Bộ đề luyện thi ĐH-CĐ môn Toán P2 - Đề 18

Câu I. 1) Hàm số đã cho có đạo hàm y = 3x(x - 2a).
Vìa>0nêntacóbảng biến thiên của y:
x - Ơ 02a+Ơ
y + 0 - 0 +
y4a
3
+Ơ
-à 0
Vẽ đồ thị dành cho bạn đọc.
2) Hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu khi a ạ 0.Vớia>0,y
CD
=4a
3
,y
CT
=0,cònnếua<0,y
CD
=0,y
CT
=4a
3
.
Trong cả hai trỷỳõng hợp, để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị là đối xứng với nhau qua đỷờng thẳngy=x,taphải
có
4a
3
=2aị a=
1
2
.
3) Gọi x

1
,x
2
,x
3
là hoành độ của A, B, C. Theo giả thiết ta có 2x
2
=x
1
+x
3
, và chúng là nghiệm của phỷơng trình:
x
3
- 3ax
2
-x+4a
3
=0.(1)
Với điều kiện phỷơng trình có 3 nghiệm, ta có
xxx a
xx xx xx
xxx a
123
12 23 13
123
3
3
1
4

++=
++=
=





Giải hệ này ta đỷợca=0,a=

1
2
.
Vậya=0,a=

1/
2
là các giá trị phải tìm.
Câu II.1)Vớim=
-
1
2
, viết phỷơng trình đã cho d ới dạng
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
x+x+1+
1
2
=x-x+1

22
.
Các căn bậc hai luôn luôn có nghĩa, và cả hai vế trên đều dỷơng. Bình ph ơng hai vế, sau khi rút gọn thì đ ợc
x +x+1=-2x+
1
4
2






.
Suy ra
2x +
1
4
<0
ịx<
-
1
8
. Lại bình phỷơng hai vế, thì đỷợc
x
2
=
5
16
ị x=

-
5
4
(dox<
-
1
8
).
2) Phỷơng trình đã cho có nghiệm nếu m là một giá trị của hàm
f(x) =
x +x+1- x -x+1
22
.
Hàm f(x) đỷợc xác định với mọi x, và là một hàm lẻ, f(x)>0khix>0.Vậym=0làmộtgiátrịphải tìm, vấn đề quy
vềtìmm>0đểphỷơng trình đã cho có nghiệmx>0.
Vớim>0,viết phỷơng trình đã cho d ới dạng :
x +x+1=m+ x -x+1
22
.
Cả hai vế đều dỷơng ; bình phỷơng hai vế và rút gọn thì đi đến
2x-m
2
=2m
x-x+1
2
.
Phải có 2x > m
2
; lại bình phỷơng hai vế, ta đỷợc
4(m

2
- 1)x
2
=m
2
(m
2
- 4).
Để có nghiệm x, phải có m
2
ạ 1, khi đó x
2
=
m(m -4)
4(m - 1)
22
2
.
Vì x
2
>0,suyra0<m
2
<1,4<m
2
. Điều kiện 2x > m
2
trở thành
m(m -4)
m-1
>m

22
2
4
ị
m+4
m-1
4
2
<0ị m
2
<1.
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
Từ các kết quả trên, suy ra đáp số |m| < 1.
Câu III. 1) 4sin3a+5-4cos2a - 5sina =
= 4(3sina - 4sin
3
a)+5-4(1-2sin
2
a) - 5sina = = -16 sin
3
a + 8sin
2
a + 7sina+1=
= - (sina - 1)(16 sin
2
a + 8sina + 1) = (1 - sina)(4sina + 1)
2
0.

2) Ta có
cos3xcos
3
x + sin3xsin
3
x = cos3xcosx(1 - sin
2
x) + sin3xsinx(1 - cos
2
x) =
= cos3xcosx + sin3xsinx - sinxcosx (cos3xsinx + sin3xcosx) =cos2x - (1/2) sin2xsin4x = cos2x - sin
2
2xcos2x =
cos
3
2x.
Vậy phỷơng trình đã cho quy về
cos
3
4x = cos
3
2x cos4x - cos2x = 0 sinxsin3x = 0
sin3x = 0 x=
k
3
(k ẻ Z).
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0

_______________________________________________________

Câu IVa.
1
n
n
0
Ixsinxdx=


Trên [ 0 ; 1] thì 0 sin x 1 nên
nn
0xsinxx


1
n
n
0
1
0I xdx
n1
=
+


Nh vậy
n
nn

1
0 lim I lim
n1


+
nên
n
n
lim I 0

=
.
Câu Va. Giao điểm M của (P) và (D) ứng với các giá trị của u, v, t nghiệm của hệ phơng
trình :
+=


++=


=+

1v23t
14u2v72t
uv 14t

(1)
(2)
(3)

Từ (1) và (3) suy ra u = t, v = 1 3t,
thế vào (2) ta đợc 1 + 4t + 2 (1 3t) = 7 2t 0 = 4
mâu thuẫn ! Điều đó chứng tỏ rằng (P), (D) không có điểm chung, tức là (D) song song với
(P).
Câu IVb.
1) Hình chóp là đều, nên gọi H là giao điểm các đờng
2) chéo của đáy ABCD, thì SH là đờng cao của hình chóp.
Tam giác SAC là cân, vậy để C' thuộc đoạn SC,
ta phải có
n
ASC
là góc nhọn :
222 2
AC SA SC 2SA<+=
hay
2
22
a
2a 2 h
2

<+






a

h
2
>
.
Gọi K là giao điểm của AC' với SH, K là giao điểm
các đờng chéo AC' và B'D' của tứ giác AB'C'D',
để ý rằng AC' B'D'.
Ta có
2
2
ha 2 2dt(SAC) SC.AC '
a
AC '. h
2
===
=+


22
AC' 2ah / a 2h
=+.
Mặt khác
==
=
2
a
AH.HC SH.KH
2
h(h SK)

22
2h a
SK
2h

=
,
do đó B'D' =
BD.SK
SH
=

22
2
2
a(2h a )
2h
, từ đó suy ra diện tích tứ giác AB'C'D' :
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0

_______________________________________________________

==
1
dt(AB'C'D') AC'.B'D'
2

=
++

222 222
22 22
a(2h a) 2 a(2h a)
2h 2h a h 2(h a )
.
2) SC' (AB'C'D') , vậy SC' là đờng cao của hình chóp S.AB'C'D'. Ta có
222 222
22 22
22 22
a4ah(2ha)
SC' SA AC' h
2
2h a 2(2h a )

= =+ =
++
,
vậy :
2222
S.AB'C'D'
22
1a(2ha)
V SC'.dt(AB'C'D')
3
6h(2h a )

==
+
.
3) Mặt phẳng (P) cắt CB và CD tại

1
B
và
1
D
. Đó cũng là các
giao điểm của C'B' với CB và của C'D' với CD. Các tam giác C'B'D' và
11
C'B D
là đồng dạng.
Các tam giác CBD và
11
CB D
cũng là đồng dạng, từ đó suy ra
11
CB D
là tam giác vuông cân.
Vậy
11
AB AD AC a 2
===
. Trong tam giác cân
11
C'B D
, để ý rằng AC' < AC, từ đó suy ra
mỗi tam giác vuông
1
C'AB
và
1

C'AD
có các góc.
n
n

=>
11
AC'B AC'D
4



n
n

= >
1
1
BC'D B'C'D'
2
.