PHẦN ÔN TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN 12 ppt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (244.72 KB, 19 trang )
PHẦN ÔN TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC
CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN 12
Dùng cả cho ôn thi TN , Chủ đề I,II,III)
Chủ đề I : A/SƠ ĐỒ CHUNG KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ: 8 bước( 8 dấu :+ )
I / Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ( a ≠ 0) .
1) Tập xác định : +/ D = R .
2) Sự biến thiên :
+/ Chiều biến thiên :
• y’ = 3ax
2
+ 2bx + c .
• y’ = 0 <=> x
i
= ? ; f(x
i
) = ? .
+/ trên các khoảng (….) và (… ) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến .
Trên khoảng (….) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến .
+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., y
CT
= ….
Hàm số đạt cực Đại tại x = …., y
CĐ
= ….
+ / Giới hạn ở Vô cực :
=
−∞→
y
x
lim
? ;
=
+∞→
y
x
lim
? .
+/ Bảng biến thiên :
x - ∞ ? ? ? + ∞
y’ ? ? ?
y ? ? ?
3) Đồ thị :
+ ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = d .
• Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? ., Các điểm khác : …
+) Đồ thị : y
0 x
II / Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c ( a ≠ 0) .
1) Tập xác định : +/ D = R .
2) Sự biến thiên :
+/ Chiều biến thiên :
• y’ = 4ax
3
+ 2bx = 2x(2ax
2
+ b ) .
• y’ = 0 <=>
=
=
=
⇒
=
=
=
)(
)(
)0(
?
?
0
xf
xf
cf
x
x
x
.
+/ trên các khoảng (….) và (… ) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến .
Trên khoảng (….) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến .
+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., y
CT
= ….
Hàm số đạt cực đại tại x = …., y
CĐ
= ….
+ / Giới hạn ở Vô cực :
=
−∞→
y
x
lim
? ;
=
+∞→
y
x
lim
? .
+/ Bảng biến thiên :
x - ∞ ? ? ? + ∞
y’ ? ? ?
y
? ? ?
3) Đồ thị :
• Hàm số đã cho là hàm số chẵn, do đó đồ thị nhận trục 0y làm trục đối xứng.
• Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? . Các điểm khác …
Đồ thị : y
0 x
III / Hàm số :
dcx
bax
y
+
+
=
1) Tập xác định : +/ D = R /{ -
c
d
. }
2) Sự biến thiên :
+/ Chiều biến thiên :
• y’ =
2
)( dcx
bcad
+
−
.
• y’ > 0 ( y < 0 ) ,
∈∀x
D
+/ : Hàm số đồng biến ( Nghịch biến ) . trên các khoảng (….) và (… )
+/ Cực trị : Hàm số không có cực trị .
+ / Tiệm cận và Giới hạn :
=
−∞→
y
x
lim
c
a
và
=
+∞→
y
x
lim
c
a
=> tiệm cận ngang : y =
c
a
.
=
−
→
y
c
a
x
lim
? Và
=
+
→
y
c
a
x
lim
? => tiệm cận đứng : x =
c
d
−
.
+/ Bảng biến thiên :
x - ∞ ? ? + ∞
y’ ? ?
y
? ?
3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y =
d
b
.
Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x =
a
b−
, Đồ thị nhận giao điểm I(
c
d
−
;
c
a
) của hai đường
tiệm cận làm tâm đối xứng
y
0
x
B/ CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1/ y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ( C )
2/ y = ax
4
+ bx
2
+ c ( C )
BÀI 1 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
a’x
3
+ b’x
2
+ c’x + n = 0 (2).
• (2)
⇔
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = k.m ; (
⇔
ax
4
+ bx
2
+ c = k.m )
• Số nghiệm phương trình (2) bằng số giao điểm của đồ thị ( C) với đường thẳng d: y = k.m
(vẽ d)
• Nhận xét số giao điểm d: với ( C ) , theo y
CT
và y
CĐ
của ( C ).
Bài 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại :
1) Đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
) € ( C ) .
2) Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ).
3) Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p
HƯỚNG DẪN :
1/ Đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
) € ( C ) :
• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) có dạng :
y = k(x – x
0
) + y
0
( * )
• k = f’(x
0
) ; thế k , x
0
, y
0
vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm .
2/ Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ).
• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) có dạng :
y = k(x – x
0
) + y
0
( * )
k = f’(x
0
)
⇔
giải phương trình tìm x
0
; thế x
0
vừa tìm được vào ( C ) tìm y
0
.
• Thế k , x
0
, y
0
vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.
3/ Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p
• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) có dạng :
y = k(x – x
0
) + y
0
( * )
• Trong đó k.k’ = -1
⇔
k =
'
1
k
−
.
thế k = f’(x
0
)
⇔
giải phương trình tìm x
0
; thế x
0
vừa tìm được vào ( C ) tìm y
0
.
• Thế k , x
0
, y
0
vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.
4/ Các dạng khác : cho biết x
0
hoặc y
0
tìm các yếu tố còn lại suy ra có (*)
3/
dcx
bax
y
+
+
=
( C )
Bài toán : Tìm m để y = f(x ; m ) cắt đồ thị ( C ) tại t đểm phân biệt ?
Hướng dẫn : Số giao điểm của f(x;m ) với ( C ) , bằng số nghiệm phương trình : f( x ) = f ( x ;
m ) . Từ đó ta tìm ra điều kiện của m cần tìm .
Chủ đề II : C/ Hàm sô lũy thừa, Mũ và logarit
1)Phương trình, Bất phương trình mũ và Lô ga rít.
a)Phương trình mũ :
Bước 1/ Dùng tính chất của luỹ thừa, đưa phương trình mũ đã cho về phương trình đặt được
ẩn phụ với luỹ thừa phù hợp. ( t = a
X
, t > 0 ).
Bước 2/ Giải phương trình với ẩn t, tìm ra nghiệm của biến t.
Bước 3/ Dựa vào cách đặt và điều kiện để tìm ra nghiệm của bài toán. Và kết luận nghiệm.
b)Phương trình logarít:
Bước 1/ Dùng tính chất của lô ga rít, đưa phương trình lô ga rít đã cho về phương trình đặt
được ẩn phụ với luỹ thừa phù hợp. ( t = log
a
X , điều kiện X > 0 ).
Bước 2/ Giải phương trình với ẩn t, tìm ra nghiệm của biến t.
Bước 3/ Dựa vào cách đặt và điều kiện để tìm ra nghiệm của bài toán. Và kết luận nghiệm .
c) Bất phương trình : Biến đổi tương tự các bước giải phương trình chứa ẩn số ở luỹ thừa hay
dưới dấu lô ga rít .
2) Gía trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : y = f(x) trên đoạn [ a ; b ] ?
Bước 1: Tìm tập xác định D của f(x) : D = ?, xét xem [a ; b ]
∈
D ?
Bước 2 : */Tìm đạo hàm y’ = f’(x) = ?
*/ Giải phương trình y’ = 0 => x
i
= ? loại các giá trị x
i
∉
[ a ; b ]
*/ Tính các giá trị : f(a) ; f(b) ; f(x
i
) .
Bước 3 : So sánh các giá trị vừa tìm được . Tìm ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất .
Chủ đề III: D/ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN:
I/ Tìm thể tích hình chóp:
1/ Các loại bài toán :
a) Cho hình chóp S.ABC ( Đáy tam giác : thường, vuông, đều, cân, hinh vuông, thoi, chữ
nhật, hình bình hành …)
Có SA ┴ ( ABC) ( SO ┴ (ABC)…. ) biết cạnh SA , góc giữa SB và đáy ( (ABC) và đáy ) là
α .
1) Tính thể tích S.ABC.
2) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
Cách giải : gồm 2 bước:
Bước 1 : Vẽ hình :
Mục đích : Xác định các yếu tố về giả thiết bài toán.
Tìm các yếu tố : Góc , đường cao . Vẽ từ đáy vẽ lên
Xây dựng được hình vẽ đã cho 0.25đến 0.5 đ).
Bước 2: Tính toán:
a)Tính Thể tích hình chóp V
S.ABC
= 1/3B.h
Trong đó B = S
ABC ;
h =
SO ( SH: đường cao ).
b)Tìm tâm và bán kính:
+ Xác định tâm đáy ( tam giác : tâm đường tròn ngoại tiếp, tứ giác(hcn): giao điểm 2 đường
chéo ). Xác định trục d đáy : vuông góc đáy qua tâm.
+ Xác định mặt phẳng trung trực: 1 cạnh bên, hoặc trung trực đường cao.
Giao của trục d và mp vừa vẽ, ký hiệu I : là tâm mặt cầu cần tìm
Khoảng cách IA = IB = IC = IS = R là bán kính. Tìm vị trí I , R .
Kết luận.
Chú ý : Các bài toán đã học phải giải đúng sơ đồ trên mới đạt điểm tối đa.
Giaỉ cách khác, nếu đúng , chỉ đạt điểm tối đa từng phần.
Phần kết luận kết quả bài toán ( đáp số ) chiếm 0.25 điểm mỗi bài.
II/ Bài toán hình hộp, lăng trụ: Các bước giải tương tự bài toán hình chóp.
ÔN TẬP CHỦ ĐỀ IV : NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
A/Nguyên hàm:
I .Định nghĩa và ký hiệu:
1. Định nghĩa : F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x)
2. Ký hiệu:
∫
= ).().( xFdxxf
3. Định lí :
∫
= ).().( xFdxxf
+ C
II. Tính chất:
1.
∫
=dxxf ).('
f(x) +C
2.
∫ ∫
= dxxfkdxxfk ).(.).(.
3.
∫ ∫ ∫
±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
Chú ý 1 :
Nguyên hàm dạng tích , và hữu tỷ không có công thức phải biến đổi đưa về tổng hiệu:
Ví dụ 1 : Tìm Nguyên hàm : A =
∫
xdxx 5cos.3sin
.
Ví dụ 2 : Tìm Nguyên hàm : B =
∫
−+
+
4.3
12
2
xx
x
III .Công thức:
1. Nhóm 1: Hàm số lũy thừa.
1.1 /
∫
+= Cxkkdx .
. k
∈
R . 1.2 /
∫
dxx .
α
=
C
x
+
+
+
1
1
α
α
.
1
−≠
α
1.3 /
∫
x
dx
= ln
x
+ C .
2 . Nhóm II: Hàm số lượng giác
2.1 /
∫
+−= Cxxdx cossin
2.3 /
Cxxdx +−=
∫
coslntan
2.2 /
∫
+= Cxxdx sincos
2.4 /
Cxxdx +=
∫
sinlncot
2.5 /
Cx
x
dx
+=
∫
tan
cos
2
2.7 /
Cxx
x
dx
+−−=
∫
cot
tan
2
2.6 /
Cx
x
dx
+−=
∫
cot
sin
2
2.8 /
Cxx
x
dx
++−=
∫
tan
cot
2
4. Nhóm III: Hàm số Mũ :
3.1 /
∫
+= C
a
a
dxa
x
x
ln
3.2/
Cedxe
xx
+=
∫
Chú ý 2 :
Nếu : F(x)’ = f(a) , thì :
CbaxF
a
dxbaxf ++=+
∫
)(
1
)(
B/ Phương pháp tính tích phân:
Công thức :
)()()().( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
−==
∫
I/ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
1. Dạng 1: Tính : I
[ ]
dxxuxuf
b
a
).('.)(
∫
Phương pháp chung :
Bước 1 : Đặt : t=u(x)
⇒
dt = u’(x).dx
Bước 2 : Đổi cận : x a b
t u(a) u(b)
Bước 3 : Tính I :
I =
)]([)]([)()(
)(
)(
)(
)(
auFbuFtFdttf
bu
au
bu
au
−==
∫
CÁC DẠNG CƠ BẢN THƯỜNG GẶP :
2. Dạng 2 : Tính : I =
∫
b
a
dxxf ).(
; Với f(x) =
βαα
).(
1
bxax +
+
.
∈
β
R
*
Phương pháp:
Bước 1 : Đặt t =
).(
1
bxa +
+
α
⇒
dt = a
dxx
α
α
).1.( +
.
⇒
a
dt
dxx
).1(
.
+
=
α
α
Bước 2 : Đổi cận : x a b
t u(a) u(b)
Bước 3 : Tính I :
I =
.
).1).(1(
1
).1(
.
)(
)(
)(
)(
)1(
∫
+
++
=
+
bu
au
bu
au
t
aa
dtt
β
β
βαα
Ví dụ 3: Tính các tích phân sau :
1. A =
dxxx
∫
−
2
1
543
)12(
. ; B =
dx
x
x
∫
−
2
1
54
3
)12(
.
2. C =
.)12(
2
1
543
dxxx
∫
−
. ( Ta đặt t =
54
)12( −x
)
3. Dạng 3 : Tính : I =
∫
b
a
dxxf ).(
; Với f(x) =
α
)sin (cos bxax +
.
Phương pháp:
Bước 1 : Đặt t =
)sin.( bxa +
⇒
dt = a
dxx.cos.
.
⇒
cosx.dx =
a
dt
.
f(x)dx =
dtt
a
α
1
. ta đưa về bài toán quen thuộc.
Ví dụ 4 : Tính các tích phân sau :
4 . D =
.)3sin2(cos
3
0
3
dxxx
∫
−
π
; 5 . E =
dx
x
x
3
3
0
)3sin2(
cos
−
∫
π
.
6 . G =
.)3sin2(cos
3
0
4
3
dxxx
∫
−
π
; Ta đặt t =
3
)3sin2( −x
.
4 Dạng 4 : Tính : I =
∫
b
a
dxxf ).(
; Với f(x)dx =
22
xb
dx
+
.
Phương pháp:
Bước 1 : Đặt x = b.tant ,
⇒
dx =
)tan1(
cos
2
2
tbdt
t
b
+=
.dt.
b
2
+ x
2
= b
2
.( 1 + tan
2
t) .
⇒
f(x).dx =
dt
b
1
.
Bước 2: Đổi cận, tính kết quả .
5. Dạng 5 : Tính : I =
∫
b
a
dxxf ).(
; Với
∫
β
α
dxxf )(
=
∫
−
β
α
22
xa
dx
dx . (a> 0)
Phương pháp:
Bước 1 : Đặt x = a.sint
⇒
dx = a.cost.dt ;
tataxa cos).(sin
2222
==−
.
Bước 2: Đổi cận, tính kết quả .
II/ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
2.1 Dạng áp dụng phương pháp tích phân từng phần :
I =
∫
b
a
dVU.
.
Phương pháp:
Đặt :
=
=
dxvdv
xuu
'.
)(
⇒
=
=
∫
''.
).('
vdxvv
dxxudu
;
⇒
∫
b
a
dVU.
= U.V
∫
−
b
a
b
a
dUV.
.
2.2 Các dạng tích phân thường gặp :
Dạng 1 : Tính : I =
∫
b
a
dxxf ).(
; Với f(x)dx = P(x). cosx.dx , hoặc P(x).sinx.dx .
Ta đặt : U = P(x) ; dv = sinx.dx.
Dạng 2 : Tính : I =
∫
b
a
dxxf ).(
; Với f(x)dx = P(x). e
x
.dx .
Ta đặt : U = P(x) ; dv = e
x
.dx .
Dạng 3 : Tính : I =
∫
b
a
dxxf ).(
; Với f(x)dx = P(x). ln(x).dx .
Ta đặt : U = ln(x) ; dv = P(x).dx .
Chú ý 3 : Thông thường bài toán tích phân cho dưới dạng :
I =
∫
+
b
a
dxxgxhxf ).()].()([
,
ta khai triển thành tổng hai tích phân, rồi áp dụng các phương pháp trên để tính , xong cộng kết
quả lại.
Ví dụ 5: Tính các tich phân sau :
6.
3
2
0
( ).cos
sin
−
=
∫
x
I xdx
x
π
; 7.
1
2 (1 ln )−=
∫
e
x x dxI
;
8 .
∫
+=
2
0
2
cos
2
sin1
π
dx
xx
I
; 9 .
1
0
( )+=
∫
x x
e e x dxI
C / Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích:
1) Diện tích hình phẳng:
Cơ sở lí thuyết:
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và
y = 0 (trục hoành) được tính bởi: S =
( )
b
a
f x dx
∫
(1).
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = a;
x= b được tính bởi: S =
( ) ( )
b
a
f x g x dx−
∫
(2).
Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x
2
– 1; y = 0; x = 0; x = 2.
Giải: Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S =
( )
b
a
f x dx
∫
thì S =
2
2
0
1x dx−
∫
• Phương trình: x
2
-1= 0
⇔
x =
±
1 , nghiệm x = 1
∈
[0;2]
• Vậy S =
1
2
0
( 1)x dx−
∫
+
2
2
1
( 1)x dx−
∫
=
1
3
0
( )
3
x
x−
+
2
3
1
( )
3
x
x−
= 2 (đvdt)
Vídụ 7:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x
2
và y =x.
Giải:
• Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x
2
= x
⇔
x
2
+ x – 2 = 0
⇔
x = 1 và x = -2
• Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức
• S =
( ) ( )
b
a
f x g x dx−
∫
thì S =
1
2
2
2x x dx
−
+ −
∫
• Vậy S =
1
2
2
2x x dx
−
+ −
∫
=
1
2
2
( 2)x x dx
−
+ −
∫
=
1
3 2
2
2
3 2
x x
x
−
+ −
=
9
2
(đvdt)
* Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân nếu hàm số dưới dấu tích phân không
đổi dấu trên [a; b].
2) Thể tích vật thể tròn xoay:
Cơ sở lí thuyết:
Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay
quanh trục Ox được tính bởi: V =
2
( )
b
a
f x dx
π
∫
(3)
Ví dụ 8:
a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x
2
và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay
được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.,
Giải:
• Phương trình 2x – x
2
= 0
⇔
x = 0 và x = 2
• Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng công thức: V =
2
( )
b
a
f x dx
π
∫
Ta có V =
2 0
2 2 2 3 4
0 0
(2 ) (4 4 )x x dx x x x dx
π π
− = − +
∫ ∫
=
5
2
3 4
0
4
( )
3 5
x
x x
π
− +
=
16
15
π
(đvtt)
b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x
2
và y = x
3
. Tính thể tích vật thể tròn xoay
được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.
Giải:
• Phương trình – x
2
= x
3
⇔
x = 0 và x = –1
• Gọi V
1
là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y
= – x
2
, x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đó quay quanh Ox:
Có V
1
=
0
2 2
1
( )x dx
π
−
−
∫
=
1
5
π
• Gọi V
2
là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y
= x
3
, x = 0, x = -1 và trục Ox…:
Có V
2
=
0
3 2
1
( )x dx
π
−
∫
=
1
7
π
Vậy thể tích V cần tính là: V =
1 2
V V−
=
2
35
π
(đvtt)
Chú ý:4 Khi tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) khi nó quay
quanh trục Ox, học sinh có thể ngộ nhận và dùng cơng thức
2
( ( ) ( ))
b
a
V f x g x dx
π
= −
∫
dẫn đến kết
quả sai KQs : V =
1
105
π
đvtt.
• Các bài tập tự luyện:
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = – x
2
+ 4x và trục hoành.
KQ: S =
3
32
đvdt
2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (P): y = – x
2
và y = – x – 2 .
KQ: S =
2
9
đvdt
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = 5x
4
– 3x
2
– 8, trục Ox trên
[1; 3]
KQs: S = 200 đvdt
4) Tính thể tích các hình tròn xoay sinh bởi các hình phẳng giới hạn bởi các đường
sau đây khi quay quanh trục Ox:
a) (P): y
2
= 8x và x = 2 KQ: 16
π
đvtt
b) y = x
2
và y = 3x KQ:
5
162
π
đvtt
c) y =
sin
2
x
; y = 0; x = 0; x =
4
π
KQ:
2 2
8
π
−
đvtt
D/ Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y
2
= 2x +1 và y = x -1
(TNTHPT năm 2001 – 2002 )
Bài 2: 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y =
1x2x
1x3x3x
2
23
++
−++
, biết F(1) =
3
1
2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y=
2x
12x10x2
2
+
−−
và
trục hoành Ox. (TNTHPT năm 2002 – 2003 )
Bài 3: Cho hàm số y =
3
1
x
3
– x
2
(C). Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới
hạn bởi (C) và các đường y = 0, x =0, x = 3 quay quanh trục Ox.
(TNTHPT năm 2003 – 2004 )
Bài 4: Tính tích phân: I =
∫
+
2/
0
2
.cos).sin(
π
dxxxx
(TNTHPT năm 2004 – 2005 )
Bài 5: a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số :
y = e
x
, y = 2 và đường thẳng x = 1.
b. Tính tích phân: I =
∫
−
2/
0
2
cos4
2sin
π
dx
x
x
(TNTHPT năm 2005– 2006)
Bài 6:Tính tích phân J =
∫
e
dx
x
x
1
2
ln
. (TNTHPT năm 2006– 2007)
Bài 7: Tính tích phân I
1
2 3 4
1
(1 )x x dx
−
= −
∫
(TNTHPT năm 2007– 2008)
Bài 8: Tính tích phân I =
0
(1 cos )x x dx
π
+
∫
(TNTHPT năm 2008– 2009)
Bài 9: Tính tích phân I
1
2 2
0
( 1)x x dx= −
∫
(TNTHPT năm 2009– 2010)
ƠN TẬP CHỦ ĐỀ IV
CÁC DẠNG BÀI TỐN CƠ BẢN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN.
Dạng I : Viết phương trình : Mặt Cầu, mặt phẳng, đường thẳng.
Bài tốn 1.1/ Viết phương trình mặt cầu (S): Tâm I(a, b , c), bán kính R:
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2ax + 2by + 2cz + D = 0. (1).
Thường được cho dưới dạng :
a) Cho 2 điểm A(x
A
; y
A
; z
A
) , B(x
B
; y
B
; z
B
):
Viết phương trình mặt cầu (S), nhận AB làm đường kính
Cách giải : Gọi I(a ; b ; c ) là tâm mặt cầu (S), bán kính R :
Ta có I là trung điểm AB :
+
=
+
=
+
=
2
2
2
BA
BA
BA
zz
c
yy
b
xx
a
; R =
2
AB
=
2
1
222
)()()(
ABABAB
zzyyxx −+−+−
Thay kết quả vừa tìm được vào (1), ta có kết quả cầm tìm.
b) Cho 3 điểm : A(x
A
; y
A
; z
A
) , B(x
B
; y
B
; z
B
) , C(x
C ;
y
C
; z
C
).
Tìm trọng tâm G của tam giác ABC,
Viết phương trình mặt cầu (S) Tâm G, đi qua A .
Cách giải : Gọi G(a ; b ; c) là tâm mặt cầu (S), bán kính R :
Ta có G là trọng tâm Δ ABC :
++
=
++
=
++
=
3
3
3
CBA
CBA
CBA
zzz
c
yyy
b
xxx
a
; R = AG =
222
)()()(
AGAGAG
zzyyxx −+−+−
.
1.2/ Tìm tâm, bán kính mặt cầu (S) có phương trình :
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ mx + ny + pz + D = 0. (1).
Cách giải : Gọi I(a ; b ; c) , R là tâm và bán kính mặt cầu (S), có phương trình (1), ta có :
=−
=−
=−
pc
nb
ma
2
2
2
⇔
−
=
−
=
−
=
2
2
2
p
c
n
b
m
a
; R =
Dcba −++
222
.
Kết luận : I(a ; b ; c ) ; R.
1.3/ Cho 4 điểm A(x
A
; y
A
; z
A
) , B(x
B
; y
B
; z
B
) , C(x
C
; y
C
; z
C
). D(x
D
; y
D
; z
D
). Viết
phương trình mặt cầu (S )đi qua A,B,C,D.
Cách giải : phương trình mặt cầu (S) có dạng
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2ax + 2by + 2cz + D = 0. (1)
Trong đó gọi I(a ; b ; c) là tâm mặt cầu (S)
Lần lượt thay tọa độ A, B, C, D vào (1), ta có hệ phương trình :
=++++++
=++++++
=++++++
=++++++
0 D 2cZ 2bY 2aX Z Y X
0 D 2cZ 2bY 2aX Z Y X
0 D 2cZ 2bY 2aX Z Y X
0, D 2cZ 2bY 2ax Z Y X
DDD
D
2
D
2
D
2
CCC
C
2
C
2
C
2
AAB
B
2
B
2
B
2
AAA
A
2
A
2
A
2
( 2)
Giải hệ ( 2 ) , với 4 ẩn số :a , b , c , D thế vào (1) ta có phương trình (S) cần tìm.
Chú ý : bài toán đơn giản khi A(x
A
; 0 ; 0 ) , B(0 ; y
B
; 0 ) , C(0
;
0 ; z
C
). D(x
C
; y
D
; z
D
).
Áp dụng :
1/ bài thi TN THPT năm 2010: Câu 4.a/1:
“… Cho 3 điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2; 0) và C(0 ; 0 ; 3). Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
O.ABC . “
2/ Bài 9.b/ trang 100- sgk hh 12 cơ bản.
Bài toán 2.1/
Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ pháp tuyến
n
(A ; B ; C).
Ta có : (α ) : A(x – x
0
) + B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0.
⇔
Ax + By + Cz + D = 0. (2).
Chú ý 1:
véc tơ pháp tuyến
n
(A ; B ; C) , được xác định tùy từng trường hợp cụ thể
a. Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm không thẳng hàng :
A(x
A
; y
A
; z
A
) , B(x
B
; y
B
; z
B
) , C(x
C ;
y
C
; z
C
).
Cách giải : Khi đó ta chọn M
0
là điểm A.
n
= [
AB
,
AC
] = ( A ; B; C ) . Chú ý rèn luyện
cách tính tích có hướng của 2 véc tơ [
AB
,
AC
] .
Với :
AB
= (a
1
; b
1
; c
1
).
AC
= (a
2
; b
2
; c
2
). Ta có
n
= [
AB
,
AC
]
n
=
222
111
;;
;;
cba
cba
2
1
a
a
= (b
1
.c
2
– b
2
.c
1
; c
1
.a
2
– c
2
.a
1
; a
1
.b
2
– a
2
.b
1
)
Tính theo tích chéo : “ Giữa – Cuối ; Cuối – Đầu ; Đầu – Giữa “
b. Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A(x
A
; y
A
; z
A
) , và vuông góc đường thẳng :
Δ :
+=
+=
+=
.t a z z
.ta y y
.ta x
3
20
10
x
;
Cách giải : (α ) qua điểm A(x
A
; y
A
; z
A
) và vuông góc với đường thẳng Δ nên (α ) nhận
véc tơ chỉ phương của Δ :
a
= ( a
1
; a
2
; a
3
) làm véc tơ pháp tuyến
n
=
a
= ( a
1
; a
2
; a
3
) . Ta
có :
(α ) : a
1
.( x – x
A
) + a
2
. (y – y
A
) + a
3
. (z – z
A
) = 0
⇔
a
1
.( x ) + a
2
.(y ) + a
3
.(z ) + D = 0 .
Chú ý 2 : Nếu đường thẳng Δ cho dưới dạng chính tắc :
Δ :
1
0
1
0
1
0
c
zz
b
yy
a
xx −
=
−
=
−
;
Thì khi giải chú ý dạng chính tắc các ẩn số x , y , z có hệ số là + 1, Nếu đề chưa cho đúng
thì phải biến đổi sắp xếp dạng chính tắc đã nêu. Ta cho cả 3 phân số trên = t, chuyển về dạng
tham số của Δ, ta tìm được véc tơ chỉ phương của Δ :
a
= ( a
1
; b
1
; c
1
)
Ví dụ: Cho đường thẳng Δ có phương trình :
Δ :
2
2
3
1
2
5 +
=
−
=
+ zyx
; và điểm I( -1 , 3 ; 2). Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua I và (α
) vuông góc Δ.
Giải:
Cho :
2
2
3
1
2
5 +
=
−
=
+ zyx
= t
⇔
=
+
=
−
=
+
t
z
t
y
t
x
2
2
3
1
2
5
⇔
+−=
−=
+−=
tz
ty
tx
22
31
25
;
Ta có véc tơ chỉ phương của Δ là
a
= ( 2 ; - 3 ; 2 ) .
Mặt phẳng (α ) qua I ( -1 , 3 ; 2), và (α ) vuông góc Δ :
(α ) : -1(x – 2) + 3( y + 3) + 2( z - 2) = 0.
⇔
(α ) : -x + 3y + 2z + 7 = 0 .
c) Cho tứ diện A.BCD , Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua AB và song song CD .
Ta có : véc tơ pháp tuyến :
n
= [
AB
,
CD
] .
d) Cho mặt phẳng ( β ) : A( x – a) + B ( y – b ) + C ( z – c ) = 0 . ( * )
Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và song song mp ( β )
Ta có : véc tơ pháp tuyến :
n
= [ A ; B ; C ] .
Áp dụng giải bài tập trang 80, 81 skg hh12 cơ bản
Bài toán 3.1/
Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) có véc tơ chỉ
phương
a
(a
1
; a
2
; a
3
).
Giải : Gọi M(x ; y ; z )
∈
Δ, ta có : phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) có véc tơ chỉ phương
a
(a
1
; a
2
; a
3
) :
Δ :
+=
+=
+=
tazz
tayy
taxx
.
.
.
30
20
10
;
Các dạng bài tập :
3.1/a : Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm
M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) , và vuông góc mặt phẳng :
(α ) : Ax + By + Cz + D = 0. (1).
Giải : Ta có véc tơ chỉ phương
a
của đường thẳng Δ , là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
(α ) :
a
=
n
= (A ; B ; C). Vậy phương trình tham số của đường thẳng Δ là :
Δ :
+=
+=
+=
tCzz
tByy
tAxx
.
.
.
0
0
0
; (2)
3.1/b : Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm
M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) , và song song với đường thẳng d:
d:
+=
+=
+=
tazz
tayy
taxx
.
.
.
30
20
10
;
Giải : Ta có véc tơ chỉ phương
a
của đường thẳng Δ , là véc tơ chỉ phương của đường
thẳng d :
a
= (a
1
; a
2
; a
3
). Vậy phương trình tham số của đường thẳng Δ là ( 2 )
3.1/c : Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm
M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) ; M
1
(x
1
; y
1
;z
1
) .
Giải : Ta có véc tơ chỉ phương
a
của đường thẳng Δ , là véc tơ :
a
=
10
MM
= (x
1
– x
0
; y
1
– y
0 ;
z
1
– z
0 )
= (a
1
; a
2
; a
3
). Vậy Vậy phương trình tham
số của đường thẳng Δ là ( 2 )
Áp dụng giải bài tập 1 trang 89 SGK HH 12 CB. Bài tập 4 trang 92.
Dạng II : Xét vị trí tương đối : Mặt Cầu, mặt phẳng, đường thẳng.
Bài 2.1.a /
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d
1
và d
2
có phương trình :
d
1
:
+=
+=
+=
tazz
tayy
taxx
.
.
.
30
20
10
( 1 ) ; d
2
:
+=
+=
+=
'.
'.
'.
31
21
11
tbzz
tbyy
tbxx
; ( 2 )
Cách giải :
Bước 1 : Đường thẳng d
1
đi qua M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) ; có véc tơ chỉ phương
a
= (a
1
; a
2
; a
3
) .
Đường thẳng d
2
có véc tơ chỉ phương :
b
= ( b
1
; b
2
; b
3
).
Nếu :
a
= k.
b
: Đúng (Đ) , và M
0
(x
0
; y
0
; z
0
)
∉
d
2
. Ta có d
1
// d
2
.
:
a
= k.
b
: Sai ( S ) ,
Bước 2 : ta xét hệ :
+=+
+=+
+=+
'
'
'
3130
2120
1110
tbztaz
tbytay
tbxtax
( * ) ;
Ta lấy 2 trong 3 phương trình ( * ), giải tìm được t và t’ , thế vào phương trình còn lại .
Nếu Đ thì hệ ( * ) có đúng 1 nghiệm thì d
1
cắt d
2
.
Nếu S hệ ( * ) vô nghiệm thì d
1
chéo d
2
.
Kết luận:
Bài 2.1.b /
Xét vị trí tương đối của đường thẳng Δ và mặt phẳng (α ), có phương trình :
Δ :
+=
+=
+=
tazz
tayy
taxx
.
.
.
30
20
10
; (1) ; (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 ( 2 ) .
Cách giải :
Gỉa sử Δ cắt (α ) tại M( x ; y ; z ) , thế tọa độ M
∈
(1 ) vào ( 2 ).
A (
tax .
10
+
) + B (
.
20
ay +
t ) + C(
taz .
30
+
) = 0 ( 3 ) .
Nếu : + Phương trình ( 3 ) có 1 nghiệm t , thì Δ cắt (α ).
+ Phương trình ( 3 ) có vô số nghiệm t , thì Δ
⊂
(α ).
+ Phương trình ( 3 ) vô số nghiệm t , thì Δ // (α ).
Bài 2.1.c /
Xét vị trí tương đối của mặt phẳng ( α ) và mặt cầu ( S ), có phương trình : (α ) : Ax
+ By + Cz + D = 0 . ( 1 )
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2ax + 2by + 2cz + D = 0 . ( 2 )
Cách giải :
Bước 1 : Tìm tọa độ tâm I ( a ; b ; c ) và bán kính R của mặt cầu ( S ); ( bài toán 1.2/ ).
Bước 2 : Tìm khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( α ) :
d(I ; (α )) =
2
22
CBA
DcCbBaA
++
+++
= m .
Bước 3 : So sánh và kết luận :
Nếu m > R : mặt phẳng (α ) không cắt mặt cầu (S) .
Nếu m = R , mặt phẳng (α ) tiếp xúc mặt cầu (S) .
Nếu m < R , mặt phẳng (α ) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là đường tròn ( C ), Tâm H,
bán kính r = IH . Trong đó H là hình chiếu I trên (α ).
Áp dụng : Bài tập 5, trang 92.
Đề thi TN THPT 4a.1 năm 2009.
Đề thi CĐ Khối B năm 2010 .
Dạng III :
1)Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M trên mặt phẳng (α) ,
2)Trên đường thẳng Δ
Bài : 3.1 : cho điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) . Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng
(α ) : Ax + By + Cz + D = 0 . (1)
Cách giải :
Gọi H (x ; y ; z ) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) . H
∈
(α) , và H
∈
MH
vuông góc (α) .
Đường thẳng MH đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và vuông góc (α) , nên nhận véc tơ pháp
tuyến của (α) làm véc tơ chỉ phương
a
=
n
= (A ; B ; C):
MH :
+=
+=
+=
tCzz
tByy
tAxx
.
.
.
0
0
0
( 2 ) ;
Thay ( 2 ) vào ( 1 ) ta tìm được t , thay vào ( 2 ) ta tìm được tọa độ H.
Áp dụng Bài tập 8 trang 91 sgk ; Bài 9 trang 93 sgk .
Đề thi CĐ Khối B năm 2010
Bài : 3.2 : cho điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) . Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng
Δ có phương trình :
Δ :
+=
+=
+=
tazz
tayy
taxx
.
.
.
30
20
10
( 1 ) ;
Cách giải :
Gọi H (x ; y ; z ) là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng Δ: H
∈
Δ . . H
∈
(α )
qua M
0
, và (α ) vuông góc đường thẳng Δ .
Mặt phẳng (α ) đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và vuông góc (α) , nên nhận véc tơ véc tơ chỉ
phương
a
= (a
1
; a
2
; a
3
) của Δ làm véc tơ pháp tuyến của (α) :
n
=
a
= (a
1
; a
2
; a
3
) .
Ta có (α) : a
1
(x – x
0
) + a
2
(y – y
0
) + a
3
(z – z
0
) = 0 ( 2 ).
Thế ( 1) vào ( 2 ) , ta tìm được t .
Thế t vào ( 1 ) ta tìm được toa độ H.
Kết luận .
Áp dụng Bài tập 7 trang 91 sgk ; Bài 12 trang 93 sgk .
Dạng IV : Bài toán tổng hợp :
Cho 4 điểm : A(x
A
; y
A
; z
A
) , B(x
B
; y
B
; z
B
) , C(x
C ;
y
C
; z
C
). D(x
D
; y
D
;z
D
).
1) Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ) .
2) Tính góc A, B của tam giác ABC.
3) Tính diện tích tam giác ABC .
4) Chứng minh D.ABC là tứ diện. Tính thể tích hình chóp D.ABC .
Cách giải :
1) Bài toán 2.1/ Chú ý a) (
2) Ta có cosA =
ACAB
ACAB
.
=
3
3
2
2
1
1
2
3
2
2
2
1
332211
bbbaaa
bababa
++++
++
= m.
Sử dụng MTCT tính góc A.
3) S
ABC
=
2
1
AB . AC . sinA .( kết quả ở 2) )
4) Thế tọa độ D(x
D
; y
D
; z
D
) vào (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 (1).
Ax
D
+ By
D
+ Cz
D
+ D = 0
⇔
m = 0 : Sai ( S), ta có D
∉
(ABC).
Kết luận D.ABC là tứ diện.
Gọi : V
D.ABC
là thể tích tứ diện D.ABC . Ta có : V
D.ABC
=
3
1
S
đ
. h.
( Với S
đ
= S
ABC
=
2
1
AB . AC . sinA ,
h = d(D,(ABC))=
3
3
2
2
1
1
2
3
2
2
2
1
bbbaaa
m
++++
). Ta có thể tích cần tìm.
******
ÔN TẬP CHỦ ĐỀ VI
SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI:
A/ TỐT NGHIỆP THPT
1. Bài 1 : Giải phương trình : 2x
2
– 5x + 4 = 0 . trên tập số phức.
TN THPT Năm : 2006 ; Đáp số : x
1
=
i
4
7
4
5
+
; x
2
=
i
4
7
4
5
−
.
2. Bài 2: Giải phương trình : x
2
-4x + 7 = 0 . trên tập số phức.
TN THPT Năm : 2007 (lần 1) ; Đáp số : x
1
= 2 + i
3
; x
2
= 2 - i
3
.
3. Bài 3: Giải phương trình : x
2
– 6x +25 =0 . trên tập số phức.
TN THPT Năm : 2007 (lần 2.) ; Đáp số : x
1
= 3 + 4i ; x
2
= 3 - 4i .
4. Bài 4 : Tìm giá trị biểu thức : P = ( 1 + i
3
)
2
+ ( 1 - i
3
)
2
.
TN THPT Năm : 2008 ( lần 1) ; Đáp số P = 4 .
5. Bài 5: Giải phương trình : x
2
- 2x + 2 = 0 .trên tập số phức.
TN THPT Năm : 2008 ( lần 2 ) ; Đáp số : x
1
= 1 + i ; x
2
= 2 + i .
6. Bài 6: Giải phương trình : 8z
2
– 4z + 1 ; Trên tập số phức.
TN THPT Năm : 2009 ( Cơ bản ) ; Đáp số : z
1
=
i
4
1
4
1
+
; z
2
=
i
4
1
4
1
−
7. Bài 7: Giải phương trình : 2z
2
– iz + 1 = 0 trên tập số phức.
TN THPT Năm : 2009 (NC) ; Đáp số : z
1
= i ; z
2
= -
i
2
1
8. Bài 8: Giải phương trình :2z
2
+ 6z + 5 = 0 ; trên tập số phức.
TN THPT Năm : 2010 (GDTX); Đáp số : z
1
=-
i
2
1
2
3
+
; z
2
= -
i
2
1
2
3
−
9. Bài 9 : Cho hai số phức: z
1
= 1 + 2i , z
2
= 2 – 3i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z
1
-2z
2
.
TN THPT Năm : 2010 ( Cơ bản ) ; Đáp số : Phần thực : -3 ; Phần ảo : 8.
10. Bài 10 : Cho hai số phức: z
1
= 2 + 5i , z
2
= 3 – 4i . Xác định phần thực và phần ảo của số
phức z
1
.z
2
.
TN THPT Năm : 2010 ( NC) ; Đáp số : Phần thực : 26 ; Phần ảo : 7.
SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI: CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC
Bài 11 : Gọi z
1
, z
2
là 2 nghiệm phức của phương trình z
2
+ 2z + 10 = 0.
Tính giá trị của biểu thức A =
2
2
2
1
zz +
.
ĐH Khối A – 2009 (CB) . Đáp số : A = 20.
Bài 12 : Tìm số phức z thỏa mãn
10)2( =+− iz
và :
25. =zz
.
ĐH Khối B – 2009 (CB) . Đáp số : z = 3 + 4i và z = 5 .
Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện :
2)43( =+− iz
.
ĐH Khối D – 2009 . Đáp số : Đường tròn tâm I(3 ; 4 ), bán kính R =2 .
Bài 14 : Cho số phức z thỏa mãn : (1 + i)
2
.(2 – i)z = 8 + I + (1 – 2i )z .
Xác định phần thực , phần ảo của Z .
CĐ KHỐI A,B,D – 2009 ( CB). Đáp số : Phần thực – 2 ; Phần ảo 5.
Bài 15 : Giải phương trình :
z
iiz
iz
=
−
−−
2
734
trên tập số phức.
CĐ KHỐI A,B,D – 2009 ( NC). Đáp số : z
1
= 1 +2i ; ; z
2
= 3 + i .
Bài 16 : Tìm phần ảo của số phức z, biết :
)21.()2(
2
iiz −+=
.
ĐH Khối A – 2010 (CB) . Đáp số : b =
2
.
Bài 17 : Cho số phức z thỏa mãn : z =
i
i
−
−
1
)31(
3
. Tìm môđun của :
izz
+
.
ĐH Khối A – 2010 (NC) . Đáp số : 8
2
.
Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện :
ziiz )1( +=−
.
ĐH Khối B – 2010 (CB) . Đáp số : Đường tròn : x
2
+ (y + 1 )
2
= 2 .
Bài 19 : Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện :
2=z
, và z
2
là số thuần ảo .
ĐH Khối D – 2010 . Đáp số : z
1
= 1 +i ; z
2
= 1 – i , z
3
= - 1 – i , z
4
= -1 + i.
Bài 20 : Cho số phức z thỏa mãn : ( 2 – 3i)z + ( 4+i)
z
= - (1 + 3i)
2
; Xác định phần thực và phần
ảo của z ?
CĐ KHỐI A,B,D – 2010 ( CB). Đáp số : Phần thực : - 2 ; phần ảo : 5 .
Bài 21 : Giải phương trình : z
2
– (1 + i)z + 6 + 3i = 0 ; trên tập số phức.
CĐ KHỐI A,B,D – 2010 ( NC). Đáp số : z
1
= 1 – 2i ; z
2
= 3i .
