Lý thuyết về hàm số và các bài tập cơ bản đến nâng cao kèm theo

HÀM SỐ HỮU TỶ
BÀI 01
Cho hàm số y = có đồ thi là

1. Cho A(0,a). Xác định a để từ A kẻ đƣợc 2 tiếp tuyến đến sao cho 2 tiếp
điểm tƣơng ứng nằm về hai phía đối với trục Ox
2. Gọi M là điểm bất kỳ trên
a. Tìm tọa độ M để tổng khoảng cách từ
*) Đến hai tiệm cận là ngắn nhất
*) Đến 2 trục tọa độ là nhỏ nhất
b. CMR tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là hằng số không đổi
3. Một đƣờng thẳng tiếp xúc tại Q, đồng thời cắt hai tiệm cận tại E,F và
hai trục tọa độ tại là giao điểm hai đƣờng tiệm cận
a. CMR : 3 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng và diện tích
tam giác không phụ thuộc vào vị trí Q
b. Xác định tọa độ điểm Q để (t) vuông góc với IQ
c. Tìm tọa đô H,K sao cho chu vi tam giác HIK nhỏ nhất
4. Gọi B,C là hai điểm bất kỳ thuộc . Tìm tọa độ trung điểm N của BC để
tam giác ABC đều, biết
5. Chứng minh rằng với mọi m thì đƣờng thẳng (d) y = x + m luôn cắt tại
2 điểm phân biệt R,T . Từ đó tìm m để
a. RT ngắn nhất
b.
6. Tìm trên đồ thị cặp điểm mà chúng đối xứng nhau qua đƣờng thẳng


BÀI 02
Cho hàm số y = ; có đồ thị là

1. Gọi M thuộc có hoành độ .
a. Chứng tỏ rằng tích khoảng cách từ M đến 2 đƣờng tiệm cận không phụ

thuộc vào
b. Tìm tọa độ M sao cho tích hệ số góc của đt IM và tiếp tuyến tại M
bằng 3, I là giao điểm hai đƣờng tiệm cận
2. Tìm trên đƣờng thẳng y = 1 những điểm E sao cho qua đó kẻ đƣợc 2 tiếp
tuyến đến sao cho 2 tiếp tuyến tạo nhau 1 góc
3. Tìm giá trị a để 2 cực trị của nằm về hai miền khác nhau của đƣờng
tròn : =
4. Lập phƣơng trình tiếp tuyến của để tiếp tuyến đó vuông góc tiệm cận
xiên. Tìm tọa độ tiếp điểm
4. Cho (d) : . Giả sử (d) cắt tại hai điểm phân biệt A,B
a. Có hay không những giá trị m để độ dài AB là ngắn nhất
b. Định m để độ dài AB =
5. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của không qua giao điểm hai đƣờng
tiệm cận
6. Tìm trên đƣờng thẳng (t) những điểm W sao cho khoảng cách
từ W đến tiệm cận đứng gấp 2 lần khoảng cách từ W đến tiện cận xiên

BÀI 03
Cho hàm số y = m là tham số, đố thị là

1. Xác định m để tam giác tạo bởi 2 trục tọa độ và đƣờng tiệm cận xiên của hàm số
trên có diên tích bằng 4 (đvdt)
2. Định m để có cực đại , cực tiểu mà
a. = 16
b. = 5
3. Định m để đƣờng thẳng y = m - x luôn cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt AB sao
cho AB =
4. Khi m = - 3, đồ thị là
a. Một đƣờng thẳng (d) tiếp xúc tại M đồng thời cắt hai đƣờng tiệm cận tại E,F.
CMR: M luôn là trung điểm EF và diện tích tam giác EIF không phụ thuộc vào vị trí

M. I là giao điểm hai đƣờng tiệm cận
b. là 2 đt lần lƣợt qua I có hệ số góc là .Tìm nguyên để cắt
tại 4 điểm phân biệt P,Q,R,S sao cho 4 điểm này tạo thành hình chữ nhật
c. Tìm trên đồ thị hai điểm H,J sao cho chúng đối xứng nhau qua đt 3x - y - 2 = 0
d. Qua M dựng 2đƣờng thẳng lần lƣợt cùng phƣơng tiệm cận đứng, tiệm cận xiên
đồng thời cắt 2 đƣờng tiệm cận đó theo thứ tự là Q,G. CMR diện tích hình bình hành
MQIG không phụ thuộc vào vị trí M
BÀI 04
Cho hàm số ,có đồ thị là ; m là tham số

A. Khi m = 0 đồ thị là
1. Tìm trong mặt phẳng Oxy những điểm mà qua đó kẻ đƣợc hai tiếp tuyến vuông góc
đến
2. Tìm trên đƣờng thẳng y = 4 những điểm mà qua đó kẻ hai tiếp tuyến tạo nhau một
góc
3. Tìm trên đồ thị những cặp điểm sao cho chúng đối xứng nhau qua góc tọa độ
4. Tìm trên đồ thị hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho độ dài AB ngắn
nhất
5Gọi là hai đường thẳng qua I giao điểm hai đường tiệm cận; đồng thời cắt đồ
thị tại 4 điểm phân biệt R,M,S,N. Tìm tọa độ M,N,R,S sao cho MNRS là hình chữ
nhật
B. Khi m là tham số
6. Tìm tập hợp những điểm mà không có đố thị nào trong họ đi qua
7. CMR: thì đƣờng cong luôn có cực đại và cực tiểu
8. Định m để :
*
*
* ngắn nhất
*
9. Tìm m để tiếp tuyến tại K có hoành độ x = 5 vuông góc với tiệm cận xiên

10. Tìm m để tích khoảng cách từ H thuộc đến hai tiệm cận
bằng


HÀM SỐ BẬC BA
BÀI 01: VẤN ĐỀ LIÊN QUAN TIẾP TUYẾN & CỰC TRỊ
Cho hàm số , đồ thị , m : tham số

1) Cho m = 2 đồ thị là
a. Tìm phƣơng trình các đƣờng thẳng đi qua A( ,4) và tiếp xúc
b. Tìm trên đồ thị những điểm K sao cho qua K:
* Kẻ duy nhất một tiếp tuyến đến
* Kẻ hai tiếp tuyến phân biệt đến
* Kẻ đúng hai tiếp tuyến đến mà 2 tiếp tuyến tạo nhau một góc
* Kẻ 3 tiếp tuyến đến
* Kẻ 3 tiếp tuyến mà trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc đế
c. Tìm tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (t) và đồ thị . Biết rằng (t):
* Song song với đƣờng thẳng :
* Vuông góc với đƣờng thẳng :
* Có hệ số góc
d.Tìn trên đồ thị những điểm E,F đối xứng nhau qua góc tọa độ
2) m là tham số , đồ thị
a. CMR: với thì hàm số có hai cực trị ( , , ( ,
* Định m để , và B(0, - 1) thẳng hàng
* Định m để :
+) + > 4
+) | - | = 27
b. Định m để :
+) Tam giác O vuông tại O; O là gốc tọa độ
+) :

&) Cùng phƣơng với đt: y = -4x + 4
&) Vuông góc với đƣờng phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ
c. Định m để cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
+) Trong đó có 2 hoành độ dƣơng
+) Lập cấp số cộng
d. Với m nào thì tiếp tuyến tại điểm x = 1 cắt 2 trục tọa độ tạo 1 tam giác có diện tích
bằng 2( đvdt)
e. Gọi H, P là 2 điểm trên
+) Tìm m để H, P đối xứng nhau qua góc tọa độ
+) Có hay không giá trị m nguyên để H,P có tọa độ ngyên
f. Với m nào thì tiếp tuyến tại hai điểm cực trị vuông góc nhau
g. Định m để:
+) nhận I( , ) làm tâm đối xứng
+) Điểm uốn có hoành độ thỏa mãn
BÀI 02
Cho hàm số , có đồ thị là

1. Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ đƣợc đúng 3 tiếp tuyến của đồ thị
, trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc nhau
2. Gọi là hoành độ giao điểm của và . Định m để:
a. Hoành độ lập thành cấp số nhân
b. = 27
3. Gọi . Định m để cắt © tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
thỏa mãn :
a. Hoành độ lập cấp số cộng
b. Hoành độ lập cấp số nhân
c. = 0
d. = 0
4. Định m để 2 cực trị của nằm về hai miền khác nhau của
5. Với m nào thì tiếp xúc

BÀI 03 Bài tập cơ bản mà
Cho hàm số có đồ thị là , m là tham
số
Câu hỏi bình thường tương tự BÀI 01 VÀ BÀI 02
1. Cho m = 1, đồ thị là
a. Tìm trên đƣờmg thẳng y = 6 những điểm M có tọa độ nguyên sao cho qua m kẻ
đƣợc :
* Duy nhất một tiếp tuyến đến
* Hai tiếp tuyến đến
* Ba tiếp tuyến đến
* Ba tiếp tuyến đến mà trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc
b. Tƣơng tự cho
c. Lập phƣơng trình tiếp tuyến của để tiếp tuyến đó
* Có hệ số góc
* Song song với đƣờng thẳng :
* Vuông góc với đƣờng thẳng :
d. CMR: tồn tại duy nhất một tiếp tuyến qua điểm uốn của có hệ số góc nhỏ nhất
Câu hỏi khác
2. Tìm để đi qua điểm
3. Định m để hàm số đồng biến
*