CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC

CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC


Bài toán 1.(ĐH Dược HN - A1999)
Tam giác ABC thoả:
cos cos cos 1
2
aAbBcC
abc
++
=
+ +
.
Chứng minh tam giác ABC đều.
Lời giải.
Cách 1.
cos cos cos 1
2
aAbBcC
abc
++
=
++
⇔
sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC
⇔
sinAsinBsinC =
cos cos cos
22
2

BC
⇔
8sin
2
A
sin
2
B
sin
2
C
= 1
⇔

A
⇔
4sin
2
A
cos cos
22
B CBC−+
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
= 1
⇔
2
4sin 4cos sin 1 0

222
ABCA
−
− +=
⇔

⇔
2
2
2sin cos 1 cos 0
22 2
ABC BC−−
⎛⎞
−+−
=
⎜⎟
⎝⎠
⇔
cos 1
2
1
sin
22
BC
A
−
⎧
=
⎪
⎪

⎨
⎪
=
⎪
⎩
⇔
B = C, A =
3
π
.
Cách 2.
cos cos cos 1
2
aAbBcC
abc
++
=
++
⇔
sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC
⇔
sinAsinBsinC =
cos cos cos
22
2
BC
⇔
8sin
2
A

sin
2
B
sin
2
C
= 1(1)
A
Ta chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC: 8sin
2
A
sin
2
B
sin
2
C
1. Dấu đẳng
thức xảy ra khi chỉ khi A = B = C. Thật vậy:
≤
8sin
2
A
sin
2
B
sin
2
C

≤
1 4sin
⇔⇔
2
A
cos cos
22
B CBC−+
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

≤
1
⇔
2
4sin 4cos sin 1 0
222
ABCA−
−+
≥
⇔
2
2
2sin cos 1 cos 0
22 2
ABC BC−−
⎛⎞
⇔

− +− ≥
⎜⎟
⎝⎠
Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi
cos 1
2
1
sin
22
BC
A
−
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
⇔
B = C, A =
3
π
.
Cách 3.
cos cos cos 1
2

aAbBcC
abc
++
=
++
⇔
sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC
Ta chứng minh sin2A + sin2B + sin2C
≤
sinA + sinB + sinC (2)

1
Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi A = B = C. Thật vậy:
sin2A + sin2B = 2sin(A + B)cos(A - B) = 2sinCcos(A - B)
≤
2sinC
Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi cos(A - B) = 1
⇔
A = B.
Tương tự : sin2B + sin2C 2sinA
≤
Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi cos(A - B) = 1
⇔
B = C.
sin2C + sin2A 2sinB
≤
Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi cos(A - B) = 1
⇔
C = A.
Cách 4.

áp dụng định lý chiếu: a = bcosC + ccosB

cos cos cos 1
2
aAbBcC
abc
++
=
++

⇔
2(acossA+bcosB +ccosC) = bcosC+ccosB+ccosA+acosC+ acosB + bcosA
⇔
a(cosA - cosB) + b(cosB - cosC) + c(cosC - cosA) + a(cosC - cosA) +
+ b(cosB - cosA) + c(cosC - cosB) = 0
⇔
(a - b)( cosA - cosB) + (b - c) (cosB - cosC) + (c - a) (cosC - cosA) = 0.
()(coscos)0
()(coscos)0
( )(cos cos ) 0
ab A B
bc B C abc
ca C A
−−=
⎧
⎪
⇔− − =⇔==
⎨
⎪
−−=

⎩

Bài toán 2.(ĐHQG HN - A1999)
Trong tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu: cos2A + cos2B + cos2C
≥
- 1 thì :
sinA + sinB + sinC
12≤+

Lời giải.
cos2A + cos2B + cos2C
≥
- 1
⇔
- 1 - 4cosAcosBcosC
≥
- 1
⇔
4cosAcosBcosC
0
⇔
ABC không nhọn.
≤
Δ
Giử sử C lớn nhất. Suy ra
2
C
π
π
≤<

⇔
422
C
π π
≤ <

2
cos
22
C
⇒≤

sinA + sinB + sinC =
2cos cos sin
22
CAB
C
−
+

≤
2cos sin
2
C
C+
21≤ +

Bài toán 3.(ĐH Vinh - B1999)
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả :

sin sin 2sin
tan tan 2 tan
B CA
B CA
+=
⎧
⎨
+=
⎩
thì tam giác ABC đều.
Lời giải.
sinB + sinC = 2sinA
⇔
2cos cos 4sin cos
22 2
2
A BC A A−
=
⇔

⇔
22
cos 4sin
22
B C−
=
⇔
A
1+cos(B - C) = 4(1 - cosA) (1)

tanB + tanC = 2tanA
⇔
sin( ) sin
2
cos cos cos
B CA+
B CA
=

⇔
cosA = 2cosBcosC
⇔
cosA = cos(B + C) + cos(B - C)
⇔
2cosA = cos(B - C) (2)
Từ (1) và (2) suy ra cosA = 1/2, cos(B - C) = 1
⇔
B = C, A = 60
0
.

2
Bài toán 4.(ĐHThuỷ Lợi - A1999)
Tam giác ABC thoả 2cosAsinBsinC +
3
(sinA + cosB + cosC) = 17/4
Hỏi tam giác ABC có tính chất gì? Chứng minh.
Lời giải.
Để ý rằng cosA =
222 2 2 2

sin sin sin
22sinsin
bca B C A
bc B C
+− + −
=
. Suy ra:
2cosAsinBsinC = sin
2
B + sin
2
C - sin
2
A
(GT) sin
⇔
2
B + sin
2
C - sin
2
A +
3
(sinA + cosB + cosC) = 17/4
⇔
1 - cos
2
B + 1 - cos
2
C - sin

2
A +
3
(sinA + cosB + cosC) = 17/4
⇔
22
333
cos cos sin 0
222
BCA
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−+ −+ −=
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
2

⇔
3
cos cos sin
2
BCA===
. Suy ra: B = C = 30
0
, A = 120
0
.
Bài toán 5.(ĐH&CĐ- 2002- TK1)
Gọi x, y, z là các khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong tam giác ABC có ba
góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB.

Chứng minh:
222
2
abc
xyz
R
+ +
++≤
; a, b, c là các cạnh , R là
bán kính đường tròn ngoại tiếp. Dấu = xảy ra khi nào?
Δ
Lời giải.
Ta có :
222
...
2222
abc a b c
abc
R RRR
++
=++
= asinA + bsinB + csinC
=
222
...2(
SSS abc
abc S
bc ca ab bc ca ab
++= ++
)

=
=
()( )
abc
ax by cz
bc ca ab
++ + +
=
1
()[(
2
bc
ax by cz
ac b
)
+ ++
+
1
()
2
ca
ba c
+
1
()
2
ab
cb a
+
]

+

≥
1
()
(ax by cz
a
++
+
1
b
+
1
)
c
≥
(
2
)x yz++

Chú ý:
i) Bđt cuối có được do: (
2
)x yz++
=
2
111
...ax by cz
ab

⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠
c

ii) Có thể chứng minh:
111abc
bc ca ab a b c
++≥++
như sau:

1
()
2
abc ab
bc ca ab bc ca
++= +
+
1
()
2
bc
ca ab
+ +
1
()
2
ca
ab bc

+

ii) Có thể giải bài toán nhanh hơn:

x yz++
=
1
.ax
a
+
1
.by
b
+
1
.cz
c

≤

111
()ax by cz
abc
⎛⎞
++ + +
⎜⎟
⎝⎠
=

3

=
111
.2S
abc
⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠
=
111
.
2
abc
abc R
⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠
=
2
ab bc ca
R
++
≤
222
2
abc
R
+ +

Bài toán 6. (ĐH&CĐ- 2002- TK2)
Xét tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Tính diện tích tam giác biết rằng:
bsinC(b.cosC + c.cosB) = 20
Lời giải.
bsinC(b.cosC + c.cosB) = 20
4R
⇔
2
sinB.sinC(sinBcosC + sinCcosB) = 20
4R
⇔
2
sinB.sinCsinA = 20
2.S = 20 ( S = 2R
⇔
2
sinB.sinCsinA)
Cách 2: áp dụng định lý chiếu b.cosC + c.cosB = a
bsinC(b.cosC + c.cosB) = 20
absinC = 20 2S = 20.
⇔ ⇔
Bài toán 7. (ĐH&CĐ- 2002- TK4)
Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh để tam giác ABC đều thì
điều kiện cần và đủ là:

2
A
cos
2
+

2
B
cos
2
+
2
C
cos
2
- 2 =
1
4
A - B
cos
2
B - C
cos
2
C - A
cos
2

Lời giải.

2
A
cos
2
+
2

B
cos
2
+
2
C
cos
2
- 2 =
1
4
A - B
cos
2
B - C
cos
2
C - A
cos
2

⇔
2(3 + cosA + cosB + cosC) - 8 =
A - B
cos
2
B - C
cos
2
C - A

cos
2

⇔
2(cosA + cosB + cosC - 1) =
A - B
cos
2
B - C
cos
2
C - A
cos
2

⇔
8sin
A
2
sin
B
2
sin
C
2
=
A - B
cos
2
B - C

cos
2
C - A
cos
2

⇔
8sinAsinBsinC = (sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinC + sinA)
⇔
sinA = sinB = sinC
Bài toán 8. (ĐH&CĐ- 2002- TK6)
Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3/2. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh
BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A,
B, C của tam giác. Chứng minh:
111
++
abc
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

abc
111
++
hhh
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
3.≥

Lời giải.
để ý rằng aha = 2S
⇔
1
a
h
=
2
a
S

Suy ra:
1
a
h
+
1
b
h
+
1
c
h
=
1
()
2
abc
S
+ +

Bài toán 9. (ĐH&CĐ- A2003- TK2)

4
Tính các góc của tam giác ABC biết rằng:
4( )
23 3
sin sin sin
222 8
pp a bc
ABC
−≤
⎧
⎪
⎨
−
=
⎪
⎩

trong đó BC = a, CA = b, Ab = c, p =
2
abc
+ +
.
Lời giải.

4 ( ) (1)
23 3
sin sin sin (2)

222 8
pp a bc
ABC
−≤
⎧
⎪
⎨
−
=
⎪
⎩

(1) 4.
⇔
2
abc++
2
bca+−
bc
≤ ⇔
22
()bc a
bc
+ −
≤
1
⇔
2(1cos)bc A
bc
+

≤
1
cos
⇔
2
2
A
1/4 sin
≤ ⇔
2
2
A 3
4
≥

⇔
sin
2
A 3
2
≥

VT(2) =
sin
2
A
sin
2
B
sin

2
C
=
1
2
sin
2
A
(
cos cos
22
B CBC− +
−
)

≤

1
2
sin
2
A
(
1sin
2
A
−
) =
2
11

(sin )
222
A 1
4
⎡ ⎤
− −−
⎢ ⎥
⎣ ⎦

=
1
8
-
2
11
sin
222
A
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
≤

2
11 31 233
822 2 8
⎛⎞
−
−−=

⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

Dấu = khi chỉ khi:
cos 1
2
3
sin
22
BC
A
−
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
⇔
A = 120
0
, B = C = 30
0
.
Bài toán 10. (ĐH&CĐ- D2003- TK1)
Tìm các góc A, B, C của tam giác ABC để biểu thức:

Q = sin
2
A + sin
2
B - sin
2
C
đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải.
Ta có Q =
1
(1 cos 2 )
2
A−
+
1
(1 cos 2 )
2
B−
- - sin
2
C = 1 - cos(A+B)cos(A-B) - sin
2
C
= 1 + cosCcos(A-B) - sin
2
C =
[]
2
2

1
cos cos( ) cos ( )
4
CAB A
B
−− −
1
4
≥−

+
minQ = -
1
4
khi chỉ khi
cos( ) 1
1
cos
2
AB
C
− =
⎧
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
⇔
A = B = 30

0
, C = 120
0
.
Bài toán 11. (ĐH&CĐ- D2003- TK2)
Xác định dạng tam giác ABC biết rằng:
(p - a)sin
2
A + (p - b)sin
2
B = csinAsinB
Lời giải.

5
(p - a)sin
2
A + (p - b)sin
2
B = csinAsinB
⇔
(p - a)a
2
+ (p - b)b
2
= abc
⇔
()paa
bc
−
+

()pbb
ca
−
= 1
⇔
()
.
pp a
a
bc
−
+
()
.
pp b
b
ca
−
= p
⇔
22
()
.
bc a
a
bc
+−
+
22
()

.
ac b
b
ca
+−
= p
⇔
a(1 + cosA) + b(1 + cosB) = a + b + c
⇔
acosA + bcosB = c sin2A + sin2B = 2sinC
⇔ ⇔
sin(A - B) = 1.
Bài toán 12. (ĐH&CĐ- A2004)
Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện:
cos2A +
22
cosB +
22
cosC = 3.
Tính các góc của tam giác.
Lời giải.
Cách 1.
Đặt M = cos2A +
22
cosB +
22
cosC - 3
= 2cos
2
A - 1 +

22
.2cos
2
B C+
cos
2
B C−

= 2cos
2
A + 4
2
.sin
2
A
cos
2
B C−
- 4
≤
2cos
2
A + 4
2
.sin
2
A
- 4

≤

2cosA + 4
2
.sin
2
A
- 4
= 2(1 - 2sin
2
2
A
) + 4
2
.sin
2
A
- 4 = - 2(
2
.sin
2
A
- 1)
2

≤
0
M = 0
⇔
2
cos cos
cos 1

2
1
sin
2
2
AA
BC
A
⎧
⎪
=
⎪
−
⎪
=
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎩
A = 90
⇔
0
, B = C = 45
0
.
Cách 2.
Từ giả thiết suy ra: cos2A +
22

cosB +
22
cosC - 3 = 0
1 - 2sin
⇔
2
A + 4
2
cos
2
B C+
cos
2
B C−
- 3 = 0
⇔
sin
2
A - 2
2
sin
2
A
cos
2
B C−
+ 1 = 0
Vì tam giác ABC không tù nên 0 < A/2
≤

π
/4. Suy ra sin
2
A
> 0, cos
2
A
≥
2
/2
Do đó: sinA = 2 sin
2
A
cos
2
A
≥
2
sin
2
A

⇒
0 = sin
2
A - 2
2
sin
2
A

cos
2
B C−
+ 1 2sin
≥
2
2
A
- 2
2
sin
2
A
cos
2
B C−
+ 1

6