Mô hình toán học trong bài toán ô nhiễm môi trường đề tài NCKH QG 05 03

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI
HỌC
KHOA HỌC
T ự• NHIÊN
*
•
•
i J*T
**4
'P fp *ií>
T**41;*4*ĩ** 'ĩ*
"ĩ*- 4'T*“

ĐE TAI
MO H IN H TOAN HỌC TRONG BAI TOAN
Ô NH IỄM MÔI TRƯỜNG

MÃ SỐ: QG 05-03

C h ủ tr ì : P G S.T S. N g u y ể n M in h T u ấn
Các cán bộ th a m gia
1.
2.
3.
4.

GS.TS. N guyễn H ữu Dư, ĐHKHTN, ĐHQG H à Nội.
TS. T rầ n V ăn T rản, ĐHKHTN, ĐHQG H à Nội.
TS. T rầ n V ăn Cúc, ĐHKHTN, ĐHQG H à Nội.
PGS.TS. Đ inh Nho Hào, Viện Toán học.

H À NỘI - 2007

2


BÁO CÁO T Ó M TẮT
T ên để tài: Mô hình toán học trong các bài toán về môi trường.
Mã số: QG 05-03.
Chủ trì: PGS.TS. Nguyễn M inh Tuấn.
Các cán bộ th a m gia:
1. GS.TS. Nguyễn Hữu Dư, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội.
2. TS. T rần Văn Trản, ĐHKHTN, ĐHQG Ha Nội.
3 TS. T rần Văn Cúc, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội'.
4. PGS.TS. Đinh Nho Hào, Viện Toán học.

Mục tiê u v à n ộ i dung:
Dồ tài nghiên cứu mô hình toán học trong một sô vấn dề liên quan dên môi
trường: Vấn đề truyền tải chất ô nhiễm trong không khí từ một số nguồn chất
thải gây ra, thường là các nhà máy, xí nghiệp. Đó là những vấn đề có tầm quan
trọng đặc biệt trong khi cả nước ta đang tập trung phát triến các ngành kinh tê
đa dạng, trong thời kỳ công nghiệp hóa và hiện đại hóa các ngành kinh tế.
Thực tế phát triển kinh tế ở Việt nam và các nước phát triển khác trong những
năm qua cho thấy, những lợi ích mà phát triến kinh tế đem lại thường cũng
phải trả giá bởi vấn đề về ô nhiễm môi trường, o nhiễm môi trường trong mỗi
quốc gia và ô nhiễm môi trường toàn cầu đã được đặt ra trong nhiều năm qua.
Nhiều tổ chức và các hội nghị quốc tê kêu gọi các nhà khoa học và các nhà công
nghiệp cùng chung sức giải quyết vấn đề nan giải nói trên. Đề tài tập trung
nghiên cứu về mặt lý thuyết một sô" mô hình toán học mô phỏng quá trình
truyền tải vật chất trong môi trường không khí và trong môi trường nước.

Những bài toán trên thường dẫn đến các bài toán ngược, phi tuyến, dặt không
chỉnh cho các phương trình khuếch tán. Do tính phức tạp của bài toán đặt ra,
các kêt quả nghiên cứu hiệu quả còn rất hạn chế, đặc biệt là phương pháp giải
sô' đê tìm nghiệm chính xác nhất có thể được. Bởi vậv, vấn đề đặt ra là xác định
tập hợp các dữ kiện bó sung để có thể khắng định tính chất duy nhất nghiệm.
Mặt khác, do các bài toán kể trên thường là không chỉnh (theo nghĩa nghiệm
nẽu tồn tại thì không phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện bài toán), nên việc tìm
ra các đánh giá ôn định là hết sức cầc thiết. Khi đã có được một đánh giá 011


định, việc tiếp theo là các phương pháp giải số một cách ổn định và hiệu quả
cho bài toán đặt ra.
Những kết quả chính:
1. Xây dựng một mô hình toán học mô tả quá trình truyền tải vật chất trong
môi trường khí, đề ximt một phương pháp tiếp cận đối vối bài toán này. Đó là
đưa phương phình đạo hàm riêng câ"p hai tuyến tính về một hệ phương trình
đạo vi-tích phân, hoặc dùng lý thuyết thẽ vị để dưa về phương trình với toán tử
khả nghịch phải.
2. Dựa theo ý tưởng của các nhà phương trình đạo hàm riêng là dùng phép
biến đôi Fourier, đề tài xây dựng một phương pháp cơ sở liên quan đến phép
biến đôi tích phân mới, tương tự như phép biến đổi Fourier. Phép biến đổi tích
phân này cũng cho phép giải một lốp các phương trình đạo hàm riêng cổ điển.
3. Giải sô" bài toán dòng chảy hai chiều với sô" liệu giả định, từ đó xác định mức
độ ô nhiễm môi trường khi có chất thải từ một nhà máy, xí nghiêp đang vận
hành.
4. Ngoài ra, đề tài cũng đạt được một kết quả liên quan đến bảo vệ môi trường
đất sau chiến tranh, vì thực tê ở nước ta còn sót lại một sô" lượng lớn các vật
liệu nổ dưới lòng đâ't.
Tình hình kinh phí
Tổng k in h phí: 60.000.000VNĐ, được chia làm hai năm: Năm 2005 được cấp

30.000.000VNĐ, năm 2006 được câp 30.000.000VNĐ.
KHOA QUẢN LÝ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
0

*

f

u

P33.TS ỵ ă M L J ỉ ũ Ẩ


1. Beside of the above mentioned, this subject obtain some results relating to
ie environmental protection after war in Vietnam, becauseof that there exist
mount of dynamite under land.
he results: Three reports in the international Conferences, two arcticles
ublished.

MỞ ĐẦU
»ề tài đề cập đến một sô" mô hình toán học trong các vấn đề về môi trường. Đó
I bài toán về truyền tải và khuếch tán vật chất trong môi trường khí khí có
guồn gây ô nhiễm. Những bài toán nói trên thường được chuyên về bài toán
gược, phương trình phi tuyến, thiết lập không đúng đắn cho các phương trình
huếch tán. Do tính phức tạp của bài toán, những kết quả đã biết còn hạn chế,
ặc biệt là các phương pháp giải số’. Bởi vậy, việc xác định các tham số bổ sung
ể thu được tính duy nhất nghiệm của bài toán là vô cùng cần thiết. Mặt khác,
o bài toán dặt ra là không chỉnh (theo nghĩa nếu có nghiệm thì nghiệm nay

hông phụ thuộc liên tục vào các số liệu đầu vào), nôn việc đánh giá tính 011
Ịnh của nghiệm có vai trò quan trọng. Cuối cùng là tìm nghiệm ổn định và
iệu quả cho bài toán đặt ra.

N Ọ ID U N G

)ề tài đã hoàn thành nhưng mục tiêu đề ra và đạt được những kết quả sau
tây:
. Đề tài xây dựng mô hình toán học mô tả quá trình truyền tải và khuếch tán
rật chất trong môi trường khí, đề ra phương pháp tiếp cận bài toán. Đó là
)hương pháp chuyên phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyẽn tính về hệ
)hương trình vi-tích phân, và dùng phương pháp thê vị đề đưa phương trình
ìặt ra về phương trình sinh bởi toán tử khả nghịch phải.
I. Dựa vào những ý tưởng là dùng phép biến đổi Fourier cổ điển để nghiên cứu
níơng trình đạo hàm riêng, đề tài xây dựng một phép biến đổi tích phán mới.


SUMMARY
Title of the Project: Mathematical model for the problems in the
environment.
Nam e of lead er: Prof.Dr. Nguyen Minh Tuan.
Index of Code: QG 05-03.
Members of Project:
1. Prof.Dr. Nguyen Him Du, HUS, VNU, Vietnam.
2. Dr. Tran Van Tran, HUS, VNU, Vietnam.
3. Dr. Tran Van Cue, HUS, VNU, Vietnam.
4. Prof.Dr. Dinh Nho Hao, Institute of Mathematics, Hanoi, Vietnam.
The Arms and Results
1. This subject deals with some mathematical models for the enviromental
problems, that is the transportation, diffusion of materials in the air from the

source. Those mathematical problems are usually reduced to the inverse,
nonlinear, ill-posed problems for the diffusion equations. Due to the
comlication of proposed problems, the known results remain limited, especially
the results relating to the numerical solutions. Therefore, it is necessary to
determine the extra data so that we can obtain the uniqueness of solution. On
the other side, because of that the above mentioned problems are ill-possed (in
mean of that if there exists the solution then that solution do not depend on
the data of problem, the estimation for the stibilitv for the solutions is
necessary. The next problems is find out the efective, stable solutions for the
problems.
2. Construction the mathematical model discribing the transportation and
diffution of naterials in the air, propose a method of approaching for the
problems. We deduce second order linear partial-differetial equations to a
system of integral-differetial equations as well as by using the protential
theory for the deducing to the equations reduced bv the right invertible
operators.
2. Based on the idea of classical Fourier integral transform, this subject
construct the new integral transform, similarly to the Fourier integral
transform. By using this integral transform we can solve a class of classical
partial-differential equations.
3. Numeracal solutions for the two dimension problems with the theoretical
data, and then determine the polution in the area when ther exist the factory
or manufacture.


4. Beside of the above mentioned, this subject obtain some results relating to
the environmental protection after war in Vietnam, becauseof that there exist
amount of dynamite under land.
The results: Three reports in the international Conferences, two arcticles
published.

MỞ ĐẦU
Đề tài đề cập đến một sô" mô hình toán học trong các vấn đề về môi trường. Đó
là bài toán về truyền tải và khuếch tán vật chất trong môi trường khí khí có
tiguồn gây ô nhiễm. Những bài toán nói trên thường được chuyên về bài toán
ngược, phương trình phi tuyến, thiết lập không đúng đắn cho các phương trình
khuếch tán. Do tính phức tạp của bài toán, những kết quả đã biết còn hạn chế,
đặc biệt là các phương pháp giải số’. Bởi vậy, việc xác định các tham sô bô sung
„tê thu được tính duy nhất nghiệm của bài toán là vô cùng cần thiết. Mặt khác,
do bài toán đặt ra là không chỉnh (theo nghĩa nếu có nghiệm thì nghiệm nay
không phụ thuộc liên tục vào các sô* liệu đầu vào), nên việc đánh giá tính ôn
định của nghiệm có vai trò quan trọng. Cuối cùng là tìm nghiệm ổn định và
hiệu quả cho bài toán đặt ra.

NỘI DUNG

Đề tài đã hoàn thành nhưng mục tiêu đề ra và đạt được những kết quả sau
đây:
1. Đề tài xây dựng mô hình toán học mô tả quá trình truyền tải và khuếch tán
vật chất trong môi trường khí, đề ra phương pháp tiếp cận bài toán. Đó là
phương pháp chuyên phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyên tính về hệ
phương trình vi-tích phân, và dùng phương pháp thê vị đề đưa phương trình
đặt ra vê phương trình sinh bởi toán tử khả nghịch phải.
2. Dựa vào những ý tưởng là dùng phép biến đôi Fourier cô điển để nghiên cứu
pương trình đạo hàm riêng, đề tài xây dựng một phép biến đổi tích phân mới.


tương tự như phép biến đổi tích phân Fourier. Bằng cách sử dụng phép biên
đổi tích phân này như một công cụ, chúng tôi cũng giải được một lớp các
phương trình đạo hàm riêng cổ điển.

3. Các nghiệm số’cho bài toán hai chiều với các số liệu giả định cũng được thiêt
ập, từ đó có thể xác định mức độ ô nhiễm trong môi trường, khi có nguồn
;hường là các nhà máy hay xí nghiệp có chất thải.
4. Bên cạnh những vấn đề nêu trên, đề tài còn thu được một sô” kết quả liên
^uan đến vấn đề khắc phục hậu quả vê môi trường sau chiến tranh, đó là do
:òn tồn tại số lượng đáng kể bom, mìn và các vật liệu nổ trong lòng đất.
íế t quả: Ba báo cáo khoa học tại các hội nghị quốc tế: đó là những hội nghị
rong khuôn khô hợp tác giữa các trường đại học trọng điểm Việt Nam-Nhật
)ản; hai bài báo đã đăng trong tạp chí quốc tế.
1. Về mặt đào tạo: Đề tài nằm trong khuôn khổ của Chương trình hợp tác
giữa các trường đại học trọng điểm là ĐHQG Hà Nội và Đại học Tổng
hợp Osaka, Nhật bản. Một luận án thạc sỹ toán học đã bảo vệ, vào tháng
10 năm 2005 tại trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội’
2. Hoạt động chung: Đề tài tổ chức và tài trợ hai hội thảo quốc tế:
+ Tháng 7-2006: Hội thảo quốíc tê vê giải tích và ứng dụng, Sapa (hợp
tác với cơ quan hợp tác hàn lâm Cộng hòa Liên bang Đức).
+ Tháng 12-2006: Hội thảo Việt-Nhật về các mô hình toan học trong
các vấn đê vể môi trường, Ba Vì, Hà Tây.
Ngoài ra, đề tài tài trợ Seminar về toán ứng dụng (GS.TS. Nguyễn
Hữu Dư chủ trì), tài trợ phần phôtô tài liệu cho lớp cao học 2005-2007
học chuyf'n (lô VC toán môi trường (GS. Yagi (Nhật bản) giảng dạy.
KẾT LUẬN
Đề tài đề cập đến một số vấn đề liên quan đến môi trường. Đây lả những vấn
đề thời sự trong điều kiện đất nước ta trong thời kỳ gia tăng tốc độ công nghiệp
hóa và hiện đại hóa. Những vấn đề đưa ra và đã giải quyết trong phạm vi của
đề tai có ý nghĩa nhất định về mặt lý thuyết và thực tiễn, vể mặt lý thuyết, đề
tài đưa ra phương pháp tiếp cận cho bài toán truyền tải, khuếch tán vật chất
trong môi trường khí. Một sô" kết quả toán học đã được chứng minh và là tiền
đê cho những nghiên cứu tiếp theo trong một lớp các phương trình đạo hàm
riêng tuyến tính và những bài toán liên quan đến môi trường, v ề mặt thực tế,

do hạn chê vê phạm vi nghiên cứu, kinh phí cũng như khả năng nhân lực, để
tài chỉ tính toán trên cơ sở các số liệu giả định. Vì vậy, những bài toán vê
truyền tải vật chất ô nhiễm trong môi trường còn nhiều vấn đê bỏ ngỏ, chứa
dược giải quyết. Tuy nhiên, những kết quả ban đầu về mặt toán học, đã mo ra


những hướng nghiên cứu tiếp theo, nhằm đáp ứng nhu cầu đem kết quả
nghiên cứu khoa học cơ bản vào thực tiễn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Báo cáo khoa học tại các hội nghị quốc t ế trong khuôn khổ của chương
trình hợp tác giữa các trường đại học trọng điểm Việt Nam - N h ậ t bản.
2. G. I. M archuk, M athem atical Models in enưironmetal problems,
North-Holland-Am sterdam , 1986.


CÁC ẤN PHẨM


1. Bui Thi Giang, Nguyen M inh Tuan, On the approach to the
m athem atical models for transportation, diffusion problems o f
materials in atm osphere, Hội nghị Quốc t ế V iệt-N hật (trong khuôn
khổ của chương trìn h hợp tác giữa các trường trọng điểm), Hạ
long, 10-2005.
2. Nguyen X uan Thao, Nguyen M inh Tuan, Bui Thi Giang,
Convolution for the transform induced by Fourier integral
transform a nd its inverse, The 6th general S em inar of the Core
U niversity Program: Environm etal Science and Technology for
su stainab ility of Asia, Osaka, Jap a n , 10-2006.
3. Bui Thi Giang, Nguyen Minh Tuan, Convolution w ith the weightfunction for the transform induced by the linear combination o f

Fourier a n d inverse Fourier transform son, Satellite Coference on
th e environm ental problems, Osaka, 9-2006.
4. Nguyen T rung Thanh, Hichem Sahli, Dinh Nho Hao, FiniteDifference Methods a nd Validity o f a Therm al Model for
L a n d m in e Detection With Soil Property E stim ation, IEEE
T ransactions on Geoscience and remote sensing, V. 45, N. 3, 2007.
5. Dinh Nho Hao, P ham M inh Hien, H. Sahli, Stability results for a
Cauchy Problem for an Elliptic equation, Inverse Problems, V. 23,
2007.


The 6th General Seminar of the Core University Program

ENVIRONMENTAL SCIENCE & TECHNOLOGY
FOR SUSTAINABILITY OF ASIA
Organized by
Osaka University and Vietnam National University, Hanoi
Supported by
Japan Society for the Promotion of Science (JSPS) and
Vietnamese Academy of Science and Technology (VAST)

October 2-4, 2006
at Kumamoto University, Japan


DPIC 2 at DC Conference Room
f c T O B E R 2 N D (M O N )
2-1
A study on a reevaluation of the old apartm ent complexes in Hanoi
00
E. O ka K. Narumi. and M. Sawaki

:20
2-2
20
Assessment of Vietnam coastal zone vulnerability for sustainable development (cases
study Phan Thiet - Ho Tram Area)
:40

1

115
122

M.T. Nhuan. N.T.H. Hue. NT. Tue. I D . Ouv, N TH Ha. P.D. Nga. and D M. Tien
40

2-3

Development of sound prcof windows for house in Vietnam
T. Nishimura and T. Yano
2-4
The role of m angroves in m itigating natural disasters
P.N. Hone and V.D. Thai
2-5
M onitoring of the change in coastal environm ent in southern p a rt of R ed-R iver Delta
from satellite images and the mechanism of beach erosion
:40
I. Deguchi, S. Araki, T Nakaue, B .T Vink and Member of Topic 2
F T O B E R 3 R D (T U E )
2-6
C haracteristics of q u atern ary sedim entary facies in relation to w ater bearing capacity

0
of
aquifers and aquicludes in Red River Delta, Vietnam
20
00
00
:20
20

130
135
144
1
153

T Nghi. D. Mai. N. T. Lan. and T.T. Luu
.0

2-7

40
:40

2-8

):00
:00
):20
:20

TO. Hai, N.c. Huaru K. Narunii.T.A. Tuan, and B.M. Tri
2-9
2-10

2-11
2-12

2-13

2:10

: 10
2:30

2-14

1:00
4:20

2-15

■20

2-16

4:40
1:40
5:00

2-17

vOO
5:20

Geo-ecological rehabilitation of the mangrove forest in Can Gio District, Vietnam

T. Mivasi, V.N. Nam K. Havashi, and A. Saitoh

):40
: 10
1:30
:30
1:50
:50

M athem atical structure for forest dynamics and its applications
L. H. Chuan and A Yasi
The infrastructure and environm ent in the old tenem ents in Hanoi

Development and application of the environm ental hydrodynam ic 3D model for
com putation and forecasting of oil pollutions in coastal m arine environm ent
D.V. Uuu. H T Huong, and P H Lam
C onvolution for the transform induced by F ourier integral transform and its inverse
N .x. Thao. N.M. Tuan, and B.T. Giang
Im portance of cross-cultural studies for a global noise policy
T. Yano, T. Sato, and T. Morihara
Environm ental issues in the develoment of the aquaculture farm ing economy in
V ietnam
L.V. Thane
A social survey on com m unity response to road traffic noise in Hanoi

P.T.H Yen , P.T.H. Anh. T. Nishimura, P.N. Dang, P.D. Nguyen, L.V. Nai, Y Hashimoto,
T. Sato, T.D. Cuong, and T. Yano

2-18

Biostim ulation m ethod in shoreline clean-up - An approach of coastal environm ent
m anagem ent in response to oil-spill hazard - Case study G anh Rai Gulf- Viet nam
H.T.M. Hans, D.H.L. Chi, and B.T. Vinh
Trials of m angrove plantation at mudflats suffering from rough waves and strong winds
Y. Kitava, V N. Nam. and T. Miyaffi
M arine resources and environm ent of Vietnam , developm ent opportunities and
challenges
D .V. Thanh
Investigation and research of landslide geohazard in north-w estern p a rt of Vietnam for
the sustainable developm ent of the territory

N. V. Can and D.V. Thinh

Ji:

161
165
172
176
186
198
208

218

230
240
246

254


Convolution for the transform induced by
Fourier integral transform and its inverse
Nguyen Xuan Thao1, Nguyen Minh Tuan2, Bui Thi Giang2

1Hanoi Water Resources University
2 Hanoi University of Natural Science
Abstract
T he convolutions for T = 3 F + F ~ l transform s are formulated, its
properties and applications to solving integral equations are consid­
ered.

1

Introduction

The convolution for integral transforms were studied in the 19th century, at
first the convolutions for Fourier transform, for the Laplace transform, for the
Melỉin transform and after that for Hilbert transform [13], Hankel transform
[12], Kontorovich- Lebedev transform and Stieltjes transform.
The convolution for the Fourier integral transform [10]

a)

V27T J
—oo

I

—

186 —


-rOC

f i x ) = ( F ~ 1f ) ( x ) = - L

Ị

eixyf ( y ) dy .

—oo

In 1941, Churchill R. V. introduced the convolution of two functions / and
g for th e Fourier cosine transform s [3]

+00
( f * 9 ) ( x ) = j == J f(y)[9{\ x - y\) + g(x + y)]dy,

X € R+

0

for which satisfies the factorization equality
F e d * g){y) = {Fcf ) ( y ) ( Fcg){y),
here

Vy <5 R + ,

is the Fourier cosine transform.

Afterwards, in 1967, V. A. Kakichev proposed a constructive method
for defining the convolution with a weight- function which is more general
than the convolution (1). And as by- products, convolutions of many integral
transforms such as the Meijer, Hankel, Fourier- sine were found. For instance,
th e convolution w ith the weight- function 7 (y) = sin y of th e functions / and
g for th e Fourier- sine in te g ral tran sfo rm Fg was s tu d ie d in [1], [5]
+00

(flg ){ x ) = ^ =

J

f{t)[sig n (x -t + l) g ( \ x - t + l\ )

0
—sign (x —t — l)g(\ x —t — 1|) —g{x + 1 + 1) -1-sign (x + t — l )g( \ x + t —l\)]dt.
(2 )

for which the factorization property holds
Fa U * g){y) = s i n y { F J ) ( y ) ( F sg)(y),

My > 0.

In 1998, Kakichev V. A and Nguyen xuan Thao proposed a construction
method for defining: the generalized convolutions of three arbitrary integral
transforms [5]. In recents years, several generalized convolutions of integral
transforms were published [6]-[8].
In this talk, we define the convolution with the weight- function for the
T = 3F-\-F~l transform, study some its properties and apply them to solving
integral equation.

—1*7—


2

C onvolution

We consider T transform
( 7 7 ) 0 ,) = 3 ( Ff ) ( y ) + ( F - l f ) ( y )
+oo

~

J

[4 cos(yx) - 2i si n( yx) ] f (x) dx,

y € K.

-o o

■3.2
D e f in it io n 1. The convolution with the weight- function 'y(x) — e~5~ of two
ju n c tio n f , g fo r the T transform IS defined as follows
+oo +oo

,

"7

,

I

f

(/* ỡ )(* ) = g - y

f

- ( i - u - v )2

r

J f ( u) g( v ) [ l 3e

?

- ( i r t t - 1/)2

+ 3e

a

—oo —oo

— 3e

-(g+tt +u) 2
-fT-n-t-ul2 n
2
+ 3e
2
jdudi/.

T h e o r e m 1. Lei f , g be fu nction in L (R).

(3)

Then the convolution with the

_ 2

weight- fu n c tio n 7 (y) — e ^ o f them fo r the T transform belongs to L (R ) and
the fractorization property holds
n f * g ) ( y ) = 7 ( y ) ( Tf ) ( y ) ( Tg) ( y ) .
Proof. We prove ( / * p)(x) G L(R) .
We have
- f CO

ị

+ 0 0 -fo o + 0 0

\ư*9)\(x)dx

I I I

—o o

l / ( u )llp(u)l 13e_£^

—oo —oo —oo

+ 3e

—
- (a~u
(2—u—t1)^
)”

2

—
(x-j-u-ii
_ —
(x-*-u-t-i)*

—3 e

2

+ 3e

—(1—u

2

+ yv2 + Ar3 + Ar4,
where

4-00

"■ - rỒ7T /

-fo o -fo e

/ /

- o o — OG — o o

d u d v d x -

2

du d vd x


-foo 4-00 +00

ỊJ Ị

N2 =

\f(u)\\g(v)\e (l+2~ 1 dudvdx.

—00 —00 —00
+ 00 + 0 0 + 0 0

J J Ị

N3 =

\f(u)\\g(v)\e (X+Z+V) dudvdx.

—00 —00 —00

4-00 + 0 0 +00

^4= -Ệ- Ị Ị Ị \f(ú)\\g(v)\e (t~*+v) dudvdx.
—00 —00 —00

By using th e form ula f e~u7/2du = ỰỸH and since f>g G L( R) th en N i <
—00

+ 00 , i = 1 . . . 4.
So

+00

J

\ ( f * 9 ) \ ( x ) d x < + 00.

—00

We prove the fractorization property
T ( f * g)(y) = l ( y ) ( Tf ) ( y ) ( Tg ) ( y ) ,
We have

7 { y) ( T f ) ( y ) ( Tg) ( y )

, . 1

1

=

+ 00

=

Ị

+00

f(u ){3 e~ iyu + eiyu)du

—00

Ị

g(v)(3e- ' yv + eiyv)dv

—00

+ 00 -Ị-00
^ = = 4V 2n e-£

8n\/2n

[

[ f(u )g {v )(3 e -'yu + eiyu)(3e~iyv + eiyv)dudv.

—00 —00

Put
Bi = v ^ i r e ^ [39e~'yue~iyv + lĩ>éyué yv]
B2 = ự ~ 2 n e ^ [9e'yue~iyv + Ze~ivueiyv] .
B3 = - s í Ĩ K ẽ ^ - [9etyue'yt' + 3 e - s“e - i:

—1«Q—


Bi = V Ỹ n er- £ [§e~iyué yv + 3e,yue“iyv] .
We consider

Bi = 3 9 ự ĩ n e - ^ e - iyue~iyv + 13 Ự 2neiyuetyve ^
=39

J

<.-<(*-“- • )*e —

e~iyue~'yvdx + 13

—00

e'yue'yvdx

—00

+00

=13 J

J

+00

Ze-lvxe ~ ^ ~ ' ,)2 dx + 13 J

—00

e'^e^

^

2 dx

—00

+00

=13

J {Se~i yx+ eiyx) e ~{x~i~v)2 dx.

(4)

—00

Similarly, we have
+00

B2 = 3 j

(3e~iyx + eiyx) e r{i^

f dx.

(5)

—00
+00

B3 = - 3

J

( ĩ e~iyx + etyx) e ~{X+2 W dx.

(6)

—00
-I-00

£4 = 3 I (3e_iyx + O e ^

^

ax.

(7)

—00

From (4), (5), (9), (7) we obtain
+oo

I (3e~'yx + eiyx) [ l 3 e ^ ~ r t,)2

ị ì / Ỹ i r e ^ (3e~iyu + eiyu)(3e~lts + e'ts) =

—oo

+ 3e

—

2—

— 190 —

(i-f-u—w)2 _

- 3e

—(x+u —x?- ( ĩ - u - l 1) ^

-f— + 3e

2

] dx.


Hence
7 ( y ) ( Tf ) (Vi/A
y ) ( Tg)
-4 i m( yy ); =
+ 0X0)

+O
+++000000 ++
00C0

-(j-u -v )2

- k

h

i ^

' y i+ e y x )T

—00

—0 0 - 0 0

-(a-fu-t;) 2
+

3e

i

f ( u) g { v ) [ 1 3 e ^

2

_(J +l i + v )2
2

— 3e

-f 3 e ^ ^ - ] d u d v d x
+

=T(fĩg)(y).

□
R e m a r k 1. In the L(Xi space, th e convolution (3) is comutative, associative
and distributive.
T h e o r e m 2. In the space L(R), there does not exist the unit element for the
operation of the convolution with a weight function for the T transform.
Proof. Suppose th a t exists e, th e unit elem ent of the operation of convolution
in the space L ( R): e * g — g * e = g for any function g belonging to L(R ).
Then we have
T ( e ĩ g ) ( y ) = (Tg)(y),
Vy G R.
Hence
e~y7/'2{ Te) ( y) ( Tg) ( y) = (T g ) ( y ),

Vy G R.

The last is eqivalent to the equality
( Tg) ( y ) [ e - y ^2( Te)(y) - 1] = 0,

Vy £ R.

Choosing g so that (rp)(y) 7^ 0,Vy € R, we see that e-y2/ 2(Te)(y) — 1 = 0
or (T e )( 2/) — e y2/ 2. Since assum ption th a t e £ Z/i(R) th en
+00

T e - y) = h

I í 3e~’Ty+ ó

e( ^ -

—00
+00

|(re)(y)|

4

^ —== / |e(x)|da: < + 00 , Vy.
V 2tt

—

191

—


So (Te) ( y) is bounded function and ey7/ 2 is not bounded function. This is a
contradiction. Hence there does not exists unit element for the operation of
convolution with a weight function for the T tramsform in the space L (E).
.
□
D e fin itio n 2. The norm in the space L (R) is defined by
+00
11/11

=

^

= =

JI \f{x)\dx.
\f{x)\d :
—00

T h e o r e m 3. If f , g are functions in to L(R), then the following inequality
holds
| | / * < ? K I I / I U I < ? I I -

Put

+00
L ( e w

, R )

=

{h, J

eM \h{x)\dx

<

00 ,

h e L( R

) } .

—00

T h e o r e m 4 ( A T itc h m a rc h t h e o r e m ) . Let f , g € L (e^ ,R ).
If ( / * g)(z) = 0, Vx £ R then either f ( x ) = 0 or g(x) = 0, Vz G R.
Proof. U n d er th e h y p o th esis ( / * p )(x ) = 0,

\/x £ R, it follows th a t

F ( / * p)(x) - ' y( x) { Tf) ( x) (Tg) {x) , Vx € K.
7 (x)(T/)(x)(Tp)(a:) = 0,

X

e R.

C onsider

+oo
( T f ) ( y ) = —L [ (3e~lxy + e'xy) f ( x) dx,
v27T J

Vx € R.

—oo

Since

dn

[3e-"y + eixy]/(x)

= | ( ^ ) n[ ( - l ) " 3 e - ^ + eiiy] /( x ) |
iC |4a:n/ ( x ) | = |4 i " e - |a:U ( i ) |
^ c|/i(x)|.


-fo o

_

_

Due to Weierstrass’ criterion, the integral f ^“r[3e_iiy + eixy} f ( x) dx uni­
—oo
formly converges on R. Therefore, based on the differentiability of integrals
d e p e n d in g o n p a ra m e te r, we conclude t h a t ( T f ) ( y ) is a n a ly tic for y € R .
Similarly, (Tg) ( y) is analytic for y € R.
So we have ( T /) ( y ) = 0 or(Tg)(j/) = 0. It follows that either f ( x ) = 0 or
g(x) = 0.
□
T h e o r e m 5. If f and g are functions in L(R), then the following equality
holds
( Ỉ * ff)(x) = ị -

13[/ * (e~v2/2 * g{v))}(x) + 3 [/i * (e~v?/2 * p(v))](x)
3 [ / * ( e v / 2 * ff(v ))j(-x ) + 3 [ f : * ( e v /2 * g (v ))J(-x)

where f { —x) = f i(x).
Proof. We have
-f o e -Ị-CO

ị- Ị J

+oo

f { u) g( v) e tI_-J

J

dudv = —

—oo —oo

+oo

f(u)

—oo

Ị

e " V ° g( v) dv

—oo

+oo

= 8“ J

f ( u) ( e ~s2/2 * g { v ) ) { x - u ) d u

— CO

= o7T
- £ l / »F( < r ,'V 2F* s M ) ] t o .

(8)

Similarly, we obtain
+ 00 -f-oo

II

^

V)(iudv =

f;

—oo —oo

+ 30

J

f ( u ) ( e ~vĩ/2 * g( v ) ) ( x + u)du

—oo

= O/T
ễ - [ f i t* (e~v2/2 r*s(u))](a:)-

-g -

(9)

+ 00 -f o e

4-00

J j

J

f { y ) g { v ) e {I+1 +V)dudv =

— CO — o o

f { u ) { e ~v2/2 * g ( v ) ) ( - x - u)du

—oo

= -£-*[/ * (e'"2/2 ?(u))](-z).

—

193 -

(10)


8r /

/

^ (u )5(u)e (12"+ ) dudv = ~

—oo —oo

J f ( u) ( e v2/2 * g ( v ) ) { - x + u)du
—oo

= jp[/i *(e_s,i2/2 £s(v))](-s)

(11)

in which f ( - x ) = /i(x ).
From (8), (9), (10), (11) we obtain
( / * s)(z)

= ~

113/ * ( e - ^ 2 * g(v)))(x) + 3[/a * ( e ^ 2/ 2* ỡ(v ))](x)

- 3 [/ * (e- ”2/2 * ^ ) ) ] ( - x ) + 3[/i * ( e ~ ^ 2 * g ( v M - x )
f
t

r
r
.
here f { - x )

3

= /i ( x ) .

□

A pplication to solving integral equations

Consider the integral equation

f { x) + ỷ - Ị f ( u) ĩ p( x, u) du = f ( x) .

(12)

—oo

Here
+00

ĩp(x, u) =

f

. . .

g(v)[l 3e

-(x -U -T j)2

-(z + u -u )2

2

-f 3 e

-( ỉịu -t -tl)2

2—3e2-f 3e

—fx —u + v )2

2

— oo

À £ c. g. h are functions in G i( K ) , / is unknow n function . To solving the
integral equation we introduce the following definition
D e f in itio n 3. The generalized convolution o f two fun ctio n f , g fo r the T ,F
transform s with the weight- fu n ctio n ')'(x) = e
2 is defined as follow s
—oo -Ị-oo

(f*g)(x) = Ậ r

ltiTT J

f f f { u) g{ v ) [ 9e

+ 3e

J

— o o —oo

—(x + u —v )2

— 3e

1n 4

2

—e

2

]dudv.

(13)


L e m a 1. Let / , g be function in L(R). Then the generalized convolution (13)
belongs to L (R) and the fractorization property holds
T ( f *g) ( y ) = l ( y ) ( T f ) ( y ) ( F g ) ( y ) .
T h e o r e m 6. With the condition 1 + Àe~y2/ 2( Tg) ( y) ỹ^0,Vy E M, there exists

a solution in L (R) of (12) which is defined by
f = h-X{h*l)t
here I = li + /2, / 1(2 ), h{ x) € L( R) and it IS defined by

(Fh)(y) =

3 (Fg)(y)
1 + \ e - y /2{3{Fg)(y) + { F g ) ( - y ) } '
___________ (F 9){- y) ____________

ự Í 2)(y) =

1 + Ae-y2/2[3{Fg)(y) + ( F g ) ( - y )}'

Proof. The equation (12) can be rewritten in the form
f + X ( f * 9 ) = h.
Due to Theorem 1
( T f ) ( y ) + \ T ( f i g ) ( y ) = (Th) ( y) .
It follows that
( Tf ) ( y ) { l + \ e - ^ ^ ( Tg ) ( y ) } = (Th)(y).
Since 1 + \ e - yĩ/2{Tg){y) Ỉ 0, Vy € R

( Tf ) ( y ) =( Th) ( y )

1
1 + Ae- y2l \ T g ) { y )

=( Th) ( y) [ 1

( Tg) ( y)

1 + A e - v 2/ 2 ( Tg) ( y)

Xe~y /2(Tg)(y)
1 + \ e - « y * ( Tg ) ( y )

r____________3 ( Fg) ( y) ____________
L1 + \ e - y 2/ ^ ( F g ) { y ) + (F-I
(-F_15)(y)
l + Xe-yy*[ 3(Fg)( y) + ( F- i g) ( y) }

— 195 —


Due to Wiener-Levi’s theorem , there exists a function /1 g L g R such that
(F J
1

ỵ

A

l){y)

=

___________________3 ( F g ) ( y ) ___________________
1 +

A e - v = / 2 [3

(Fg) ( y)

+

(Fg)(-y)Y

Sim ilarly, th e re e x ists l2 G L € R such t h a t

(F I )(v) = ______________________________
1 '2)KV)
l + Xe~y2f t [ 3 ( F g ) ( y ) + ( F g ) ( - y ) Y

P u t I = l\ + / 2 . It im plies th a t

iT9)(y)
1 + Ae - M ( T g ) ( y )

F{1)-

Hence
T f ) ( y ) = { Th) ( y)[ l - Xe~y2/2{Fl){y)}.
It follows that
(Tf)(y) = ( T h ) ( y ) - \ T ( h * l ) ( y ) .
Thus
f = h-X(h*l).

□
R eferences
[1] V .A .K akichev, On the convolution fo r integral transforms, Izv. ANBSSR, Ser. Fiz. Mat 1967. N.2, p 48-57 ( in Russian).

[2] V. A. Kakichev and Nguyen Xuan Thao, ” On the design method for the
generalized integral convolution”, Izv. Vuzov. Mat, 1998, N. 1, 31-40 (in
Russian).
[3] Churchill R. V. (1941) ”Fourier series and boundary value problems ” ,
New York, 58p.
[4] Bateman H-, Erdelyi A. (1954), ” Tabels of integral transform ”, New
York- Toronto- London. MC G ray- Hill, v . l .

1 r\ r


[5] Nguyen X uan T hao, Nguyen T hanh Hai (1997), ” Convolutions fo r in ­
tegral transform and their application” C om puter C entre of the Russian
A cadem y, M oscow, 44pages (R ussian).
[6] Nguyen Xuan Thao, ” On the generalized convolution for Stieltjes,
Hilbert, Fourier cosine and sine transforms, Ukr. math. J. 53(2001),
560-567. (in R ussian).
[7] V .A.Kakichev, Nguyen X uan Thao, Vu Kim Tuan (1998), ” On the gen­
eralized convolutions fo r Fourier cosine and sine transform s” East- West
Jo u rn al of M athem atics V oll, No 1 pp. 85-90.
[8] Nguyen X uan T h ao and Trinh Tuan, ” On the generalized convolution
for I - transform", Acta- Mat. v’ietnamica. 18(2003), 135- 145.
[9] Nguyen Xuan Thao, Nguyen Minh Khoa (2004), ” On the convolution
with a weight- function for the Cosine- Fourier integral t r a n s f o r m Acta
M ath em atica V ietnam ica, Vol 29, No 2, pp. 149- 162.
[10] F. G. Tricomi, (1951) ” On the finite Hilbert transform ”, Quart. J. Math.
2 , 199- 211
[11] o . I. Marchev, (1983) ” Handbook of Integral Transforms of Higher
Transcendetal F unctions. Theory and Algorithm ic Tables” , New York
- Birbane- Toronto.

[12] Vu Kim Tuan and Saigo M., ” Convolution of Hankel transform and its
applications to an integral involving Bessel function of first k in d \ J.
Math, and Math. Csi. 1995, V. 18, N. 2, 545-50.
[13] H, J, Glaeske and Vu Kim Tuan, ” Convolution of the Hilbert transfer
and its application to some nonlinear singular integral euqations” , Inte­
gral Transform and Special Functions, 3(1995), N. 4, 2663- ‘268.
[14] Srivastava H. M, Vu Kim Tuan (1995) ”.4 new convolution theorem for
the Stieltjes transform and its application to a class of singular integral
equations”, Arch. Math V64, P -144-149.

—

197

—


Convolution with the weight- function for the
transform induced by the linear combination
of Fourier and inverse Fourier transforms
Bui Thi Giang 1 Nguyen Minh Tuan t

1

In tro d u ctio n

In this talk, wo define the convolution with the weight,- function for the
7' = -iF + F ~ l transform, study some its proporfirs and apply them for
s o l v i n g a c l a s s o f c l a s s i c a l p a l l i a !

ripplicd in I,lie (’iiviroTimrntal problems.

2

C on volu tion

We consider T transform

—OG

D e f i n i t i o n 1. The convolution with the weight- function 7 (.r) — f
"In silu U ' o f C r y p to g r a p h y S b.qnces, H an o i, V ie tn a m
t [ 1a ]ini U niv
1

of two