Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng fourier, fourier cosine, fourier sine và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
−−−−−−−−−

NGUYỄN THANH HỒNG

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER, FOURIER
COSINE, FOURIER SINE VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62 46 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2012


Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại
học Quốc gia Hà Nội

Tập thể hướng dẫn khoa học:PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu

Phản biện 1: GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh
Phản biện 2: GS. TSKH. Hà Huy Khoái
Phản biện 3: GS. TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp
tại phòng Hội thảo, tầng 4, nhà T1, trường ĐHKHTN Hà Nội
vào hồi 14 giờ 00 ngày 01 tháng 3 năm 2012

Có thể tìm hiểu luận án này tại:
- Thư Viện Quốc Gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội


MỤC LỤC
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . .

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

MỞ ĐẦU

Chương 1. PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP FOURIER
18

SINE VỚI HÀM TRỌNG

1.1

Định lí kiểu Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2

Định lí kiểu Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3

Ứng dụng giải phương trình và hệ phương trình tích phân . . 30

Chương 2. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY
40

RỘNG VỚI HÀM TRỌNG

2.1

Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sinecosine với hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2

2.1.1

Định lí kiểu Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.2

Định lí kiểu Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.1.3

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosinesine với hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.1

Tính unita trong không gian L2 (R+ ) . . . . . . . . . . 53

2.2.2

Xấp xỉ theo chuẩn trong không gian L2 (R+ ) . . . . . . 59

2.2.3

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5


2.3

Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sine,
Fourier và Fourier cosine với hàm trọng . . . . . . . . . . . . . 66
2.3.1

Tính chất toán tử tích chập suy rộng . . . . . . . . . . 67

2.3.2

Định lí kiểu Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG
3.1

77

Bất đẳng thức đối với tích chập Fourier cosine . . . . . . . . . 77
3.1.1

Định lí kiểu Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.1.2

Một bất đẳng thức trong không gian với trọng đối với
tích chập Fourier cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.1.3

Áp dụng đánh giá nghiệm một số bài toán trong không
gian Lp (R+ , ρ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.2

3.3

Một số lớp các phương trình tích phân Toeplitz-Hankel . . . . 88
3.2.1

Phương trình Toeplitz-Hankel có nhân đặc biệt . . . . 88

3.2.2

Phương trình Toeplitz-Hankel có vế phải đặc biệt . . . 94

Một số lớp các bài toán vi-tích phân . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3.1

Bài toán vi-tích phân kiểu phép biến đổi tích chập suy
rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.3.2

Hệ phương trình vi-tích phân kiểu phép biến đổi tích
chập suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN
ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

−6−


MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN
a. Các không gian hàm dùng trong luận án
•

R+ = {x ∈ R, x > 0}.

•

Lp (R+ ), 1

p < ∞ là tập hợp các hàm số f (x) xác định trên R+ sao

cho

∞

|f (x)|p dx < ∞.

f (x) :
0

•

L∞ (R+ ) là tập hợp các hàm số f (x) xác định trên R+ sao cho
f (x) : sup |f (x)| < ∞.
x∈R+

•

Lp (R+ , ρ), 1

p < ∞ là tập hợp các hàm số f (x) xác định trên R+ sao

cho

∞

|f (x)|p ρ(x)dx < ∞
0

trong đó ρ là một hàm trọng dương.
•

f

Lp (R)

là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R), xác định bởi
∞

f

Lp (R)

p

|f (x)| dx

=

1
p

.

−∞

•

f

Lp (R+ )

là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R+ ), xác định bởi
∞

f

Lp (R+ )

p

|f (x)| dx

=

1
p

.

0

•

f

Lp (R+ ,ρ)

là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R+ , ρ), xác định bởi
∞

f

Lp (R+ ,ρ)

p

|f (x)| ρ(x)dx

=
0

7

1
p

.


b. Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng dùng trong luận án
•

(· ∗ ·) (xem trang 10) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier.

•

(· ∗ ·) (xem trang 11) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine.

•

(· ∗ ·) (xem trang 12) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi

F

Fc
1

Fourier sine và Fourier cosine.
•

γ

(· ∗ ·) (xem trang 18) là tích chập với hàm trọng γ(y) = sin y đối với
Fs

phép biến đổi Fourier sine.
•

(· ∗ ·) (xem trang 24) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi
2

Fourier cosine và Fourier sine.
•

γ

(· ∗ ·) (xem trang 25) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin y
1

đối với các phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine.
•

γ

(· ∗ ·) (xem trang 30) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin y
2

đối với các phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine.
•

γ

(· ∗ ·) (xem trang 66) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−y sin y
3

đối với các phép biến đổi Fourier sine, Fourier và Fourier cosine.
•

γ

(· ∗ ·) (xem trang 66) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−y sin y
4

đối với các phép biến đổi Fourier cosine, Fourier và Fourier sine.

−8−


MỞ ĐẦU
1. Lịch sử vấn đề và lí do lựa chọn đề tài
Lý thuyết phép biến đổi tích phân đã ra đời và liên tục phát triển trong
suốt mấy trăm năm qua và có ứng dụng trong nhiều ngành khoa học, đặc biệt
là trong các ngành Vật lí như quang học, điện, cơ học lượng tử, âm thanh.
Lý thuyết phép biến đổi tích phân và tích chập đối với các phép biến đổi tích
phân còn có vai trò không thể thiếu trong các ngành y sinh học, địa lí, hải
dương học, ... Các phép biến đổi tích phân ra đời rất sớm và có vai trò đặc
biệt quan trọng trong lí thuyết cũng như trong ứng dụng phải kể đến trước
hết là phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, phép biến
đổi Laplace, phép biến đổi Mellin, sau đó là các phép biến đổi tích phân
Hankel, Kontorovich-Lebedev, Stieltjes, .... Bản thân phép biến đổi Fourier
cũng ra đời xuất phát từ bài toán thực tế, khi Fourier J. nghiên cứu về quá

trình truyền nhiệt.
Phép biến đổi Fourier có dạng (xem [9, 41])
∞

1
(F f )(x) = F [f ](x) = √
2π

e−ixy f (y)dy, f ∈ L1 (R),

(0.1)

−∞
N

1
(F f )(x) = F [f ](x) = lim √
N →+∞
2π

e−ixy f (y)dy, f ∈ Lp (R), 1

p

2.

−N

(0.2)
Nếu g(x) = (F f )(x) ∈ L1 (R) ta có phép biến đổi Fourier ngược như sau

(xem [9, 41])
∞

1
f (x) = (F −1 g)(x) = F −1 [g](x) = √
2π
9

eixy g(y)dy.
−∞

(0.3)


Nếu g(x) = (F f )(x) ∈ Lp (R), 1

p

2, thì ta có phép biến đổi Fourier

ngược như sau (xem [9, 41])
N

1
f (x) = (F −1 g)(x) = F −1 [g](x) = lim √
N →+∞
2π

eixy g(y)dy.

(0.4)

−N

Trong trường hợp f là hàm số chẵn hoặc lẻ ta nhận được phép biến đổi
Fourier cosine và Fourier sine có dạng sau (xem [38, 41])
∞

(Fc f )(y) = Fc [f ](y) =

2
π

f (x) cos xydx, f ∈ L1 (R+ ),

(0.5)

0
∞

(Fs f )(y) = Fs [f ](y) =

2
π

f (x) sin xydx, f ∈ L1 (R+ ),

(0.6)

0

và với f ∈ Lp (R+ ), 1

p

2, ta có
N

(Fc f )(y) = Fc [f ](y) = lim

N →∞

2
π

f (x) cos yxdx,

(0.7)

f (x) sin yxdx,

(0.8)

0
N

(Fs f )(y) = Fs [f ](y) = lim

N →∞

2
π
0

1 1
+ = 1, và các giới hạn được
p q
hiểu theo chuẩn trong không gian Lq (R+ ). Các định nghĩa trên trùng nhau
trong đó, q là số mũ liên hợp của p, tức là

nếu f ∈ L1 (R+ ) ∩ Lp (R+ ).
Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập đối với các phép
biến đổi tích phân cũng xuất hiện vào khoảng đầu thế kỉ 20. Tích chập đầu
tiên được xây dựng là tích chập đối với phép biến đổi Fourier, cụ thể tích
chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi Fourier có dạng như sau (xem
[39])
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
F
2π

f (y)g(x − y)dy,
−∞

−10−

x ∈ R.

(0.9)


Tích chập này thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá sau (xem [39])
F [f ∗ g](y) = (F f )(y)(F g)(y), ∀y ∈ R, f, g ∈ L1 (R).
F

Năm 1951, Sneddon I. N. xây dựng tích chập của hai hàm f và g đối với phép
biến đổi Fourier cosine như sau (xem [39])
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
Fc
2π

f (y)[g(x + y) + g(|x − y|)]dy, x > 0.

(0.10)

0

Tích chập này thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá và đẳng thức Parseval sau
(xem [39, 5])
Fc [f ∗ g](y) =(Fc f )(y)(Fc g)(y), ∀y > 0, f, g ∈ L1 (R+ ),
Fc

(f ∗ g)(x) =Fc [(Fc f )(y)(Fc g)(y)](x), ∀x > 0, f, g ∈ L2 (R+ ).
Fc

(0.11)
(0.12)

Sau đó, các tích chập đối với các phép biến đổi Laplace, Mellin đã được xây
dựng và nghiên cứu (xem [17, 13]). Tích chập đối với các phép biến đổi tích
phân có nhiều ứng dụng lí thú trong tính toán tích phân, tính tổng của chuỗi,
giải các bài toán Vật lí-Toán, phương trình vi phân, phương trình tích phân,
phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi-tích phân, lí thuyết xác suất,
xử lí ảnh, ....
Mặc dù có rất nhiều ứng dụng thú vị trong nhiều lĩnh vực khác nhau nhưng
cho đến trước những năm 50 của thế kỉ trước, không có nhiều tích chập đối
với các phép biến đổi tích phân được xây dựng.
Năm 1958, lần đầu tiên Vilenkin Y.Ya. thiết lập được công thức tích chập
với hàm trọng đối với phép biến đổi Mehler-Fox (xem [58]). Gần một thập
kỉ sau, năm 1967, Kakichev V.A. đã đưa ra một phương pháp kiến thiết để
xây dựng tích chập với hàm trọng đối với một phép biến đổi tích phân bất
kì (xem [20]). Nhờ đó, ông đã xây dựng được tích chập đối với các phép biến
đổi tích phân Hankel, Kontorovich-Lebedev, tích chập với hàm trọng đối với
phép biến đổi tích phân Fourier sine (xem [20])...
−11−


Vào năm 1951, trong cuốn sách của mình [38], Sneddon I.N. đưa ra một
công thức tích chập "lạ", khi trong đẳng thức nhân tử hoá của nó có hai
phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine. Tích chập này xác
định như sau (xem [38])
∞

1
(f ∗ g)(x) = √

1
2π

f (u)[g(|x − u|) − g(x + u)]du,

x > 0,

(0.13)

0

thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá và đẳng thức Parseval dưới đây (xem [38, 6])
Fs [f ∗ g])(y) =(Fs f )(y)(Fc g)(y), f, g ∈ L1 (R+ ),
1

(f ∗ g)(x) =Fs [(Fs f )(y)(Fc g)(y)](x), f, g ∈ L2 (R+ ).
1

(0.14)
(0.15)

Khoảng những năm 90 của thế kỉ trước, Yakubovich S. B. đã giới thiệu một
số tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Mellin, KontorovichLebedev, phép biến đổi G và phép biến đổi H theo chỉ số. Trong đó đẳng
thức nhân tử hoá có các phép biến đổi khác nhau thuộc cùng một họ. Trên
cơ sở đó và tiếp theo ý tưởng của Kakichev V.A. [20], năm 1998, Kakichev
V.A. và Nguyễn Xuân Thảo đã đưa ra phương pháp kiến thiết xây dựng tích
chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phân bất kì (xem
[22]). Kết quả trên đã mở ra một hướng mới nghiên cứu và xây dựng tích
chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân khác nhau. Cho đến nay,
dựa trên công trình này, một số tích chập suy rộng đã được xây dựng và

nghiên cứu, chẳng hạn tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Stieltjes,
Hilbert, Fourier cosine và Fourier sine (xem [43]); tích chập suy rộng đối với
phép biến đổi I (xem [2, 52]); tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các
phép biến đổi Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev ngược (xem [2, 55]);
tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân dạng Fourier (xem
[15, 16]) .... Tiếp theo, mở rộng khái niệm về tích chập suy rộng, khái niệm
về đa chập đã được Kakichev V.A. xây dựng năm 1998 (xem [21]). Đặc biệt,
năm 2008, trong Luận án Tiến sĩ của mình (xem [1]), tác giả Nguyễn Minh
−12−


Khoa đã xây dựng một số tích chập suy rộng với hàm trọng đối với nhóm
các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và Fourier cosine, góp phần
làm phong phú hơn lý thuyết tích chập, tích chập suy rộng đối với nhóm các
phép biến đổi trên (xem [48, 45, 51, 47, 49, 25]).
Ngoài ra, sử dụng công cụ tích chập, một số lớp phương trình tích phân
Toeplitz-Hankel (xem [19, 57])
∞

[k1 (x + y) + k2 (x − y)]f (y)dy = g(x), x ∈ R+ ,

f (x) +

(0.16)

0

có thể giải được và cho nghiệm dưới dạng đóng (xem [42]). Phương trình này
có rất nhiều ứng dụng thú vị trong các lĩnh vực khác nhau như lí thuyết tán
xạ, lí thuyết động lực học chất lỏng, lí thuyết lọc tuyến tính, trong nghiên

cứu về va chạm đàn hồi, tán xạ khí quyển, động lực học khí loãng, ... (xem
[19, 57]). Tuy nhiên, ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt đối với nhân Hankel
k1 và nhân Toeplitz k2 , bài toán tìm nghiệm đóng cho phương trình (0.16)
tổng quát cho đến nay vẫn là bài toán mở.
Bên cạnh đó, dễ thấy phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (0.16) có
thể viết lại dưới dạng sau
f (x) +

√

2π(f ∗ h1 )(x) +
Fc

√

2π(f ∗ h2 )(x) = g(x), x > 0,
1

trong đó h1 = 21 (k1 + k2 ) và h2 = 21 (k2 − k1 ). Vì vậy, nghiên cứu các tích
chập, tích chập suy rộng có thể mở rộng các lớp phương trình tích phân
Toeplitz-Hankel (0.16) giải được nghiệm dưới dạng đóng.
Song song với lí thuyết phép biến đổi tích phân và tích chập đối với các
phép biến đổi tích phân, các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập cũng
được xây dựng, nghiên cứu và cho nhiều ứng dụng thú vị. Cụ thể, trong tích
chập bất kì của hai hàm f và g, nếu ta cố định một hàm, chẳng hạn cố định
g ≡ k, như là nhân của nó, và cho hàm f biến thiên trong một không gian
hàm xác định, ta được phép biến đổi tích phân kiểu tích chập f → g = f ∗ k.
−13−

Phép biến đổi tích phân nổi tiếng nhất xây dựng theo cách trên là phép biến
đổi Watson, dựa vào tích chập Mellin và phép biến đổi Mellin (xem [41])
∞

f (x) → g(x) =

k(xy)f (y)dy.
0

Hơn nữa, ta cũng có thể nghiên cứu phép biến đổi tổng quát dạng f (x) →
g = D(f ∗ k)(x), trong đó D là một toán tử nào đó. Trong những năm gần
đây, một số lớp các phép biến đổi tích phân dạng trên liên quan đến tích chập
Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev, Mellin đã được xây dựng
và nghiên cứu trong [5, 6, 11, 12, 28, 29, 54, 59]. Tuy nhiên, tất cả các công
trình này đều nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và tích
chập suy rộng không có hàm trọng. Đối với các tích chập và tích chập suy
rộng có hàm trọng, chưa có công trình nào nghiên cứu về phép biến đổi tích
chập suy rộng dạng trên. Bên cạnh đó, mặc dù có nhiều ứng dụng trong các
bài toán cơ học, vật lí, kĩ thuật, thậm chí sinh học và có khá nhiều các công
trình nghiên cứu về phương trình vi-tích phân kiểu tích chập trong thời gian
gần đây (xem [7, 26]), không có nhiều phương trình, hệ phương trình vi-tích
phân có thể giải được nghiệm dưới dạng đóng. Trong trường hợp D là các
toán tử vi phân, ta có thể áp dụng vào thiết lập công thức nghiệm đóng cho
các phương trình và hệ phương trình vi-tích phân tương ứng.
Do những ưu điểm của tích chập và tích chập suy rộng trong việc giải
các bài toán phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình
đạo hàm riêng, các bài toán Toán-lí, ..., việc giải các bài toán đó thường
nhận được nghiệm biểu diễn dưới dạng tích chập, vì vậy, xây dựng các bất
đẳng thức tích chập để thuận tiện cho việc đánh giá nghiệm là một hướng
nghiên cứu được rất nhiều các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Một bất

đẳng thức điển hình đối với tích chập phải kể tới là bất đẳng thức Young đối
với tích chập Fourier (xem [3]). Tuy nhiên, trong không gian hàm điển hình
L2 (R), bất đẳng thức này không đúng.
Trong một loạt các công trình [34, 37, 35, 36], các tác giả Saitoh S., Vũ
−14−


Kim Tuấn, Yamamoto M. đã xây dựng một lớp bất đẳng thức đối với các
tích chập Fourier và tích chập Laplace trong không gian Lp (R, ρ) với hàm
trọng ρ(x) và đưa ra một số ứng dụng thú vị. Ưu điểm của các bất đẳng thức
này là áp dụng được cho trường hợp p = 2. Bất đẳng thức tương ứng với tích
chập đối với các phép biến đổi tích phân khác, cũng như đối với tích chập
với hàm trọng, tích chập suy rộng với hàm trọng vẫn chưa được xây dựng và
nghiên cứu.
Với những lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài với tên gọi là "Các phép
biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier, Fourier sine, Fourier
cosine và ứng dụng".
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích của Luận án là xây dựng và nghiên cứu các phép biến đổi tích
phân kiểu tích chập với hàm trọng và kiểu tích chập suy rộng với hàm trọng
đối với nhóm các phép biến đổi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine. Cụ thể,
chúng tôi nghiên cứu các tính chất của các toán tử tích phân xây dựng được
như tính unita trong không gian L2 (R+ ), và tính bị chặn trong không gian
Lp (R+ ), 1

p

2. Từ đó, chúng tôi xây dựng những ứng dụng cụ thể như

đánh giá nghiệm của các bài toán phương trình vi phân, phương trình tích

phân, phương trình đạo hàm riêng; giải các phương trình tích phân ToeplitzHankel cho nghiệm biểu diễn dưới dạng đóng; giải các phương trình vi-tích
phân và hệ phương trình tích phân cho nghiệm biểu diễn dưới dạng đóng.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong Luận án này, chúng tôi sử dụng các kĩ thuật phép biến đổi tích
phân, kĩ thuật đánh giá tích phân trong các không gian Lp (R), Lp (R+ ) và
Lp (R+ , ρ) để chứng minh sự tồn tại của các phép biến đổi tích phân và tính
bị chặn của chúng trong không gian Lp (R+ ). Sử dụng các kĩ thuật đánh giá
bất đẳng thức trong không gian Lp (R+ ) để chứng minh các bất đẳng thức và
xây dựng các đánh giá nghiệm. Bên cạnh đó, chúng tôi còn sử dụng các kĩ
thuật phép biến đổi Fourier, Fourier sine và Fourier cosine vào xây dựng và
−15−


giải các phương trình tích phân Toeplitz-Hankel, phương trình và hệ phương
trình tích phân, phương trình và hệ phương trình vi-tích phân.
4. Cấu trúc và các kết quả của Luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận án được chia
làm ba chương:
Chương 1, xây dựng và nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập
với hàm trọng đối với phép biến đổi Fourier sine, nhận được điều kiện cần và
đủ để phép biến đổi xây dựng được là unita trong không gian L2 (R+ ). Định lí
kiểu Plancherel và tính bị chặn của phép biến đổi mới xây dựng trong không
gian Lp (R+ ) đã được chứng minh.
Chương 2, xây dựng và nghiên cứu các lớp phép biến đổi tích phân liên
quan đến tích chập suy rộng với hàm trọng đối với nhóm các phép biến đổi
tích phân Fourier cosine, Fourier và Fourier sine. Định lí chính trong phần
này là các định lí kiểu Watson, thiết lập điều kiện cần và đủ cho tính unita
của các phép biến đổi mới xây dựng được trong không gian L2 (R+ ). Bên cạnh
đó, chúng tôi xây dựng một số ví dụ cụ thể minh hoạ cho sự tồn tại của các
lớp phép biến đổi này. Ứng dụng các phép biến đổi này trong việc giải các

bài toán vi-tích phân và hệ phương trình vi-tích phân được trình bày cụ thể
trong Chương 3.
Trong Chương 3, chúng tôi xây dựng một số bất đẳng thức đối với tích
chập Fourier cosine trong không gian hàm Lp (R+ , ρ) với hàm trọng dương
ρ và áp dụng đánh giá nghiệm các bài toán phương trình vi phân thường,
phương trình tích phân và phương trình đạo hàm riêng. Ứng dụng của tích
chập, tích chập suy rộng để thiết lập và giải một số lớp phương trình tích
phân Toeplitz-Hankel trong trường hợp nhân đặc biệt và trường hợp nhân
bất kì nhưng vế phải đặc biệt cũng được nghiên cứu. Phần cuối chương là
ứng dụng các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng với hàm trọng
xây dựng trong chương 2 vào giải một số lớp phương trình vi-tích phân và
hệ phương trình vi-tích phân.
−16−


5. Ý nghĩa của các kết quả của Luận án
Sự khác biệt giữa các kết quả của luận án và các luận án trước đó theo
cùng hướng nghiên cứu của tác giả (xem [1, 2]) thể hiện ở việc tích chập đối
với các phép biến đổi tích phân và phép biến đổi tích phân kiểu tích chập là
hai đối tượng hoàn toàn khác nhau, vì vậy cách tiếp cận, nghiên cứu chúng
cũng khác nhau. Hơn nữa, các kết quả của luận án được xây dựng trong
không gian L2 (R+ ) và Lp (R+ ), 1

p

2 thay vì trong L1 (R+ ) như trong

các luận án trước. Các kết quả của Luận án góp phần làm phong phú thêm về
lí thuyết các phép biến đổi tích phân, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập
suy rộng, và bất đẳng thức tích chập suy rộng; phong phú thêm lí thuyết

phương trình tích phân, phương trình vi-tích phân. Các kết quả và ý tưởng
của luận án có thể sử dụng trong nghiên cứu các phép biến đổi tích phân
kiểu tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân khác. Nội dung
chính của Luận án dựa trên các công trình đã công bố, liệt kê ở mục "Danh
mục công trình đã công bố liên quan đến Luận án" (trang 113), các
kết quả này đã được báo cáo tại:
- Hội nghị Toán học Toàn quốc lần thứ 7 tại Quy Nhơn năm 2007; Hội nghị
Quốc tế Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều và ứng dụng (ICFIDCAA)
năm 2008; Hội nghị Quốc tế Kravchuk, Ukraine lần thứ 8, 2010; Hội nghị
toàn Quốc Toán học và ứng dụng lần thứ III năm 2010; Hội nghị trường
ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội các năm 2009, 2010.
- Seminar Giải tích và Seminar Giải tích-Đại số, Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên Hà Nội; Seminar Giải tích, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội;
Seminar Tối ưu và Điều khiển, Viện Toán học.

−17−


Chương 1
PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP
FOURIER SINE VỚI HÀM TRỌNG
Tích chập của hai hàm f và g với hàm trọng γ(y) = sin y đối với phép
biến đổi tích phân Fourier sine xác định như sau (xem [20, 50])
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
Fs
2 2π
γ

f (y)[sign(x + y − 1)g(|x + y − 1|)
0

− g(x + y + 1) + sign(x − y + 1)g(|x − y + 1|)
− sign(x − y − 1)g(|x − y − 1|)]dy, x > 0, (1.1)
tích chập này thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá [20, 50]
γ

Fs (f ∗ g)(y) = sin y(Fs f )(y)(Fs g)(y), ∀y > 0, f, g ∈ L1 (R+ ),
Fs

(1.2)

trong đó, Fs là phép biến đổi Fourier sine (xem [9]). Tích chập này được
nghiên cứu kĩ hơn trong tài liệu [50].
Trong chương này, chúng tôi xây dựng và nghiên cứu một lớp các phép
biến đổi tích phân liên quan đến tích chập (1.1), cụ thể, lớp các phép biến
đổi có dạng
d2
(K1;k1 ,k2 f )(x) = 1− 2
dx

∞

f (y)[sign(x+y−1)k1 (|x+y−1|)−k1 (x+y+1)
0

+ sign(x − y + 1)k1 (|x − y + 1|) − sign(x − y − 1)k1 (|x − y − 1|)]dy
∞

f (y)[k2 (|x − y|) − k2 (x + y)]dy , (1.3)

+
0

18


Chúng ta nhận được điều kiện cần và đủ đối với k1 và k2 , để phép biến đổi (1.3)
là unita trong L2 (R+ ). Các định lí kiểu Watson và Plancherel cho lớp phép
biến đổi trên (1.3) trong L2 (R+ ) cũng được chứng minh. Hơn nữa, tính bị chặn
của toán tử tích phân (1.3) từ Lp (R+ ) vào Lq (R+ ) (1

p

2), p−1 + q −1 = 1

cũng được chứng minh.

1.1

Định lí kiểu Watson

Trước tiên, ta chứng minh đẳng thức Parseval sau đây
Bổ đề 1.1.1 Cho hai hàm f, g ∈ L2 (R+ ). Khi đó ta có đẳng thức Parseval
sau
∞

f (u)[sign(x + u − 1)g(|x + u − 1|) + sign(x − u + 1)g(|x − u + 1|)

0

− g(x + u + 1) − sign(x − u − 1)g(|x − u − 1|)]du
√
= 2 2πFs sin u(Fs f )(u)(Fs g)(u) (x), ∀x > 0. (1.4)
Chứng minh. Giả sử f1 và g1 tương ứng là mở rộng lẻ của f và g từ R+ vào
R. Khi đó trên R+ ta có F f1 = −iFs f và F g1 = −iFs g. Sử dụng đẳng thức
Parseval đối với phép biến đổi Fourier
∞

∞

(F f )(y)(F g)(y)eixy dy,

f (y)g(x − y)dy =
−∞

−∞

ta có
∞

f (u)[sign(x + u − 1)g(|x + u − 1|) + sign(x − u + 1)g(|x − u + 1|)
0

− g(x + u + 1) − sign(x − u − 1)g(|x − u − 1|)]du =
∞

f1 (u)[g1 (x + u − 1) + g1 (x − u + 1) − g1 (x + u + 1) − g1 (x − u − 1)]du

=
0

−19−


∞

∞

f1 (u)g1 (x − u + 1)du −

=
−∞
∞

f1 (u)g1 (x − u − 1)du

−∞
∞

(F f1 )(u)(F g1 )(u)ei(x+1)u du −

=
−∞
∞

(F f1 )(u)(F g1 )(u)ei(x−1)u du

−∞

(F f1 )(u)(F g1 )(u){cos((x + 1)u) + i sin (x + 1)u }du−

=
−∞

∞

(F f1 )(u)(F g1 )(u){cos((x − 1)u) + i sin (x − 1)u }du.

−
−∞

Mặt khác, để ý rằng hàm số (F f1 )(u)(F g1 )(u) sin (x + 1)u và hàm số
(F f1 )(u)(F g1 )(u) sin (x − 1)u

là các hàm số lẻ đối với u nên tích phân

trên R của chúng bằng 0, suy ra
∞

f (u)[sign(x + u − 1)g(|x + u − 1|) + sign(x − u + 1)g(|x − u + 1|)
0

− g(x + u + 1) − sign(x − u − 1)g(|x − u − 1|)]du =
∞

(F f1 )(u)(F g1 )(u) cos (x + 1)u du

=

−∞

∞

−

(F f1 )(u)(F g1 )(u) cos (x − 1)u du

−∞
∞

=−2

(F f1 )(u)(F g1 )(u) sin u sin(xu)du

−∞
∞

=−4

(F f1 )(u)(F g1 )(u) sin u sin(xu)du
0

√
=2 2πFs sin u(Fs f )(u)(Fs g)(u) (x).
✷

Bổ đề đã chứng minh xong.
−20−

Định lí 1.1.1 Giả sử k1 , k2 là hai hàm số trong không gian L2 (R+ ). Khi đó
điều kiện
|2 sin y(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y)| = √

1
,
2π(1 + y 2 )

(1.5)

là cần và đủ để phép biến đổi tích phân dạng f (x) → (K1;k1 ,k2 f )(x) = g(x),
trong đó g(x) xác định như sau
d2
(K1;k1 ,k2 f )(x) = 1− 2
dx

∞

f (u)[sign(x+u−1)k1 (|x+u−1|)−k1 (x+u+1)
0

+ sign(x − u + 1)k1 (|x − u + 1|) − sign(x − u − 1)k1 (|x − u − 1|)]du
∞

f (u)[k2 (|x − u|) − k2 (x + u)]du , (1.6)

+
0

là unita trên L2 (R+ ) và phép biến đổi ngược có dạng sau
2

f (x) = 1 −

∞

d
dx2

k 1 (u)[sign(x + u − 1)g(|x + u − 1|) − g(x + u + 1)
0

+ sign(x − u + 1)g(|x − u + 1|) − sign(x − u − 1)g(|x − u − 1|)]du
∞

g(u)[k2 (|x − u|) − k2 (x + u)]du , (1.7)

+
0

ở đây k 1 , k 2 là liên hợp phức tương ứng của k1 , k2 .
Nhận xét 1.1.1 Phép biến đổi (1.6) và phép biến đổi ngược của nó (1.7) có
thể viết lại dưới dạng sau
d2
dx2

√
√
γ

2 2π(f ∗ k1 )(x) + 2π(f ∗ k2 )(x) ,

d2
= 1− 2
dx

√
√
γ
2 2π(k1 ∗ g)(x) + 2π(g ∗ k2 )(x) .

(K1;k1 ,k2 f )(x) = g(x) = 1 −
f (x) =

−1
(K1;k
g)(x)
1 ,k2

Fs

Fs

−21−

1

1

Chứng minh (Định lí 1.1.1). Điều kiện cần. Giả sử k1 và k2 thoả mãn điều
kiện (1.5). Ta biết rằng các hàm h(y), yh(y), y 2 h(y) thuộc không gian L2 (R)
khi và chỉ khi đồng thời các hàm (F h)(x),

d
dx (F h)(x)

và

d2
dx2 (F h)(x)

cũng

thuộc L2 (R) (Định lí 68, tr. 92, [41]). Ngoài ra,
1 d2
d2
√
(F
h)(x)
=
dx2
2π dx2

∞

h(y)e−ixy dy = F (−iy)2 h(y) (x).
−∞

Đặc biệt, nếu h tương ứng là hàm chẵn hay hàm lẻ sao cho h(y) và y 2 h(y)

thuộc L2 (R+ ) thì ta có các đẳng thức sau
d2
(Fc h)(x) = Fc (1 + y 2 )h(y) (x),
2
dx
(1.8)
d2
1 − 2 (Fs h)(x) = Fs (1 + y 2 )h(y) (x).
dx
√
Theo điều kiện (1.5), suy ra 2π(1+y 2 ) 2 sin y(Fs k1 )(y)+(Fc k2 )(y) bị chặn,
√
nên 2π(1 + y 2 ) 2 sin y(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y) (Fs f )(y) ∈ L2 (R+ ). Từ đó, sử
1−

dụng bổ đề 1.1.1, đẳng thức Parseval đối với tích chập suy rộng (0.13) và
công thức (1.8) ta có
g(x) =
√
√
d2
= 1 − 2 Fs 2 2π sin y(Fs k1 )(y)(Fs f )(y) + 2π(Fs f )(y)(Fc k2 )(y) (x)
√ dx
=Fs 2π(1 + y 2 ) 2 sin y(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y) (Fs f )(y) (x).
Theo đẳng thức Parseval đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine
f

L2 (R+ )

= Fs f

L2 (R+ )

và chú ý rằng k1 và k2 thoả mãn điều kiện (1.5)

ta có
g

L2 (R+ )

=

√

2π(1 + y 2 )(2 sin y(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y))(Fs f )(y)

= Fs f

L2 (R+ )

= f

L2 (R+ )

L2 (R+ ) .

Vậy phép biến đổi (1.6) là đẳng cự.
√
Mặt khác, do 2π(1 + y 2 ) 2 sin y(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y) (Fs f )(y) ∈ L2 (R+ ),
−22−

ta có
(Fs g)(y) =

√

2π(1 + y 2 ) 2 sin y(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y) (Fs f )(y).

Từ điều kiện (1.5) suy ra
√
(Fs f )(y) = 2π(1 + y 2 ) 2 sin y(Fs k 1 )(y) + (Fc k 2 )(y) (Fs g)(y).
√
Lại từ điều kiện (1.5) đối với k1 , k2 dẫn tới 2π(1 + y 2 ) 2 sin y(Fs k 1 )(y) +
(Fc k 2 )(y) (Fs g)(y) ∈ L2 (R+ ). Sử dụng công thức (1.8) ta có
√
f (x) = Fs 2π(1 + y 2 )(2 sin y(Fs k 1 )(y) + (Fc k 2 )(y))(Fs g)(y) (x)
√
√
d2
= 1 − 2 Fs 2 2π sin y(Fs k 1 )(y)(Fs g)(y) + 2π(Fs g)(y)(Fc k 2 )(y) (x)
dx
d2
= 1− 2
dx

∞

k 1 (y)[sign(x + y − 1)g(|x + y − 1|) − g(x + y + 1)
0

+ sign(x − y + 1)g(|x − y + 1|) − sign(x − u − 1)g(|x − u − 1|)]du
∞

g(y)[k2 (|x − y|) − k2 (x + y)]dy .

+
0

Vậy phép biến đổi (1.6) là unita trên L2 (R+ ) và phép biến đổi ngược có dạng
(1.7).
Điều kiện đủ. Giả sử phép biến đổi (1.6) là unita trên L2 (R+ ) với phép
biến đổi ngược dạng (1.7). Khi đó theo hệ thức Parseval đối với phép biến
đổi Fourier sine ta có
√
g L2 (R+ ) = 2π(1 + y 2 )(2 sin y(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y))(Fs f )(y)
= Fs f

L2 (R+ )

= f

L2 (R+ ) ,

∀f ∈ L2 (R+ ).

L2 (R+ )

(1.9)

Xét toán tử nhân Mθ [·] xác định bởi Mθ [f ](y) = θ(y)f (y), trong đó θ(y) =
√
2π(1 + y 2 )(2 sin y(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y). Từ (1.9) suy ra Mθ [·] là toán tử
unita trong L2 (R+ ). Điều này xảy ra khi và chỉ khi
√
| 2π(1 + y 2 )(2 sin y(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y))| = 1.
−23−


Do đó k1 và k2 thoả mãn điều kiện (1.5). Định lí được chứng minh xong. ✷
Tích chập suy rộng của hai hàm f và g đối với các phép biến đổi tích
phân Fourier cosine và sine có dạng (xem [23])
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
2
2π

f (y)[sign(y − x)g(|y − x|) + g(y + x)]dy, x > 0, (1.10)
0

tích chập suy rộng này thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá và đẳng thức Parseval
dưới đây [23, 54]
Fc [f ∗ g](y) =(Fs f )(y)(Fs g)(y), f, g ∈ L1 (R+ ),
2

(f ∗ g)(x) =Fc [(Fs f )(y)(Fs g)(y)](x), f, g ∈ L2 (R+ ).
2

(1.11)
(1.12)

Dưới đây ta chỉ ra một lớp hàm k1 , k2 thoả mãn điều kiện (1.5). Giả sử
h1 , h2 ∈ L2 (R+ ) thoả mãn điều kiện
|(Fs h1 )(y)(Fs h2 )(y)| =

1
.
(1 + y 2 )(1 + sin2 y)

(1.13)

Chẳng hạn,
h1 (x) =Fs
h2 (x) =Fs

eiu(x)
(1 + y 2 )(1 + sin2 y)
eiv(x)
(1 + y 2 )(1 + sin2 y)

(x);
(x),

trong đó u, v là các hàm xác định trên R+ .
Cho k1 , k2 xác định bởi
γ
1
k1 (x) = √ (h1 ∗ h2 )(x),

Fs
2 2π

1
k2 (x) = √ (h1 ∗ h2 )(x),
2
2π

γ

trong đó (· ∗ ·) xác định bởi (1.1) và (· ∗ ·) xác định bởi (1.10) Khi đó
2

Fs

k1 , k2 ∈ L2 (R+ ) và từ các đẳng thức nhân tử hoá (1.2), (1.11) ta có
−24−


2 sin y(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y) =
1
1
= √ sin2 y(Fs h1 )(y)(Fs h2 )(y) + √ (Fs h1 )(y)(Fs h2 )(y)
2π
2π
1
1
= √ (1 + sin2 y)(Fs h1 )(y)(Fs h2 )(y) = √
.
2π

2π(1 + y 2 )
Vậy k1 và k2 thoả mãn điều kiện (1.5).
Một tích chập suy rộng khác của hai hàm f và g với hàm trọng γ(y) = sin y
đối với các phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine cùng với đẳng thức
nhân tử hoá tương ứng có dạng (xem [48])
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
1
2 2π
γ

f (u)[g(|x + u − 1|) + g(|x − u − 1|)
0

−g(x + u + 1) − g(|x − u + 1|)]du, x > 0,

(1.14)

Fs [f ∗ g](y) = sin y(Fc f )(y)(Fc g)(y), ∀y > 0, f, g ∈ L1 (R+ ).

(1.15)

γ

1

Với hai hàm h1 và h2 thuộc không gian hàm L2 (R+ ) sao cho
|(Fc h1 )(y)(Fc h2 )(y)| =

và k1 , k2 được xác định bởi
γ
1
k1 (x) = √ (h1 ∗ h2 )(x),
1
2 2π

1
,
(1 + y 2 )(1 + sin2 y)

(1.16)

1
k2 (x) = √ (h1 ∗ h2 )(x),
Fc
2π

γ

trong đó, (· ∗ ·) xác định bởi (1.14), (· ∗ ·) xác định bởi (0.10). Khi đó
1

Fc

k1 , k2 ∈ L2 (R+ ) và ta có
2 sin y(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y) =
1
1
= √ sin2 y(Fc h1 )(y)(Fc h2 )(y) + √ (Fc h1 )(y)(Fc h2 )(y)

2π
2π
1
1
.
= √ (1 + sin2 y)(Fc h1 )(y)(Fc h2 )(y) = √
2π
2π(1 + y 2 )
Vậy k1 và k2 xác định như trên cũng thoả mãn điều kiện (1.5).
−25−


1.2

Định lí kiểu Plancherel

Định lí 1.2.1 Giả sử k1 , k2 là các hàm số thoả mãn điều kiện (1.5) sao cho
d2
d2
K1 (x) = 1 − 2 k1 (x) và K2 (x) = 1 − 2 k2 (x) bị chặn địa phương.
dx
dx
Giả sử f ∈ L2 (R+ ), với mỗi số tự nhiên N , đặt
N

f (u)[sign(x + u − 1)K1 (|x + u − 1|) − K1 (x + u + 1)

gN (x) =
0

+ sign(x − u + 1)K1 (|x − u + 1|) − sign(x − u − 1)K1 (|x − u − 1|)]du
N

f (u)[K2 (|x − u|) − K2 (x + u)]du . (1.17)

+
0

Khi đó ta có
1) gN ∈ L2 (R+ ) và khi N → ∞, gN hội tụ theo chuẩn trong L2 (R+ ) tới
hàm g nào đó, hơn nữa, g

= f

L2 (R+ )

L2 (R+ ) .

2) Đặt g N = g.χ(0,N ) , khi đó
∞

K 1 (u)[sign(x + u − 1)g N (|x + u − 1|) − g N (x + u + 1)

fN (x) =
0

+ sign(x − u + 1)g N (|x − u + 1|) − sign(x − u − 1)g N (|x − u − 1|)]du
N

g(u)[K2 (|x − u|) − K2 (x + u)]du

+

(1.18)

0

cũng thuộc không gian L2 (R+ ) và hội tụ theo chuẩn trong L2 (R+ ) tới hàm f
khi N → +∞.
Chứng minh. Để ý rằng các tích phân xác định các hàm fN và gN thực chất
là trên đoạn hữu hạn nên chúng hiển nhiên hội tụ. Hơn nữa, ta có thể thực

−26−


hiện đổi thứ tự đạo hàm và tích phân. Đặt f N = f.χ(0,N ) , khi đó
N

f (u)[sign(x + u − 1)K1 (|x + u − 1|) − K1 (x + u + 1)

gN (x) =
0

+ sign(x − u + 1)K1 (|x − u + 1|) − sign(x − u − 1)K1 (|x − u − 1|)]du
N

f (u)[K2 (|x − u|) − K2 (x + u)]du

+
0

∞

2

= 1−

d
dx2

f N (u)[sign(x + u − 1)k1 (|x + u − 1|) − k1 (x + u + 1)
0

+ sign(x − u + 1)k1 (|x − u + 1|) − sign(x − u − 1)k1 (|x − u − 1|)]du
∞

f N (u)[k2 (|x − u|) − k2 (x + u)]du.

+
0

Theo Định lí 1.1.1 suy ra gN ∈ L2 (R+ ). Hơn nữa, gọi g là ảnh của hàm f qua
phép biến đổi (1.6), ta có g

L2 (R+ )

= f

L2 (R+ )

và có công thức ngược (1.7)

thoả mãn. Ta có
(g − gN )(x) =
d2
1− 2
dx

∞

(f − f N )(u)[sign(x + u − 1)k1 (|x + u − 1|) − k1 (x + u + 1)
0

+ sign(x − u + 1)k1 (|x − u + 1|) − sign(x − u − 1)k1 (|x − u − 1|)]du
∞

(f − f N )(u)[k2 (|x − u|) − k2 (x + u)]du.

+
0

Lại theo Định lí 1.1.1, g − gN ∈ L2 (R+ ) và
g − gN
Vì f −f N

L2 (R+ )

L2 (R+ )

= f − fN

L2 (R+ ) .

→ 0 khi N → ∞, suy ra gN hội tụ theo chuẩn trong L2 (R+ )

tới hàm g khi N → ∞. Phần một của định lí được chứng minh.
−27−