Một số phương pháp chiếu giải bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN XUÂN TRÌU

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI
HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. TS. Trương Minh Tuyên
2. TS. Phạm Hồng Trường

Thái Nguyên – 2020


ii

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trương Minh Tuyên, người đã tân
tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận
văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo trong khoa
Toán–Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp đỡ
tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng chí lãnh đạo phòng Giáo dục và Đào
tạo, Ban giám hiệu trường THCS Tân Lập huyện Vũ Thư, tỉnh Thái Bình đã
tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt thời gian đi học.

Nhân dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân,
bạn bè đã động viên, khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập
và nghiên cứu.


iii

Mục lục
Lời cảm ơn

ii

Một số ký hiệu và viết tắt

iv

Mở đầu

1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Banach phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Khoảng cách Bregman và ánh xạ Bregman không giãn mạnh
1.2.1 Đạo hàm Gâteaux và đạo hàm Fréchet . . . . . . . .
1.2.2 Hàm lồi và khoảng cách Bregman . . . . . . . . . . .
1.2.3 Hàm lồi hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Phép chiếu Bregman . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Ánh xạ Bregman không giãn mạnh . . . . . . . . . .
Chương 2 Một số phương pháp chiếu giải
hỗn hợp tổng quát

2.1 Bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát . .
2.2 Phương pháp chiếu lai ghép . . . . . . .
2.3 Phương pháp chiếu thu hẹp . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

3
3

4
4
5
12
17
20

hệ bài toán cân bằng
21
. . . . . . . . . . . . . . 21
. . . . . . . . . . . . . . 24
. . . . . . . . . . . . . . 31

Kết luận

38

Tài liệu tham khảo

39


iv

Một số ký hiệu và viết tắt

X

không gian Banach

X∗

không gian đối ngẫu của X

R

tập hợp các số thực

R

+

tập các số thực không âm

∩

phép giao

int M

phần trong của tập hợp M

inf M

cận dưới đúng của tập hợp số M

sup M

cận trên đúng của tập hợp số M

max M

số lớn nhất trong tập hợp số M

min M

số nhỏ nhất trong tập hợp số M

argminx∈X F (x)

tập các điểm cực tiểu của hàm F trên X

∅

tập rỗng

dom(A)

miền hữu hiệu của toán tử (hàm số) A

R(A)

miền ảnh của toán tử A

A−1

toán tử ngược của toán tử A

I

toán tử đồng nhất

lim sup xn

giới hạn trên của dãy số {xn }

n→∞

lim inf xn

giới hạn dưới của dãy số {xn }

xn → x0

dãy {xn } hội tụ mạnh về x0

xn

dãy {xn } hội tụ yếu về x0

n→∞

x0

F (T )
Fˆ (T )

tập điểm bất động tiệm cận của ánh xạ T

∂f

dưới vi phân của hàm lồi f
f

M

tập điểm bất động của ánh xạ T

gradient của hàm f
bao đóng của tập hợp M


v

projfC

phép chiếu Bregman lên C

Df (x, y)

khoảng cách Bregman từ x đến y


1

Mở đầu
Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn hay vô hạn ánh xạ
không giãn trong không gian Hilbert hay không gian Banach là một trường hợp
riêng của bài toán chấp nhận lồi: “Tìm một phần tử thuộc giao khác rỗng của
một họ hữu hạn hay vô hạn các tập con lồi và đóng {Ci }i∈I của không gian

Hilbert H hay không gian Banach X”, với I là tập chỉ số bất kỳ. Bài toán này
có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khoa học khác nhau như: Xử
lí ảnh, khôi phục tín hiệu, vật lý, y học ... Khi Ci là tập nghiệm của các bài
toán cân bằng (tổng quát), thì đã có nhiều phương pháp được đề xuất dựa trên
các phương pháp lặp cổ điển nổi tiếng. Đó là các phương pháp lặp Kranoselskii,
Mann, Ishikawa, Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm hay các phương pháp sử
dụng các siêu phẳng cắt ...
Cho đến nay vấn đề nghiên cứu các phương pháp xấp xỉ nghiệm của hệ bài
toán cân bằng trong không gian Hilbert hay Banach vẫn là một chủ đề thu hút
sự quan tâm của nhiều người làm toán trong và ngoài nước. Bằng cách sử dụng
công cụ khoảng cách Bregman thay cho khoảng cách thông thường, người ta đã
tìm ra nhiều phương pháp xấp xỉ nghiệm của lớp các bài toán cân bằng. Ngoài
ra, khi sử dụng khoảng cách Bregman người ta giải quyết được bài toán cân
bằng, cùng các bài toán liên quan khác trên không gian Banach phản xạ mà
không đòi hỏi thêm các tính chất hình học khác của không gian như tính lồi đều
hay trơn đều.
Năm 2016, T.M. Tuyen [21] đã nghiên cứu đưa ra ba thuật toán chiếu cho
bài toán tìm nghiệm của hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát trong không
gian Banach phản xạ. Cụ thể hơn, T.M. Tuyen đã giới thiệu và chứng minh sự
hội tụ mạnh ba phương pháp lặp song song dựa trên phương pháp chiếu lai ghép
(hybrid projection method) và phương pháp chiếu thu hẹp (shrinking projection
method).
Mục đích của luận văn này là trình bày lại chi tiết các kết quả của T.M.
Tuyen trong bài báo [21]. Theo đó, nội dung của luận văn được chia làm hai
chương chính, trong đó:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, luận văn đề cập đến một số vấn đề về không gian Banach


2

phản xạ, đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet, hàm lồi, dưới vi phân của hàm
lồi, phép biến đổi Young-Fenchel, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman
và toán tử Bregman không giãn mạnh.
Chương 2. Một số phương pháp chiếu giải hệ bài toán cân bằng hỗn
hợp tổng quát
Nội dung của chương này là các kết quả của T.M. Tuyen về một phương pháp
chiếu lai ghép và hai phương pháp chiếu thu hẹp cho bài toán tìm nghiệm của hệ
bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát trong không gian Banach phản xạ. Ngoài
ra, một số hệ quả của các định lý chính cho một số bài toán liên quan cũng được
giới thiệu.


3

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này bao bồm hai mục. Mục 1.1 trình bày về một số tính chất cơ bản
của không gian phản xạ. Mục 1.2 giới thiệu về khoảng cách Bregman, phép chiếu
Bregman và toán tử Bregman không giãn mạnh. Nội dung của chương này được
tham khảo trong các tài liệu [1, 13, 16, 19, 22].

1.1

Không gian Banach phản xạ

Trước hết, trong mục này chúng tôi nhắc lại khái niệm không gian Banach
phản xạ.
Định nghĩa 1.1.1. Một không gian Banach X được gọi là không gian phản xạ,
nếu với mọi phần tử x∗∗ của không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ của X, đều tồn tại

phần tử x thuộc X sao cho
x, x∗ = x∗ , x∗∗ với mọi x∗ ∈ X ∗ .
Chú ý 1.1.2. Trong luận văn, chúng tôi sử dụng ký hiệu x∗ , x để chỉ giá trị
của phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X.
Mệnh đề 1.1.3. [1] Cho X là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định
sau là tương đương:
i) X là không gian phản xạ.
ii) Mọi dãy bị chặn trong X, đều có một dãy con hội tụ yếu.
Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tập đóng và tập đóng yếu trong
không gian tuyến tính định chuẩn.
Mệnh đề 1.1.4. Nếu C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian không
gian tuyến tính định chuẩn X, thì C là tập đóng yếu.


4

Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại dãy {xn } ⊂ C sao
cho xn
x, nhưng x ∈
/ C. Theo định lý tách các tập lồi, tồn tại x∗ ∈ X ∗ tách
ngặt x và C, tức là tồn tại ε > 0 sao cho
y, x∗ ≤ x, x∗ − ε,
với mọi y ∈ C. Đặc biệt, ta có
xn , x∗ ≤ x, x∗ − ε,
với mọi n ≥ 1. Ngoài ra, vì xn
x, nên xn , x∗ → x, x∗ . Do đó, trong bất
đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận được
x, x∗ ≤ x, x∗ − ε,
điều này là vô lý. Do đó, điều giả sử là sai, hay C là tập đóng yếu.
Mệnh đề được chứng minh.

Chú ý 1.1.5. Nếu C là tập đóng yếu, thì hiển nhiên C là tập đóng.

1.2
1.2.1

Khoảng cách Bregman và ánh xạ Bregman không giãn
mạnh
Đạo hàm Gâteaux và đạo hàm Fréchet

Cho X là một không gian Banach và cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm
số. Ta ký hiệu miền hữu hiệu domf là tập {x ∈ X : f (x) < +∞}. Với mỗi x ∈
int domf và y ∈ X, ta ký hiệu f (x, y) là đạo hàm phải của f tại x theo hướng
y, tức là
f (x + ty) − f (x)
f (x, y) = lim
.
t↓0
t
Định nghĩa 1.2.1. Hàm f được gọi là khả vi Gâteaux tại x nếu giới hạn
limt→0 (f (x + ty) − f (x))/t tồn tại với mọi y. Trong trường hợp này f (x, y)
trùng với ( f )(x), giá trị của gradient f của f tại x.
Định nghĩa 1.2.2. Hàm f được gọi là khả vi Fréchet tại x nếu giới hạn trên
tồn tại đều trên tập {y ∈ X : y = 1}. Hàm f được gọi là khả vi Fréchet đều
trên tập con C của X nếu giới hạn trên tồn tại đều với mọi x ∈ C và y = 1.
Chú ý 1.2.3.
i) Nếu hàm f khả vi Gâteaux (Fréchet) trên X, thì toán tử
gradient f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X.


5

ii) Ta biết rằng nếu f là khả vi Gâteaux (khả vi Fréchet) trên int domf , thì f
liên tục và đạo hàm Gâteaux f của nó là liên tục từ tôpô mạnh vào tôpô
yếu* trên int domf (xem [6]).
iii) Nếu f khả vi Fréchet đều trên X, thì tồn tại số M sao cho
với mọi x ∈ X.
Dưới đây một tính chất đơn giản của hàm khả vi Fréchet đều.

f (x) ≤ M ,

Mệnh đề 1.2.4 (xem [2], Định lý 1.8). Nếu f : X −→ R khả vi Fréchet đều,
thì f liên tục đều trên X.
Chứng minh. Lấy bất kỳ u, v ∈ X. Xét hàm số h(t) = f [u + t(v − u)] với mọi
t ∈ [0, 1]. Khi đó, ta có
h(t + τ ) − h(t)
f ([u + (t + τ )(v − u)]) − f [u + t(v − u)]
=
.
τ
τ
Vì f khả vi Fréchet đều trên X, nên khi cho τ → 0, ta nhận được
f (u + t(v − u))(v − u).

h (t) =

Theo định lý Lagrange, tồn tại θ ∈ (0, 1) sao cho
h(1) − h(0) = h (θ).
Suy ra
|f (u) − f (v)| = |h(1) − h(0)|
=|

f (u + θ(v − u))(v − u)|

≤

f (u + θ(v − u)) u − v .

Từ Chú ý 1.2.3 iii), suy ra tồn tại M sao cho
f (x) ≤ M , với mọi x ∈ X.
Do đó, ta nhận được
|f (u) − f (v)| ≤ M u − v .
Vậy f liên tục đều trên X.
1.2.2

Hàm lồi và khoảng cách Bregman

Định nghĩa 1.2.5. Cho D ⊂ X, f : D → R ∪ {±∞}.
i) Hàm f được gọi là chính thường nếu dom f = ∅ và f (x) > −∞(∀x ∈ D),
trong đó
dom f = {x ∈ D : f (x) < ∞}.


6

ii) Hàm f được gọi là hàm lồi trên D nếu epi f là tập lồi trong E × R, trong
đó
epi f = {(x, r) ∈ D × R : f (x) ≤ r}.
iii) Hàm f : D ⊂ X → R được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm x ∈ D nếu với
mỗi ε > 0 có một δ > 0 sao cho f (x) − ε ≤ f (x) với mọi x ∈ D, x − x < δ.
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên D nếu f nửa liên tục dưới tại mọi

điểm x ∈ D.
Ví dụ 1.2.6. Mọi hàm affine T : Rn −→ R đều là hàm lồi.
Dưới đây là ví dụ về hàm nửa liên tục dưới.
Ví dụ 1.2.7. Cho f : R −→ R là hàm số được xác định bởi
f (x) =

x2

khi x = 0

−1 khi x = 0.

Khi đó, hàm f là hàm nửa liên tục dưới tại điểm x = 0, nhưng không liên tục
tại x = 0.
Thật vậy, dễ thấy f không liên tục tại x = 0. Với mọi ε > 0 và với mọi δ > 0
(trong trường hợp này có thể chọn δ là số dương bất kỳ) ta có
f (0) − ε = −1 − ε < −1 ≤ f (x),
với mọi x. Do đó, f là nửa liên tục dưới tại 0.
Mệnh đề 1.2.8. Hàm f : X −→ (−∞, +∞] là lồi khi và chỉ khi
f [tx + (1 − t)y] ≤ tf (x) + (1 − t)f (y)

(1.1)

với mọi x, y ∈ X và mọi t ∈ [0, 1].
Chứng minh. Giả sử f là hàm lồi trên X. Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức
(1.1) đúng với mọi t ∈ (0, 1). Nếu x hoặc y không thuộc dom f , thì hiển nhiên
bất đẳng thức (1.1) đúng. Giả sử x, y ∈ dom f . Khi đó ta có (x, f (x)) ∈ epi f và
(y, f (y)) ∈ epi f . Vì epi f là tập lồi, nên tx, f (x)) + (1 − t)(y, f (y)) ∈ epi f với
mọi t ∈ (0, 1), tức là (tx + (1 − t)y, tf (x) + (1 − t)f (y) ∈ epi f với mọi t ∈ (0, 1).
Suy ra

f [tx + (1 − t)y] ≤ tf (x) + (1 − t)f (y).


7

Ngược lại giả sử bất đẳng thức (1.1) đúng với mọi t ∈ (0, 1). Ta sẽ chỉ ra
epi(f ) là tập lồi. Thật vậy, giả sử (x, s) ∈ epi f và (y, r) ∈ epi f , tức là f (x) ≤ s
và f (y) ≤ r. Khi đó, từ bất đẳng thức (1.1), ta có
f [tx + (1 − t)y] ≤ tf (x) + (1 − t)f (y) ≤ ts + (1 − t)r,
với mọi t ∈ [0, 1]. Suy ra t(x, r) + (1 − t)(y, r) ∈ epi f với mọi t ∈ [0, 1]. Suy ra
epi f là tập lồi và do đó f là hàm lồi.
Mệnh đề 1.2.9. Nếu f là một hàm lồi và x ∈ dom f , thì các khẳng định sau là
đúng:
i) Hàm ϕf (y, x; ·) : R \ {0} −→ (−∞, +∞] xác định bởi
ϕf (y, x; t) =

f (x + ty) − f (x)
t

là hàm không giảm trên mỗi khoảng (0, +∞) và (−∞, 0).
ii) Với mọi y ∈ X, giới hạn f (x, y) = limt↓0 ϕf (y, x; t) là tồn tại và
f (x, y) ≤ f (x + y) − f (x).
Chứng minh. i) Nếu 0 < t < s < +∞, thì từ Mệnh đề 1.2.8, ta có
s−t
t
(x + sy) +
x
s
s
t

s−t
≤ f (x + sy) +
f (x)
s
s
f (x + sy) − f (x)
= f (x) + t
,
s

f (x + ty) = f

điều này suy ra ϕf (y, x; t) ≤ ϕf (y, x; s). Do đó ϕf (y, x; ·) là hàm không giảm
trên (0, +∞). Tương tự, ta cũng nhận được ϕf (y, x; ·) là hàm không giảm trên
(−∞, 0).
ii) Theo i) giới hạn f (x, y) = limt↓0 ϕf (y, x; t) tồn tại và f (x, y) ≤ ϕf (y, x; 1),
tức là
f (x, y) ≤ f (x + y) − f (x).

Mệnh đề 1.2.10. Cho D ⊂ E là một tập lồi, f : D → R ∪ {±∞} là một hàm
lồi trên D. Khi đó, ta có các khẳng định dưới đây:


8

i) Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên D đều là điểm cực tiểu toàn cục
của f trên D.
ii) Nếu f là hàm lồi chặt trên D, thì điểm cực tiểu của f nếu có là duy nhất.
Chứng minh. i) Giả sử x0 ∈ D là một điểm cực tiểu địa phương của f , nhưng x0
không là điểm cực tiểu toàn cục. Khi đó, tồn tại x1 ∈ D sao cho f (x1 ) < f (x0 ).

Vì x0 ∈ D là một điểm cực tiểu địa phương của f , nên tồn tại một lân cận U
của x0 sao cho
f (x0 ) ≤ f (x),
với mọi x ∈ D ∩ U . Với t ∈ (0, 1) đủ nhỏ, ta có xt = x0 + t(x1 − x0 ) ∈ D ∩ U , do
đó ta nhận được
f (x0 ) ≤ f (xt ) = f [tx1 + (1 − t)x0 ] ≤ tf (x1 ) + (1 − t)f (x0 ).
Suy ra f (x0 ) ≤ f (x1 ), mâu thuẫn với f (x1 ) < f (x0 ). Vậy x0 là một điểm cực
tiểu của f trên D.
ii) Giả sử x1 và x2 là các điểm cực tiểu của f trên D với x1 = x2 . Khi đó
f (x1 ) = f (x2 ) = m = min f (x).
x∈D

Từ tính lồi chặt của f suy ra
f(

x1 + x2
1
) < (f (x1 ) + f (x2 )) = m,
2
2

mâu thuẫn với m = minx∈D f (x). Vậy điểm cực tiểu của f nếu có là duy nhất.
Định nghĩa 1.2.11. Cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi, chính thường
và nửa liên tục dưới. Cho x ∈ int domf , dưới vi phân của f tại x được xác định
bởi
∂f (x) = {x∗ ∈ E ∗ : f (x) + x∗ , y − x ≤ f (y) ∀y ∈ X}.
Ví dụ 1.2.12. Cho f : R −→ R xác định bởi f (x) = |x − a| với a ∈ R và mọi
x ∈ R. Khi đó, ta có




1, nếu x > a,
∂f (x) = −1, nếu x < a,


[−1, 1], nếu x = a.
Tổng quát hơn, ta có ví dụ dưới đây.


9
n

Ví dụ 1.2.13. Cho f : Rn −→ R xác định bởi f (x) = | i=1 xi |, với mọi
x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn . Khi đó, ta có

n


i=1 xi > 0,
(1, 1, . . . , 1), nếu
n
∂f (x) = {(a, a, . . . , a) : a ∈ [−1, 1]}, nếu
i=1 xi = 0,


n
(−1, −1, . . . , −1), nếu
x < 0.
i=1

i

Thật vậy, ta có

n
n


i=1 xi > 0,
 i=1 xi nếu
n
f (x) = − ni=1 xi nếu
i=1 xi < 0,


n
0 nếu
i=1 xi = 0.
Suy ra

n


i=1 xi > 0,
{(1, 1, . . . , 1)} nếu
n
∂f (x) = {(−1, −1, . . . , −1)} nếu
i=1 xi < 0,



n
cov({(1, 1, . . . , 1), (−1, −1, . . . , −1)}) nếu
i=1 xi = 0

n


i=1 xi > 0,
{(1, 1, . . . , 1)} nếu
n
= {(−1, −1, . . . , −1)} nếu
i=1 xi < 0,


{t(1, 1, . . . , 1) + (1 − t)(−1, −1, . . . , −1) : t ∈ [0, 1]} nếu

n


i=1 xi > 0,
{(1, 1, . . . , 1)} nếu
n
= {(−1, −1, . . . , −1)} nếu
i=1 xi < 0,


n
{(2t − 1, 2t − 1, . . . , 2t − 1) : t ∈ [0, 1]} nếu
i=1 xi = 0


n


i=1 xi > 0,
{(1, 1, . . . , 1)} nếu
=

n
i=1 xi

=0

n

{(−1, −1, . . . , −1)} nếu
i=1 xi < 0,


n
{(a, a, . . . , a) : a ∈ [−1, 1]} nếu
i=1 xi = 0.

Định nghĩa 1.2.14. Hàm liên hợp của f là f ∗ : X ∗ −→ (−∞, +∞] và được
xác định bởi
f ∗ (x∗ ) = sup { x∗ , x − f (x)}.
x∈X

Ví dụ 1.2.15. Cho f : R −→ R xác định bởi f (x) = ex với mọi x ∈ R. Khi đó,
ta có


∗
∗
∗


x (ln x − 1), nếu x > 0,
f ∗ (x∗ ) =

0, nếu x∗ = 0,


+∞, nếu x∗ < 0.


10

Thật vậy, ta có
f ∗ (x∗ ) = sup{x∗ x − ex }
x∈R

với mọi x∗ ∈ R.
Nếu x∗ = 0, thì f ∗ (x∗ ) = supx∈R {−ex } = 0.
Nếu x∗ < 0, vì x∗ x − ex → +∞ khi x → −∞, nên ta có f ∗ (x∗ ) = +∞.
Nếu x∗ > 0, đặt g(x) = x∗ x − ex . Khi đó, ta có g (x) = x∗ − ex = 0 khi và chỉ
khi x = ln x∗ . Dễ thấy hàm g đạt cực đại tại x = ln x. Do đó ta nhận được
f ∗ (x∗ ) = g(ln x∗ ) = x∗ (ln x∗ − 1).
Định nghĩa 1.2.16. Cho E là một không gian Banach phản xạ, một hàm
f : X −→ (−∞, +∞] được gọi là hàm Legendre nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn
hai điều kiện sau:
L1 ) Phần trong int domf của miền hữu hiệu của f khác rỗng, f khả vi Gâteaux

trên int domf và dom f = int domf ;
L2 ) Phần trong int domf ∗ của miễn hữu hiệu của f ∗ khác rỗng, f ∗ khả vi
Gâteaux trên int domf ∗ và dom f ∗ = int domf ∗ .
Vì E là phản xạ, nên (∂f )−1 = ∂f ∗ (xem [6]). Do đó, từ các điều kiện L1 ) và
L2 ), ta có các đẳng thức sau:
f = ( f ∗ )−1 , ran

f = dom

f ∗ = int domf ∗

và
ran

f ∗ = dom

f = int domf,

trong đó ran f là miền ảnh của f .
Khi dưới vi phân của f là đơn trị, thì nó đồng nhất với f (xem [9]). Bauschke
và cộng sự (xem [4]) các điều kiện L1 ) và L2 ) cũng suy ra rằng các hàm f và f ∗
là lồi chặt trên phần trong của miền hữu hiệu tương ứng. Nếu X là một không
1
gian Banach trơn và lồi chặt, thì f (x) = x p , 1 < p < +∞ là hàm Legendre.
p
Từ đây, ta luôn giả thiết rằng X là không gian Banach phản xạ.
Mệnh đề 1.2.17 (xem [15], Mệnh đề 2.1). Nếu f : X −→ R là hàm lồi, khả vi
Fréchet đều và bị chặn trên mỗi tập con bị chặn của X, thì f liên tục đều trên
mỗi tập con bị chặn của X từ tôpô mạnh của X vào tôpô mạnh của X ∗ .

11

Chứng minh. Giả sử kết luận của mệnh đề là sai, khi đó tồn tại hai dãy bị chặn
{xn }, {yn } và số dương ε sao cho xn − yn → 0, nhưng
f (xn ) −

f (yn ), wn ≥ 2ε,

trong đó {wn } là một dãy trong X thỏa mãn wn = 1 với mọi n. Vì f khả vi
Fréchet đều nên tồn tại một hằng số dương δ sao cho
f (yn + twn ) − f (yn ) − t

f (yn ), wn ≤ εt,

với mọi t ∈ (0, δ). Từ tính lồi của hàm f , ta cũng có
f (xn ), (yn + twn ) − xn ≤ f (yn + twn ) − f (xn ),
với mọi n ≥ 1.
Cũng từ tính lồi của hàm f , ta có
t

f (xn ), wn ≤ f (yn + twn ) − f (yn )
≤ f (yn + twn ) − f (yn ) +

f (xn ), xn − yn + f (yn ) − f (xn )

Do đó, ta nhận được
2εt ≤ t

f (xn ) −

f (yn ), wn

≤ [f (yn + twn ) − f (yn ) − t
+
≤ εt +

f (yn ), wn ]

f (xn ), xn − yn + f (yn ) − f (xn )
f (xn ), xn − yn + f (yn ) − f (xn ).

Vì f là bị chặn trên các tập con bị chặn của X nên
f (xn ), xn − yn → 0.
Ngoài ra, theo giả thiết f liên tục đều trên các tập con bị chặn của X, nên
f (yn ) − f (xn ) → 0. Do đó, trong bất đẳng thức trên, khi cho n → +∞, ta nhận
được 2εt ≤ εt, điều này là vô lý. Vậy f liên tục đều trên các tập con bị chặn
của X.
Cuối cùng, trong mục này ta đề cập đến khái niệm khoảng cách Bregman.
Cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi khả vi Gâteaux. Hàm Df :
domf × int domf −→ [0, +∞) xác định bởi
Df (y, x) = f (y) − f (x) −

f (x), y − x ,

được gọi là khoảng cách Bregman tương ứng với f (xem [2]).

(1.2)

12

Nhận xét 1.2.18.
i) Khoảng cách Bregman không là khoảng cách theo nghĩa
thông thường, vì nó không có tính đối xứng.
ii) Với mỗi x cố định, dễ thấy Df (·, x) là hàm lồi chặt và
f (y) −

Df (·, x)(y) =

f (x).

iii) Khoảng cách Bregman có hai tính chất quan trọng, đó là đẳng thức ba
điểm: với bất kỳ x ∈ dom f và y, z ∈ int dom f ,
Df (x, y) + Df (y, z) − Df (x, z) =

f (z) −

f (y), x − y ,

(1.3)

và đẳng thức bốn điểm: với bất kỳ y, ω ∈ dom f và x, z ∈ int dom f ,
Df (y, x) − Df (y, z) − Df (ω, x)
f (z) −

+ Df (ω, z) =

f (x), y − ω .

(1.4)

Thật vậy, với mọi x, y, z ∈ X, ta có
Df (x, y) + Df (y, z) − Df (x, z) = f (x) − f (y) −

f (y), x − y

+ f (y) − f (z) −

f (z), y − z

− [f (x) − f (z) −
=

f (z) −

f (z), x − z ]

f (y), x − y ,

suy ra đẳng thức ba điểm được chứng minh.
Bây giờ với mọi x, y, z, w ∈ X, ta có
Df (y, x) − Df (y, z) − Df (ω, x) + Df (ω, z) = f (y) − f (x) −

f (x), y − x

− [f (y) − f (z) −

f (z), y − z ]

− [f (w) − f (x) −

f (x), w − x ]

+ f (w) − f (z) −
=

f (z) −

f (z), w − z

f (x), y − ω ,

suy ra đẳng thức bốn điểm được chứng minh.
1.2.3

Hàm lồi hoàn toàn

Cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi và khả vi Gâteaux. Khi đó, f được
gọi là:


13

a) lồi hoàn toàn tại x ∈ int domf nếu modul của tính lồi hoàn toàn của nó
tại x, vf : int domf × [0, +∞) −→ [0, +∞) xác định bởi
vf (x, t) = inf{Df (y, x) : y ∈ domf, y − x = t},
là dương với mọi t > 0;
b) lồi hoàn toàn nếu nó là lồi hoàn toàn tại mọi x ∈ int domf ;
c) lồi hoàn toàn trên các tập con bị chặn nếu vf (B, t) là dương với mọi tập

con bị chặn B của X và t > 0, trong đó modul của tính lồi hoàn toàn của
hàm f trên tập B là hàm vf : int dom f × [0, +∞) −→ [0, +∞) xác định
bởi
vf (B, t) = inf{vf (x, t) : x ∈ B ∩ int domf }.
Tính chất của modul lồi của hàm lồi f được giới thiệu trong mệnh đề dưới
đây.
Mệnh đề 1.2.19 (xem [2], Mệnh đề 1.1.8). Cho f là một hàm lồi, chính thường,
nửa liên tục dưới. Nếu x ∈ int dom f thì ta có các khẳng định dưới đây:
i) Miền hữu hiệu của vf (x, ·) là một khoảng có dạng [0, τf (x)) hoặc [0, τf (x)]
với τf (x) ∈ [0, +∞);
ii) Nếu c ∈ [1, +∞) và t ≥ 0, thì vf (x, ct) ≥ cvf (x, t);
iii) Hàm vf (x, ·) là cộng tính trên, tức là với mọi s, t ∈ [0, +∞) thì ta có
vf (x, s + t) ≥ vf (x, s) + vf (x, t);
iv) Hàm vf (x, ·) là đơn điệu tăng và nó là đơn điệu tăng ngặt nếu và chỉ nếu
f là hàm lồi hoàn toàn tại x.
Chứng minh. i) Giả sử x ∈ int dom f và vf (x, t) < +∞. Khi đó, từ định nghĩa
của vf (x, t) tồn tại yt ∈ dom f sao cho yt − x = t. Vì dom f là tập lồi nên
đoạn nối x và yt , ký hiệu là [x, yt ] nằm hoàn toàn trong dom f . Suy ra với mọi
s ∈ [0, t] tồn tại ys ∈ dom f sao cho ys − x = s. Như vậy khoảng (0, t) chứa
trong miền xác định của vf (x, ·) khi mà vf (x, t) < +∞. Điều này chỉ ra rằng
miền xác định của vf (x, ·) là một khoảng có dạng [0, τf (x)) hoặc [0, τf (x)].
ii) Nếu c = 1 hoặc nếu t = 0 hoặc nếu vf (x, ct) = +∞ thì kết luận của mệnh đề
là hiển nhiên. Trong các trường hợp khác, cho ε là một số thực dương. Từ định
nghĩa của vf (x, ct), tồn tại u ∈ dom f sao cho u − x = ct và
vf (x, ct) + ε > Df (u, x) = f (u) − f (x) −

f (x), u − x .

(1.5)

14

Với mọi α ∈ (0, 1), ký hiệu uα = αu + (1 − α)x. Đặt β = c−1 và khi đó ta có
uβ − x = β u − x = t.
Với mọi α ∈ (0, 1), ta có
α
α
α
α
uβ + (1 − )x = [βu + (1 − β)x] + (1 − )x = uα .
β
β
β
β
Từ Mệnh đề 1.2.9 và (1.5), ta nhận được
vf (x, ct) + ε > f (u) − f (x) −

f (x + α(u − x)) − f (x)
,
α

với mọi α ∈ (0, 1). Từ (1.6), ta nhận được
αf (u) + (1 − α)f (x) − f (x + α(u − x))
α
α
α
αf (u) + (1 − α)f (x) − f (uβ ) − (1 − )f (x)
β
β

=
α
α
α
f (uβ ) + (1 − )f (x) − f (uα )
β
β
+
α
βf (u) + (1 − β)f (x) − f (uβ )
=
β
α
α
α
α
f (uβ ) + (1 − )f (x) − f ( uβ + (1 − )x)
β
β
β
β
+
.
α

vf (x, ct) + ε >

Vì βf (u) + (1 − β)f (x) − f (uβ ) ≥ 0 (xem Mệnh đề 1.2.8), nên ta có
α
α

α
α
f (uβ ) + (1 − )f (x) − f ( uβ + (1 − )x)
β
β
β
β
vf (x, ct) + ε >
α
α
f (x + (uβ − x)) − f (x)
1
β
=
f (uβ ) − f (x) −
.
α
β
β
Cho α

0, từ định nghĩa của hàm vf (x, ·), ta nhận được
vf (x, ct) + ε > cDf (uβ , x) ≥ cvf (x, t).

Vì ε là số dương tùy ý nên ta nhận được vf (x, ct) ≥ cvf (x, t).
iii) Cho s và t là các số thực dương. Khi đó, từ ii) ta có
vf (x, s + t) = vf (x,

s+t
s+t

s) ≥
vf (x, s)
s
s

(1.6)


15

và
vf (x, s + t) = vf (x,

s+t
s+t
t) ≥
vf (x, t).
t
t

Suy ra
svf (x, s + t) ≥ (s + t)vf (x, s)
và
tvf (x, s + t) ≥ (s + t)vf (x, t).
Cộng hai bất đẳng thức trên, ta nhận được
(s + t)vf (x, s + t) ≥ (s + t)(vf (x, s) + vf (x, t)).
Do đó, vf (x, s + t ≥ vf (x, s) + vf (x, t).
iv) Giả sử 0 < s < t. Khi đó, từ ii) ta có
t
t

vf (x, t) = vf (x, s) ≥ vf (x, s) ≥ vf (x, s).
s
s

(1.7)

Do đó vf (x, ·) là hàm không giảm.
Giả sử f là hàm lồi hoàn toàn, khi đó vf (x, s) > 0. Do đó bất đẳng thức cuối
trong (1.7) là chặt, vì s < t. Suy ra vf (x, ·) là hàm tăng ngặt. Ngược lại nếu
vf (x, ·) là hàm tăng ngặt thì hiển nhiên f là hàm lồi hoàn toàn.
Tiếp theo, luận văn đề cập đến một số tính chất quan trọng dưới đây.
Mệnh đề 1.2.20 (xem [16], Bổ đề 3.1). Cho f : X −→ R là một hàm khả vi
Gâteaux và lồi hoàn toàn. Nếu x0 ∈ X và dãy {Df (xn , x0 )} bị chặn, thì dãy {xn }
cũng bị chặn.
Chứng minh. Vì dãy {Df (xn , x0 )} bị chặn nên tồn tại số M > 0 sao cho
Df (xn , x0 ) ≤ M với mọi n ≥ 1. Từ định nghĩa của modul của tính lồi hoàn
toàn vf (x, t) ta có
vf (x0 , xn − x0 ) ≤ Df (xn , x0 ) ≤ M.

(1.8)

Suy ra dãy {vf (x0 , xn − x0 )} cũng bị chặn bởi M . Vì f là hàm lồi hoàn toàn
nên theo Mệnh đề 1.2.19 iv) vf (x, ·) là hàm tăng ngặt và dương trên (0, +∞).
Suy ra vf (x, 1) > 0 với mọi x ∈ X.
Bây giờ, giả sử ngược lại rằng dãy {xn } không bị chặn. Khi đó, tồn tại một dãy
con {xnk } ⊂ {xn } sao cho limk→+∞ xnk = +∞. Do đó limk→+∞ xnk − x0 =
+∞. Từ Mệnh đề 1.2.19 ii), ta có
vf (x0 , xnk − x0 ) ≥ xnk − x0 vf (x, 1) → +∞,

16

suy ra dãy {vf (x0 , xnk − x0 )} không bị chặn, mâu thuẫn với (1.8). Vậy dãy
{xn } bị chặn.
Mệnh đề 1.2.21 (xem [18], Mệnh đề 2.2). Nếu x ∈ domf , thì các khẳng định
dưới đây là tương đương:
i) Hàm f là lồi hoàn toàn tại x;
ii) Với bất kỳ dãy {yn } ⊂ domf,
lim Df (yn , x) = 0,

n→+∞

ta đều có limn→+∞ yn − x = 0.
Ví dụ 1.2.22. a) Từ Mệnh đề 1.2.21, dễ thấy hàm f (x) = x2 với x ∈ R là
hàm lồi hoàn toàn trên R. Thật vậy, với mỗi x ∈ R, giả sử {yn } là một dãy
số thực thỏa mãn Df (yn , x) → 0, tức là
yn2 − x2 − 2x(yn − x) → 0.
Điều này tương đương với (yn − x)2 → 0. Suy ra |yn − x| → 0. Do đó f là
hàm lồi hoàn toàn.
b) Hàm g(x) = c với c là hằng số bất kỳ, không là hàm lồi hoàn toàn trên R.
Nhắc lại rằng, một hàm f được gọi là ổn định dãy trên C (xem [8]) nếu
inf x∈E vf (x, t) > 0 với mọi tập con bị chặn E của C và mọi số thực dương t.
Nhận xét 1.2.23. Hàm f là lồi hoàn toàn trên mỗi tập con bị chặn C ⊂ X nếu
và chỉ nếu nó ổn định dãy trên C.
Mệnh đề 1.2.24 (xem [8], Bổ đề 2.1.2). Hàm f : X −→ (−∞, +∞] là một
hàm lồi và C ⊂ int dom f . Khi đó các khẳng định sau là tương đương.
i) f là ổn định dãy trên C;
ii) Với mọi dãy {xn } và {yn } trong C với {xn } là dãy bị chặn thỏa mãn
limn→+∞ Df (yn , xn ) = 0 thì limn→+∞ xn − yn = 0.
Chứng minh. i)⇒ii) Giả sử f là ổn định dãy trên C, nhưng tồn tại hai dãy {xn }

và {yn } trong C với {xn } là dãy bị chặn thỏa mãn limn→+∞ Df (yn , xn ) = 0
nhưng xn − yn
0. Khi đó, tồn tại số dương α và các dãy con {xnk } ⊂ {xn }


17

và {ynk } ⊂ {yn } thỏa mãn xnk − ynk ≥ α với mọi k ≥ 1. Đặt E = {xn }, khi
đó E là tập bị chặn. Do đó
Df (ynk , xnk ) ≥ vf (xnk , xnk − ynk ) ≥ vf (xnk , , α) ≥ inf vf (x, α),
x∈E

suy ra inf x∈E vf (x, α) = 0, điều này mâu thuẫn với f là hàm lồi hoàn toàn (Nhận
xét 1.2.23).
ii)⇒i) Giả sử ngược lại rằng tồn tại một tập bị chặn E ⊂ C sao cho
inf x∈E vf (x, t) = 0 với t là một số thực dương nào đó. Theo tính chất của cận
dưới đúng, tồn tại dãy {xn } ⊂ E sao cho
1
> vf (xn , t) = inf{Df (y, xn ) :
n

y − xn = t}.

Suy ra tồn tại dãy {yn } ⊂ E sao cho yn − xn = t và Df (yn , xn ) < 1/n với mọi
n ≥ 1. Do đó limn→+∞ Df (yn , xn ) = 0. Từ tính bị chặn của dãy {xn } và giả thiết
ta nhận được
0 < t = lim xn − yn = 0,
n→+∞

đây là điều vô lý. Vậy inf x∈E vf (x, t) > 0 với mọi tập con bị chặn E trong C và

mọi số thực dương t, hay f là ổn định dãy trên C.
1.2.4

Phép chiếu Bregman

Cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi và khả vi Gâteaux. Phép chiếu
Bregman của x ∈ int domf lên tập con lồi, đóng và khác rỗng C ⊂ domf là
véctơ duy nhất projfC (x) ∈ C thỏa mãn
Df (projfC (x), x) = inf{Df (y, x) : y ∈ C}.

(1.9)

Mệnh đề 1.2.25. Toán tử chiếu projfC : int dom f −→ C được cho bởi (1.9) là
hoàn toàn xác định.
Chứng minh. Lấy x ∈ int dom f . Đặt
α = inf{Df (y, x) : y ∈ C}.
Khi đó, tồn tại dãy {yn } ⊂ C sao cho Df (yn , x) → α khi n → +∞. Suy ra dãy
{Df (yn , x)} bị chặn trên bởi số thực β nào đó. Từ đó, ta có
vf (x, yn − x ) ≤ Df (yn , x) ≤ β.

(1.10)


18

Ta chỉ ra dãy {yn } bị chặn. Giả sử ngược lại rằng dãy {yn } không bị chặn.
Khi đó, tồn tại n0 sao cho yn − x ≥ 1 với mọi n ≥ n0 . Khi đó, từ Mệnh đề
1.2.19 ii), suy ra
vf (x, 1) yn − x ≤ vf (x, yn − x ),
điều này mâu thuẫn với tính bị chặn của {vf (x, yn − x )} (xem (1.10)). Theo

Mệnh đề 1.1.3, tồn tại dãy con {ynk } của dãy {yn } sao cho ynk
y ∗ . Vì C là
tập lồi, đóng nên C là tập đóng yếu (xem Mệnh đề 1.1.4) và do đó y ∗ ∈ C. Hàm
Df (·, x) là nửa liên tục dưới và lồi, do đó nó là nửa liên tục dưới trên int dom f .
Vì vậy, ta có
Df (y ∗ , x) ≤ lim inf Df (ynk , x) = α ≤ Df (y ∗ , x),
k→+∞

suy ra Df (y ∗ , x) = α, tức là tồn tại ít nhất một phần tử y ∗ ∈ C sao cho
α = Df (y ∗ , x). Vì Df (·, x) là hàm lồi chặt nên theo Mệnh đề 1.2.10, suy ra tính
duy nhất của y ∗ . Vậy phép chiếu Bregman projfC : int dom f −→ C là hoàn toàn
xác định.
Nhận xét 1.2.26.
i) Nếu X là một không gian Banach trơn và lồi chặt và
f (x) = x 2 với mọi x ∈ X, thì f (x) = 2Jx với mọi x ∈ X, trong đó
∗
J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X vào 2X , và do đó Df (x, y) trở thành
φ(x, y) = x 2 − 2 x, Jy + y 2 , với mọi x, y ∈ E, đây là hàm Lyapunov
được xây dựng bởi Albert trong [3] và phép chiếu Bregman projfC (x) trở
thành phép chiếu tổng quát ΠC (x) được xác định bởi
φ(ΠC (x), x) = min φ(y, x).
y∈C

ii) Nếu X = H là một không gian Hilbert, thì J là ánh xạ đồng nhất và do đó
phép chiếu Bregman projfC (x) trở thành phép chiếu mêtric từ H lên C.
Tính chất đặc trưng của phép chiếu Bregman được cho bởi mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.2.27 (xem [9], Hệ quả 4.4). Giả sử f khả vi Gâteaux và lồi hoàn
toàn trên int domf . Cho x ∈ int domf và cho C ⊂ int domf là một tập khác
rỗng, lồi và đóng. Nếu x ∈ C, thì các khẳng định dưới đây là tương đương:
i) x = projfC (x);

ii) x là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
f (x) −

f (x), z − x ≥ 0 ∀z ∈ C;


19

iii) x là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức
Df (z, x) + Df (x, x) ≤ Df (z, x) ∀z ∈ C.
Chứng minh. i)⇒ii) Giả sử x = projfC (x). Lấy bất kỳ z ∈ C, ta có zt = x + t(z −
x) ∈ C với mọi t ∈ (0, 1], vì C là tập lồi. Khi đó, ta có
Df (x, x) ≤ Df (zt , x),
với mọi t ∈ (0, 1]. Từ tính lồi và tính khả vi của Df (·, x), ta có
0 ≥ Df (x, x) − Df (zt , x)
Df (·, x)(zt ), −t(z − x)

=
= −t

f (zt ) −

f (x), z − x .

Theo Chú ý 1.2.3, f của nó là liên tục từ tôpô mạnh vào tôpô yếu* trên
int dom f , nên khi cho t → 0+ trong bất đẳng thức trên, ta nhận được
f (x) −

f (x), z − x ≥ 0,

với mọi z ∈ C.
ii)⇒iii) Ta có
Df (z, x) + Df (x, x) ≤ Df (z, x)
⇔f (z) − f (x) −
≤ f (z) − f (x)
⇔

f (x) −

f (x), z − x + f (x) − f (x) −

f (x), x − x

f (x), z − x

f (x), z − x ≥ 0.

Do đó, ta nhận được kết luận trong iii).
iii)⇒i) Vì Df (z, x) ≥ 0 với mọi z ∈ C, nên ta nhận được
Df (x, x) ≤ Df (z, x).
Suy ra x = projfC x.
Mệnh đề 1.2.28 (xem [16], Bổ đề 3.2). Cho f : X −→ R là một hàm khả
vi Gâteaux và lồi hoàn toàn, x0 ∈ X và cho C là một tập con lồi, đóng, khác
rỗng của X. Giả sử {xn } là dãy bị chặn và mọi giới hạn yếu của dãy {xn } đều
thuộc C. Nếu Df (xn , x0 ) ≤ Df (projfC (x0 ), x0 ) với mọi n, thì {xn } hội tụ mạnh
về projfC (x0 ).


20

1.2.5

Ánh xạ Bregman không giãn mạnh

Trong mục này luận văn đề cập đến khái niệm toán tử Bregman không giãn
mạnh (Bregman không giãn ổn định) trong không gian Banach phản xạ X.
Cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi khả vi Gâteaux. Cho C là một tập
con lồi của int domf và cho T là một ánh xạ từ C vào chính nó. Một điểm p thuộc
bao đóng của C được gọi là điểm bất động tiệm cận của T (xem [11], [14]) nếu C
chứa một dãy {xn } hội tụ yếu về một phần tử p sao cho limn→+∞ xn −T xn = 0.
Tập các điểm bất động tiệm cận của T được ký hiệu là Fˆ (T ). Toán tử T được
gọi là (tựa) Bregman không giãn mạnh (ký hiệu là BSNE) ứng với tập khác rỗng
Fˆ (T ) nếu
Df (p, T x) ≤ Df (p, x),
(1.11)
với mọi p ∈ Fˆ (T ) và x ∈ C, và nếu {xn } ⊂ C là bị chặn, p ∈ Fˆ (T ), và
lim (Df (p, xn ) − Df (p, T xn )) = 0,

(1.12)

lim Df (T xn , xn ) = 0.

(1.13)

n→+∞

ta nhận được
n→+∞

Một toán tử T : C −→ C được gọi là Bregman không giãn ổn định (ký hiệu là

BFNE) nếu
f (T x) −

f (T y), T x − T y ≤

f (x) −

f (y), T x − T y ,

(1.14)

với mọi x, y ∈ C. Rõ ràng rằng, từ định nghĩa của khoảng cách Bregman (1.2)
bất đẳng thức (1.14) tương đương với
Df (T x, T y) + Df (T y, T x) + Df (T x, x)
+ Df (T y, y) ≤ Df (T x, y) + Df (T y, x).

(1.15)

Trong tài liệu [17] (xem Bổ đề 1.3.2), Reich và cộng sự đã chứng minh rằng
mọi toán tử BFNE T đều thỏa mãn F (T ) = Fˆ (T ) khi hàm Legendre f là khả vi
Fréchet đều và bị chặn trên mỗi tập con bị chặn của X. Trong trường hợp này,
nếu T là toán tử BFNE, thì T là toán tử BSNE tương ứng với tập khác rỗng
F (T ) = Fˆ (T ).