ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VỀ NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM. Tên đề tài: RÈN KỸ NĂNG RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN TIN
……

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
VỀ NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM

Tên đề tài:
RÈN KỸ NĂNG RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Người thực hiện: Đặng Đức Hiệp
Ngày sinh

: 26/02/1986

Lớp

: Toán K9, Quảng Ninh

Nơi công tác

: Trường THCS Đồng Lâm – Hoành Bồ - Quảng Ninh

Người hướng dẫn :

Quảng Ninh, 8-2013

1


MỤC LỤC
Trang

PHẦN I: MỞ ĐẦU
…………………………………………........
I. Lý do chọn đề tài ……………………………………………..
1.1.Cơ sở lí luận:……………………………………………….
1.2.Cơ sở thực tiễn:……………………………………………...
II. Mục đích nghiên cứu ………………………………………….
III. Nhiệm vụ nghiên cứu…………………………………………..
IV. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu…………………………….
V. phương pháp nghiên cứu

3
3
3
3
4
4
4
4
5

PHẦN II: NỘI DUNG ……………………………………………….
ChươngI:Cơ sở lí luận thực tiễn có liên quan đến đề tài nghiên cứu 5
Chương II: Các biện pháp sư phạm cần thực hiện để góp phần 9
nâng cao chất lượng dạy học
PHẦN III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM...........................................
1. Mục đích thực nghiệm ………………………………………...
2. Nội dung thực nghiệm …………………………………………
3. Kết quả thực nghiệm…………………………………………..
PHẦN IV. KẾT LUẬN………………………………………………
PHẦN V: TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………….

PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
1.1.Cơ sở lí luận:
2

37
37
37
41
41
43


Toán học là một môn khoa học nói chung, nó chiếm một vai trò rất quan
trọng trong các trường học. Mục tiêu giáo dục THCS nhằm giúp học sinh củng
cố và phát triển những kết quả của tiểu học có trình độ học vấn phổ thông cơ sở
và những hiểu biết ban đầu. Quá trình học môn toán phải nhằm mục đích đào tạo
con người mà xã hội cần. Đất nước ta đã và đang bước vào kỉ nguyên của khoa
học thông tin, đòi hỏi mỗi chúng ta đều phải đầu tư và suy nghĩ để tìm ra những
biện pháp tốt nhất làm cho học sinh nắm vững tri thức toán phổ thông, cơ bản
thiết thực có kĩ năng thực hành toán, giúp cho học sinh phát triển năng lực tư
duy lôgic, khả năng diễn đạt chính xác ý tưởng của mình, khả năng tưởng tượng
và bước đầu hình thành nhân cách qua học môn toán. Hình thành ở học sinh các
phẩm chất đạo đức và có năng lực cần thiết như giáo dục đề ra.
Toán học là môn khoa học có từ lâu đời, nó nghiên cứu về nhiều thể loại, đa
dạng và phong phú. Do đó trang bị cho học sinh những kiến thức toán học
không chỉ gồm các khái niệm, định nghĩa, quy tắc, tổng quan, … Mà phải trang
bị cho học sinh các kĩ năng và phương pháp giải bài tập, vận dụng toán học vào
thực tế cuộc sống. Bắt đầu từ năm lớp 7, học sinh được làm quen với loại toán

rút gọn biểu thức, loại toán này tiếp tục được dạy kĩ hơn ở lớp 8, lớp 9. Nó có
mặt hầu hết ở các đề thi học kì, thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp, tuyển sinh vào
các trường THPT.
1.2.Cơ sở thực tiễn:
Việc rút gọn được những biểu thức đại số không đơn giản chỉ là biến
đổi thông thường mà nó đòi hỏi những hiểu biết lô gic và cách giải toán có yếu
tố sáng tạo; nó có ý nghĩa trong việc rèn luyện óc phân tích và biểu thị toán học
những mối liên quan của các đại lượng trong thực tiễn. Trong phân môn đại số chương trình toán các lớp 7,8,9 THCS số tiết về dạy học các bài toán rút gọn
biểu thức đại số đã chiếm một vị trí quan trọng, làm nền tảng để phát triển khả
năng toán.
Về cả hai phía giáo viên và học sinh đều có khó khăn khi dạy và học kiểu
bài này. Đây là một vấn đề quan trọng và bức thiết. Lâu nay chúng ta đang tìm
kiếm một phương pháp dạy học sinh giải các bài toán rút gọn làm sao đạt hiệu
quả. Các tài liệu, các sách tham khảo, sách hướng dẫn cho giáo viên cũng chưa
có sách nào đề cập đến phương pháp dạy kiểu bài này. Có chăng chỉ là gợi ý
3


chung và sơ lược. Đặc biệt rất nhiều học sinh thường xem nhẹ việc rút gọn biểu
thức đại số và vô tình đã quên đi các ứng dụng quan trọng và là chìa khóa, nền
tảng để giải quyết các vấn đề toán học trong trường THCS.
Đi theo kết quả của bài toán rút gọn biểu thức còn có các dạng toán sau:
Giải phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức,
tìm giá trị của biến x để biểu thức nhận giá trị nguyên …
Vì vậy, phần trên mà không rút gọn được biểu thức thì học sinh không thực
hiện được các bước tiếp theo cần có kết quả rút gọn biểu thức.
Vậy cách trình bày một bài toán rút gọn biểu thức như thế nào, phương pháp
giải bài toán đó ra sao. Để định hướng cho mỗi học sinh phát huy được khả năng
của mình khám phá những kiến thức, nâng cao chất lượng giáo dục. Vì vậy mỗi
giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán cần có giải pháp tích cực để nâng cao

chất lượng giảng dạy phần rút gọn biểu thức đại số.
Với lí do trên nên tôi chọn đề tài " Rèn kỹ năng rút gọn biểu thức đại số"
II. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về rút gọn biểu thức là một trong những vấn đề cơ bản của phân
môn đại số, nhằm giúp cho học sinh hiểu rõ phương pháp tiếp cận cách giải bài
toán rút gọn biểu thức. Trên cơ sở đó phát hiện những khó khăn đồng thời đề ra
những giải pháp thực hiện đạt hiệu quả cao trong việc giảng dạy và học tập tại
trường THCS Phú Thứ
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Điều tra sơ bộ về việc dạy và học của các đồng nghiệp, các em học sinh trường
THCS Đồng Lâm (huyện Hoành Bồ - tỉnh Quảng Ninh) về việc dạy và học "Rút
gọn biểu thức đại số"
- Phát hiện những khó khăn, vướng mắc trong quá trình dạy và học
- Từ đó đề xuất một số biện pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy và học
- Thực nghiệm những giải pháp đó ở trường và đánh giá kết quả đạt được.
IV. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
- Đối tượng: Học sinh các khối 8,9 và đặc biệt là học sinh giỏi các khối
- Giới hạn kiến thức: Chương trình đại số THCS
4


- Tài liệu sử dụng và tham khảo
+ SGK, SBT, sách ôn tập và kiểm tra đại số các khối 8,9
+ Toán nâng cao Đại số 8,9
+ Tuyển chọn những bài toán hay dùng cho lớp chuyên, lớp chọn.
+ Tuyển tập 250 bài toán "Bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS"
+ Một số vấn đề phát triển đại số các cấp.
V. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu để tìm ra phương pháp dạy có hiệu quả về rút
gọn biểu thức đại số. Tôi đã sử dụng các phương pháp sau:

- Phương pháp điều tra, phỏng vấn: Nghiên cứu nắm tình hình của lớp,
từng học sinh để có phương pháp dạy học thích hợp.
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu mục tiêu dạy học môn
Toán, mục tiêu dạy học các bài về rút gọn biểu thức đại số.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Xây dựng kế hoạch dạy học, chuẩn
bị kĩ cho từng tiết lên lớp, tiến hành giờ dạy,thực hiện kiểm tra đánh giá từ đã
nắm tình hình học tập của học sinh để từ đã điều chỉnh quá trình dạy, bồi dưỡng
học sinh giỏi, giúp đỡ học sinh yếu kém. Tham khảo tài liệu của các đồng
nghiệp, dự giờ một số lớp học, tham khảo ý kiến đồng nghiệp; thu thập các tư
liệu cho bài dạy như tranh ảnh, bài toán, bài đố vui, trò chơi, sách báo có liên
quan…

PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN THỰC TIỄN
LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI
I. Định hướng cơ bản:

5


Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được xác định trong nghị
quyết Trung Ương 4 khoá VII (1- 1993), Nghị quyết Trung Ương 2 khoá VIII
( 12- 1996), được thể chế hoá trong luật giáo dục ( 2005), được cụ thể hoá trong
các chỉ thị của bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14 (1-1999).
Luật Giáo dục 2005, chương I, điều 24 đã ghi “Phương pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp
với từng đặc điểm của lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, khả
năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,
tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thud học tập cho mỗi học sinh”.
Với mục tiêu giáo dục học sinh phổ thông là “ Giúp học sinh phát triển toàn

diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng
lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt
Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho
học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng bảo
vệ Tổ quốc”; Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo quyết định số
16/2006/QĐ – BĐGT ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng bộ Giáo dục và Đào tạo
cũng đã nêu: “Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học
sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện
của từng lớp học; bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn
luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại
niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho từng học sinh”.
Đổi mới phương pháp dạy học được coi là một trong những nhiệm vụ chiến lược
chính vì vậy phương pháp dạy học cần hướng vào việc tổ chức cho người học
tập trong hoạt động, kết hợp tốt học với hành. Đổi mới phương pháp dạy học
theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động. sáng tạo của người học, tăng
cường thực hành, thực tập, ứng dụng mạnh mẽ công nghệ thông tin và các thành
tựu khác của khoa học, công nghệ vào việc dạy và học.
Đổi mới và hiện đại hoá phương pháp giáo dục, chuyển từ truyền đạt tri thức
chủ động, giáo viên giảng, học sinh ghi sang hướng dẫn người học tư duy trong
quá trình tiếp cận tri thức; dạy cho người học phương pháp tự học, tự thu nhận
6


thông tin một cách hệ thống và có tư duy phân tích, tổng hợp và phát triển được
năng lực của mỗi cá nhân; tăng cường tính chủ động tính tự chủ của học sinh.
Trong luật giáo dục đã ghi rõ giáo dục phổ thông là phải phát huy tính tích
cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh phù hợp với từng lớp học, môn học,
tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú trong khi học môn toán học
- Phương pháp tích cực là phương pháp GD – dạy học theo hướng phát
huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của người học thông qua quan sát

ĐDDH(tranh ảnh, mô hình.....)
-Trong giáo dục học đại cương,bài tập được xếp trong hệ thống phương
pháp giảng dạy,phương pháp này được coi là một trong các PP quan trọng nhất
để nâng cao chất lượng giảng dạy của bộ môn.
Mặt khácviệc phụ đạo cho HS yếu kém bộ môn là một trong những vấn
đề rất quan trọng, cấp bách,cần thiết và không thể thiếu trong các môn học ở các
cấp học nói chung và cấp THCS nói riêng.Nhất là trong cuộc vận dộng " hai
không" hiện nay, đò hỏi GV thực chất và HS thực chất. Song song với vấn đề
trên HS phải nhanh chóng tiếp cận với phương pháp dạy học mới đang được tiến
hành" học sinh tích cực, chủ động, nghiên cứu tìm tòi,sáng tạo...để lĩnh hội và
vận dụng kiến thức vào cuộc sống".
II. Nội dung, kiến thức có trong chương trình môn toán ở THCS liên quan
tới đề tài :
1.Khái niệm biểu thức đại số:
Tính giá trị của một biểu thức đại số, đơn thức, đa thức
2.Tính chất các biểu thức đại số
- Nhớ được 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
- Cộng trừ nhân chia đa thức
- Phân tích đa thức thành nhân tử, quy tắc đổi dấu
- Rút gọn phân thức
- Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức
- Cộng trừ các phân thức đại số
- Nhân chia các phân thức đại số
- Biến đổi các phân thức hữu tỉ
3.Hiểu được thế nào là căn bậc hai
7


- Các phép tính rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai
- Căn bậc ba

III. Mục đích, yêu cầu, chuẩn kiến thức, kỹ năng về rút gọn biểu thức đại
số:
* Về kiến thức:
- Hiểu khái niệm căn bậc hai của một số không âm, kí hiệu căn bậc hai,
phân biệt được căn bậc hai dương và căn bậc hai âm của cùng một số
dương, định nghĩa căn bậc hai số học.
- Hiểu khái niệm căn bậc ba của một số t.hực
- Hiểu các định nghĩa phân thức đại số, hai phân thức bằng nhau.
- Biết khái niệm phân thức đối của phân thức
hoặc

A
A
( B ≠ 0 ) ( là phân thức
B
 B

 A
A
và được kí hiệu là - )
B
B

- Nhận biết được phân thức nghịch đảo và hiểu rằng chỉ có phân thức khác 0
mới có phân thức nghịch đảo.
- Hiểu thực chất biểu thức hữu tỉ là biểu thức chứa các phép toán cộng,
trừ ,nhân, chia các phân thức đại số.
* Về kỹ năng :
- Biết cách tính giá trị của một biểu thức đại số.
- vận dụng được tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

A( B + C ) = AB + BC
( A + B)(C+ D ) = AC + AD + BC + BD
rong đó A, B, C, D là các số hoặc biểu thức đại số.
- Hiểu và vận dụng được các hằng đẳng thức đáng nhớ:
8


A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
A2 – B2 = (A + B) (A – B)2
A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

Vận dụng được các phương pháp cơ bản phân tích đa thức thành nhân tử :
+ Phương pháp đặt nhân tử chung.
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp nhóm hạng tử.
+ Phối hợp các phương pháp phân tích thành nhân tử ở trên.
- Vận dụng được tính chất cơ bản của phân thức để rút gọn phân thức và quy
đồng mẫu thức các phân thức.
- Vận dụng được các quy tắc cộng ,trừ các phân thức đại số.
- Vận dụng được các tính chất của phép nhân các phân thức đại số
IV. Điều tra thực trạng
Việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở địa phương là
học sinh miền núi, trình độ nhận thức chậm, chưa nỗ lực trong học tập. Đa số
các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án hoặc hướng dẫn giải để tham
khảo, nên khi gặp bài tập có dạng khác các em thường lúng túng chưa tìm
được hướng giải thích hợp, không biết sử dụng phương pháp nào trước,
phương pháp nào sau, phương pháp nào phù hợp nhất, hướng nào tốt nhất.
Giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưa triệt
để.

Phụ huynh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con mình
như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở học tập ở nhà.
Phương pháp chung để giải bài toán cần có những gợi ý để thầy hỗ trợ cho
trò, để trò tự suy nghĩ tìm ra lời giải. Trước khi giải một bài toán phải tìm hiểu kĩ
9


nội dung yêu cầu của đê bài: Đâu là cái cần tìm? Cái đã cho? Cài phải tìm thỏa
mãn điều kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? … Tìm ra cách
giải hợp lí nhất.
Việc rút gọn biểu thức là một trong những vấn đề cơ bản của phân môn đại
số. Học sinh phải tìm hiểu kỹ các dạng biểu thức khi đưa ra nó ở dạng nào, tính
giá trị của biểu thức hay chứng minh biểu thức, rút gọn biểu thức . . . Học sinh
lúng túng khi rút gọn phải sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử, sử dụng các phép toán và tính chất của cá phép toán, học sinh hay nhầm lẫn.
Do vậy giáo viên cần rèn luyện cho học sinh có kĩ năng trình bày lời giải cho
các dạng bài tập, để giúp phần nào giải quyết được các dạng bài tập rút gọn biểu
thức đại số và khắc phục những vướng mắc trên.
CHƯƠNG 2: CÁC BIỆN PHÁP SƯ PHẠM CẦN THỰC HIỆN ĐỂ GÓP
PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY HỌC NỘI DUNG “ PHÂN
TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ”.
Tôi đưa ra một đề tài về các bài tập rút gọn biểu thức đại số mà tôi đã tìm hiểu,
tập hợp được thông qua thực tế giảng dạy.
Đề tài hướng dẫn học sinh THCS giải loại toán rút gọn biểu thức đại số. Tôi
đề cập ba vấn đề qua ba dạng toán như sau:
+ Dạng 1: Rèn luyện nhuần nhuyễn những bài toán cơ bản ở SGK, SBT để tìm
hướng giải quyết
+ Dạng 2: Rèn luyện cho học sinh những dạng toán tổng hợp để phát huy tính
tích cực, sáng tạo của học sinh.
+ Dạng 3: Trên cơ sở đó cần tận dụng thời gian để rèn luyện kỹ năng giải các bài

tập nâng cao ở THCS đối với học sinh khá giỏi.
* Biện pháp thực hiện
Phương pháp giải:
Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện như sau:
- Tìm điều kiện của biến để biểu thức có nghĩa (mà ta gọi tắt là tìm điều
kiện xác định cho những biểu thức chứa chữ)
10


- Quy đồng mẫu số chung (nếu có)
- Đưa bớt thừa số chung ra khỏi căn thức (nếu có)
- Thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, luỹ thừa, khai căn.
- Cộng trừ các số hạng đồng dạng
- Với điều kiện xác định đã tìm được trả lời kết qủa rút gọn biểu thức
Dạng 1: Các bài tập minh hoạ
- Rèn tính nhuần nhuyễn: Yêu cầu với dạng này phải khai thác triệt để
kết hợp với những kiến thức đã học để tìm lời giải. Đầu tiên giúp các
em làm quen với biểu thức đại số rồi đến rút gọn biểu thức đại số. Tôi
chọn những bài toán đơn giản có ở SGK và SBT phù hợp với mọi đối
tượng học sinh.
Bài 1.1:
Tính giá trị biểu thức đại số sau tại x = 1; y = -1; z = 3
a) (x2y - 2x - 2z)xy

b) xyz +

Hướng suy nghĩ:
- Đây là bài toán tính giá trị của biểu thức được làm quen ở lớp 7. Đầu bài cho
biểu thức và cho biết giá trị x, y, z. Do đó học sinh chỉ thay giá trị x, y, z vào
biểu thức rồi thực hiện phép tính, trong quá trình thực hiện luôn để ý đến dấu và

luỹ thừa
Giải tóm tắt.
a) Thay x = 1; y = -1; z = 3 vào biểu thức (x2y - 2x - 2z)xy ta được:
[12(-1) - 2.1 - 2.3].1.(-1) = [ -1 - 2 - 6].(-1) = (-9).(-1) = 9
b) Thay x = 1; y = -1; z = 3 vào biểu thức xyz +

ta được:

1.(-1).3 + = -3 + = -3 - 1 = -4
Học sinh hay mắc sai lầm là biến đổi luỹ thừa và dấu của nó
Bài 1.2
Rút gọn phân thức:
a)

b)

Hướng suy nghĩ:
- Để giải bài toán này học sinh cần phải nắm được các bước rút gọn phân thức
11


- Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ cho phù hợp
- Vận dụng quy tắc đổi dấu
Giải tóm tắt:
a) = = =
b) = =
Lưu ý học sinh hay nhầm lẫn biến đổi ý a hay viết
=
Bài 1.3
Cho hai biểu thức:

A= + +

B=

Chứng tỏ A = B
Hướng suy nghĩ:
- Học sinh nhận thấy biểu thức A là phép cộng 3 phân thức, muốn chứng tỏ A
= B ta phải làm như thế nào ?
- Rút gọn biểu thức A rồi so sánh với biểu thức B, kết luận
Giải tóm tắt:
A= + +
=
= = = B => đpcm
Bài 1.4:
Rút gọn biểu thức:
A= Hướng suy nghĩ:
- Muốn rút gọn biểu thức này thì nhớ dạng tổng quát
- = + (- )
- Phải nhớ được quy tắc trừ hai phân thức
- Quy đồng mẫu hai phân thức
Cách giải:
A= - = -

(1)

MTC: x(x + 1)(x - 1)
12


Ta có:

A= = +
=
= =
Bài 1.5:
Rút gọn biểu thức:
a) .

b) .

Hướng suy nghĩ:
- Nhớ tổng quát: . =
- Quy tắc đổi dấu
- Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, hằng đẳng thức
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ( có nhân tử chung để rút gọn)
Cách giải:
a) .

=
=
=

b) . =
=
=
Học sinh mắc phải: Không nắm được hằng đẳng thức, hoặc nắm được hằng đẳng
thức nhưng không biết vận dụng hay quên không nhớ nổi.
Bài 1.6:
Rút gọn biểu thức sau:

:

Hướng suy nghĩ :
- Nhớ tổng quát: : = .
- Vận dụng hằng đẳng thức
- Phân tích tử mẫu thành nhân tử, rút gọn.
Cách giải:
13


: = .
=
=
Học sinh đa số biến đổi được dạng này.
Bài 1.7:
Biến đổi biểu thức thành phân thức
Đây là biểu thức không khó lắm đối với học sinh lớp 8 muốn biến đổi nó thành
một phân thức thì phải viết chúng về dưới dạng phép tính ngang sau đó thực
hiện phép tính, ta có thể viết như sau
A = = ( - 2) : ( )
=. =
Bài 1.8:
Rút gọn biểu thức có chứa dấu căn bậc hai:
a) +

b) 5. + . +

Hướng suy nghĩ:
- Ta cần thực hiện các phép biến đổi nào ?
- Học sinh nhớ lại các phép biến đổi căn bậc hai
- Phối hợp để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Cách giải:
a) + =
= = =3
b) 5. + . + = 5. + . +
= + + =3
Bài 1.9:
Cho biểu thức P = ( - )2 . ( - ) Với a > 0 và a ≠ 1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm a để P < 0
Hướng suy nghĩ:
- Muốn rút gọn biểu thức trên cần tìm tập xác định cho biểu thức
- Biến đổi biểu thức bằng cách thực hiện các phép toán trong P
14


- Tìm giá trị a, so sánh với điều kiện đề bài.
Giải tóm tắt:
a) P = ( - )2 . ( - )
Với a > 0 và a ≠ 1
P(

a
1 2 a1
a1

) .(

)
2 2 a
a1

a1

a a  1 2 ( a  1)2  ( a  1)2
P(
).
2 a
( a  1)( a  1)
P(
P

a  1 2 a  2 a  1 a  2 a  1
).
a 1
2 a

(a  1)4 a 1 a

4a
a

Vậy P =

1 a
Víi a > 0 và a ≠ 1
a

b) Tìm a để P < 0
Với a > 0 và a ≠ 1 nên > 0
 P = < 0  1 - a < 0  a > 1 ( TMĐK)
Bài 1.10:

Rút gọn: a) - 5a

b)

Hướng suy nghĩ:
- Vận dụng quy tắc khai căn bậc ba của một tích khai triển
- Thực hiện phép tính đưa ra khỏi căn bậc ba
Cách giải:
a) - 5a = . - 5a = 2.a - 5a = 3a
b) = =
Dạng 2: Rèn cho học sinh những dạng toán cơ bản về rút gọn biểu thức,
những dạng toán tổng hợp đòi hỏi học sinh có kĩ năng giải toán rút gọn, phát
huy tính tích cực sáng tạo.
Bài 2.1:
Rút gọn biểu thức:
15


A= +
Hướng suy nghĩ:
- Học sinh nhớ được quy tắc cộng 2 phân thức không cùng mẫu
- Nắm được ba bước quy đồng
- Vận dụng hằng đẳng thức thứ 7 phân tích tử mẫu thành nhân tử.
Giải tóm tắt
A= +
= +
=
=
==
Bài 2.2:

Rút gọn biểu thức:
B= .
Hướng suy nghĩ:
- Muốn rút gọn được phải nhớ lại cách tách hạng tử để phân tích đa thức thành
nhân tử
Giải tóm tắt
B =.
=.
=.
= =1
Học sinh hay mắc phải: không nhận ra cách tách hạng tử để phân tích thành
nhân tử
Bài 2.3: Rút gọn biểu thức:
C = ( - ) : ( + x - 2)
Hướng suy nghĩ:
- Xem về thứ tự thực hiện các phép toán trong biểu thức
- Phải quy đồng mẫu và làm phép toán trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau
Cách giải:
16


C = ( - ) : ( + x - 2)
=[ -]:
= .
= =
Học sinh chiếm phần đa biết rút biểu thức dạng này
Một số ít học sinh thường nhân đơn thức với đa thức còn sai dấu, không nhớ
hằng đẳng thức.
Bài 2.4:
Cho biểu thức Q = . (1 - ) a) Tìm điều kiện của biến để giá trị của biểu thức xác định

b) Rút gọn Q
c) Chứng minh rằng Q xác định thì Q luôn có giá trị âm
d) Tìm giá trị lớn nhất của Q
Hướng suy nghĩ:
- Học sinh nhận biết được cách tìm điều kiện để Q xác định
- Cách rút gọn biểu thức Q
- Hiểu được cách chứng minh để Q có giá trị âm, có nghĩa là Q < 0 với mọi
x
- Hiểu được cách tìm giá trị lớn nhất của Q, Q < 0 với mọi x
Đây là dạng toán tổng hợp đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng vận dụng kiến thức
đã học để trình bày lời giải.
Cách giải:
a) Điều kiện của biến là x ≠ 0 và x ≠ - 2
b) Rút gọn Q
Q = . (1 - ) =
=
= =
= - (x2 + 2x + 2)
c) Q = - (x2 + 2x + 2)
17


Học sinh tách hạng tử tự do sau đó đưa về dạng hằng đẳng thức
Q = - (x2 + 2x + 1 + 1)
= - (x + 1)2 - 1
Có: -(x + 1)2 < 0 với mọi x
-1<0
=> Q = -(x + 1)2 - 1 < 0 với mọi x
d) Ta có: -(x + 1)2 ≤ 0 Với mọi x
Q = - (x + 1)2 - 1 ≤ - 1 với mọi x

 GTLN của Q = -1 khi x = -1 (TMĐK)
Học sinh thường hạn chế về ý c,d
Bài 2.5: Cho biểu thức P =
Tìm x để P có giá trị nguyên
Hướng suy nghĩ:
- Học sinh phải rút gọn
- Tìm x để P có giá tri nguyên
Cách giải:
P= =
=
= =
Vậy để P nhận giá trị nguyên thì x2 + 1 = Ư(3) = {±1; ±3}
Với x2 + 1 = 1 => x = 0
Với x2 + 1 = -1 => Không có giá trị nào của x thoả mãn
Với x2 + 1 = 3 => x2 = 2 => x = ±  Z
Với x2 + 1 = -3 => Không có giá trị nào của x thoả mãn
Vậy với x = 0 thì P nhận giá trị nguyên.
Bài 2.6: Cho biểu thức:
M=( +):
Rút gọn rồi so sánh giá trị M với 1
Hướng suy nghĩ:

18


Đây là một biểu thức tổng hợp, rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai là
tương đối khó với học sinh
- Phải thực hiện phép tính trong ngoặc trước rồi đến phép chia
- So sánh M với 1 nghĩa là xét M - 1
Cách giải:

*Rút gọn:
M=( +):
=. =
Vậy M = ( với a > 0, a ≠ 1)
*So sánh M với 1
Ta có M = = - = 1 Do a > 0 => > 0 => > 0
Nên 1 - < 1
Vậy M < 1
* Học sinh phần đa còn hạn chế khi giải một bài toán dạng này, kĩ năng biến đổi
các phép tính cần lưu ý hơn cho học sinh ở phần này.
Bài 2.7: Cho biểu thức:
Q= -(1+):
a) Rút gọn Q
b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b
Hướng suy nghĩ:
- Biểu thức này tương đối tổng hợp có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia
và có chứa căn bậc hai
- Học sinh phải biết thực hiện các phép tính trong ngoặc trước sau đó tiếp
đến phép nhân và phép trừ
- Biết thay giá trị của a vào biểu thức rồi thực hiện phép tính
Cách giải:
a) Rút gọn:
Q= -(1+):
= -.
19


= - =
= =
b) Khi có a = 3b ta có:

Q= = =
Nhược điểm đa số học sinh thực hiện biểu thức dạng này còn hạn chế khi thực
hiện phép tính
Thay giá trị a vào biểu thức chứa căn.
Bài 2.8
Chứng minh đẳng thức
( + )()2 = 1
Hướng suy nghĩ:
- Đây là dạng bài chứng minh biến đổi vế trái của đẳng thức sao cho kết quả
bằng vế phải
- Xét xem vế trái của đẳng thức có dạng hằng đẳng thức nào?
- Thực hiện các phép tính trong ngoặc, rút gọn
Cách giải:
Ta có: VT = ( + )()2
= ( + )()2
= ( + )()2
= (1 + )2()2 = 1 = VP => đpcm
Bài 2.9:
Cho biểu thức:
Q = ( - ): ( - )
a) Rút gọn Q với a > 0, a ≠ 1 và a ≠ 4
b) Tìm a để Q = -1
c) Tìm a để Q > 0
Hướng suy nghĩ:
- Học sinh phải hiểu được yêu cầu của đề bài, biết cách tìm tập xác định
biểu thức có nghĩa
- Biết cách tìm a để Q = -1, tìm a để Q > 0
20

Cách giải:
a) Rút gọn:
Q = ( - ): ( - )
= :
= :
=.
=
b) Q = -1
 = -1 với a > 0 và a ≠1; a ≠ 4
 - 2 = -3
4=2
 = (TMĐK)
c) Q > 0
 >0
Vì a > 0 và a ≠1; a ≠ 4  3 > 0
Vậy > 0  - 2 > 0


a >2



a > 4 (TMĐK)

Bài toán này tương đối khó với học sinh vì rút gọn biểu thức có chứa căn bậc
hai, đa số học sinh còn hạn chế cách biến đổi các phép toán trong căn để rút gọn.
Bài 2.10:
Cho biểu thức
P = - ): ( - )
a) Tìm điều kiện để p xác định

b) Rút gọn P
c) Tìm x để P =
Hướng dẫn cách giải:
- Đây là biểu thức có chứa căn bậc hai, học sinh phải biết tìm điều kiện để biểu
thức có nghĩa.
21


- Biết cách rút gọn biểu thức coc chứa căn bậc hai
Biết cách tìm x để P =
Cách giải:
a) Điều kiển của x để P xác định là: x > 0 , x ≠ 1; x ≠ 4
b) Rút gọn:
P = ( - ): ( - )
=:
=:
= .
=
c)

P=
 = ( với x > 0 ; x ≠1; x ≠4)
4-8=3
 =8


x = 64 (TMĐK)

Kết luận: P =  x = 64
Bài 2.11

Cho biểu thức B =

2 x 3  7 x 2  12 x  45
3 x 3  19 x 2  33x  9

a) Rút gọn B
b) Tìm x để B > 0
Hướng dẫn cách giải:
- Đây là một phân thức, học sinh phải biết phân tích mẫu thức trước khi tìm
điều kiện để biểu thức có nghĩa.
- Biết cách tìm x để B > 0
Cách giải:
a) Phân tích mẫu:
3x3 – 19x2 + 33x – 9 = (3x3 – 9x2) – (10x2 – 30x) + (3x – 9)
= (x – 3)(3x2 – 10x + 3)
= (x – 3)[(3x2 – 9x) – (x – 3)]
22


= (x – 3)2(3x – 1)
Đkxđ: (x – 3)2(3x – 1) � 0 � x � 3 và x �

1
3

b) Phân tích tử, ta có:
2x3 – 7x2 – 12x + 45 = (2x3 – 6x2 ) - (x2 - 3x) – (15x - 45)
= (x – 3)(2x2 – x – 15)
= (x – 3)[(2x2 – 6x) + (5x – 15)]
= (x – 3)2(2x + 5)

Với x � 3 và x �

1
3

(x - 3) 2 (2x + 5) 2x + 5
2 x 3  7 x 2  12 x  45

Thì B = 3
=
(x - 3) 2 (3x - 1) 3x - 1
3 x  19 x 2  33 x  9
�
� 1
x
�
�
� 3
�
�
�
3x  1  0
�
� 1
�
�x   5
�
�
x
�

�
2
x

5

0
�
2x + 5
�
2
3
�
��
��
c) B > 0 �
>0 � �
5
3x - 1
3x  1  0
�
� 1
�
�
x
x
�
�
�
�

� 3
�
2
2x  5  0
�
�
�
�
�x   5
�
�
�
2

Vầy với x >

1
5
hoặc x < - thì B > 0
3
2

Khi giải bài toán này học sinh cần vận dụng tốt phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử và giải bất phương trình.
Bài 2.12
x3  x 2  2 x
Cho biểu thức D = x x  2  x 2  4

a) Rút gọn biểu thức D
b) Tìm x nguyên để D có giá trị nguyên

c) Tìm giá trị của D khi x = 6
Hướng dẫn cách giải:
- Đây là một phân thức có chứa giá trị tuyệt đối, học sinh phải biết xét giá trị
tuyệt đối trước khi tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa.
23


- Biết cách tìm x nguyên để D nguyên
Cách giải:
a) Nếu x + 2 > 0 thì x  2 = x + 2 nên ta có:
x3  x 2  2 x
x3  x2  2 x
x( x  1)( x  2)
x2  x


D = x x  2  x2  4 =
x( x  2)  x 2  4 x( x  2)  ( x  2)( x  2)
2

Nếu x + 2 < 0 thì x  2 = - (x + 2) nên ta có:
x3  x 2  2 x
x3  x 2  2 x
x( x  1)( x  2)
x


D = x x  2  x2  4 =
2
 x( x  2)  x  4  x( x  2)  ( x  2)( x  2) 2

Nếu x + 2 = 0 � x = - 2 thì biểu thức D không xác định
x
x2  x
b) Để D có giá trị nguyên thì
hoặc
có giá trị nguyên
2
2
�x 2 - x M2
�x(x - 1) M2
x2  x
�
��
+)
có giá trị nguyên
�
2
�x > - 2
�x > - 2

Vì x(x – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 với mọi x > - 2
+)

�x M2
�x = 2k
x
��
� x  2k (k � Z; k < - 1)
có giá trị nguyên � �

2
�x < - 2
�x < - 2

6(6  1)
x2  x
 15
c) Khi x = 6 ta có D =
=
2
2

Trong quá trình giải bài toán học sinh dễ bỏ sót trường hợp x + 2 = 0
Bài 2.13
Cho biểu thức

3
3
 1
1 
2
1 1 x  y x  x y  y

A 

.
  :
y  x  y x y 
 x
x 3 y  xy 3

a ) Rút gọn A;
b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Hướng dẫn cách giải:
- Để giải bài toán cần lưu ý tìm đkxđ của biểu thức dưới dấu căn, mẫu thức thứ
tự thực hiện các phép toán và phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
24


Cách giải:
Đkxđ : x > 0 , y > 0
 1
1 
2
1 1

A


.

 :

a)


x
y 
x
y

x

y



 x y
2
x  y 

.

:


xy
xy
x

y



 2
x  y 


:
 xy


xy








x y
xy

b) Ta có 




x 3 y  xy 3





x  y x

A



xy x  y









y  x  y

x
xy

x

y



x

y

xy

.

2

y  0 


x

x y 2


Do đó



xy  y  xy x  y

xy  x  y 

2

.

x3  y x  x y  y3

x

y

xy



2

xy
xy



Vậy min A = 1 khi

2

16
16

xy 0

x  y 2
1

xy .

( vì xy = 16 )

�x  y
�
� x  y  4.
�
xy

16

�

Học sinh có thể lúng túng trong khi vận dụng bất đẳng thức Cauchy
Bài 2.14
Cho biểu thức


1
P 

 x  x 1

 2


x  1  2  2  x
x 3

x 2

2 x  x 

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tính giá trị của P với x 3  2 2 .
Hướng dẫn cách giải:
Theo thứ tự thực hiện các phép tính ta phải làm các phép tính từ trong dấu
ngoặc trước. Đối với nhân tử thứ hai ta đã quy đồng mẫu, còn nhân tử thứ nhất
thì không. Tại sao vậy? Bởi vì nếu quy đồng mẫu thì tính toán rất phức tạp. Ta
đã trục căn thức ở mỗi mẫu, được kết quả rất nhanh chóng.

25