Môc lôcLêi nãi ®Çu C¸c ký hiÖu vµ kh¸i niÖm Bµi tËp 1 Sè thùc 1.1 1.2 2CËn trªn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (8.63 MB, 365 trang )
www.kapakapy.com
Mục lục
Lời nói đầu iii
Các ký hiệu và khái niệm vii
Bài tập
1 Số thực 3
1.1 Cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số thực. Liên
phânsố ............................. 6
1.2 Một số bất đẳng thức sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Dãy số thực 19
2.1 Dãyđơnđiệu .......................... 23
2.2 Giới hạn. Tính chất của dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Định lý Toeplitz, định lý Stolz và ứng dụng . . . . . . . . . 37
2.4 Điểm giới hạn. Giới hạn trên và giới hạn d-ới . . . . . . . . 42
2.5 Các bài toán hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Chuỗi số thực 63
3.1 Tổngcủachuỗi......................... 67
3.2 Chuỗid-ơng .......................... 75
3.3 Dấu hiệu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4 Hội tụ tuyệt đối. Định lý Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.5 Tiêu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel . . . . . . . . . . . . 99
i
www.kapakapy.com
ii Mục lục
3.6 Tích Cauchy của các chuỗi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . 102
3.7 Sắp xếp lại chuỗi. Chuỗi kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.8 Tíchvôhạn...........................111
Lời giải
1 Số thực 121
1.1 Cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số thực. Liên
phânsố .............................121
1.2 Một số bất đẳng thức sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2 Dãy số thực 145
2.1 Dãyđơnđiệu ..........................145
2.2 Giới hạn. Tính chất của dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 156
2.3 Định lý Toeplitz, định lí Stolz và ứng dụng . . . . . . . . . . 173
2.4 Điểm giới hạn. Giới hạn trên và giới hạn d-ới . . . . . . . . 181
2.5 Các bài toán hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3 Chuỗi số thực 231
3.1 Tổng của chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3.2 Chuỗi d-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
3.3 Dấu hiệu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
3.4 Hội tụ tuyệt đối. Định lý Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . 291
3.5 Tiêu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel . . . . . . . . . . . . 304
3.6 Tích Cauchy của các chuỗi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . 313
3.7 Sắp xếp lại chuỗi. Chuỗi kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
3.8 Tíchvôhạn...........................338
Tài liệu tham khảo 354
www.kapakapy.com
Lời nói đầu
Bạn đang có trong tay tập I của một trong những sách bài tập giải tích
(theo chúng tôi) hay nhất thế giới .
Tr-ớc đây, hầu hết những ng-ời làm toán của Việt Nam th-ờng sử dụng
hai cuốn sách nổi tiếng sau (bằng tiếng Nga và đã đ-ợc dịch ra tiếng Việt):
1.
"Bài tập giải tích toán học"
của Demidovich (B. P. Demidovich;
1969, Sbornik Zadach i Uprazhnenii po Matematicheskomu Analizu,
Izdatelp1stvo "Nauka", Moskva)
và
2.
"Giải tích toán học, các ví dụ và bài tập"
của Ljaszko, Bojachuk,
Gai, Golovach (I. I. Lyashko, A. K. Boyachuk, YA. G. Gai, G. P.
Golobach; 1975, Matematicheski Analiz v Primerakh i Zadachakh,
Tom 1, 2, Izdatelp1stvo Vishaya Shkola).
để giảng dạy hoặc học giải tích.
Cần chú ý rằng, cuốn thứ nhất chỉ có bài tập và đáp số. Cuốn thứ hai
cho lời giải chi tiết đối với phần lớn bài tập của cuốn thứ nhất và một số
bài toán khác.
Lần này chúng tôi chọn cuốn sách (bằng tiếng Ba Lan và đã đ-ợc dịch
ra tiếng Anh):
3.
"Bài tập giải tích. Tập I: Số thực, Dãy số và Chuỗi số"
(W. J.
Kaczkor, M. T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Cze
s
c Pier-
wsza, Liczby Rzeczywiste, Ciagi i Szeregi Liczbowe, Wydawnictwo
Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1996),
4.
"Bài tập giải tích. Tập II: Liên tục và Vi phân "
(W. J. Kaczkor, M.
T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Cze
s
c Druga, Funkcje
iii
www.kapakapy.com
iv Lời nói đầu
Jednej Zmiennej{Rachunek R
ozniczowy, Wydawnictwo Universytetu
Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1998).
để biên dịch nhằm cung cấp thêm một tài liệu tốt giúp bạn đọc học và dạy
giải tích. Khi biên dịch, chúng tôi đã tham khảo bản tiếng Anh:
3*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak,
Problems in Mathematical Analy-
sis I, Real Numbers, Sequences and Series
, AMS, 2000.
4*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak,
Problems in Mathematical Analy-
sis II, Continuity and Differentiation
, AMS, 2001.
Sách này có các -u điểm sau:
Các bài tập đ-ợc xắp xếp từ dễ cho tới khó và có nhiều bài tập hay.
Lời giải khá đầy đủ và chi tiết.
Kết hợp đ-ợc những ý t-ởng hay giữa toán học sơ cấp và toán học
hiện đại. Nhiều bài tập đựơc lấy từ các tạp chí nổi tiếng nh-,
Ameri-
can Mathematical Monthly (tiếng Anh), Mathematics Today (tiếng
Nga), Delta (tiếng Balan)
. Vì thế, sách này có thể dùng làm tài liệu
cho các học sinh phổ thông ở các lớp chuyên cũng nh- cho các sinh
viên đại học ngành toán.
Các kiến thức cơ bản để giải các bài tập trong sách này có thể tìm trong
5. Nguyễn Duy Tiến,
Bài Giảng Giải Tích, Tập I
, NXB Đại Học Quốc
Gia Hà Nội, 2000.
6. W. Rudin,
Principles of Mathematical Analysis
, McGraw -Hil
Book Company, New York, 1964.
Tuy vậy, tr-ớc mỗi ch-ơng chúng tôi trình bày tóm tắt lý thuyết để giúp
bạn đọc nhớ lại các kiến thức cơ bản cần thiết khi giải bài tập trong ch-ơng
t-ơng ứng.
Tập I và II của sách chỉ bàn đến
hàm số một biến số
(trừ phần không
gian metric trong tập II). Kaczkor, Nowak chắc sẽ còn viết Bài Tập Giải
Tích cho hàm nhiều biến và phép tính tích phân.
Chúng tôi đang biên dịch tập II, sắp tới sẽ xuất bản.
www.kapakapy.com
Lời nói đầu v
Chúng tôi rất biết ơn :
- Giáo s- Phạm Xuân Yêm (Pháp) đã gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng
Anh tập I của sách này,
- Giáo s- Nguyễn Hữu Việt H-ng (Việt Nam) đã gửi cho chúng tôi bản
gốc tiếng Anh tập II của sách này,
- Giáo s- Spencer Shaw (Mỹ) đã gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh
cuốn sách nổi tiếng của W. Rudin (nói trên), xuất bản lần thứ ba, 1976,
- TS D-ơng Tất Thắng đã cổ vũ và tạo điều kiện để chúng tôi biên dịch
cuốn sách này.
Chúng tôi chân thành cám ơn tập thể sinh viên Toán - Lý K5 Hệ Đào
Tạo Cử Nhân Khoa Học Tài Năng, Tr-ờng ĐHKHTN, ĐHQGHN, đã đọc
kỹ bản thảo và sửa nhiều lỗi chế bản của bản đánh máy đầu tiên.
Chúng tôi hy vọng rằng cuốn sách này sẽ đ-ợc đông đảo bạn đọc đón
nhận và góp nhiều ý kiến quí báu về phần biên dịch và trình bày. Rất mong
nhận đ-ợc sự chỉ giáo của quý vị bạn đọc, những ý kiến góp ý xin gửi về:
Chi đoàn cán bộ, Khoa Toán Cơ Tin học, tr-ờng Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, 334 Nguyễn Trãi, Thanh
Xuân, Hà Nội.
Xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, Xuân 2002.
Nhóm biên dịch
Đoàn Chi
www.kapakapy.com
www.kapakapy.com
Các ký hiệu và khái niệm
R - tập các số thực
R
+
- tập các số thực d-ơng
Z - tập các số nguyên
N - tập các số nguyên d-ơng hay các số tự nhiên
Q - tập các số hữu tỷ
(a, b) - khoảng mở có hai đầu mút là a và b
[a, b] - đoạn (khoảng đóng) có hai đầu mút là a và b
[x] - phần nguyên của số thực x
Với x R, hàm dấu của x là
sgn x =
1 với x>0,
1 với x<0,
0 với x =0.
Với x N,
n!=1ã 2 ã 3 ã ...ã n,
(2n)!! = 2 ã 4 ã 6 ã ... ã (2n 2) ã (2n),
(2n 1)!! = 1 ã 3 ã 5 ã ... ã (2n 3) ã (2n 1).
Ký hiệu
n
k
=
n!
k!(nk)!
,n,k N,n k, là hệ số của khai triển nhị
thức Newton.
vii
www.kapakapy.com
viii Các ký hiệu và khái niệm
Nếu A R khác rỗng và bị chặn trên thì ta ký hiệu sup A là cận
trên đúng của nó, nếu nó không bị chặn trên thì ta quy -ớc rằng
sup A =+.
Nếu A R khác rỗng và bị chặn d-ới thì ta ký hiệu inf A là cận
d-ới đúng của nó, nếu nó không bị chặn d-ới thì ta quy -ớc rằng
inf A = .
Dãy {a
n
} các số thực đ-ợc gọi là đơn điệu tăng (t-ơng ứng đơn điệu
giảm) nếu a
n+1
a
n
(t-ơng ứng nếu a
n+1
a
n
) với mọi n N. Lớp
các dãy đơn điệu chứa các dãy tăng và giảm.
Số thực c đ-ợc gọi là điểm giới hạn của dãy {a
n
} nếu tồn tại một dãy
con {a
n
k
} của {a
n
} hội tụ về c.
Cho S là tập các điểm tụ của dãy {a
n
}. Cận d-ới đúng và cận trên
đúng của dãy , ký hiệu lần l-ợt là lim
n
a
n
và lim
n
a
n
đ-ợc xác định
nh- sau
lim
n
a
n
=
+ nếu {a
n
} không bị chặn trên,
nếu {a
n
} bị chặn trên và S = ,
sup S nếu {a
n
} bị chặn trên và S = ,
lim
n
a
n
=
nếu {a
n
} không bị chặn d-ới,
+ nếu {a
n
} bị chặn d-ới và S = ,
inf S nếu {a
n
} bị chặn d-ới và S = ,
Tích vô hạn
n=1
a
n
hội tụ nếu tồn tại n
0
N sao cho a
n
=0với
n n
0
và dãy {a
n
0
a
n
0
+1
ã ...ã a
n
0
+n
} hội tụ khi n tới một giới
hạn P
0
=0.SốP = a
n
0
a
n
0
+1
ã ... ã a
n
0
+n
ã P
0
đ-ợc gọi là giá trị của
tích vô hạn.
Trong phần lớn các sách toán ở n-ớc ta từ tr-ớc đến nay, các hàm
tang và côtang cũng nh- các hàm ng-ợc của chúng đ-ợc ký hiệu
là tg x, cotg x, arctg x, arccotg x theo cách ký hiệu của các sách có
nguồn gốc từ Pháp và Nga, tuy nhiên trong các sách toán của Mỹ
và phần lớn các n-ớc châu Âu, chúng đ-ợc ký hiệu t-ơng tự là
tan x, cot x, arctan x, arccot x. Trong cuốn sách này chúng tôi sẽ
sử dụng những ký hiệu này để bạn đọc làm quen với những ký hiệu
đã đ-ợc chuẩn hoá trên thế giới.
www.kapakapy.com
Bµi tËp
www.kapakapy.com
www.kapakapy.com
Ch-ơng 1
Số thực
Tóm tắt lý thuyết
Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R =(,).
Số thực x R đ-ợc gọi là một
cận trên
của A nếu
a x,x A.
Tập A đ-ợc gọi là
bị chặn trên
nếu A có ít nhất một cận trên.
Số thực x R đ-ợc gọi là một
cận d-ới
của A nếu
a x,a A.
Tập A đ-ợc gọi là
bị chặn d-ới
nếu A có ít nhất một cận d-ới.
Tập A đ-ợc gọi là
bị chặn
nếu A vừa bị chặn trên và vừa bị chặn d-ới.
Rõ ràng A bị chặn khi và chỉ khi tồn tại x>0 sao cho
|a| x,a A.
Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R =(,).
Số thực x R đ-ợc gọi là
giá trị lớn nhất
của A nếu
x A, a x,a A.
Khi đó, ta viết
x = max{a : a A} = max a
aA
.
3
www.kapakapy.com
4 Ch-ơng 1. Số thực
Số thực x R đ-ợc gọi là
giá trị bé nhất
của A nếu
x A, a x,a A.
Khi đó, ta viết
x = min{a : a A} = min a
aA
.
Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R =(,). Giả
sử A bị chặn trên.
Số thực x R đ-ợc gọi là
cận trên đúng của
A, nếu x là một cận
trên của A và là cận trên bé nhất trong tập các cận trên của A. Tức là,
a x,a A,
>o,a
A, a
>x .
Khi đó, ta viết
x = sup{a : a A} = sup a
aA
.
Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R =(,). Giả
sử A bị chặn d-ới.
Số thực x R đ-ợc gọi là
cận d-ới đúng
của A, nếu x là một cận
d-ới của A và là cận trên lớn nhất trong tập các cận d-ới của A. Tức là,
a x,a A,
>o,a
A, a
<x+ .
Khi đó, ta viết
x = inf{a : a A} = inf a
aA
.
Tiên đề về cận trên đúng
nói rằng nếu A là tập con không rỗng,
bị chặn trên của tập các số thực, thì A có cận trên đúng (duy nhất).
Tiên đề trên t-ơng đ-ơng với: nếu A là tập con không rỗng, bị chặn
d-ới của tập các số thực, thì A có cận d-ới đúng (duy nhất).
Từ đó suy ra rằng A là tập con không rỗng, bị chặn của tập các số thực,
thì A có cận trên đúng, và có cận d-ới đúng.
Nếu tập A không bị chặn trên, thì ta qui -ớc sup A =+; Nếu tập
A không bị chặn d-ới, thì ta qui -ớc inf A = ;
www.kapakapy.com
Tóm tắt lý thuyết 5
Cho hai số nguyên a, b. Ta nói rằng b
chia hết
cho a hoặc a chia b,
nếu tồn tại số nguyên c, sao cho b = a.c. Trong tr-ờng hợp đó ta nói a là
-ớc của b (hoặc b là bội của a) và viết a|b.
Cho hai số nguyên a
1
,a
2
. Số nguyên m đ-ợc gọi là
-ớc chung
của
a
1
,a
2
nếu m|a
1
,m|a
2
. Số nguyên m đ-ợc gọi là
bội chung
của a
1
,a
2
nếu a
1
|m, a
2
|m.
Ước chung m 0 của a
1
,a
2
có tính chất là chia hết cho bất kỳ -ớc
chung nào của a
1
,a
2
) đ-ợc gọi là
-ớc chung lớn nhất
của a
1
,a
2
và
đuợc ký hiệu là (a
1
,a
2
).
Bội chung m 0 của a
1
,a
2
có tính chất là -ớc của bất kỳ bội chung
nào của a
1
,a
2
đ-ợc gọi là
bội chung nhỏ nhất
của a
1
,a
2
và đuợc ký
hiệu là [a
1
,a
2
].
Nếu (a, b)=1thì ta nói a, b
nguyên tố cùng nhau
.
Số nguyên d-ơng p N đ-ợc gọi là
số nguyên tố
, nếu p chỉ có hai
-ớc (tầm th-ờng) là 1 và p.
Gỉa sử m là số nguyên d-ơng. Hai số nguyên a, b đ-ợc gọi là
đồng d-
theo modulo
m, nếu m|(a b). Trong tr-ờng hợp đó ta viết
a = b (mod m).
Ta gọi r là số hữu tỷ (hay phân số), nếu tồn tại p, q Z sao cho
r = p/q. Phân số này là tối giản nếu (p, q)=1.
Số vô tỷ là số thực nh-ng không phải là số vô tỷ.
Tập hợp các số
hữu tỷ trù mật trong tập các số thực
, tức là, giữa hai số thực khác
nhau bất ký (a<b) tồn tại ít nhất một số hữu tỷ (r: a<r<b).
Phần nguyên
của số thực x, đ-ợc ký hiệu là [x], là số nguyên (duy
nhất) sao cho x 1 < [x] x.
Phần lẻ
của số thực x, đ-ợc ký hiệu là
{x}, là số thực xác định theo công thức {x} = x [x].
Các hàm số sơ cấp a
x
, log
a
x, sin x, cos x, arcsin x, arccos x đ-ợc định
nghĩa theo cách thông th-ờng. Tuy nhiên, cần chú ý rằng, tài liệu này dùng
các
ký hiệu tiêu chuẩn quốc tế
sau
tan x = sin x/ cos x, cot x = cos x/ sin x,
cosh x =
e
x
+ e
x
2
, sinh x =
e
x
e
x
2
,
tanh x = sinh x/ cosh x, coth x = cosh x/ sinh x.
T-ơng tự ta có các ký hiệu về hàm ng-ợc arctan x, arccot x.
www.kapakapy.com
6 Ch-ơng 1. Số thực
1.1 Cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các
số thực. Liên phân số
1.1.1.
Chứng minh rằng
sup{x Q : x>0,x
2
< 2} =
2.
1.1.2.
Cho
A R
khác rỗng. Định nghĩa
A = {x : x A}
. Chứng
minh rằng
sup(A)= inf A,
inf(A)= sup A.
1.1.3.
Cho
A, B R
là không rỗng. Định nghĩa
A + B = {z = x + y : x A,y B} ,
A B = {z = x y : x A,y B} .
Chứng minh rằng
sup(A + B) = sup A + sup B,
sup(A B) = sup A inf B.
Thiết lập những công thức t-ơng tự cho
inf(A + B)
và
inf(A B)
.
1.1.4.
Cho các tập không rỗng
A
và
B
những số thực d-ơng, định nghĩa
A ã B = {z = x ã y : x A,y B} ,
1
A
=
z =
1
x
: x A
.
Chứng minh rằng
sup(A ã B)=supA ã sup B,
và nếu
inf A > 0
thì
sup
1
A
=
1
inf A
,
khi
inf A =0
thì
sup
1
A
=+
. Hơn nữa nếu
A
và
B
là các tập số thực bị
chặn thì
sup(A ã B)
= max{sup A ã sup B, sup A ã inf B, inf A ã sup B, inf A ã inf B} .
www.kapakapy.com
1.1. Cận trên đúng và cận d-ới đúng. Liên phân số 7
1.1.5.
Cho
A
và
B
là những tập con khác rỗng các số thực. Chứng minh rằng
sup(A B)=max{sup A, sup B}
và
inf(A B)=min{inf A, inf B} .
1.1.6.
Tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của
A
1
, A
2
xác định bởi
A
1
=
2(1)
n+1
+(1)
n(n+1)
2
2+
3
n
: n N
,
A
2
=
n 1
n +1
cos
2n
3
: n N
.
1.1.7.
Tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của các tập
A
và
B
, trong đó
A = {0, 2; 0, 22; 0, 222; ...}
và
B
là tập các phân số thập phân giữa 0 và 1
mà chỉ gồm các chữ số 0 và 1.
1.1.8.
Tìm cận d-ới đúng và cận trên đúng của tập các số
(n+1)
2
2
n
, trong đó
n N
.
1.1.9.
Tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số
(n+m)
2
2
nm
, trong đó
n, m N
.
1.1.10.
Xác định cận trên đúng và cận d-ới đúng của các tập sau:
A =
m
n
: m, n N,m<2n
,(a)
B =
n [
n]:n N
.(b)
1.1.11.
Hãy tìm
sup
x R : x
2
+ x +1> 0
,(a)
inf
z = x + x
1
: x>0
,(b)
inf
z =2
x
+2
1
x
> 0
.(c)
www.kapakapy.com
8 Ch-ơng 1. Số thực
1.1.12.
Tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của những tập sau:
A =
m
n
+
4n
m
: m, n N
,(a)
B =
mn
4m
2
+ n
2
: m Z,n N
,(b)
C =
m
m + n
: m, n N
,(c)
D =
m
|m| + n
: m Z,n N
,(d)
E =
mn
1+m + n
: m, n N
.(e)
1.1.13.
Cho
n 3,n N
. Xét tất cả dãy d-ơng hữu hạn
(a
1
,... , a
n
)
, hãy
tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số
n
k=1
a
k
a
k
+ a
k+1
+ a
k+2
,
trong đó
a
n+1
= a
1
,a
n+2
= a
2
.
1.1.14.
Chứng minh rằng với mỗi số vô tỷ
và với mỗi
n N
tồn tại một số
nguyên d-ơng
q
n
và một số nguyên
p
n
sao cho
p
n
q
n
<
1
nq
n
.
Đồng thời có thể chọn dãy
{p
n
}
và
{q
n
}
sao cho
p
n
q
n
<
1
q
n
2
.
1.1.15.
Cho
là số vô tỷ. Chứng minh rằng
A = {m + n : m, n Z}
là
trù mật trong
R
, tức là trong bất kỳ khoảng mở nào đều có ít nhất một phần tử
của
A
.
1.1.16.
Chứng minh rằng
{cos n : n N}
là trù mật trong đoạn
[1, 1]
.
1.1.17.
Cho
x R \ Z
và dãy
{x
n
}
đ-ợc xác định bởi
x =[x]+
1
x
1
,x
1
=[x
1
]+
1
x
2
,..., x
n1
=[x
n1
]+
1
x
n
.
www.kapakapy.com
1.1. Cận trên đúng và cận d-ới đúng. Liên phân số 9
khi đó
x =[x]+
1
[x
1
]+
1
[x
2
]+
1
.
.
.
+
1
[x
n1
]+
1
x
n
.
Chứng minh rằng
x
là số hữu tỷ khi và chỉ khi tồn tại
n N
sao cho
x
n
là một
số nguyên.
Chú ý. Ta gọi biểu diễn trên của
x
là một liên phân số hữu hạn. Biểu thức
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
.
.
.
+
1
a
n1
+
1
a
n
đ-ợc viết gọn thành
a
0
+
1|
|a
1
+
1|
|a
2
+ ...+
1|
|a
n
.
1.1.18.
Cho các số thực d-ơng
a
1
,a
2
,... ,a
n
, đặt
p
0
= a
0
,q
0
=1,
p
1
= a
0
a
1
+1,q
1
= a
1
,
p
k
= p
k1
a
k
+ p
k2
,q
k
= q
k1
a
k
+ q
k2
,
với
k =2, 3, ... , n
,
và định nghĩa
R
0
= a
0
,R
k
= a
0
+
1|
|a
1
+
1|
|a
2
+ ...+
1|
|a
k
,k=1, 2,... ,n.
R
k
đ-ợc gọi là phần tử hội tụ thứ
k
đến
a
0
+
1|
|a
1
+
1|
|a
2
+ ...+
1|
|a
n
.
Chứng minh rằng
R
k
=
p
k
q
k
với
k =0, 1,... ,n.
1.1.19.
Chứng minh rằng nếu
p
k
,q
k
đ-ợc định nghĩa nh- trong bài toán trên
và
a
0
,a
1
,... ,a
n
là các số nguyên thì
p
k1
q
k
q
k1
p
k
=(1)
k
với
k =0, 1,... ,n.
Sử dụng đẳng thức trên để kết luận rằng
p
k
và
q
k
là nguyên tố cùng nhau.
www.kapakapy.com
10 Ch-ơng 1. Số thực
1.1.20.
Cho
x
là một số vô tỷ, ta định nghĩa dãy
{x
n
}
nh- sau:
x
1
=
1
x [x]
,x
2
=
1
x
1
[x
1
]
,... , x
n
=
1
x
n1
[x
n1
]
,... .
Ngoài ra, chúng ta cho đặt
a
0
=[x],a
n
=[x
n
],n=1, 2,...
,và
R
n
= a
0
+
1|
|a
1
+
1|
|a
2
+ ...+
1|
|a
k
.
Chứng minh rằng độ lệch giữa số
x
và phần tử hội tụ thứ
n
của nó đ-ợc cho bởi
công thức
x R
n
=
(1)
n
(q
n
x
n+1
+ q
n1
)q
n
,
trong đó
p
n
,q
n
là đ-ợc định nghĩa trong 1.1.18. Từ đó hãy suy ra rằng
x
nằm
giữa hai phần tử hội tụ liên tiếp của nó.
1.1.21.
Chứng minh rằng tập
{sin n : n N}
là trù mật trong
[1, 1]
.
1.1.22.
Sử dụng kết quả trong bài 1.1.20 chứng minh rằng với mọi số vô tỷ
x
tồn tại dãy
p
n
q
n
các số hữu tỷ, với
q
n
lẻ, sao cho
x
p
n
q
n
<
1
q
2
n
.
(So sánh với 1.1.14.)
1.1.23.
Kiểm tra công thức sau về hiệu số giữa hai phần tử hội tụ liên tiếp:
R
n+1
R
n
=
(1)
n
q
n
q
n+1
.
1.1.24.
Cho
x
là số vô tỷ. Chứng minh rằng phần tử hội tụ
R
n
định nghĩa
trong 1.1.20 tiến tới
x
sao cho
|x R
n+1
| < |x R
n
| ,n=0, 1, 2,... .
1.1.25.
Chứng minh rằng phần tử hội tụ
R
n
= p
n
/q
n
là -ớc l-ợng tốt nhất
của
x
trong tất cả các phân số hữu tỷ với mẫu số
q
n
hoặc nhỏ hơn. Tức là:
nếu
r/s
là một số hữu tỷ với mẫu số d-ơng có dạng
|x r/s| < |x R
n
|
thì
s>q
n
.
1.1.26.
Khai triển mỗi biểu thức sau thành các liên phân số vô hạn:
2,
51
2
.
1.1.27.
Cho số nguyên d-ơng
k
, biểu diễn của
k
2
+ k
thành liên phân số vô
hạn.
1.1.28.
Tìm tất cả các số
x (0, 1)
mà sự biểu diễn liên tục vô hạn có
a
1
(xem
1.1.20) t-ơng ứng với số nguyên d-ơng
n
cho tr-ớc.
www.kapakapy.com
1.2. Một số bất đẳng thức sơ cấp 11
1.2 Một số bất đẳng thức sơ cấp
1.2.1.
Chứng minh rằng nếu
a
k
> 1,k=1,... ,n
là các số cùng d-ơng
hoặc cùng âm thì
(1 + a
1
) ã (1 + a
2
) ã ...ã (1 + a
n
) 1+a
1
+ a
2
+ ...+ a
n
.
Chú ý. Nếu
a
1
= a
2
= ... = a
n
= a
thì ta có bất đẳng thức Bernoulli:
(1 + a)
n
1+na, a > 1
.
1.2.2.
Sử dụng phép qui nạp, hãy chứng minh kết quả sau: Nếu
a
1
,a
2
,... ,a
n
là các số thực d-ơng sao cho
a
1
ã a
2
ã ...ã a
n
=1
thì
a
1
+ a
2
+ ...+ a
n
n
.
1.2.3.
Ký hiệu
A
n
,G
n
và
H
n
lần l-ợt là trung bình cộng, trung bình nhân và
trung bình điều hoà của
n
số thực d-ơng
a
1
,a
2
,...,a
n
, tức là
A
n
=
a
1
+ a
2
+ ...+ a
n
n
,
G
n
=
n
a
1
ã a
2
ã ...ã a
n
,
H
n
=
n
1
a
1
+
1
a
2
+ ...+
1
a
n
.
Chứng minh rằng
A
n
G
n
H
n
.
1.2.4.
Sử dụng kết quả
G
n
A
n
trong bài toán tr-ớc kiểm tra bất đẳng thức
Bernoulli
(1 + x)
n
1+nx
với
x>0.
1.2.5.
Cho
n N
, hãy kiểm tra các khẳng định sau:
1
n
+
1
n +1
+
1
n +1
+ ...
1
2n
>
2
3
,(a)
1
n +1
+
1
n +2
+
1
n +3
+ ...+
1
3n +1
> 1,(b)
1
2
<
1
3n +1
+
1
3n +2
+ ...+
1
5n
+
1
5n +1
<
2
3
,(c)
(n
n
n +1 1) < 1+
1
2
+ ...+
1
n
(d)
<n
1
1
n
n +1
+
1
n +1
,n>1.
www.kapakapy.com
12 Ch-ơng 1. Số thực
1.2.6.
Chứng minh rằng với mỗi
x>0
và
n N
ta có
x
n
1+x + x
2
+ x
3
+ ...+ x
2n
1
2n +1
.
1.2.7.
Cho
{a
n
}
là một cấp số cộng với các số hạng d-ơng. Chứng minh rằng
a
1
a
n
n
a
1
a
2
...a
n
a
1
+ a
n
2
.
1.2.8.
Chứng minh rằng
n
n
n!
n +1
2
,n N.
1.2.9.
Cho
a
k
,k=1, 2,... ,n
, là các số d-ơng thoả mãn điều kiện
n
k=1
a
k
1
.
Chứng minh rằng
n
k=1
1
a
k
n
2
.
1.2.10.
Cho
a
k
> 0,k =1, 2,... ,n (n>1)
và đặt
s =
n
k=1
a
k
. Hãy kiểm
tra các khẳng định sau:
n
n
k=1
a
k
s a
k
1
n 1
1
n
n
k=1
s a
k
a
k
,(a)
n
k=1
s
s a
k
n
2
n 1
,(b)
n
n
k=1
a
k
s + a
k
1
n +1.(c)
1.2.11.
Chứng minh rằng nếu
a
k
> 0,k =1,... ,n
và
a
1
ã a
2
ã ...ã a
n
=1
thì
(1 + a
1
) ã (1 + a
2
) ã ...ã (1 + a
n
) 2
n
.
1.2.12.
Chứng minh bất đẳng thức Cauchy
(1)
:
n
k=1
a
k
b
k
2
n
k=1
a
2
k
n
k=1
b
2
k
.
(1)
Còn gọi là bất đẳng thức Buniakovskii- Cauchy - Schwarz
www.kapakapy.com
1.2. Một số bất đẳng thức sơ cấp 13
1.2.13.
Chứng minh rằng
n
k=1
a
k
2
+
n
k=1
b
k
2
1
2
n
k=1
a
2
k
+ b
2
k
1
2
.
1.2.14.
Chứng minh rằng nếu
n
k=1
a
2
k
=
n
k=1
b
2
k
=1
thì
n
k=1
a
k
b
k
1.
1.2.15.
Cho
a
k
> 0,k =1, 2,... ,n
, hãy kiểm tra những khẳng định sau
n
k=1
a
k
n
k=1
1
a
k
n
2
,(a)
n
k=1
a
k
n
k=1
1 a
k
a
k
n
n
k=1
(1 a
k
),(b)
(log
a
a
1
)
2
+ (log
a
a
2
)
2
+ ...+ (log
a
a
n
)
2
1
n
,(c)
với điều kiện
a
1
ã a
2
ã ...ã a
n
= a =1.
1.2.16.
Cho
>0
, chứng minh rằng
n
k=1
a
k
b
k
1
n
k=1
a
2
k
+
4
n
k=1
b
2
k
.
1.2.17.
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
n
k=1
|a
k
|
n
n
k=1
a
2
k
1
2
n
n
k=1
|a
k
|.
1.2.18.
Chứng minh rằng
n
k=1
a
k
b
k
2
n
k=1
ka
2
k
n
k=1
b
2
k
k
,(a)
n
k=1
a
k
k
2
n
k=1
k
3
a
2
k
n
k=1
1
k
5
.(b)
www.kapakapy.com
14 Ch-ơng 1. Số thực
1.2.19.
Chứng minh rằng
n
k=1
a
p
k
2
n
k=1
a
p+q
k
n
k=1
a
pq
k
,
với mỗi
p, q
và mỗi bộ số d-ơng
a
1
,a
2
,... , a
n
.
1.2.20.
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
n
k=1
a
2
k
với điều kiện
n
k=1
a
k
=1
.
1.2.21.
Cho
p
1
,p
2
,...,p
n
là các số d-ơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
n
k=1
p
k
a
2
k
với điều kiện
n
k=1
a
k
=1
.
1.2.22.
Chứng minh rằng
n
k=1
a
k
2
(n 1)
n
k=1
a
2
k
+2a
1
a
2
.
1.2.23.
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
n
k=1
(a
k
+ b
k
)
2
1
2
n
k=1
a
2
k
1
2
+
n
k=1
b
2
k
1
2
,(a)
n
k=1
a
2
k
1
2
n
k=1
b
2
k
1
2
n
k=1
|a
k
b
k
|.(b)
1.2.24.
Cho
p
1
,p
2
,... , p
n
là các số d-ơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của
n
k=1
a
2
k
+
n
k=1
a
k
2
với điều kiện
n
k=1
p
k
a
k
=1
.
1.2.25.
Chứng minh bất đẳng thức Chebyshev.
Nếu
a
1
a
2
... a
n
và
b
1
b
2
... b
n
,
hoặc
a
1
a
2
... a
n
và
b
1
b
2
... b
n
,
www.kapakapy.com
1.2. Một số bất đẳng thức sơ cấp 15
thì
n
k=1
a
k
n
k=1
b
k
n
n
k=1
a
k
b
k
.
1.2.26.
Giả sử
a
k
0,k=1, 2,... ,n
và
p N
, chứng minh rằng
1
n
n
k=1
a
k
p
1
n
n
k=1
a
p
k
.
1.2.27.
Chứng minh bất đẳng thức
(a + b)
2
(1 + c)a
2
+
1+
1
c
b
2
với số d-ơng
c
và số thực
a, b
bất kỳ.
1.2.28.
Chứng minh rằng
a
2
+ b
2
a
2
+ c
2
|b c|
.
1.2.29.
Cho các số d-ơng
a, b, c
, kiểm tra các khẳng định sau:
bc
a
+
ac
b
+
ab
c
(a + b + c),(a)
1
a
+
1
b
+
1
c
1
bc
+
1
ca
+
1
ab
,(b)
2
b + c
+
2
a + c
+
2
a + b
9
(a + b + c)
,(c)
b
2
a
2
c + a
+
c
2
b
2
a + b
+
a
2
c
2
b + c
0,(d)
1
8
(a b)
2
a
a + b
2
ab
1
8
(a b)
2
b
với
b a.(e)
1.2.30.
Cho
a
k
R,b
k
> 0,k=1, 2,... ,n
, đặt
m = min
a
k
b
k
: k =1, 2,... ,n
và
M = max
a
k
b
k
: k =1, 2,... , n
.
Chứng minh rằng
m
a
1
+ a
2
+ ...+ a
n
b
1
+ b
2
+ ...+ b
n
M
www.kapakapy.com
16 Ch-ơng 1. Số thực
1.2.31.
Chứng minh rằng nếu
0 <
1
<
2
<...<
n
<
2
,n> 1
thì
tan
1
<
sin
1
+ sin
2
+ ...+ sin
n
cos
1
+ cos
2
+ ...+ cos
n
< tan
n
.
1.2.32.
Cho
c
1
,c
2
,... , c
n
d-ơng và
k
1
,k
2
,... , k
n
N
, đặt
S = max{
k
1
c
1
,
k
2
c
2
,... ,
k
n
c
n
} ,
s = min{
k
1
c
1
,
k
2
c
2
,... ,
k
n
c
n
} .
Chứng minh rằng
s (a
1
+ a
2
+ ...+ a
n
)
1
k
1
+k
2
+...+k
n
S.
1.2.33.
Cho
a
k
> 0,b
k
> 0,k=1, 2,... ,n
, đặt
M = max
a
k
b
k
: k =1, 2,... , n
.
Chứng minh rằng
a
1
+ a
2
2
+ ...+ a
n
n
b
1
+ Mb
2
2
+ ...+ M
n1
b
n
n
M.
1.2.34.
Chứng minh rằng nếu
x
là một số thực lớn hơn các số
a
1
,a
2
,... , a
n
thì
1
x a
1
+
1
x a
2
+ ...+
1
x a
n
n
x
a
1
+a
2
+...+a
n
n
.
1.2.35.
Đặt
c
k
=
n
k
,k=0, 1, 2,... ,n
. Chứng minh bất đẳng thức
c
1
+
c
2
+ ...+
c
n
n(2
n
1).
1.2.36.
Cho
n 2
, chứng minh rằng
n
k=0
n
k
2
n
2
n 1
n1
.
1.2.37.
Cho
a
k
> 0,k=1, 2,...,n
và ký hiệu
A
n
là trung bình cộng của
chúng. Chứng minh rằng
n
k=1
A
p
k
p
p 1
n
k=1
A
p1
k
a
k
với mỗi số nguyên
p>1
.
www.kapakapy.com
1.2. Một số bất đẳng thức sơ cấp 17
1.2.38.
Cho
a
k
> 0,k=1, 2,... , n
, đặt
a = a
1
+a
2
+...+a
n
. Hãy chứng
minh rằng
n1
k=1
a
k
a
k+1
a
2
4
.
1.2.39.
Chứng minh rằng với mỗi hoán vị
b
1
,b
2
,... , b
n
của các số d-ơng
a
1
,a
2
,... , a
n
ta đều có
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+ ...+
a
n
b
n
n.
1.2.40.
Chứng minh bất đẳng thức Weierstrass.
Nếu
0 <a
k
< 1,k=1, 2,... ,n
và
a
1
+ a
2
+ ...+ a
n
< 1
thì
1+
n
k=1
a
k
<
n
k=1
(1 + a
k
) <
1
1
n
k=1
a
k
,(a)
1
n
k=1
a
k
<
n
k=1
(1 a
k
) <
1
1+
n
k=1
a
k
.(b)
1.2.41.
Giả sử
0 <a
k
< 1,k =1, 2,... , n
, đặt
a
1
+ a
2
+ ...+ a
n
= a
.
Chứng minh rằng
n
k=1
a
k
1 a
k
na
n a
.
1.2.42.
Cho
0 <a
k
1,k=1, 2,... , n
và
n 2
. Kiểm tra bất đẳng thức
sau:
n
k=1
1
1+a
k
n
n
k=1
a
k
n
k=1
a
k
+ n
n
k=1
a
k
.
1.2.43.
Cho
a
k
,k=1, 2,... , n
không âm sao cho
a
1
+ a
2
+ ...+ a
n
=1
,
chứng minh rằng
n
k=1
(1 + a
k
) (n +1)
n
n
k=1
a
k
,(a)
n
k=1
(1 a
k
) (n 1)
n
n
k=1
a
k
.(b)
