Bài toán dạng Cauchy Kovalepskaya và một số ứng dụng : Đề tài NCKH. QG.11.01

Đ Ạ I

T R Ư Ò

N

G

H Ọ C

Đ Ạ I

Q U Ố C

H Ọ C

G I A

K H O

A

H À

H Ọ C

N Ộ I

T ự

N H I Ê N

T Ê N D Ề TÀI

B À I

T O Á N

D Ạ N G

K O V A L E P S K A Y A

M Ã

V À

SỐ

C A U C H Y

M Ộ T

s ố

Ứ N G

Q G .1 1 .0 1

C H Ủ T R Ì Đ Ề TÀI:
P G S .T S . N G U Y Ễ N T H À N H V ĂN
C Á C C Á N B ộ T H A M G IA

P G S .T S . Đ Ặ N G Đ ÌN H C H Â U
TH S. PH Ạ M V IỆ T HẢI
THS. LÊ M ẠNH TH Ự C
TH S. LỀ CƯ Ờ N G

H

à

N ộ i

-

2 0 1 3

D Ụ N G


BÁO CÁO TÓ M TĂT DÊ TÀI
Tên đề tà i : Hài toán dạng Cauchy-Kovalcpskaya vù một số ứng dụng
M ã số:

Q G . 11.01.

C h ủ trì đ ề tà i :

P G S .T S . N g u y ễ n T h à n h Văn

C á c c á n b ộ t h a m gia:

1. Đ ặ n g Đ in h C h â u .
2

. Lê M ạ n h T h ự c

3. P h ạ m V iệ t Hải.
4. Lê C ường.
I. M ụ c t i ê u v à n ộ i d u n g n g h i ê n c ứ u
N g hiên cứu m ộ t cách có h ệ th ố n g lý th u y ế t p h ư ơ n g p h á p to á n t ử vi
p h â n tu y ế n tín h và m ộ t số d ạ n g đ ơ n giản c ủ a P T Đ H R cấp m ộ t .
N g h iên cứu lý th u y ế t c ặ p to á n t ử liên kết và á p d ụ n g vào việc giải bài
t o á n giá trị b a n đ ầ u d ạ n g C a u c h y - Kovalevskaya.
II. C á c k ế t q u ả đ ạ t đ ư ợ c
2 .1 . K ế t q u ả k h o a h ọ c
T ro n g khi th ự c hiện đồ tà i n ày c h ú n g tôi đ ả n h ậ n được m ột số kết q u ả
sau:
a)

N g h iên cứu lý th u v ế t to á n t ử vi p h â n liên kết , xây d ự n g p h ư ơ n g

p h á p giải m ộ t lớp ph ươ ng tr ì n h đ ạ o h à m riêng tu y ế n tín h . C ụ th ể hơn
c h ú n g tõi d ã nghiên cứu bài to á n g iá trị b a n đ ầ u d ạ n g :
(1)

u{x, 0 ) = ự{x),
ớ đ â y t là biến thời gian.

X

=

( j'l,

X 2 , X\ i )

€ G c M:ỉ. L là to á n tử tu y ế n

tín h bậc n h ấ t d ạ n g m a t r ậ n c ấ p b a với hệ số h à m ,
trư ớ c.

(2)

là véc tơ th ế cho

K ế t q u ả chính là m ô t ả đượ c t ấ t các to á n t ứ L d ạ n g

9


với f í k =

[b^j};jX 3 ■ C' — [ fjj] 3 x 3 , / } = [c/i, d‘2 , d s‘ ]T , sao cho b à i to án ( 1 ) , (2)

là giải được đối với mỗi vóc tơ th ế ý?(:r) cho trư ớc. C h ứ n g m in h được điều
kiện c ằn và đ ủ cho c ặ p to á n t ử liên h ợ p và s a u đó tiế p tụ c mở rông cho
m ộ t số lớp to á n tử rộng hơn c ủ a c ặ p to á n tử vi p h â n liên kết L và /.
b) N ghicn cứu lý th u y ế t to á n t ử vi p h â n và p hư ơ n g tr ìn h đ ạ o h à m riêng
tu y ế n tín h , ứ n g d ụ n g p h ư ơ n g p h á p n ử a n h ó m đ ể ng hiên cứu tín h c h ấ t
n g h iệ m c ủ a m ột lớp các ph ư ơ n g tr ì n h đ ạ o h à m riêng c ấ p m ộ t và m ở ra
k h ả Iiăng ứng d ụ n g cho các m ô h ìn h q u ầ n th ể sinh học có nhiễu.

2 .2 . K ế t q u ả c ô n g b ố .

03 bài báo (ỉă đăng ở tạp chí nước ngoàĩ, 01 bài báo trong nước đả nhận
đăng.
1.Le C u o n g , Le H u n g Son, N g uy en T h a n h V a n .T h e IV P for p o te n tia l vec­
to r field d e p e n d in g on tim e w ith m o re g eneralized governing rules. S o u th
A sian J o u r n a l of M a th e m a tic s 2012, Vol.

2

(2): 82 ~ 87

2.Le C u o n g . In itial value p ro b le m in gen eralized p o te n tia l v ecto r field.
S o u th A sian J o u r n a l of M a th e m a tic s 2012, Vol. 2 (2): 279 ~ 284
3 .D a n g D in h C h a u a n d N g u y e n M a n h O u o n g . A s y m p to tic E q u iv a le n c e
o f A b s t r a c t E v o lu tio n E q u a tio n s . International Journal of Mathematical

Analysis

4.

2 0 1 3 ,V .6 ,N .3

D a n g D inh C h a u . O n sufficient c o n d itio n s of th e a s y m p to tic equivalence

of s tro n g ly c o n tin u o u s e v o lutio n processes. A c ta M a th e m a tic a V ietn a m ica

(submitted)
0 2 báo cáo ớ các hội nghĩ khoa học trong nước

1 .D ang D in h C h a u a n d N g uy en C a n h Duy. O n th e s ta b ility of th e V oltera
in te g ra l e q u atio n s an d the a s y m p to tic b e h a v io r of the age-dependent p op ­
u la tio n . D ại hội toán học Việt N a m lần thứ 8 1 0 - 1 4 / 1 0 / 2 0 1 3

2.

Le M a n h T h u c . T raveling wave d is p e rsa l in p a rtia lly s e d e n ta ry age-

s tr u c tu r e d p o p u la tio n s . Dại hội toán học Việt Nam lần thứ 8 1 0 - 1 lị/10/2013
tcx tb f2 .3 . K ết q u ả đ à o tạo.
3


Đ ã hướng d ẫn th à n h công 02 lu ậ n văn th ạ c sĩ:
1

. N gu y ễn C ô ng H ùng. D á n g điệu tiệ m cận c ủ a họ các to á n tử tiến h ó a có

n h iẻ u v à m ộ t v à i ứng d ụ n g (2 0 12 ).
2. N g uy ên T h ị Mơ. Sử d ụ n g p h ư ơ n g p h á p L y a p u n o v đổ nghiên cứu tín h ổn
đ ịn h c ủ a các phương tr ìn h v i p h ân v à m ột số m ô h ìn h ứng

d ụ n g (2 0 12 ).

D ã hướ ng d ẫ n t h à n h còng 02 k h ó a lu ậ n tố t nghiệp.
1

. P h ạ m T u ấ n A nh. Ưng d ụ n g ph ư ơ n g p h á p L y a p u n o v để nghiên cứu tín h

ổn đ ịn h n g h iệ m tro n g các m ô h ìn h q u ầ n thể (2 0 13 ).

2. N guyễn C ả n h Duy. M ô h ìn h ứn g d ụ n g c ủ a lý th u y ế t n ử a n h ó m liên tụ c
m ạ n h và các to á n t ử tiế n h ó a tro n g b ài to á n C a u c h y tr ừ u tư ợ n g (2013).
III. T ìn h h ìn h k in h p h í c ủ a đ ề tà i (h o ặc d ự án ):
T ô ng kinh phí đề tà i 160 triệ u dồng, đ ã chi th e o d ự to á n được phê d u y ệ t.
K H O A Q U Ả N LÝ

C H Ủ T R Ì ĐỀ TÀI

P G S .T S . N g uy ễn T h à n h Vãn
T R Ư Ờ N G Đ A I H O C K H O A H O C T Ư N H IÊ N

4


S

U

M

M

A

R

Y

a .P r o je c t tile :

Problem uf the Cauchy-Kovalepskaya type and some applications.
C o d e Q G . 11.01.
b .P ro je c t L ead er :
Asso. P ro f.N g u y e n T h a n h Van.
c .P ro je c t m em b ers:
Asso. P r o f.D a n g D in h C h a u .
P h a m Viet Hai.
Le M a n h T h u c .
Le C u o n g .
fl.O b je c tiv e a n d c o n te n t of th e p ro je c t
In th is p r o je c t, we have o b ta in e d th e following results:
a)

W e s t u d y th e th e o ry of a sso c iate d iferen tial o p e ra to r, we c o n stru c t

m e th o d s to give th e so lu tio n of a class of lin ear p a r tia l differential e q u a ­
tions. In d e ta il, we in v e stig ate th e in ittia l valu ed p ro b le m of th e below
form:
(3)
u(x,

0

w h e re t is a v ariable d e p e n d in g

) = ip(x),
011

(4)

th e tim e, X — { x \ , x 2 ,xz) E G c

R'1. L is a lin e a r o p e r a to r w hose has th e m a trix re p re s e n ta tio n of t h ir d o rder
w ith f u n c tio n a l coefficients, Ộ is a given p o te n tia l vector. T h e m a in result
is to d e s c rib e all L -o p e ra to rs of form s

satisfy in g th e p ro b le m s (3), (4) such t h a t th e y arc solvable w ith respcct
to each given p o te n tia l v e cto r ộ(x). Here Bk = \bjj}:ịX:ì. c —

[ f j j ]

3x 3 ,

r)

d \ , do. (h 1 W c have proved n e ce ssa ry a n d sufficient c o n d itio n s for pairs of


a s s o c ia te o p e ra to rs a n d th e n e x te n d e d th e re su lts to sonic ge n re ral classes
of pa irs of a sso ciate differential o p e r a to r s L a n d /.
b) W e s tu d y th e th e o rie s of differential o p e r a to r a n d linear p a rtia l dif­
fe re n tia l eq u atio n s. W e have a p p lie d th e sem i-g ro u p th e o ry to s tu d y p r o p ­
e rtie s of th e so lu tio ns of a class of th e first o rd e r linear p a rtia l differential
e q u a tio n s a n d show a p ro b a b ility to a p p ly for in v e stig atin g th e m odel of
biologic p o p u la tio n w ith p e r tu r b a tio n .
1. P u b l i c a t i o n s .

03 international paper, 01 Vietnamica paper
] Le C u o n g . Le H u n g Son, N guyen T h a n h V a n .T h e IV P for p o te n tia l vec­

to r field d e p e n d in g on tim e w ith m o re generalized governing rules. S o u th
Asian Journal of M athem atics 2012, Vol. 2 (2): 82 ~ 87
2

.Le C u o n g . In itial value p ro b le m in generalized p o te n tia l vector field.

S o u th A sian J o u r n a l of M a th e m a tic s 2012, Vol. 2 ( 2 ): 279 ~ 284
3 .D an g D inh C h a u a n d N guven M a n h C u o n g . A s y m p to tic E quivalence
of A bstract Evolution Equations. International Journal of Mathematical

Analysis 2013,V .6 ,N .3
4.

D a n g D inh C h a u . O n sufficient c o n d itio n s of th e a s y m p to tic equivalence

of s tro n g ly co n tin u o u s e v o lu tio n processes. Acta Mathernatica Vietnamica

(submitted)
02 lecture at conference in Vietnam
1. D a n g D inh C h a u - N guyen C a n h Duv. O n th e s ta b ility of th e so lution s of
th e v o lte ra in teg ral e q u a tio n s a n d th e a s y m p to tic b e h a v io r of th e m odel of
age-d ep en den t p o p u la tio n . The 8 th Vietnamese Mathematical Conference
1 0 - 1 4 / 8 / 2 0 IS

2. Lc M a n h T h u c . Traveling wave d isp ersa l in p a rtia lly s e d e n ta ry ages tr u c tu r e d p o p u la tio n s. The 8 th Vietnamese Mathematical Conference 8

10-14/10/2013
2. E d u c a t i o n a n d t r a i n i n g :

- 02 B .Sc.theses, (o b ta in e d th e B. degree)
-

02

M .S c .th e s e s.(o b ta in e d th e M. degree)


M

M

ụ c

ở

lụ c

đ ầ u

1 0

Chương
1 .1

1.2

1

. K iế n th ư c c h u ẩ n bị

12

K h ô n g g ia n h à m v à to án tử v i p h â n ..................................................

12

1.1.1

K h ố n g gian S c h w a r t z .............................................................

12

1 .1 .2

T o á n tử v i p h â n .............................................................................

13

1.1.3

P h ư ơ n g tr ì n h c h u y ển d ị c h ......................................................

13

1.1.4

B ài to á n giá trị b a n đ ầ u .........................................................

14

1.1 .5

B à i to án kh ô n g th u ầ n n h ấ t ....................................................

15

S ư tồ n ta i n g h iê m c ủ a b à i to á n với giá tr i b a n đ ầ u d a n g
Cauchy - K o v a l e v s k a y a ........................................................................

16

1.2.1

Bài toán giá trị ban đầu

.....................................................

16

1.2.2

K h ô n g gian B a n a c h có tr ọ n g và ứn g d ụ n g ...................

17

1.2.3

Đ á n h giả các to á n t ử v i-tích p h â n .................................. 2 0

1.2.4

Á p d ụ n g ng u y ên lý á n h x ạ co giải bài to á n giá trị
ban đầu

....................................................................................... 2 2

C h ư ơ n g 2. C á c k ế t q u ả c h í n h

25

2.1

Véc tơ th ế và bài toán giá trị ban đ ầ u ..........................................

25

2.1.1

Điều kiện cần và đủ cho cặp toán tử liên hợp . . . .

26

2.1.2

X ây dựng toán tử L ................................................................

32

2.2

P h ư ơ n g p h á p n ử a n h ó m và á p d ụ n g cho p h ư ơ n g tr ì n h vi
p h â n x u ấ t p h á t từ m ô h ìn h to á n họ c m ô t ả sự p h á t triể n
c ủ a các q u ần thể s in h học
2 .2 .1

...................................................................

34

C á c phương t r ìn h so sán h tíc h p h ân được v à k h á i

n iệ m tư ơ n g đ ư ơ n g tiệ m c ậ n c ủ a c h ú n g ............................. 34
2.2.2

Về t ín h song ổn đ ịn h của nửa nhóm liên tụ c mạnh
v à các đ iều kiện đ ủ c ủ a sự tư ơ n g đ ư ơ n g tiệ m c ậ n

2.2.3

. .

36

Về tín h c h ấ t n g h iệ m c ủ a b ài to á n d â n số p h ụ th u ộ c
vào tu ổ i............................................................................................37

K ế t lu ậ n

41

9


M

ở

đ ầ u

C ác m ô h ìn h ứng d ụ n g tro n g th ự c tế th ư ờ n g g ắ n liền với các phương
trìn h t o á n t ử tro n g các k h ô n g g ian B an ach . T u y n h iên m ỗi m ộ t lớp các
to á n t ử đ ư ợ c n g h iên cứu đ ề u có n h ữ n g đ ặc tr ư n g riêng biệt m à từ đó các
n h à k h o a học đ ã tìm cách liên k ết với các bài to á n ứng d ụ n g . Lý th u y ế t
to á n t ử vi p h â n là m ộ t lĩnh vực q u a n trọ n g tr o n g to á n học. Điều th ú vị
n h ấ t k h i c h ú n g t a n g h iê n cứu các t ín h c h ấ t c ủ a c h ú n g là k h ả n ă n g ứng
d ụ n g c ủ a nó tro n g k h o a hoc v à k ỹ t h u ậ t . Với m ục tiê u đó chúng tôi đ ã
t ậ p t r u n g cố g ắ n g n g hiên cứu lý th u y ế t to á n t ử vi p h â n , to á n t ử tu y ế n
tín h và đ ă c biệt là to á n t ử vi p h â n liên kết , s a u đó là bước đ ầ u tìm hiểu
m ộ t số ứ n g d ụ n g c ủ a c h ú n g tro n g các b ài to á n với giá trị b a n đầu.
T ro n g khi th ự c hiện đề tà i n à y c h ú n g tôi đ ã n h ậ n được m ộ t số kết q u ả
sau:
a)

N g h iê n cứu lý th u y ế t to á n t ử vi p h â n liên kết b ằ n g cách sử d ụ n g

lý th u y ế t c ủ a giải tích ph ứ c, x ây d ự n g p h ư ơ n g p h á p giải m ộ t lớp phương
trìn h đ ạ o h à m riêng và chỉ ra k h ả n ă n g ứng d ụ n g c ủ a nó . C ụ th ể hơn
c hú ng tô i đ ã nghiên cứu bài to á n g iá trị b a n đ ầ u d ạ n g :

(5)

u(x, 0 ) = ự>(x),
ơ đ â y t là biến thời gian.

X

= (.7' 1 . X ‘2 , .ĩ'3 ) G

(6)
6

' c ]R:\ L là to á n tử tu y ến

tín h b ậ c n h ấ t d ạ n g m a tr ậ n , ự} là véc tơ th ế cho trước.

10

K ế t q u ả chính là


I11Ò

t ả

đ ư ợ c

t ấ t

c á c

t o á n

t ử

L

d ạ n g

V-U

du

i'U--=Yí Bkjr- + c u + D
'

k- 1

dxk

K

với Bk — [Ỉ>fj]3 x 3 , C’ = [<"ij].'ỉx3 ; D = \d\. CỈ2 . d‘i}T. sao cho bài to á n (2.28),
(2.29) là giải được đối với mỗi véc tơ th ế ọ (x ) cho trư ớc. C h ứ n g m in h được
điều kiện c ần và đ ủ cho c ặ p to á n t ứ liên h ợp và tiế p tục mở rô n g cho m ộ t
số lớp to á n tứ rộ n g hơn
b)

N ghiên cứu lý th u y ế t to á n tử vi p h â n v à p h ư ơ n g tr ìn h đ ạ o h à m riêng

tu y ế n tín h , ứ n g d ụ n g p h ư ơ n g p h á p n ử a n h ó m để nghiên cứu tín h c h ất
nghiệm c ủ a m ộ t lớp các ph ư ơ n g t r ì n h đ ạ o h à m riêng c ấ p m ộ t và m ở ra
k h ả n ã n g ứng d ụ n g cho các m ô h ìn h q u ầ n th ổ sinh học có nhiễu.

11


C h ư ơ n g

K

i ế n

1.1
1 .1 .1

1

t h ứ c

c h u ẩ n

b ị

K h ô n g g ia n h à m v à to á n t ử vi p h â n
K h ô n g gia n S ch w a rtz

G iả s ứ C 0 0 : = C ° ° ( R iV) là m ộ t kh ô n g g ian c ủ a các trơ n trê n R A ,ta
ký hiệu a là m ộ t đ a chỉ số {e*!, ...,Qjv} c ủ a n h ữ n g số n g u y ê n kh ô n g âm .
C h ú n g t a đ ịn h n g h ĩa to á n t ử tu y ế n tín h D a tr ê n c ° ° bởi

Qữi
a a>

ddữN
°N

D "ỉ{r) = a ị " Ì h ị ỉ { x ' ' - ' - rK)Ta n ó i rằ n g bậc |a | của a là |a | = Oil + ••• + a N ■
Với

X

G Ma t a kỷ hiệu <

> bởi:

X

<

X > :=

(1 +

I. r ị 2 ) 2 .

T a đ ịn h n g h ĩa k h ô n g gian S c h w a rtz s tr ê n

đ ó là t ậ p c ủ a / € c

30

sao

cho
\ D a ỉ ( x ) \ < c„,s < X > - 3
đối với m ọi

X

E 1R'S . Cabeta < 3C, tất cả đa chỉ số Q và mọi Ị3 > 0.

R õ rà n g s chứa tậ p C 'f

:=

C'^C’( R A' ) c ủ a các h à m trơ n trón R A và chúng

s ẽ triệ t tiê u nếu U i là đ ủ lớn..

12


1. 1. 2

Toán tử vi phân

T h e o đ ịn h n g h ĩa m ột to á n tử vi p h â n tu y ế n tín h tro n g R A là m ộ t to á n
tứ có d ạ n g
(1.1)

0

đ â y t a giả sứ rằ n g tố n g được nói tro n g đ ịn h n g h ĩa là h ữ u h ạ n và m iền

xác đ ịn h c ủ a L là s . . C h ú n g t a nói rằ n g to á n tử n h ư vậy là b ấ t biến dịch
ch u yển n ếu TUL — LTU đối với u G R jV, tro n g đó

T J (x ) = f(x + u ).
G iả sử p là lớp các h à m k h ả vi liên tụ c c ấ p vô h ạ n / tro n g IRA t h ỏ a
m ã n điều kiện:

\Dnf ( x ) \ < ca < X > ~B
B ổ đề

1

. Nếu các hệ số aa(x) nằm trong lớp p thì toán tử vi phân được

đinh nghĩa bởi (1.1) là ánh xạ

s

lên s . Toán tứ này là bất biến dịch chuyển

nếu và chỉ nếu các hệ số là hằng số.
1 .1 .3

P h ư ơ n g t r ì n h c h u y ể n d ịc h

M ộ t p hư ơ n g tr ì n h đ ạ o h à m riêng (Đ H R ) phi tu y ế n c ấ p m ộ t tổ n g q u á t

th ư ờ n g có d ạ n g

F (x, u, Du) — 0 ,
ở

đ â y , II

€

Ư ,

F :ư

X

R

X

IRn -4 R là h à m đ ã b iế t và

u

: ư —>M là n g h iệ m

cần tìm u — n(x). T rong đ ó ư là m ột tậ p m ở tro n g R "
X ét ph ươ ng tr ìn h d ạ o h à m riêng (Đ H R ) :

u t + b.Du =

0

.

(1.2)

tro n g đó b là m ộ t véc tơ th u ộ c Mn . uịt, x) là h à m c ần tìm , X — ( x i , .... x n) E
R " là biến kh ô n g gian, t > 0 là biến th ờ i gian. Đ ây là m ộ t tro n g các d ạ n g
13


đ ơ n g iản n h ấ t c ủ a các P T Đ H R , t a sẽ gọi nó là p hư ơ n g tr ìn h dịch chuyển .
Ta kí hiệu Du — DjU = ( D Xìv ...... D Xnti)\h gradient của II theo các biến
k h õ n g gian. H à m số n à o sẽ là n g h iệ m c ủ a p h ư ơ n g tr ìn h (1.2). T a sẽ xót h à m
It(.r. t) có các đ ạ o h àm riê n g liê n tụ c và xom lú c nào I1Ó th ỏ a m ãn ( 1 .2 ) .
Đe ý t h ấ y r ằ n g t ừ ph ư ơ ng tr ì n h ( 1 .2 ) th ì đ ạ o h à m th e o hướ ng (b. 1 ) c ủ a u
bị triệ t tiê u . K h a i th á c V đó, với m ỗi đ iểm cố đ ịn h (.r. t) £ K " X (0. oc) ta

đặt
^(,s) := u(x -Ị- sb, t -Ị- s)

(s G K).

K h i dó, th e o p h ư ơ n g trìn h (1.2) t a có
i ( s ) = D (u )(x + sb, t + s).b + ut(x + bs, t, + s) — 0
N h ư vậy, í ( . ) là h ằ n g số với m ọi s G l và vì th ế u sẽ k hô n g đổi trẽ n đườ ng
t h ă n g c h ứ a đ iể m (x ,t) th e o hư ớ n g (ò, 1) E

Do đó, n ế u biết giá trị

c ủ a u tr ê n t ừ n g đư ờ n g n h ư th ế th ì t a sẽ x á c đ ịn h được u tr ê n to à n bộ
R n X (0 . o o ) .

1 . 1 .4

B à i t o á n g i á tr ị b a n đ ầ u

T a x é t b à i t o á n giá trị b a n đ ầ u c ủ a p h ư ơ n g tr ìn h chuyển dịch

ị Ut +

b .D u = 0

<

Ị u —g

tro n g

R n X (0, oc)

_
tr ê n

(1.3)

R " X {t =

0

}

ớ đ â v b € R n v à g : R " —> M là đ ã b iế t v à u là n g h iệm c ần tìm . C h o m ộ t
đ iể m (x,t.) € Mn+1. Đ ường th ẳ n g đi q u a (x,t.) th e o hướng (ò. 1) được m ô
tả b ằn g th a m số h óa là (x 4- sb, t + s ) , s E

Dường th ẳ n g n à y cắt m ặt

p h ẳ n g r :-= R n X {t — 0} khi s — —t tại đ iể m (.X — tb. 0). Vì u là h ằ n g số
t r ê n đ ư ờ n g t h ẳ n g đó và u(x — tb,

u(x, t) = g(x - tb)

0

) = g(x — tb ), t a có

(x e Mrt. t > 0)

14

(./: e R n . t > 0).

(1.4)


Do dó. (1.3) có nghiệm , th ì n g h iệ m dó p h ải được tín h b ằ n g công th ứ c (1.4).
Ngược lạ i. b ằng cách tín h trự c tiế p ta dễ d à n g th ấ y rằn g nếu (J là C'1 th ì

II được tín h th e o (1.4) đ ú n g là n g h iệ m c ủ a (1.3).

C h ú ý 1. N ế u (J là hàm không thuộc c

thì rõ ràng là phương trình (1.3)

không có nghiệm c 1. Nhưng ngay cả trong trường hợp này, công thức (1.4)
củng cho ta một "nghiệm" của (1.3) theo một nghĩa nào đó. Ta có thê gọt
n(.T.t) = g { x — tb) là n g h iệ m yếu cua (1.3), m ặ c dù g không p h ả i là c 1, vì
công thức (1.4) vẫn có nghĩa thậm chí khi g là hàm số gián đoạn. Những

khải niệm về nghiệm yếu như vậy chúng ta sẽ đề cập đến ở những phần
sau.
1.1 .5

B ài toán không th u ầ n n h ất

T a xót b à i toán kh ô n g th u ầ n n h ấ t, tức là vế p h ả i k h ác khõ ng

u t + b.Du — f

tro n g

IRn X ( 0 , 3 0 )
(1 .5 )

u = g

trên

]R n X { t . =

0}

C ũn g giống n h ư m ục trư ớ c, với (x, t) € R n + 1 t a đ ặ t s(,s) : = u (x + bs, t + s)
với > G R. Khi đó

z(s) = D u ịx + sb, t + s).b + Uị(x + sò, t + s) — f ( x + bs, t + s ).
Suv ra

tb) =

•u{x, t) - g{x

2

( 0 ) - z(-t.) = í

z(s)d,s

0

f(x

4

- sò, t + s)d.s

t

\'à như vậv

f ( x + {s - t)b. s)ds

v(x. t) = g(x - tb)
0

5

(.r e P . í >

0

),

( 1 .6 )


sõ c h o ta n g h i ệ m c ủ a ( 1.5 ). T a sẽ d ù n g công thức n à y đế g iả i b à i toán c ủ a
phương tr ìn h tru y ề n sóng ở chương sau.

Chú

ý 2 . Ta đã tìm ra nghiệm (1.4), (1.6) bằng cách đưa phương trình

D H R về

1 .2

phương trình VI phân thường.

S ư tồ n ta i n g h iê m c ủ a b à i t o á n với g iá t r i b a n đ ầ u lìa n g

C a u c h y - K o v a le v sk a y a

1.2 .1

B à i t o á n g i á tr ị b a n đ ầ u

X é t bài to á n giá trị b a n đầu:
d tu = L ( t , X, u, d Xju)

( 1 .7 )

u ( 0 , x ) = <Ị>{x)

(1.8 )

với X = ( x i, . . . , x n) là m ột đ iể m th u ộ c khô ng g ia n R n,t. là b iến thời g ia n
và vế p h ả i L tro n g ( 1 .7 ) là m ột h à m liê n tụ c theo biến c ủ a nó. B à i toán

(1.7)

và

(1.8) tư ơ n g đư ơ ng với p h ư ơ n g tr ì n h vi-tích p h â n sau:
u { t , x ) = <Ị>{x) + [ L ( t , x , u , d X]u)(ÌT
JQ

(1.9 )

V à do dó n g h iệ m c ủ a ( 1 .7 ) v à (1.8 ) có thể được x ác đ ịn h như là điểm bất
dộng c ủ a toán tử:

T : u — » Ư ( t, x) = ộ { x ) 4- [ L ( t , X, u, d Xju)d,T
J0

(110 )

Ví d ụ nổi tiế n g c ủ a L e w v d d a x chỉ r a rằ n g có n h ữ n g h à m vế p h ả i L k h ả vi
vô h ạn m à phương trìn h ( 1 .7 ) kh ô n g có n g h iệ m v à do đó b à i toán g iá trị

ban

đ ầ u (1.7) và (1.8) là vô nghiệm . M ột số các n g hiên cứu đ ã chỉ

kiện đ ủ cho vế p h ải để to á n t ử (1.7) có đ iểm b ấ t
g iá tri b an d ầu (1 .7 ) và (1.8 ) là g iả i được.

16

ra điều

đ ộ n g và do đó bài to á n


1 .2 .2

K h ô n g g ia n B a n a c h c ó tr ọ n g và ứ n g d ụ n g

X ét Q

{.ỉ : X > ()..;• G M1}. X é t bài to á n giá trị b a n đ ầ u đơn giản

sau : T ìm II — u ( t , x ) thỏa m ãn

dịU — —d xu
u( 0. x ) = —
X
H à m g iá trị b a n đ ầ u có m ộ t kì dị tạ i đ iểm X — 0 là m ộ t đ iểm biên c ủ a
Q. N g h iệ m c ủ a bài to á n giá trị b a n đ ầ u là u ( t,x ) —

chỉ t a rằ n g đ iể m

kì dị t ạ i đ iể m biên có th ể dịch vào b ê n tro n g m iền Q. th e o sự th a y đổi
c ủ a th ờ i gian. Nó d ẫ n đ ế n việc h ạ n chế k h o ả n g thời gian m à trê n đó tồ n
tạ i n g h iệ m . Đ iểm X c àn g gần biên th ì k h o ả n g th ờ i gian có t h ể được c àn g
n hỏ . Nói ch ung, ng h iệ m c ủ a bài to á n giá trị b a n đ ầ u (1.7) và (1 .8 )(n g h ĩa
là đ iể m b ấ t đ ộ n g c ủ a to á n t ử ( 1 . 1 1 )) tồ n tạ i trê n m ộ t m iền trê n

Để

x â y dự ng m iề n nón nàv, ch ún g ta p h ả i đó kh o ản g cách từ m ột đ iế m X €

tới biên. Với m ục đích này, x ét m ộ t p h é p vét c ạ n trê n Í7 b ằ n g m ộ t họ các
m iề n con Q s , 0 < s < So, th ỏ a m ãn các đ iề u k iệ n sau:

i) N ếu s' < s ” thì Qg' là m ột tập com pact của
ii) V ớ i m ỗ i đ iể m Xo G

xác đ ịn h cho trước, m ỗi

đ iể m X 6 r ỉ thuộc

vào

b iên c ủ a m ộ t m iền các đ ịn h d u y n h ấ t Í 2 s(i) c ủ a họ;
iii) T ồ n tạ i m ột h ằng số dương C\ sao cho với m ỗ i

s', s" th ỏ a m ã n s' < s",

kh o ả n g cá ch từ Q s> đốn d ũ S' có thể ước lượng bởi

công thức:

dist(Q,s' , d ũ s") > Cị(s" — s')
Đ ặ t s (x o ) = 0, xét M là tậ p sau:

M = {(t. x ) : X e n , 0 < t < T){so - Sj)}
Miền M có chiều cao là Ĩ]S().Do đó:
dịt., r ) = s 0 - s ( x ) - -

( 1 .1 1 )

n
17

Q Ả c (-■

3ế'


là m ộ t h à m trọ n g số n h ận g iá trị dương tro n g M và triệ t tiê u trên m ặt

hen c ủ a M . Sử d ụ n g h àm trọ n g số này. ch ún g ta có thế xem xét h àm

(I = / / ( / ,. r) có các điểm kì dị trên mặt bên của M . Đế xây dựng không
gian B a n a c h phù hợp c ủ a các h à m số xác đ ịn h tr ê n m iền n ón AI tro n g
kh ô n g g ia n X , xét B { Q ) là m ột khô ng g ian B a n a c h các h à m xác đ ịn h trên

m iền Q (giới nội) trê n m ặ t p h ẳ n g X. Đ ịnh n g h ĩa c h u ẩ n c ủ a nó là ||.||/?( 0 )
(tro n g trư ờ ng hợp thông thường ta sử d ụn g ch u ẩ n su p ). G iả sử B ( Q ) th ỏ a

m ã n các đ iều kiện sau:
i) N ế u Q ' c

0." th ì B(Q") được giới h ạ n tro n g B(Q'), n g h ĩa là giới h ạ n

của hàm u

BỊQ.") tới ũ ' th u ộ c vào B(Q'), v à ch úng t a có:

6

IM|i*(íĩ') < I M I b (ÍĨ")
ii) C á c h à m th u ộ c vào B(Q") là giới nội và c h ú n g t a có:
su p
n

\u\ <

C2 ||u||B (fi)

với C'2 k h ô n g p hụ th u ộ c vào c ả u và Q. C h ú V rằ n g điều kiện t h ứ 2 được

tliỏa mãn với C2 = 1 cho chuẩn Holder:
0 < A< 1
X é t Qs, 0 < ,s < So, là m ộ t v ét c ạn c ủ a m ộ t m iề n giới nội đ ã cho tro n g Mn .
Kí h iệu B ( ũ ) s bới fís và c h u ẩn trê n fís sẽ được kí hiệu là 11. 11.5 . Với mỗi
đ iể m t < 7/.SQ xác đ ịn h , giao diện c ủ a M với m ặ t p h ẳ n g t = t tro n g kh ô n g
gian t. X đ ư ợ c cho bởi:

{(t . x) : t = t, s{x) < s}
xới
t
s = .So-----

(1.12)

n
X ét B t ( M ) là t ậ p t ấ t cả các h à m (giá trị th ự c ) í/ = u(t . x) th ỏ a m ã n các
diều kiện sau:


i) ti{t, x) liên tụ c tro n g A/;
ii) t i ( t . x ) th u ộ c vào / ? S(r) với m ỗi t xác đ ịn h k h i v à ch ỉ k h i s(.r) < S với S
được cho bởi cõng thứ c ( 1 .1 2 ) ;

iii) C h u ẩ n
IM I* =

sup

| | u ( f , . ) | | a(x )d (f,.r)

( 1 -1 3 )

(t.x)eM

là hữu hạn.

Đ ịn h n g h ĩa (1.13) về c h u ẩ n | |. ||, d ẫ n đ ế n ước lượng sau:
! M f ,.) I U x ,< |Ệ y
với mỗi đ iể m t,

M ệ n h đề

1

(1-14)

X tr o n g M .

. B*( M) là một không gian ỉìanach.

C h ứ n g m i n h . C h ú ý rằ n g b ấ t đ ẳ n g th ứ c d (t , x) > ổ > 0 xác đ ịn h m ộ t
t ậ p con đ ó n g M ị c ủ a m iề n n ón M . Mỗi đ iểm c ủ a M được c h ứ a tro n g m ộ t
t ậ p con Mỹ với ỏ được ch ọn th íc h hợp. Với các đ iểm

( f ,.r ) tr o n g Ms, đ ịn h

n g h ĩa (1.13) cho c hú ng t a ước lượng:
l |u ( í , .) I U * ) < ^ IM I*
X é t m ột d ã y C a u c h y U\, ?í‘2 , ... với ch u ẩn ||.||*. với V và Ị.L đủ lớn, chúng ta

|K - u J |. <ể

(1.15)

D o đó:

\\uv {t , .) - vv {t, .)ll,(x) <

(1-16)

với các điểm trong M s . T ừ đó suy ra:
\Uy

.
1
Wmií| ^ *”2T f
ò

với các đ iể m tr o n g Mỹ. K hi đó {un} là m ộ t d ã y C a u c h y
mỗi Mộ. n g h ĩa là Uy

14

hội t ụ đ ề u tro n g

l u( t . x) tr o n g M. T ư ơ n g tự. ước lượng
19

(1.16) chi

ra r ằ n g vơi I — t v à s(x) < 5, h à m giới h ạ n th u ộ c vào /?.s(:r) d o tín h d ầ y
rĩii c ủ a k h ô n g gian h à m JÌ(Q). T ro n g b ấ t d ẳ n g th ứ c (1.15), cho // — > DC,
c h ú n g t a đ ư ợ c \\uv — IU II* < e và do đó IIỉ/, 11» là hữ u hạn.
1 .2 .3

Đ á n h giá các to á n t ử v i-tíc h p hân

Toán tử
c ắp m ộ t dx

(1.9) được x á c đ ịn h chỉ với các u = u( t , x) có các đ ạ o h à m
tồ n tạ i và liên tụ c . G iả sử rằ n g m ộ t h à m u— u{t, X ) n h ư

X é t k hô n g gian B a n a c h B(Q) đ ã nói ở trê n .

th u ộ c vào k h ô n g gian

Đ ịn h n g h ĩa

1

vậy

. Giả sử rằng íĩ' ỉà một miền con nào đấy của Q" VỚI khoảng

cách duơng dist(Q', dSl") tới biên của Q". Khi đó một hàm u G B(Q") dược
gọi ỉà hàm thỏa mãn đ á n h giá tr o n g ( i n t e r i o r e s t im a te s ) cấp m ộ t
nếu dx u thuộc vào B(Q') và
5 Ă ^ n b ữ õ ll“ llB(n"'

(117)

trong đó C3 là một hằng số không phụ thuộc vào hàm u và ừ , ũ " .
A p d ụ n g ước lượng n à y cho vét c ạ n Q.s c ủ a Q. chúng t a được:

\\dx uịịs <
với .s' < s".

7 11 ^ 1 U"

C] s

(118)

— s

Xét t,,x là m ột điểm bắt kì của M. Khi đó:

d( t , x ) = So — s(x) — - >
V

0

Đ ịn h nghĩa:

s = s(x) + ị d ( t , x )
Suv ra:
S < s { x ) 4 i ( s 0 - s ( .t) ) = ^ s ( x ) + i.S() < So
và do đó tồn tạ i m ột đ iể m X với s ( x ) = S, n g h ĩa là X G OQg. C h ú n g ta có:

c l ( t . i ) = So - s ( x ) - - = - d ự . x )
TỊ
2
20


r h a y

v à o

ư ớ c

l ư ợ n g

( 1 . 1 3 ) ,

c h ú n g

t a

đ ư ợ c :

T hay vào (1.18), c h ún g t a được:
p a-H U *) <

C 3 ____ £ _
1
w\\s <
C\ d 2 { t , X )

Cị S - s (X )

£3

li

( 1 . 1 9 )

.

Tóm lại, kí hiệu vế p h ả i L( t , x, u ,d x u) tro n g (1 .2 1 )bởi Lu, n g h ĩa là chúng
t a có tr o n g trư ờ n g hợp đặc b iệ t Lỡ

—

L(t,

X,

0, 0). T iế p đó, chúng t a phải

ước lượng ch u ẩn c ủ a Lu. Đ ể là m được đ iề u đó, ch ún g ta g iả sử rằn g Lu
th ỏ a m ãn các điều kiện sau:

i) Lỡ liên tục:
ii) C h u ẩ n ||LỠ ||s là giới nội và do đ ó ||LỠ||* là h ữ u hạn;
iii) Lu th ỏa mãn điều kiện Lipschitz:
IILu - Lvịịs < A 0\\u - v\\a + ^ A j \ \ d Xiu - dXjv\\s

j

Sử dụng (1.28) và (1.33), điều kiện Lipschitz áp dụng cho V — 0 suy ra:
II M U * ) II ^ \\L0\\sM + ^ o lM ls (x ) + r . Aj\\dxjU\\s(x)

j
1
- ị m

Aj ị U "
-d ĩb > + A o M U d ( h ) + 7 T £
J

d {t, x )

Cị ^

đ {t, X)
(1.20)

do So > d(t, x). Đ ịnh n g h ĩa (1.10) c ủ a h à m tr ọ n g số d(t , x) d ẫ n đến
/■

'

J0 (pự.x)
v à

d o

« ,

-

d(t, x)

đ ó :

<

L uxÌ t
s(x)

21

( | |L Ỡ ||. .s o + c 4 | M

(1.21)


ư ớ c lượ ng ( 1 . 2 1 ) c ủ a c h u ẩ n s(x) d ã n đến
I r*

Ludr

./()

< 7/(||Z>ớ||*S0 + i'llM I* )
*

C u ối c ù n g , g iả sử rằ n g các c h u ẩ n | | 0 | | s . 0 < ,s <

S()

là giới nội. K hi đó ||(p||*

là h ữ u h ạ n và c h u ẩn c ủ a ả n h ư ( t . x ) là các đ ịn h bởi ( 1 . 1 0 ) được đ á n h giá
q u a m ệ n h đ ề sau:

M ệ n h d ề 2. Ta có ước lượng sau:
n i .<

I M I . + / Ị ( I I £ 0 I U + C4 | M | . ) .

X é t h a i p h ầ n t ử u(t,,x) và v ( t , x ) c ủ a B»(AĨ) với các d ạ o h à m c ấp in ột
tồ n tạ i v à liên tục. X é t V (í, x) là ả n h tư ơ ng ứ n g được xác đ ịn h bởi p hư ơ n g
t r ì n h (1.9). T ư ơ n g t ự c h ún g t a có:
IILu — Z/I’lU(x) — ^ o | | u — í; ||.«(j-) + 'y " Aj\\àXjU ~ àXjỉ ' | 1,5(2 )
.

.

.

1

..

d(t, x )

< Ạ )||w — v\

4C3 X—V
Ci

. . .

Ỳ

So

4c3

cp(t,x)

d

1

1.

n'd?(t,x)

.
?

‘

..

1

V^’
S uv ra:
ĨAidr

/

10

V

<
— / Lvdrì
c4 ||w - v ||.
d(t., x)
J0
s{x)

M ệ n h dề 3. Ta có ước lượng sau
\ \ Ư - V \ l < Vc , \ \ u - v \ U
1 .2 .4

Á p ( l ụ n g n g u y ê n lý á n h x ạ c o g iả i b à i t o á n g iá tr ị b a n đ ầ u

M ệ n h đ ề J và 2 ch) đ ú n g tro n g trư ờ n g h ợp giả th iệ t Ii(t. x) £ B*i-\ỉ) và
(’( /..r ) e

th ỏ a m ã n đ á n h giá tro n g c ấ p m ột.

D ó k h ô n g p h ả i là trư ờ n g hợp cho m ộ t p h ầ n từ b ấ t kì c ủ a / ? , ( . ) / ) . Đổ á p
d ụ n g các ước lượng này. c h ú n g t a p h ả i tìm m ộ t t ạ p con đ ó n g c ủ a
m à trc n đó giả th iế t này là đ ú ng . M ột t ậ p con n h ư vậy có t h ể xác đ ịn h
n h ư m ột t ậ p t ấ t cả các n g h iệ m c ủ a p h ư ơ n g tr ì n h eliptic ỉu — 0. K í hiệu:

B[ { M) — { u(t, x) G B*{M) : luịt,.) = 0

với m ỗi t}

C h ú ý rằ n g / p h ả i là m ộ t to á n t ử eliptic với các hệ số p h ụ th u ộ c và t. Điều
kiện (1.17) có th ể được k iểm t r a b ằ n g việc sử d ụ n g m ộ t đ á n h giá tro n g các
n g h iệ m c ủ a phương tr ìn h v i p h ân e lip tic , với B [ { M ) là đóng trong đ ịn h

lý W e ie rrs tra s s về sự hội tụ đối với n g h iệ m c ủ a p h ư ơ n g tr ì n h eliptic. Để
á p d ụ n g n g u y ê n lý á n h x ạ co, to á n t ử ( 1 . 1 0 ) p h ả i là á n h x ạ ch uy ển khôn g
gian B [ ( M ) vào chính nó.

Đ ịn h n q h ĩa 2. Xét L là một toán tử khả vi cấp một theo t, X, u — u ( t , x)
và các đạo h à m cấp m ộ t dịU, với ỉ là m ộ t toán tử vi ph ân chỉ ph ụ thuộc vào

cấc biến không gian Xj với các hệ số không phụ thuộc vào thời gian t. Khi
đó L và I dược qọi là cặp toán tử liên kết nếu L ánh xạ không gian nghiệm
của phương trình lu =

0

vào chính nó với mỗi t xác định cho trước, nghĩa

là ỉu = 0 kéo theo l (Lv) = 0.
C h ú ý 3. Chú ý rằng I không nhất thiết phái là toán tử vi phân cấp I.
Đ ịn h n g h ĩa 3. Không gian nghiệm của phương trình lu = 0 được gọi là
không gian hên kết (associated space).
T h e o M ệ n h đề 2. to á n t ử tíc h p h â n tư ơ n g ứn g (1.9) là co n ế u chiều cao

ìỊSo c ủ a m iền M đ ủ nhỏ, do đó đ ịn h lý s a u dược c h ứ n g m inh .
Đ ịn h lý

1

. Giá sử rằng LẠ là một cặp toán tứ liên kết. Hơn nữa, giá sử

rằng các nghiệm của ỉu — 0 thỏa mãn điều kiện đánh giá trong cấp một.

23


K h í

dó

bài

to á n

giá

trị

ban

đầu:

Ỉ

d tu = F u
■1/(0,.) = 0

/o giải được với hàm giá t n ban đầu ộ thỏa m ã n điều kiện lộ = 0. ỉỉơ n
nữa, n g h i ệ m u = u ( t , x ) thỏa m ã n điều kiện lu (t . , .) = 0 với m ỗ i t.

C h ú ý r ằ n g điều kiện lu =

0

có th ể được x e m n h ư lu ậ t b ả o to à n cho

p h ư ơ n g tr ì n h tiế n h ó a (1.9). Đ ịn h lý (1) có th ể á p d ụ n g cho hai k h ả n ă n g
sau: T rư ờ n g h ợ p / cho trước, khi đ ó c h ú ng t a p h ả i tìm to á n t ứ liên kết L:
T u y n h iê n n ế u L cho trư ớc, c h ú ng t a có th ể t ì m các to á n t ử / sao cho bài
to á n giá trị b a n đ ầ u với h à m giá trị b a n đ ầ u d) th ó a m ã n Ịộ =

0

có th ể

giải được. Hơn n ữa, với m ộ t to á n t ử L cho trư ớ c có th ể tồ n tạ i nh iều to á n
t ử liên k ế t /. Đ iể m b ắ t đ ầ u cho Đ ịn h lv (1) là bài to á n C a u c h y -R ie m a n n .
M. N a g u m o là người đ ầ u tiê n sử d ụ n g viết lại dưới d ạ n g tích p h â n ( 1 .8 )

để giải b à i t o á n C au ch y-K ov alesky cổ điển. Sứ d ụ n g d ạ n g tíc h p h ã n này,
w . W a lt e r đ ã g iả i b à i toán C a u c h y -K o v a le s k y cổ đ iể n b ằng n guyên lý án h
x ạ co t r o n g k h ô n g gian B a n a c h c ủ a các h à m c h ỉn h h ìn h với m ỗi t. T ro ng
trư ờ n g h ợ p ch ỉn h hìn h, c h ú ng t a k h ó n g c ần g iả th iế t vét cạn m iền n. tro n g
kh ô n g g ia n

2

b ằ n g m ộ t họ các m iền con f ì s, và trọ n g số d (t , z) có th ổ được

đ ịn h n g h ĩa n h ư k h o ả n g cách E uclid e d (x ) c ủ a m ộ t đ iểm

2

đ ế n b a o dQ. XV.

W a lte r đ ã đ in h n g h ĩa trọ n g số:

dự. z) = d(z) - n
hơn n ữ a , w . W a lte r còn sử d ụ n g lũy t h ừ a (ỉơ(t. z ) n h ư m ộ t trọ n g số, tro n g
dó ơ >

0

. V iệc xây d ự n g các c ặ p to á n tứ liên kết d ẫ n đ ế n hệ p h ư ơ ng trìn h

đại số. T ro n g trư ờ n g hợp hệ là tư ơ n g thích, to á n tử liên kết là tồ n tạ i và
do đó b à i to á n giá trị b a n đ ầ u là giải được.

24

C h ư ơ n g

C á c

2 .1

k ế t

2

q u ả

c h í n h

V éc tơ t h ế và b à i to á n g iá t r ị b a n đ ầ u

Véc tơ t h ế u = {u 1 , Ĩi2 , U3 ) tro n g R 3 được coi là n g h iệ m Riezs
d i v u — 0, r o t u — 0

(2.1)

n g h ĩa là các t h à n h p h ầ n u 1 , U2 , 'U3 t h ỏ a m ã n hệ

1 < i < 3 < 3

0,

véc tơ th ế có n h iề u tín h c h ất tư ơ n g t ự n h ư h à m ch ỉn h hìn h. T rong [15],

W .T u ts c h k e đ ã m ở rộ n g đ ịn h lý C au c h y -K o v a le v sk a y a cho véc tơ thế. Bài
to á n đ ặ t r a là tìm véc tơ th ế u — u ( x , t ) p h ụ th u ộ c vào t và th ỏ a m ã n
phương trìn h

và t h ỏ a m ã n đ iề u kiện b a n đ ầ u
u { x , 0) =
ớ đ â y ọ là véc tơ th ế đ ã cho. còn L là to á n t ử vi p h â n bậ c n h ấ t tá c
đ ộ n g lên véc tơ m à á n h x ạ t ấ t c ả véc tơ th ế vào chính nó. N g hiệm c ủ a bài
t c á n đ ượ c x ây d ự n g b ằ n g ph ư ơ n g p h á p x ấ p xỉ liên tiếp. D ãy các ng hiệm
x ấ p xỉ liên tiế p hội t ụ đ ề u tro n g K X io. X], ớ đây K là m ộ t t ậ p c o m p a c t
25