thỏa mãn: a ≠ b ≠ c và a 3 + b3 + c 3 =
Câu 2:

(4,0 điểm) Giải các phương trình sau:
5− x 
 5 − x 

a) x 
6
 x +
=
x +1 
 x +1  
b)

Câu 3:

( 4 x − 1)

x 2 +=
1 2 ( x 2 + 1) + 2 x − 1

(4,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: y 2 + 2 xy − 7 x − 12 =
0
b) Tìm số tự nhiên n để: A = n 2012 + n 2002 + 1 là số nguyên tố.

Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC > AB , đường cao AH ( H
thuộc BC ). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA . Đường vuông góc với BC tại D cắt
AC tại E .
a) Chứng minh: ∆ADC ∽ ∆BEC . Cho AB = m , tính BE theo m .
b) Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh rằng: ∆BHM ∽ ∆BEC . Tính góc

AHM .
c)
Câu 5:

Tia AM cắt BC tại G.Chứng minh rằng:

GB
HD
=
BC
AH + HC

1
1
1
6.
+
+
=
x+ y y+z z+x
1
1
1
3
Chứng minh rằng
+
+
≤ .
3x + 3 y + 2 z 3x + 2 y + 3z 2 x + 3 y + 3z 2
(2,0 điểm) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn:

……………….HẾT…………….

Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


13

Website:tailieumontoan.com

PHÒNG GD&ĐT ĐAN PHƯỢNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2018 -2019

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút

Đề số 10

-------------------------------

Bài 1 (5,0 điểm).
1. Cho biểu=
thức: P

x x + 26 x − 19 2 x
x −3
−
+

.
x + 2 x −3
x −1
x +3

a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
2. Cho a = 3 2 − 3 + 3 2 + 3 . Chứng minh rằng:

(a

64
2

− 3)

3

− 3a là số nguyên

Bài 2 (4,0 điểm).
1. Giải phương trình : x 2 − x − 4= 2 x − 1 (1 − x ) .
2. Nhà toán học De Morgan (1806 – 1871) khi được hỏi tuổi đã trả lời: Tôi x tuổi
vào năm x 2 . Hỏi năm x 2 đó ông bao nhiêu tuổi.
3. Tìm số tự nhiên A biết rằng trong ba mệnh đề sau có hai mệnh đề đúng và một
mệnh đề sai:
a) A + 51 là số chính phương.
b) Chữ số tận cùng bên phải của A là số 1.
c) A − 38 là số chính phương.
Bài 3 (4,0 điểm).

a) Tìm x và y biết 2 x 2 + 4 x − 3 y 3 + 5 =
0 và x 2 y 2 + 2 xy + y 2 =
0.
2
2
b) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn x y + xy − 2 x − 3 x + 4 =
0.
Bài 4 (6,0 điểm)
1. Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AH, BI, CK
a) Chứng minh rằng tam giác AKI đồng dạng với tam giác ACB;
b) Biết S=
S=
SCHI . Chứng minh rằng: ABC là tam giác đều.
AKI
BKH
2. Cho tam giác ABC là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) và đường cao AH
bằng R 2 . Gọi M và N thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh
rằng ba điểm M, N, O thẳng hàng.

1 , chứng minh:
Bài 5 (1,0 điểm). Với ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z =
1 − x2 1 − y 2 1 − z 2
+
+
≥ 6.
x + yz y + zx z + xy

Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

14

Website:tailieumontoan.com
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013 -2014

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút

Đề số 11

-------------------------------

Câu 1. (6,0 điểm)


x   x +3
x +2
x +2 
a) Cho M =
+
+
1 −
 : 


x + 1   x − 2 3 − x x − 5 x + 6 

1. Rút gọn M .
2. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên.
b) Tính giá trị của biểu thức P .
P = 3 x 2013 + 5 x 2011 + 2006 với x = 6 + 2 2. 3 −

2 + 2 3 + 18 − 8 2 − 3.

Câu 2. (4,0 điểm) Giải phương trình:
24
a) ( x + 3)( x + 4 )( x + 5 )( x + 6 ) =
b) 2 x − x 2 − 1 = 2 x − x 2 − 1
Câu 3. (4,0 điểm)
a) Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y =
1.

 2 1  2 1 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =+
x
 y + 2 
y2  
x 

1
1
1
6.
+

+
=
b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn
x+ y y+z z+x
Chứng minh rằng:

1
1
1
3
+
+
≤ .
3x + 3 y + 2 z 3x + 2 y + 3z 2 x + 3 y + 3z 2

Câu 4. (5,0 điểm) Cho đường tròn ( O; R ) và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến
tại A của đường tròn ( O; R ) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E
và F . Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF .
1. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA .
2. Gọi α là số đo của góc BFE . Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì

=
P sin 6 α + cos 6 α đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó.
biểu thức
3
3. Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF .EF = CD 3 và BE = CE .
3

BF

Câu 5.

DF

(1,0 điểm) Tìm n ∈  sao cho: n + n + 1 là số chính phương.
*

4

3

.……………….HẾT…………….
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


15

Website:tailieumontoan.com
PHÒNG GD&ĐT MỸ ĐỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2019 - 2020

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút

Đề số 12

-------------------------------

 x+2
x
1  x −1
Bài I (5,0 điểm). Cho biểu thức P =
với x ≥ 0; x ≠ 1
+
+
 :
2
 x x −1 x + x +1 1 − x 
a) Rút gọn P
2
b) Tìm các giá trị của x để P =
7
2
c) So sánh 2P và P
Bài II (4,0 điểm).
1) Giải các phương trình:

4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 + 6 x + 9 =
7

2) Tìm các cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: ( x − 2019 ) =y 4 − 6 y 3 + 11 y 2 − 6 y
2

Bài III (4,0 điểm).

x
y
z
+
+
=
0 với x ≠ y; y ≠ z; z ≠ x
y−z z−x x− y
x
y
z
Tính giá trị biểu thức: A =
+
+
2
2
2
( y − z ) ( z − x) ( x − y)

1) Cho các số x, y, z thỏa mãn

6 .
2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z =
x2
y2
z2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
+
+

x + 2 y + 3z y + 2 z + 3x z + 2 x + 3 y
Bài IV (6,0 điểm).
Cho ∆ABC có ba góc nhọn, 
A = 60o . Các đường cao AD, BE , CF cắt nhau tại H .
Gọi K là trung điểm của AH
AE AB
1
=
a) Chứng minh:
và EF = BC .
AF AC
2
 = 120o và tính AH , biết BC = 12 cm.
b) Chứng minh: EKF
HD HE HF
+
+
=
1.
c) Chứng minh:
AD BE CF
AB 2 + AC 2 + BC 2
d) Chứng minh: AD.DH + BE.EH + CF .FH ≤
.
4
Bài V (1,0 điểm)
Tìm tất cả các bộ số nguyên dương ( x; y; z ) thỏa mãn

x + y 2019
là số hữu tỉ, đồng

y + z 2019

thời x 2 + y 2 + z 2 là số nguyên tố.
---Hết---

Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


16

Website:tailieumontoan.com

PHẦN 2: ĐỀ THÀNH PHỐ HÀ NỘI
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2019 – 2020
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 13
(Đề thi có một trang)
Bài 1 (5,0 điểm)
a) Giải phương trình: ( 4 x + 2 ) x 2 + 2 x + 5 =

(x

2

+ 2 x + 2 ) 4 x + 5.

c 3 3d 3 , b5 + c 5 + =
d 5 3a 5 và
b) Cho bốn số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a 3 + b3 +=
c7 + d 7 + a7 =
3b 7 . Chứng minh rằng a = b = c = d.
Bài 2 (5,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n 2 + 3n + 11 không chia hết cho 49.
b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (x, y, p) với p là số nguyên tố thỏa mãn

x 2 + p 2 y 2 =6 ( x + 2 p ) .
Câu 3 (3,0 điểm)
a) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 5 ( x − y ) ≤ x 2 + y 2 . . Chứng minh rằng:
2

1 x
≤ ≤ 2.
2 y

(

)

b) Cho ba số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn 5 ( x + y + z ) ≥ 14 x 2 + y 2 + z 2 .
2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

2x + z
.
x + 2z

Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < BC, ngoại tiếp đường tròn tâm I.
Hình chiếu vuông góc của điểm I trên cạnh AB, AC theo thức tự là M, N và hình chiếu
vuông góc của điểm B trên cạnh AC là Q. Gọi D là điểm đối xứng của điểm A qua Q, P là
tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD và R là giao điểm của hai đường thẳng MN, BQ.
Chứng minh rằng:
a) Các tam giác BMR và BIP đồng dạng.
b) Đường thẳng PR song song với đường thẳng AC
c) Đường thẳng MN đi qua trung điểm của đoạn thẳng AP.
Câu 5 (1,0 điểm). Có 15 hộp rỗng. Mỗi bước, người ta chọn một số hộp rồi bỏ vào mỗi hộp
một số viên bi sao cho số viên bi bỏ vào mỗi hộp là một lũy thừa của 2 và trong mỗi bước
không có hai hộp nào có số bi được bỏ vào giống nhau. Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất
sao cho sau khi thực hiện k bước, tất cả các hộp đều có số bi giống nhau
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


17

Website:tailieumontoan.com
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 14
(Đề thi có một trang)
Câu 1: (5,0 điểm)
a) Giải phương trình:

3

2 − x =1 − x − 1 .

2 
2  
2


b) Cho S =
1 −
1 −
 ... 1 −
 là một tích của 2019 thừa số. Tính S
 2.3  3.4   2020.2021 
(kết quả để dưới dạng phân số tối giản).

Câu 2: (5,0 điểm)
a) Biết a; b là các số nguyên dương thỏa mãn a 2 − ab + b 2 chia hết cho 9, chứng
minh rằng cả a và b đều chia hết cho 3.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 9n + 11 là tích của k ( k ∈ , k ≥ 2 ) số tự
nhiên liên tiếp.
Câu 3: (3,0 điểm)
a) Cho x; y; z là các số thực dương nhỏ hơn 4 . Chứng minh rằng trong các số
1
1
1
1 1
1
+
, +
, +
luôn tồn tại ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 1.
x 4− y y 4− z z 4− x
b) Với các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 + 2abc =
1
, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ab + bc + ca − abc .
Câu 3: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A

( AB < AC ) . Đường tròn ( I ) nội tiếp tam

giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC , CA, AB lần lượt tại D, E , F . Gọi S là giao điểm của
AI và DE .
a) Chứng minh rằng tam giác IAB đồng dạng với tam giác EAS .
b) Gọi K là trung điểm của AB và O là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba
điểm K , O, S thẳng hàng.
c) Gọi M là giao điểm của KI và AC. Đường thẳng chứa đường cao AH của
tam giác ABC cắt đường thẳng DE tại N . Chứng minh rằng AM = AN .
Câu 4: (1,0 điểm) Xét bảng ô vuông cỡ 10 ×10 gồm 100 hình vuông có cạnh 1 đơn vị.
Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai số được

điền ở hai ô chung cạnh bất kỳ đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1 . Chứng minh
rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trong bảng ít nhất 6 lần.

Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


18

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017 – 2018
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 15
(Đề thi có một trang)
Câu 1: (5,0 điểm)
a) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 2018 và
Tính giá trị của biểu thức: P =

1
1
1
2017

+
+
=.
b + c c + a a + b 2018

a
b
c
+
+
.
b+c c+a a+b

b) Tìm tất các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình:
x− y
7
= .
2
2
x + xy + y 13
Câu 2: (5,0 điểm)

+ 1 3 x 6 x + 3.
a) Giải phương trình: 6 x 2 + 2 x=
3
3
2
 x + x + 2 = y − 3 y + 4 y
b) Giải hệ phương trình: 
2 x + 2 = y + 2.


Câu 3: (3,0 điểm)
a) Chứng minh rằng không tồn tại các số dương m, n, p với p nguyên tố thỏa mãn:
m 2019 + n 2019 =
p 2018
b) Cho x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x
y
z
P= 3
+ 3
+ 3
.
y + 16 z + 16 x + 16
Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB < AC < BC, nội tiếp đường tròn (O).
Gọi H là hình chiếu của A trên BC, M là trung điểm của AC và P lầ điểm thay đổ trên
đoạn thẳng MH (P khác M và P khác H).

∠HAC.
a) Chứng minh rằng ∠BAO =
o
b) Khi ∠APB =
90 chứng minh ba điểm B, O, P thẳng hàng.
c) Đường tròn ngoại tiếp AMP và đường tròn ngoại tiếp tam giác BHP cắt nhau tại Q
(Q khác P). Chứng minh rằng đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi P
thay đổi.
Câu 3: (3,0 điểm) Cho đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn (O). Chia 2n đỉnh này thành
n cặp điểm, mỗi cặp điểm này tạo thành một đoạn thằng (hai đoạn thẳng bất kỳ trong số
n đoạn thẳng được tạo ra không có đầu mút chung).
a) Khi n = 4, hãy chỉ ra một cách chia sao cho trong bốn đoạn thẳng được tạo ra

không có hai đoạn thẳng nào có độ dài bằng nhau.
b) Khi n = 10, chứng minh rằng trong mười đoạn thẳng được tạo ra luôn tồn tại
hai đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


19

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016 – 2017
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 16
(Đề thi có một trang)
Bài 1 (5.0 điểm).
a) Chứng minh rằng n 5 + 5n 3 - 6n chia hết cho 30 với mọi số nguyên dương n.

( )

b) Tìm tất cả các số nguyên dương x; y sao cho x 2 + 8y và y 2 + 8x đều là số chính
phương.

Bài 2 (5.0 điểm).
a) Giải phương trình

2x -

3
+
x

 4x
=

 5y
b) Giải hệ phương trình 
 5y
 x =

6
3
- 2x = 1 +
x
2x

x+y - x-y
x+y + x-y

Bài 3 (3.0 điểm).
Với mọi số thực không âm x, y, z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 2 .
a) Chứng minh rằng x + y + z ≤ 2 + xy .
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P =

y
x
z
+
+
.
2 + yz 2 + zx 2 + xy

Bài 4 (6.0 điểm).
Cho tam giác ABC (BC > CA > AB) nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Đường

tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt tia phân giác của góc ABC
tại điểm thứ hai là M. Gọi P

là trực tâm của tam giác BMC.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, P cùng huộc một đường tròn.
b) Đường thẳng qua H song song với AO cắt cạnh BC tại E. Gọi F là điểm trên cạnh
BC sao cho CF = BE. Chứng minh ba điểm A, F, O thẳng hàng.
c) Gọi N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM. Chứng minh rằng PN = PO
Bài 5 (1.0 điểm).
Trên bàn có 100 thể được đánh số từ 1 đến 100.Hai người A và B lần lượt chọn lấy
một tẩm thẻ trên bàn sao cho nếu người A lấy tấm thẻ đánh số n thì đảm bảo người B chọn
được tấm thẻ đánh số 2n + 2 . Hỏi người A có thể lấy được nhiều nhất bào nhiêu tấm thẻ
trên bàn thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

20

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 17
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (5.0 điểm).

(

)

a) Cho các nguyên a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a 3 + b3 = 2 c 3 - 8d 3 .
Chứng minh rằng a + b + c + d chia hết cho 3.
b) Tìm tất cả các số nguyên tố x sao cho 2 x + x2 là số nguyên tố.
Câu 2. (5.0 điểm).
a) Giải phương trình

2x 2 + 11x + 19 + 2x2 + 5x + 7 = 3 ( x + 2 )

x + y + z = 3


1 1 1 1
b) Tìm tất cả các bộ ba số x; y; z thỏa mãn  + + =
x y z 3
 x2 + y2 + z2 = 17


(

)

Câu 3. (3.0 điểm).
a) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn 0 < x, y, z <

3
3
và xy + yz + zx = . Tìm giá trị nhỏ
2
4

nhất của biểu thức:
P=

4y
4x
4z
+
+
2
2

3 - 4x
3 - 4y
3 - 4z 2

b) Cho a, b, c là đồ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a 2016
b 2016
c 2016
+
+
≥ a 2015 + b 2015 + c 2015
b+c-a c+a-b a+b-c

Câu 4. (6.0 điểm).
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Lấy điểm Q bất kì trên cạnh BC (Q khác B
và C). Trên tia đối của tia BA lấy điểm P sao cho CQ.AP = a 2 . Gọi M là giao điểm của AQ
và CP.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, M cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu của M trên AB, BC, CA.
1. Xác định vị trí của Q để IK có độ dài lớn nhất.
2. Chứng minh MI 2 + MJ 2 + MK 2 không đổi khi Q di chuyển trên cạnh BC.
Câu 5. (1.0 điểm).
Cho bảng ô vuông kích thước 10.10 gồm 100 ô vuông có kích thước 1x1. Điền vào
mỗi ô vuông của bảng này một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số ở hai ô
vuông chung cạnh hoặc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng trong bảng ô
vuông đã cho có một số xuất hiện ít nhất 17 lần.
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

21

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014– 2015
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 18
(Đề thi có một trang)
Câu 1: (5,0 điểm)
a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc = 1 và a + b + c =

1 1 1
+ +
a b c

Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số a, b, c bằng 1
b) Cho n nguyên dương. Chứng minh rằng A = 23n +1 + 23n −1 + 1 là hợp số
Bài 2: (5,0 điểm)
a) Giải phương trình: x 3 − 2 x = 3 x 2 − 6 x + 4 .

 x3 + 2 xy 2 + 12 y =
0

.
b) Giải hệ phương trình: 
2
2
x
+
8
y
=
12

Bài 3: (2,0 điểm)
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn

1 1 1
+ + =
3.
a b c

Tìm giá trị lớn nhất của: P =

1
a − ab + b
2

2

+

1

b − bc + c
2

2

+

1
c − ca + a 2
2

.

Bài 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE, CF của
tam giác ABC đồng quy tại H
 + cos2 CBA
 + cos2 ACB
 <1
a) Chứng minh rằng: cos2 BAC

b) P là điểm thuộc cung nhỏ AC của đường tròn (O). Gọi M, I lần lượt là trung điểm
các đoạn thẳng BC và HP. Chứng minh rằng MI vuông góc với AP.
Bài 5: (2,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên tố p sao cho

p2 − p − 2
là lập phương của một số tự nhiên
2

b) Cho 5 số thực không âm a, b, c, d, e có tổng bằng 1. Xếp 5 số này trên một đường
tròn. Chứng minh rằng luôn tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kì cạnh nhau có diện
1
tích không lớn hơn
9

Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


22

Website:tailieumontoan.com
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013– 2014
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 19
(Đề thi có một trang)
Câu 1: (5,0 điểm)
a) Cho các số thực khác 0 thỏa mãn a + b + c =
2014 và
Tính giá trị M =

1
a

2013

+

1
b

2013

+

b) Tìm số tự nhiên n để 25n

2

1
c

2013

−3 n +1

1 1 1
1
.
+ + =
a b c 2014

.

− 12 là số nguyên tố

Bài 2: (5,0 điểm)

0.
a) Giải phương trình x 2 − 2 x − 2 2 x + 1 − 2 =

x 2 + y 2 = 4 x − 5 + 2 xy
b) Giải hệ phương trình  4
.
4
2
2 2
x + y = 9z − 5 − 4z − 2x y
Bài 3: (2,0 điểm)

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c =
6 và 0 ≤ a, b, c ≤ 4 .

Tìm giá trị lớn nhất của P = a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + ca .
Bài 6: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Gọi điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC, tia AI cắt đường tròn (O) tại M (điểm M khác điểm A).
a) Chứng minh các tam giác IMB và IMC là các tam giác cân.
b) Đường thẳng MO cắt đường tròn tại điểm N (N khác điểm M) và cắt cạnh BC tại

điểm P. Chứng minh rằng: sin BAC = IP .

2

IN

c) Gọi các điểm D, E lần lượt là hình chiếu của điểm I trên các cạnh AB, AC. Gọi các
điểm H, K lần lượt đối xứng với các điểm D, E qua điểm I. Biết rằng AB + AC =
3BC, chứng minh các điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5: (2,0 điểm) 1) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn 5 x − 2 y =
1.
2) Cho lục giác đều ABCDEF cạnh có độ dài bằng 1 và P là điểm nằm trong lục giác
đó. Các tia AP, BP, CP, DP, EP, CF cắt các cạnh của lục giác này lần lượt tại các điểm M1,
M2, M3, M4, M5, M6 (các điểm này lần lượt khác các điểm A, B, C, D, E, F). Chứng minh lục
giác M1M2M3M4M5M6 có ít nhất một cạnh có độ dài lớn hơn hoặc bằng 1.
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


23

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012– 2013
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 20
(Đề thi có một trang)
Câu 1. ( 5 điểm)
a) Tìm các sso thực a, b sao cho đa thức 4x4 – 11x3 – 2ax2 + 5bx – 6 chia hết cho đa thức
x2 -2x -3.

(

) (

)

b) Cho biểu thức P = a 2013 − 8a 2012 + 11a 2011 + b 2013 − 8b 2012 + 11b 2011 .
Tính giá trị của P với a= 4 + 5 và b= 4 − 5.
Câu 2. ( 5 điểm)

6 x 2 − y 2 − xy + 5 x + 5 y − 6 =
0
a) Giải hệ phương trình: 
.
2
2
0
 20 x − y − 28 x + 9 =

0
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6 x 2 + 10 y 2 + 2 xy − x − 28 y + 18 =
Câu 3. (2 điểm) Cho ba số thực a, b, c dương thỏa mãn:

1 2 3

+ + =
3. . Chứng minh:
a b c

27 a 2
b2
8c 2
3
+
+
≥ .
2
2
2
2
2
2
c ( c + 9a ) a ( 4a + b ) b ( 9b + 4c ) 2

Câu 4. (7 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Các đường
cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là giao ddiemr của hai đường
thẳng EF và CB. Đường thẳng AI cắt (O) tại M (M khác A).
a) Chứng minh năm điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.
c) Chứng minh BM. AC + AM.BC = AB. MC.
Câu 5 (1 điểm)
Cho 2013 điểm A1, A2,…,A2013 và đường tròn (O; 1) tùy ý cùng nằm trong mặt
phẳng. Chứng minh trên đường tròn (O; 1) đó, ta luôn có thể tìm đường một điểm M sao
cho MA1 + MA2 +…+ MA2013 ≥ 2013

Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


24

Website:tailieumontoan.com
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011– 2012
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 21
(Đề thi có một trang)

Câu 1. (5 điểm)
1) Cho biểu thức A =

(a

2012

+ b 2012 + c 2012 ) − ( a 2008 + b 2008 + c 2008 ) với a,b,c là các số nguyên

dương. Chứng minh A chia hết cho 30.

2) Cho f ( x ) =

( 2x

3

− 21x − 29 )

Tính f(x) tại x = 3 7 +

2012

.

49 3
49
+ 7−
8
8

Câu 2. (5 điểm)
1) Giải phương trình:

x 2 + 12 + 5 = 3 x + x 2 + 5

 x 2 + xy + x − y − 2 y 2 =
0
2) Giải hệ phương trình: 
2
2

6
 x − y +x+ y =
Câu 3. (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn:

2 x 2 + 3 y 2 − 5 xy − x + 3 y − 4 =
0
Câu 4. (4 điểm) Cho A là điểm thuộc nửa đường tròn tâm O đường kính BC (A không
trùng với B, C). Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Đường tròn đường kính AH căt AB,
AC lần lượt tại M, N.
1) Chứng minh AO ⊥ MN.

2) Cho AH = √2𝑐𝑚, BC = √7𝑐𝑚. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC.

Câu 5. (4 điểm)

1) Gọi h1, h2, h3, r lần lượt là độ dài các đường cao và bán kính đường tròn nội tiếp của
một tam giác. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều khi và chỉ khi:
1
1
1
1
+
+
=
ℎ1 + 2ℎ2 ℎ2 + 2ℎ3 ℎ3 + 2ℎ1 3𝑟
2) Trong mặt phẳng cho 8045 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các
điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể

tìm được 2012 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích
không lớn hơn 1.

Liên hệ word Zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC