Chuyên đề 1 hình 12 thể tích khối đa diện

2021

ÔN THI THPT QUỐC GIA

TOÁN HÌNH


HDedu - Page 2


CHƯƠNG 1: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
CHUYÊN ĐỀ 1: KHỐI ĐA DIỆN
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Hình đa diện
Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo
bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai
điều kiện sau:
• Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có
điểm chung hoặc có đỉnh chung hoặc có một cạnh
chung.
• Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của
đúng hai đa giác.

2. Khối đa diện

Khối đa diện = hình đa diện + phần không gian Các hình là khối đa diện:
được giới hạn bởi hình đa diện.
Chú ý:
• Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân
chia được thành những khối tứ diện.
• Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của

ít nhất 3 cạnh.
• Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.

Các hình không phải khối đa diện:

• Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh.
• Không tồn tại một hình đa diện có:
+ Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh.
+ Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh.
3. Khối đa diện đều

Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là
chất sau đây:
tổng các mặt của khối đa diện đều loại n; p . Ta
• Các mặt là những đa giác đều n cạnh.
có:
• Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh. Khối đa
diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại n; p

pĐ = 2C = nM

HDedu - Page 3


PHẦN 2: CÔNG THỨC TÍNH NHANH
1. Khối đa diện đều
Khối đa diện đều

Số đỉnh

Số cạnh

Số mặt

Loại

Tứ diện đều

4

6

4

3;3

Khối lập phương

8

12

6

4;3

Bát diện đều

6

12

8

3; 4

Mười hai mặt đều

20

30

12

5;3

Hai mươi mặt đều

12

30

20

3;5

2. Mặt phẳng đối xứng
Hình

Số mặt phẳng đối xứng

Tứ diện đều

6

Hình lập phương

9

Hình chóp tứ giác đều

4

Hình hộp chữ nhật

3

Bát diện đều

9

HDedu - Page 4


PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Ví dụ 1: Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?

A. Tứ diện đều.

B. Bát diện đều

C. Hình lập phương

D. Lăng trụ lục giác đều

Ví dụ 2: Cho các hình khối sau:

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Hình 4

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là:
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Ví dụ 3: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai:
A. Hình chóp đều là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau và đáy là đa giác đều.
B. Trong một hình chóp đều các góc giữa một cạnh bên và mặt đáy thì bằng nhau.
C. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đáy.
D. Hình chóp đều là hình chóp có tất cả các cạnh bằng nhau.
Ví dụ 4: Một hình chóp có 46 cạnh có bao nhiêu mặt?

A. 24.

B. 46.

C. 69.

D. 25.

Ví dụ 5: Khối tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD. Mặt phẳng (AMN) chia
khối tứ diện ABCD thành:
A. Hai khối tứ diện và một khối chóp tứ giác.
B. Hai khối tứ diện.
C. Một khối tứ diện và một khối chóp tứ giác.
D. Hai khối chóp tứ giác.

HDedu - Page 5


PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1: Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là:
A. 10.

B. 8.

C. 6.

D. 4.

Câu 2: Số mặt phẳng đối xứng của hình đa diện đều loại 4;3 là:

A. 9.

B. 8.

C. 7.

D. 6.

Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Tồn tại hình đa diện có số cạnh bằng 7.
B. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh nhỏ hơn 7.
C. Số cạnh đa diện luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 6.
D. Tồn tại hình đa diện có số cạnh lớn hơn 7.
Câu 4: Tổng độ dài  của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2.
A.   8 .

B.   16 .

C.   24 .

D.   60 .

Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh.
B. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và mặt bằng nhau.
C. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau.
D. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau.
Câu 6: Gọi m là số mặt đối xứng của hình lập phương, n là số mặt đối xứng của hình bát diện đều. Khi
đó:
A. Không thể so sánh m và n.

B. m  n.

C. m  n.

D. m  n.

Câu 7: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp.
D. Hình có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.
Câu 8: Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hình hai mươi mặt đều có 30 đỉnh, 12 cạnh, 20 mặt.
B. Hình hai mươi mặt đều có 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 mặt.
C. Hình hai mươi mặt đều có 12 đỉnh, 30 cạnh, 20 mặt.
D. Hình hai mươi mặt đều có 30 đỉnh, 20 cạnh, 12 mặt.

HDedu - Page 6


Câu 9: Một hình đa diện có các mặt là những tam giác thì số mặt M và số cạnh C của đa diện đó thỏa mãn
A. 3C  2 M.

B. C  M  2.

C. M  C.

D. 3M  2 C.

C. 20.

D. 24.

Câu 10: Số đỉnh của một hình mười hai mặt đều là:
A. 12.

B. 19.

Câu 11: Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành
A. các đỉnh của một hình tứ diện đều.
B. các đỉnh của một hình bát diện đều.
C. các đỉnh của một hình mười hai mặt đều.
D. các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều.
Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Tồn tại khối tứ diện là khối đa diện đều.
B. Tồn tại khối lăng trụ đều là khối đa diện đều.
C. Tồn tại khối hộp là khối đa diện đều.
D. Tồn tại khối chóp tứ giác đều là khối đa diện đều.
Câu 13: Hình chóp tứ giác đều có mấy mặt phẳng đối xứng?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 14: Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại 3;5 là:
A. 12.

B. 16.

C. 20.

D. 24.

Câu 15: Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là:
A. 10.

B. 8.

C. 6.

D. 4.

Câu 16: Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Tính S.
A. S  4 3a 2 .

B. S  3a 2 .

C. S  2 3a 2 .

D. S  8a 2 .

Câu 17: Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?

A. 11.

B. 12.

C. 13.

D. 14.

Câu 18: Cho các hình sau:

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Hình 4

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

HDedu - Page 7


Chủ đề 27. Khối đa diện

Câu 588 (Đề minh họa 3, THPT.QG - 2017).

Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?
A. 6.
B. 10.
C. 12.
D. 11.

Câu 589 (Đề 102, THPT.QG - 2017). Mặt phẳng (A BC) chia khối lăng trụ ABC.A B C thành
các khối đa diện nào?
A. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.
B. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.
C. Hai khối chóp tam giác.
D. Hai khối chóp tứ giác.
Câu 590 (Đề 101, THPT.QG - 2017). Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có
bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 4 mặt phẳng.
B. 3 mặt phẳng.
C. 6 mặt phẳng.
D. 9 mặt phẳng.
Câu 591 (Đề 103, THPT.QG - 2017). Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối
xứng?
A. 4 mặt phẳng.
B. 1 mặt phẳng.
C. 2 mặt phẳng.
D. 3 mặt phẳng.
Câu 592 (Đề minh họa 2, THPT.QG - 2017). Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?
A. Tứ diện đều.
C. Hình lập phương.

B. Bát diện đều.
D. Lăng trụ lục giác đều.

HDedu - Page 8


CHUYÊN ĐỀ 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Thể tích khối chóp
1
V  B.h
3

Trong đó:
B: diện tích đáy
h: chiều cao của hình chóp

2. Các công thức hình học phẳng hay sử dụng

a. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho  ABC vuông ở đường cao AH ta có:
• Định lý Pitago: BC2  AB2  AC2
• BA 2  BH.BC ; CA 2  CH.CB
• AB.AC  BC.AH
•

1
1
1


2

2
AH
AB AC2

b. Hệ thức lượng trong tam giác thường
 Định lý côsin:

a 2  b 2  c 2  2bc.cosA
b 2  a 2  c 2  2 ac.cosB
c 2  a 2  b 2  2 ab.cosC

 Định lý sin:

a
b
c


 2R
sin A sin B sin C

 Định lý đường trung tuyến:

2b 2  2c 2  a 2
m 
4
2
a

m 2b 

2a 2  2c 2  b 2
4

2a 2  2b 2  c 2
m 
4
2
c

c. Các công thức tính diện tích
 Công thức tính diện tích tam giác:
1
1
a.b.c
S  a.h a  a.b sin C 
 p.r  p.  p  a  p  b  p  c 
2
2
4R

Trong đó:
R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp.
p

abc
là nửa chu vi.
2

HDedu - Page 9

Đặc biệt:
 ABC vuông ở A: S 

1
AB.AC
2

 ABC đều cạnh a: S 

a2 3
4

 Diện tích hình vuông: S = cạnh  cạnh
 Diện tích hình chữ nhật: S = chiều dài  chiều rộng
 Diện tích hình thoi: S 

1
đường chéo  đường chéo
2

 Diện tích hình thang: S 

1
(đáy lớn + đáy nhỏ)  chiều cao
2

 Diện tích hình bình hành: S = đáy  chiều cao
 Diện tích hình tròn: S  .R 2

d. Các hệ thức quan trọng trong tam giác đều

PHẦN 2: CÔNG THỨC TÍNH NHANH
Bài toán

Hình vẽ

Thể tích tứ diện ABCD đều cạnh a.

Thể tích hình chóp S.ABC với các
mặt (SAB), (SAC), (SBC) vuông
góc với nhau từng đôi một, diện tích
các tam giác lần lượt là S1 , S2 , S3 .

Thể tích

VABCD 

VS.ABC 

a3 2
12

2S1.S2 .S3
3

Thể tích tứ diện ABCD gần đều (các
cặp cạnh đối tương ứng bằng nhau)
AB  BC  a ,
AC  BD  c

BC  AD  b ,

HDedu - Page 10


VABCD 

2
12

a

2

 b 2  c 2  a 2  c 2  b 2  c 2  b 2  a 2 

Thể tích hình chóp biết ba cạnh bên
và ba góc ở đỉnh SA  a , SB  b ,
  y,
  x , BSC
SC  c , ASB

 z
CSA

1
VABCD  .abc 1  2 cos x.cos y.cos z  cos 2 x  cos 2 y  cos 2 z
6
Thể tích hình chóp tam giác đều

cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b.
Thể tích hình chóp tam giác đều
cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy
góc 
Thể tích hình chóp tam giác đều
cạnh bên là b, cạnh bên tạo với mặt
phẳng đáy góc 
Thể tích hình chóp tam giác đều
cạnh đáy là a, cạnh bên tạo với mặt
phẳng đáy góc 

VS.ABC 

VS.ABC 

VS.ABC

a 3 tan 
24

3a 3 sin .cos 2 

4

VS.ABC

VS.ABCD 

Thể tích hình chóp tứ giác đều có
cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b

a 2 3b 2  a 2
12

a 3 tan 

12
a 2 4b 2  2a 2
6

Khi hình chóp tứ giác
đều có tất cả các cạnh
bằng a.
VS.ABCD 

Thể tích hình chóp tứ giác đều có
cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên
 
và mặt đáy là góc SMO

VS.ABCD

Thể tích hình chóp tứ giác đều có
   với
cạnh đáy bằng a, SAB

VS.ABCD 

a3 2
6

a 3 tan 

6

a 3 tan 2   1
6

HDedu - Page 11


 
 ; 
4 2

Thể tích hình chóp tứ giác đều có
cạnh bên bằng b, góc tạo bởi mặt
   với
bên và mặt đáy là SMO
 
   0; 
 2

VS.ABCD 

4b3 tan 
3

 2  tan  
2

HDedu - Page 12

3


HDedu - Page 13


HDedu - Page 14


HDedu - Page 15


2. Bài tập trắc nghiệm
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc

với mặt đáy và SB  a 5 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V 

a3 3
.
3

B. V  a 3 3.

C. V 

a3 3

.
2

D. V 

a3 3
.
6

Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,
BC  2a , góc giữa SB và (ABC) là 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
a3 3
.
A.
3

a3 6
.
B. V 
3

a3 6
.
C. V 
9

a3 2
.
D. V 
4

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC đều cạnh a, CA  a . Hai mặt  ABC  và  ASC  cùng
vuông góc với  SBC  . Thể tích hình chóp là:
A. V 

a3 3
.
12

B. V 

a3 3
.
2

C. V 

a3 3
.
4

D. V 

a3
.
12

Ví dụ 4: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , AD  a 3 , SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
A. V  3a 3 .

B. V 

3a 3
.
3

C. V  a 3 .

D. V 

a3
.
3

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC  a 2 , cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 45 . Tính thể tích V của
khối chóp S.ABC.
A. V 

a3 2
.
12

B. V 

a3 2
.
4

C. V 

a3 2
.
6

D. V 

a3 3
.
18

HDedu - Page 16


3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 30 . Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABC.
A. V 

a 3 13
.
2

B. V 

a3
.
12

C. V 

3a 3 13
.
2

D. V 

5a 3 13
.
2


Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA bằng a. Mặt đáy (ABCD) là hình thoi cạnh a, góc ABC
bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
A.

a3 3
.
6

B.

a3 3
.
3

C.

a3
.
3

D.

2a 3
.
3

  60 . Cạnh bên SA
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  2a, BAC
vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA  a 3 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
A. V  a 3 .

B. V  3a 3 .

C. V  2a 3 .

D. V  4a 3 .

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và
mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60 . Thể tích hình chóp S.ABCD là:

A.

a3
.
8

B.

a3
.
3

C.

3a 3 3
.
8

D.

a3 3
.
3

HDedu - Page 17


HDedu - Page 18


HDedu - Page 19


2. Bài tập trắc nghiệm
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA  a , tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

A.

6a 3
.
4

B.

6a 3
.
24

C.

6a 3
.
12

D.

6a 3
.
8

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  2a , AD  a . Hình chiếu của S
lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB, đường thẳng SC tạo với đáy một góc 45 . Tính thể
tích V của khối chóp S.ABCD.
2 2a 3
.
A. V 

3

a3
B. V  .
3

2a 3
.
C. V 
3

3a 3
.
D. V 
2

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có góc giữa SC và mặt đáy bằng 45 , đáy ABC là tam giác vuông tại A
  60 và hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm AB. Tính theo a thể
có AB  2a , góc ABC
tích khối chóp S.ABC
A. V 

2.a 3 39
.
3

B. V 

a 3 39
.

3

C. V 

2.a 3 37
.
3

D. V 

4.a 3 39
.
3

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) bằng

3 7a
. Tính
7

thể tích V của khối chóp S.ABCD.
1
A. V  a 3 .
3

B. V  a 3 .

2
C. V  a 3 .

3
D. V  a 3 .
2

3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC vuông cân tại S và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC.
A.

a3
.
9

B.

a3 3
.
9

C.

a3 3
.
24

D.

a3
.

16

3a
. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh
2
S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD 

a3
A. V  .
3

2a 3
.
B. V 
3

2a 3
.
C. V 
13

2a 3
.
D. V 
5

Câu 3. Tứ diện ABCD có ABC là BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc
với nhau biết AD  a . Tính thể tích tứ diện.

A.

a3 6
.
9

B.

a3 3
.
9

C.

a3 3
.
36

D.

a3 6
.
36

HDedu - Page 20


HDedu - Page 21

HDedu - Page 22


2. Bài tập trắc nghiệm
Ví dụ 1: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
A.

a3 2
.
12

B.

a3 3
.
12

C.

a3 2
.
6

D.

a3
.
6

Ví dụ 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

60 .
A. 2a 3 3 .

B. 2a 3 .

C.

2a 3 3
.
3

D. 6a 3 .

3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích
khối chóp S.ABCD.
A.

8a 3
.
3

B.

a3 3
.
3

C.

4a 3
.
3

D.

2a 3
.
3

Câu 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60 . Tính thể
tích hình chóp S.ABC.
A.

a3 3
.
12

B.

a3 2
.
24

C.

a3 3
.
24

D.

a3
.
24

Câu 3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên SA, SB, SC đều tạo với đáy
một góc 60 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
A.

a3 3
.
3

B.

a3 3
.
6

C.

a3 3
.
9

D.

a3 3
.

12

HDedu - Page 23


HDedu - Page 24


HDedu - Page 25