Bài giảng Giải tích 12 - Bài tập: Nguyên hàm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH

TRƯỜNG THPT PHỤ DỰC

Giáo viên thực hiện : Nguyễn Giang Nam


A. Phương pháp đổi biến 
số
Bài  1:  Tính 
1.

x .dx
x+

x2 − 1

2. cos5 x sin 3 x.dx
3.

2 + ln 2 x .ln xdx
x

Bài giải
1. Ta có :
x.dx

�
x+

x2 − 1

=�
x( x + x 2 − 1)dx

(

)

1
=�
x 2 dx + �
x2 − 1
2
x3 1
=
+ .
3 2

3
( x 2 − 1) 2

3
2

1
2

d ( x 2 − 1)

+C

x3 1
=
+ . ( x 2 − 1)3 + C
3 3


A. Phương pháp đổi biến 
số
Bài  1:  Tính 

Bài giải
2. Ta có :

x .dx

Cách 1

1.

x+

2

x −1

2. cos5 x sin 3 x.dx
3.

2

2 + ln x .ln xdx
x

Tổng quát hóa 

cos m x sin 2 n+1 x.dx
cos 2 m+1 x sin n x.dx
( m, n

N *)

5
3
5
2
cos
x
sin
x
.
dx
=
cos
x
sin
x.sin xdx
�
�

= − cos5 x(1 − cos 2 x).d (cos x)
= (cos 7 x − cos5 x) d (cos x)
cos8 x cox 6 x
=
−
+C
8
6
Cách 2
5
3
4
3
cos
x
sin
x
.
dx
=
cos
x
sin
x.cos xdx
� 3
�
= sin x(1 − sin 2 x) 2 .d (sin x)

= (sin 7 x − 2sin 5 x + sin 3 x) d (sin x)
sin 8 x sin 6 x sin 4 x

=
−
+
+C
8
3
4


A. Phương pháp đổi biến 
số
Bài  1:  Tính 
1.

x .dx
x+

x2 − 1

2. cos5 x sin 3 x.dx
3.

2 + ln 2 x .ln xdx
x

Bài giải
3. Ta có :
Đặt : t = 2 + ln 2 x

dt =

2 ln x
dx
x

Khi đó, nguyên hàm cần tính trở thành 
1
t 2 dt

�t dt = �

3

2 2
2 t3
= t +C =
+C
3
3

Thay  t = 2 + ln 2 x vào kết quả, ta được 
:
2 + ln 2 x .ln xdx 2
=
x
3

(2 + ln 2 x )3 + C

A. Phương pháp đổi biến 
số
Bài  2:  Tính 

1.

( x + 1)dx
3
3x + 1

2.

dx
x (1 + x 5 )

Bài giải
1. Ta có :
Đặt :

t3 −1
t = 3x + 1
x=
3
1
( dt =
dx)
2
3
(3 x + 1)
3

dx = t 2 dt

Khi đó, nguyên hàm cần tính trở thành 
t3 −1
+1
1
2
4
3
t
dt
=
(
t
+ 2t )dt
� t
�
3
1 t5
= ( + t2) + C
3 5

Thay  t = 3 3x + 1

vào kết quả, ta được 
:
( x + 1)dx 1 3
13
5

2
=
(3
x
+
1)
+
(3
x
+
1)
+C
3
3
3 x + 1 15


A. Phương pháp đổi biến 
số
Bài  1:  Tính 

Bài giải
2. Ta có :
Đặt :

Bài  2:  Tính 

1.
2.

( x + 1)dx
3
3x + 1
dx
x (1 + x 5 )

t=

1
x

(

1
t
1
dt = − 2 dx)
x
x=

dx = −

1
dt
2
t

Khi đó, nguyên hàm cần tính trở thành 
dt
t 4 dt

−�
(− 2 ) = �
5
1
1
t
t
+1
(1 + 5 )
t
t
1 d (t 5 + 1) 1
5
=
=
ln
t
+1 + C
5
5
5
t +1
1
t=
Thay 
vào kết quả, ta được 
x
1

: 1

dx
1
=
ln
+1 + C
5
5
x (1 + x ) 5
x

Tổng quát : 

dx
( n > 1, n
n
x (1 + x )

N *)


B. PP tính nguyên hàm từng phần Bài giải

1. Ta có :

Bài  1:  Tính 

1. x(cos 4 x + sin 4 x).dx

2.

x ln 2 x.dx

3. e

sin 2 x

sin x.cos 3 x.dx

4. sin 3 x .dx

Vậy 

cos 4 x + sin 4 x = (cos 2 x + sin 2 x) 2 − 2sin 2 x cos 2 x
1
1
3 cos4 x
= 1 − sin 2 2 x = 1 − (1 − cos4 x) = +
2
4
4
4
3
1
4
4
x
(cos
x
+
sin

x
).
dx
=
xdx
+
x cos4 xdx
Do đó  �
�
�
4
4
du = dx
� sin 4 x
v=
4
x sin 4 x 1
x
cos
4
x
.
dx
=
− �
sin 4 xdx
�
4
4
x sin 4 x 1

=
+
cos 4 x + C '
4
16

u=x
Đặt  �
dv = cos 4 x.dx

x(cos 4 x + sin 4 x).dx =

3 2 1
1
x +
x sin 4 x +
cos 4 x + C
8
16
64


B. PP tính nguyên hàm từng phần Bài giải

2. Ta có :

Bài  1:  Tính 
4

4

1. x(cos x + sin x).dx

2.

x ln 2 x.dx

2
u
=
ln
x
�
­ Đặt  �
dv = x.dx

2ln x
du =
dx
x
�
�
x2
v=
2

x 2 ln 2 x
x ln x.dx =
−�
x ln xdx

�
2
1
du = dx
u = ln x
x
­ Đặt  �
�
dv = x.dx
x2
v=
2
2

3. e

sin 2 x

sin x.cos 3 x.dx

4. sin 3 x .dx

x 2 ln x 1
x ln x.dx =
− �
xdx
�
2
2
x 2 ln x x 2

=
−
+C'
2
4

Vậy 

x 2 ln 2 x x 2 ln x x 2
x ln x.dx =
−
+
+C
2
2
4
2


B. PP tính nguyên hàm từng phần
Bài  1:  Tính 
Bài giải
3. Ta có :

u = cos 2 x
�
�
sin 2 x
dv = e
cos x.sin x.dx

�

­ Đặt 

2

sin x

e
�

Vậy 

e

sin x

2

cos x.e
sin x cos x.dx =
2

cos 2 x.esin
=
2
2

du = −2sin x.cos x.dx
�

� 1 sin 2 x
v= e
�
2

3

2

x

sin 2 x

+�
e

1 sin 2 x
+ e
+C
2
2

cos x.e
sin x cos x.dx =
2
3

sin 2 x

sin 2 x

1 sin 2 x
+ e
+C
2

sin x cos xdx


B. PP tính nguyên hàm từng phần Bài giải

4. Ta có :

Bài  1:  Tính 

1. x(cos 4 x + sin 4 x).dx

2.

x ln 2 x.dx

3. e

sin 2 x

sin x.cos 3 x.dx

4. sin 3 x .dx

­ Đặt  t =

3

x

x = t3

dx = 3t 2dt

­ Khi đó, nguyên hàm cần tính trở thành 

3t 2 sin t.dt
u = 3t 2
­ Đặt �
dv = sin t.dt

du = 6tdt
�
v = − cos t

2
2
3
t
sin
t
.
dt
=
−

3
t
cos t + 6 �
t cos tdt
�

u =t
�
­ Đặt  �
dv = cos t.dt
�

du = dt
�
�
v = sin t
�

t cos t.dt = t sin t − �
sin tdt
�
= t sin t + cos t + C '

Thay  t =

3

x ta được sin 3 x .dx = −3 3 x 2 cos 3 x + 6 3 x cos 3 x + 6cos 3 x + C

C. Củng cố : Phương pháp tính nguyên hàm
D. Bài tập về nhà:   Tính các nguyên hàm sau :
1.

2x + 3
.dx
2
x − 4x − 5

2.

1
.dx
2
(2 x − 1) (4 x − 5)

3.

3x 2 + 3x + 3
.dx
3
x − 3x + 2

4.

dx
1 + ex

sin 2 x
5.

.dx
6
cos x

6.

1
.dx
4
6
sin x cos x

7. x(cos 6 x + sin 6 x).dx
x
8.
.dx
2
cos x
ln x 2
9. (
) .dx
x
x 2e x
10.
.dx
2
( x + 2)
1
11.
.dx

π
cos x cos( x + )
4
4sin x + 3cos x
12.
.dx
sin x + 2cos x