phuong trinh he phuong trinh ltdh 2016 t9uyge0nnxhuvu 091318 (1)

PHẦN A. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. PHƯƠNG PHÁP 1: DẠNG CƠ BẢN
1.

�g ( x) �0
f ( x)  g ( x) � �
2
�f ( x )  g ( x )

2.

�g(x) �0 hay f (x) �0 -tu�
y ca�
i na�
o de�
h�
n
f (x)  g(x) � �
�f (x)  g(x)

3.

f (x)  g(x)  h(x) :Đặt điều kiện từng biểu thức trong căn, rồi bình phương hai vế.

16x  17  8x  23 ĐS: ………………….

Bài 1: (ĐH QGHN Khối D-1997)

x 2  x 2  11  31 ĐS: ………………….

Bài 2: (Đại học Cảnh sát -1999)

 x 2  4x  2  2x ĐS: ………………….
5x  1  3x  2  x  1  0 ĐS: ………………….

Bài 3: (Hv Ngân hàng Tp.HCM-99)
Bài 4: (ĐH Kinh tế Quốc dân- 2000)
Bài 5: (ĐHSP 2 HN)

x  x  1  x  x  2   2 x 2

ĐS: ………………….

Bài 6: (HVHCQG-1999)

x  3  2x  1  3x  2

ĐS: ………………….

3x  4  2x  1  x  3

ĐS: ………………….

Bài 7: (HVNH-1998)
Bài 8: (ĐH Ngoại thương-1999)

3  x  x  2  x  x  1.
2

2

ĐS: ………………….

II. PHƯƠNG PHÁP 2: ĐẶT ẨN PHỤ.
1. TH1: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ:
a b

ax

bx

c

d
px

qx

r
p
q
Dạng 1: dạng:
trong đó
2

2

2
Cách giải : Đặt t  px  qx  r (ĐK:

Bài 1:(ĐH Ngoại thương-2000)

t �0 )

 x  5  2  x 

 3 x 2  3x

ĐS:

S   1; 4

2
S   2; 7
Bài 2: ĐH Ngoại thương -1998)  x  4   x  1  3 x  5x  2  6 ĐS:
(x  1)(2  x)  1  2x  2x 2
Bài 3: (ĐH Cần Thơ-1999)
ĐS:

2
2
Bài 4: 4x  10x  9  5 2x  5x  3

ĐS:

3

2
2
Bài 5: 18x  18x  5  3 9x  9x  2

ĐS:

2
2
Bài 6: 3x  21x  18  2 x  7x  7  2

ĐS:

Dạng 2: Pt dạng:  P   Q   P.Q  0 ( �0)
�P  0
�
Cách giải: * Nếu P  0 phương trình tương đương với �Q  0

* Nếu P �0chia hai vế cho P sau đó đặt

Q
P

t �0

S   2; 7


Bài 1:
Bài 2:





2 x 2  3x  2  3 x 3  8





ĐS:



�5  37 5  37 �
�
�
S �
;
�
2
2 �
�
ĐS:

2 x  2  5 x 1
2



S  3  13;3  13

3

2
2
S   1;5
Bài 3: 6 (x  2)(x  5x  13)  3x  6x  21  0 ĐS:
2
2
Bài 4: 7 ( 2x  1)(3x  x  4)  3x  19x  14

S   3;0

ĐS:

 
Bài 5: 2 x  2x  4x  1  x  4x  2  0
ĐS:
4 2
Bài 6: (ĐH-CĐ- Khối A-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm: 3 x  1  m x  1  2 x  1
3

Dạng 3: Pt dạng :

2

S  2;0

2

�
P  Q�
�

� 





P � Q �2 P .Q    0 ( 2   2 �0)

2
Cách giải: Đặt t  P � Q suy ra t  P  Q �2 P.Q
2
1 x  x2  x  1 x
3
Bài 1: (ĐHQGHN-2000)

Bài 2: (HVKTQS-1999)
Bài 3: (Bộ Quốc Phòng-2002)
Bài 4:

ĐS: ………………….

3x  2  x  1  4x  9  2 3x 2  5x  2 ĐS: ………………….
2x  3  x  1  3x  2 2x 2  5x  3  16

4x  3  2x  1  6x  8x 2  10x  3  16

Bài 5: (CĐSPHN-2001)

x  2  x  2  2 x 2  4  2x  2

a  cx  b  cx  d  a  cx   b  cx   n
Dạng 4: Pt dạng:
Trong đó a,b,c, d, n là các hằng số , c  0, d �0

Cách giải: Đặt t  a  cx  b  cx( a  b �t � 2(a  b)
2
2
Bài 1: (ĐH Mở-2001) x  4  x  2  3x 4  x
3 x  6  x   3 x  6  x  3
Bài 2:

Bài 3: (ĐHSP Vinh-2000) Cho pt: x  1  3  x   x  1  3  x   m
a/ Giải pt khi m  2
b/ Tìm các giá trị của m để pt có nghiệm
Bài 4: (ĐHKTQD-1998) Cho pt 1  x  8  x  (1  x)(8  x)  a

a/Gpt khi a  3 b/Tìm các giá trị của a để pt có nghiệm.
Bài 5: (TTĐT Y tế Tp.HCM -1999) Tìm các giá trị của a để pt có nghiệm.
x  1  3  x  (x  1)(3  x)  m
x  1  4  x  (x  1)(4  x)  5
Bài 6: (ĐH Ngoại ngữ-2001)
2
2
Dạng 5: Pt dạng: x  a  b  2a x  b  x  a  b  2a x  b  cx  m
Trong đó a,b, c, m là các hằng số , a �0
Cách giải : Đặt t  x  b (ĐK: t �0 ) Đưa pt về dạng:


t  a  t  a  c(t 2  b)  m
Bài 1:(ĐHSP Vinh-2000)

x 1  2 x  2  x 1  2 x  2  1

Bài 2:(HV BCVT-2000)

x  2 x 1  x  2 x 1  2
2 x  2  2 x 1  x 1  4

Bài 3:(ĐHCĐ Khối D-2005)
Bài 4:(ĐH Thủy sản -2001)

x  2  2 x 1  x  2  2 x 1 

x  2 x 1  x  2 x 1 

Bài 5:

x 5
2

x3
2

2. TH2: Sử dụng ẩn phụ để đưa pt về ẩn phụ đó, còn ẩn ban đầu là tham số:
2
2
Bài 1: 6x  10x  5   4x  1 6x  6x  5  0

Bài 2: (ĐH Dược-1999)

 x  3

Bài 3: (ĐH Dược -1997)

2  1  x  x 2  2x  1  x 2  2x  1

10  x 2  x 2  x  12

2
2
Bài 4:  4x  1 x  1  2x  2x  1

2
2
Bài 5: 2  1  x  x  x  1  x  3x  1
2
2
Bài 6:(ĐHQG-HVNH KA-2001) x  3x  1  (x  3) x  1

3. TH3: Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình :
Dạng 1:

Pt dạng:

x n  a  b n bx  a

n
�
�x  by  a  0
�n

n
y

bx

a
Cách giải: Đặt
khi đó ta có hệ: �y  bx  a  0
2
Bài 1:(ĐHXD- ĐH Huế- 98) x  1  x  1

Bài 2:

x2  x  5  5

2
Bài 3: x  2002 2002x  2001  2001  0
x 3  1  2 3 2x  1
Bài 4: (ĐH Dược-1996)

ax  b  r  ux  v   dx  e trong đó a, u, r �0 và u  ar  d, v  br  e
2
�
uy  v  r  ux  v   dx  e
�
�
2
ax  b   uy  v 
uy


v

ax

b
�
Đặt
khi đó ta có hệ : �
2

Dạng 2: Pt dạng:

Cách giải:

2x  1  x 2  3x  1  0
Bài 1: (ĐH- CĐ Khối D-2006)
2
2
Bài 2: 2x  15  32x  32x  20
Bài 3: 3x  1  4x  13x  5
Bài 4:

x  5  x 2  4x  3

Bài 6:

x 1  3  x  x 2

2
Bài 5: x  2  x  2

n

Dạng 3: PT dạng:
Cách giải:

a  f  x  m b  f  x  c

uvc
�
�
u  n a  f  x ,v  m b  f  x
u n  vm  a  b
Đặt
khi đó ta có hệ : �
3

Bài 1: (ĐH Tài chính Kế toán-2000)
Bài 2:
Bài 4:

x  34  3 x  3  1
4
97  x  4 x  5

3

2  x  1  x 1
Bài 3:

4

Bài 5:

3

x  2  x 1  3

18  x  4 x  1  3

III. PHƯƠNG PHÁP 3: NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP.

f  x  a � f  x  b

Dạng 1: Pt dạng:

Cách giải:

�
� f  x  a � f  x  b
�
� f  x  a m f  x  a b
Nhân lượng liên hợp của vế trái, ta có hệ : �

Chú ý : Liên hợp của
Bài 1:

A  B là

A  B và liên hợp của

4x 2  5x  1  4x 2  5x  7  3

3x 2  5x  1  3x 2  5x  7  2

x 2  3x  3  x 2  3x  6  3

Bài 4: (ĐH Thương mại-1998)

Dạng 2: Pt dạng

A B.

3  x  x2  2  x  x2  1

Bài 3: (ĐH Ngoại thương-1999 )

Bài 5:(HVKTQS-2001)

Bài 2:

A  B là

1
1

1
x4 x2
x2 x

f  x � g x  m f  x  g x 

Bài 1:(HVBCVT-2001)
Bài 2:(HVKTQS-2001)

4x  1  3x  2 

x 3
5

3(2  x  2)  2x  x  6

IV. PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ.
Bài 1:

x  2  4  x  x 2  6x  11

Bài 2:

x2  x 1  x  x2 1  x2  x  2

Bài 3:(ĐHQGHN-Ngân hàng Khối D-2000)
Bài 4:(ĐH Nông nghiệp-1999)

4x  1  4x 2  1  1
x 2  2x  5  x  1  2 .

V. PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ.
Bài 1:Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất:

x  2 x  m


x 5  9 x  m

Bài 2: Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất
Bài 3: Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất

4

x  4 1 x  x  1 x  m

VI. PHƯƠNG PHÁP 6 : PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ (SỬ DỤNG ĐẠO HÀM)
Bài 1:(ĐH-CĐ Khối B-2004) - Tìm m để pt sau có nghiệm:
m





1  x2  1  x2  2  2 1 x4  1 x2  1  x 2

Bài 2 :Tìm m để pt sau có nghiệm:
2
1*/ 4  x  mx  m  2
2*/ x  1  x  1  5  x  18  3x  2m  1
Bài 3 : (ĐH-CĐ Khối A-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm:
4
3 x 1  m x  1  2 x2 1

2
Bài 4 : (ĐH-CĐ Khối B-2007) CMR m  0 pt sau có 2 nghiệm phân biệt : x  2x  8  m(x  2)
Bài 5 :
1*/ x  x  5  x  7  x  16  14

2*/

x  1   x 3  4x  5 3*/ 2x  1  x 2  3  4  x

x 2  2x  8
 ( x  1 )( x  2  2 )
2
Bài 6 : (THPT QG 2015) : Giải phương trình : x  2x  3
trên tập số thực

PHẦN B. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Dạng .1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
.Giải các hệ phương trình sau đây.
�x 2  y 2  10
�x 3  3xy  9
�
�
x y  4
x  y 1
1. �
2. �

�x  y  5
�2

2
�x  y  xy  7

�x 2  2 xy  y 2  x  y  6
�
�x  2 y  3

3.
4.
Dạng 2. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I:
Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau đây.
�x  y  10
�
�x  y  4
2

5.

2

�x  xy  y  4
�
�x  y  xy  2
2

�x  xy  y  12
�2
2
�x y  xy  16
2

2

7.
Dạng 3. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II:
Ví dụ. Giải các phương trình sau đây.
�x 2  y  2 xy
�x 2  3x  2 y
�x3  2 x  y
�2
�2
�3
y  x  2 xy
y  3y  2x
y  2y  x
�
�
9.
10.
11. �
Dạng 4. PHƯƠNG PHÁP THẾ

12. (ĐH 2003A)

6.

2

� 1
1

�x   y 
y
� x
3
�
2y  x  1
�

.

8.

�x y 13
� 
�y x 6
�x  y  5
�

�1 5 1 5 ��1 5 1 5 �
(1;1), �
;
,
;
��
�
� 2
2 �� 2
2 �
ĐS:

�
y2  2
3y 
�
�
x2
�
2
x 2
�
3x 
�
y2
13. (ĐH 2003B) Giải hệ phương trình: �
.

ĐS: (1; 1)

.


�
�x4  2x3y  x2y2  2x  9
� 17 �
�2
4; �
�
x  2xy  6x  6
14. (ĐH 2008B) Giải hệ phương trình: �
.

ĐS: � 4 �.
�
�xy  x  y  x2  2y2
�
x 2y  y x  1  2x  2y
15.(ĐH 2008D) Giải hệ phương trình: �
.
ĐS: (5; 2).
2
�
�
(4x  1)x  (y  3) 5 2y  0
�1 �
� 2 2
� ;2�
4
x

y

2
3

4
x

7
�
16. (ĐH 2010A) Giải hệ phương trình:
.

ĐS: �2 �.
2
2
3
�
5 x y  4 xy  3 y  2( x  y )  0
�
� 2
xy ( x  y 2 )  2  ( x  y )2
17 (ĐH 2011A) Giải hệ phương trình �
(x, y  R).
� 2 2
�
2 2
�x 
�x  
�x  1 �x  1
5
5
�
�
v �
��
� �
�
�y  1 �y  1
�y  2
�y   2
�
�

5
5
�
�
ĐS:
�x 3  3x 2  9 x  22  y 3  3 y 2  9 y
�
�2
�3 1 ��1 3 �
1
2
;� ; �
� ; �
�x  y  x  y 
2
18 (ĐH 2012A) �
ĐS: �2 2 ��2 2 �
�xy  x  2  0
� 3 2
2 x  x y  x 2  y 2  2 xy  y  0
19(ĐH 2012D) Giải hệ phương trình �
(x, y  R)

�x  1
�
ĐS: �y  1 hay

� 1  5
�x 
2

�
�y  5
�

hay

� 1  5
�x 
2
�
�y   5
�

Dạng 5. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
�3 x  y  x  y
�
�3 1 �
�
(1
;1),
�; �
x  y  x y 2
�
�2 2 �
20.(ĐH 2002B) Giải hệ phương trình:
.
ĐS:
� 2x  y  1  x  y  1
�
3x  2y  4

21. (ĐH 2005A–db2) Giải hệ phương trình: �
. ĐS: (2; 1)
�
� x  y  xy  3
�
x  1 y  1  4
22. (ĐH 2006A) Giải hệ phương trình: �
. ĐS: (3; 3)
2
�
� x  1 y(y  x)  4y
�2
(x  1)(y x  2)  y
23. (ĐH 2006A–db1) Giải hệ phương trình: �
. ĐS: (1;2), (2;5)
�2
5
3
2
�x  y  x y  xy  xy   4
�
�x4  y2  xy(1 2x)   5
4 .
24.(ĐH 2008A) Giải hệ phương trình: �
�xy  x  1 7y
� 1�
�2 2
1; �
, (3;1)
2

�
x
y

xy

1

13
y
25 (ĐH 2009B) Giải hệ phương trình: �
.
ĐS: � 3�
.


�x(x  y  1)  3  0
�
5
�
� 3�
(x  y)2 
 1 0
(1;1), �
2;  �
�
2
x
� 2 �.
26(ĐH 2009D) Giải hệ phương trình: �

.
ĐS:
4
�
� x 1  4 x 1  y  2  y
�2
x  2 x( y  1)  y 2  6 y  1  0
27 (ĐH 2013A) Giải hệ phương trình �
ĐS: (x; y) = (1; 0) hay (x; y) = (2; 1).
2
2
�
2x  y  3xy  3x  2y  1  0
�
, (x, y ��).
� 2
4x  y 2  x  4  2x  y  x  4y
�
28(ĐH 2013B)
ĐS: (0; 1).





�
x 12  y  y 12  x2  12
�
�3
x  8x  1  2 y  2

�
29 (ĐH 2014A) Giải hệ phương trình: �

ĐS: (3;3)

�
 1  y  x  y  x  2   x  y  1 y
�
� 2
30(ĐH 2014B) �2 y  3x  6 y  1  2 x  2 y  4 x  5 y  3  x, y �� ĐS: (3;1);
Dạng 6. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

�
x3 - 3x2 - 9x + 22 = y3 + 3y2 - 9y
�
A - 2012�
�
1
�
x2 + y2 - x + y =
�
�
2
�
2)
�
x + y - 4 = 2 x2 - 2x - 1
�
�
� 3

2
�
4y - 24y + 49y - 90 = 3 14 - x3 - 4x3
�
4) �

�4x2 + 1 x + y - 3 5 - 2y = 0
(
)
�
A - 2010�
�
2
2
�
4x + y + 2 3 - 4x = 7
�
�
1)
� x +1 + 4 x - 1 = 4 y + 2 + y
�
A - 2013� 2
�
x + 2x(y - 1) + y2 - 6y + 1 = 0
�
�
3)
�
3 1- x2 + 3x2 - y - 1 = 3
�

�
�5
�
x - 5x = y2 + 2y - 4 y + 1
�
�
5)
� 2
4x2 + 1
�
2x + 3 = 4x2 - 2x2y 3 - 2y +
�
�
x
�
�
2
3
3
�
2x + x + x + 2
�
2 - 3 - 2y =
�
�
2x + 1
7) �

(

)

(

(

9)

�
x2 + y2 - 8x - 2y + 4 = 0
�
� 2
�
-3x + 35x+ x + 1 - 14 = 5y2 - 9y + y - 1
�
�
6)

)

(

)

)(

�x2 + 2x + y - 8 = 6 y + 4x - 2
�
�
�

�
3x + 1+ 9x2 y + 1+ y2 = 1
�
�
8)

(

)

�
x2 + 1 - 4x2y + x 4y2 + 1 + 1 = 8x2y3
�
�
�
�
2
1
3
3
�
�
4
x
x
+ 6x2 +
= 23 5x3 + 9x2 +
�
2y 2xy
y

�
�

(

)

(

)

� 3
12x - 3 3 y + 1 - 1 = y + 4x x2 - 3x - 3
�
�
�
�
y3 - 83 2x + 1 = 2x - ( 3y + 8) ( y + 1)
�
�
11)
12)

(

�
1  5 1  5 �
�
� 2 ; 2 �
�

�
�

)

)(

)

�
x3y3 - 6x2y3 + 15xy3 - 14y3 + 3y2 + 1 = 0
�
�
�
�
3y 1- x + 1- 3y2 = 1
�
10) �
�
3
2
�
� 4 2x 2x - 1 - y - 3y = 15y + 7 + 2x - 1
�
� y y+2
(
) + 6- x = 2x2 + 2y2 - 15x + 4y + 12
�
�
�

�
2
�

(

(

)

)


�
� 2
xy + 3 = y 3 + x2
�
3x - 2x - 5 + 2x x2 + 1 = 2( y + 1) y2 + 2y + 2
�
�
�
�2
�
�
�
x2 + 2y2 = 2x - 4y + 3
y + 4x + 2( x - 1) x2 - 2x + 4 = 2x2 + 5
�
�
�

�
13)
14)
1
3
�
3
�
�
x2 - 3x = ( y - 2) ( y + 1)
� ( y - 1) + 2y - 3 = 4x - 1 + 8x
�
�
�
2
�
�
3
�
�
y - 2x + ( y - 1) - x + 1 = 2y - x - 2
x + y) x2 - 4x + 5 + ( x - 2) x2 + y2 + 2xy + 1 = 0
(
�
�
�
�
5)
16)
�

3
�
2y + y + 2x 1- x = 3 1- x
y + x3 + 3x = 4
�
�
�
�
�
�3
�
�
x + 3x + x3 - y + 4 x3 - y + 1 = 0
2y2 + 1 + y = 4 + x + 4
�
�
�
�
17)
18)
�
1 3x + 4
�
4
�
2
x + 3y + 1 = y2 +
�
�
2y

9y
=
2
�
�
�
y
x +1
�
x
�
�
�
2
�
3
�
4 x + 1 + xy y + 4 = 9
� 9y + 2 + 7x + 2y + 2 = 2y + 3
�
19) �
20) �
�
2x + 1
x2 + x + 1
�
�
=
�
2y

�
(�x + y) x2 - 4x + 5 + ( x - 2) x2 + 2xy + y2 + 1 = 0 �
y3 + 3
�
�
�
�
�
�
x - y x2 - y2 = 2 1- x2 + y2
x3 ( 3y - 11) = 2 - (xy - x + 2)3
�
�
�
�
21)
22)

(

(

)

(

)

)