Dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trên mặt phẳng

-„I HÅC TH„I NGUY„N
TR ÕNG -„I HÅC S
PH„M

-„NG THÀ LOAN

D„NG CHU„N T„C C’A PH ÌNG
TR„NH -„O H„M RI„NG TUY„N
T„NH C„P HAI TR„N M„T PH„NG

LU„N V„N TH„C S„ TO„N HÅC

TH„I NGUY„N - 2020


-„I HÅC TH„I NGUY„N

TR ÕNG -„I HÅC S

PH„M

-°ng Th‡ Loan

D„NG CHU„N T„C C’A PH ÌNG
TR„NH -„O H„M RI„NG TUY„N
T„NH C„P HAI TR„N M„T PH„NG
Chuy¶n ng nh: To¡n Gi£i T½ch
M¢ sË: 8 46 01 02

LU„N V„N TH„C S„ TO„N HÅC

C¡n bÎ h˜Óng d¨n khoa hÂc:
TS. TRÀNH THÀ DI„P LINH
i


TH„I NGUY„N - 2020

ii


Lèi cam oan
Tấi xin cam oan Luên vôn "DÔng chuân tc ca phẽng trẳnh
Ôo h m riảng tuyán tẵnh cĐp hai trản mt phng" l trẳnh b y
nghiản cu khoa hc ca riảng tấi dểi sá hểng dăn trác tiáp
ca TS. Trnh Th Diằp Linh.
Ngo i ra, trong luên vôn tấi cãn s dng mẻt sậ kát quÊ, nhên
xt ca mẻt sậ tĂc giÊ khĂc ãu c ch thẵch v trẵch dăn ngun
gậc.Trong quĂ trẳnh nghiản cu, tấi  ká tha th nh quÊ khoa
hc ca cĂc nh khoa hc vểi sá trƠn trng v biát ẽn.

Náu phĂt hiằn bĐt k sá gian lên n o tấi xin ho n to n
chu trĂch nhiằm vã nẻi dung luên vôn ca mẳnh.
ThĂi Nguyản, ng y 15 thĂng 9 nôm 2020
TĂc giÊ

-ng Th Loan

ii

Lèi cÊm ẽn
Luên vôn n y ềc ho n th nh tÔi trèng -Ôi hc S phÔm ThĂi
Nguyản. TĂc giÊ xin b y t lãng kẵnh trng v biát ẽn sƠu sc án
TS. Trnh Th Diằp Linh ngèi thƯy  trác tiáp hểng dăn, tên tẳnh
ch bÊo v ẻng viản tĂc giÊ trong suật thèi gian nghiản cu va qua.
TĂc giÊ trƠn trng gi lèi cÊm ẽn án cĂc thƯy, cấ giĂo Khoa ToĂn,
Phãng - o tÔo Sau Ôi hc, cĂc bÔn hc viản lểp Cao hc K26 ToĂn
giÊi tẵch trèng -Ôi hc S phÔm ThĂi Nguyản  luấn gip ễ, tÔo iãu
kiằn thuên lềi cho tĂc giÊ trong quĂ trẳnh hc têp v nghiản cu tÔi
trèng.

TĂc giÊ cng xin b y t biát ẽn sƠu sc tểi gia ẳnh v
ngèi thƠn  luấn khuyán khẵch, ẻng viản tĂc giÊ trong
suật quĂ trẳnh hc têp v l m luên vôn.
TĂc giÊ mong nhên ềc nhng kián ng gp qu bĂu ca
cĂc thƯy cấ v bÔn c luên vôn ềc ho n thiằn hẽn.
ThĂi Nguyản, ng y 15 thĂng 9 nôm 2020

Ngèi thác hiằn

-ng Th Loan

iii


Mc lc
Trang bẳa ph
Lèi cam oan

i

ii

Lèi cÊm ẽn

iii

Lèi ni Ưu

1

1 Kián thc chuân b

4

1.1 Mẻt sậ khĂi niằm vã phẽng trẳnh Ôo h m riảng . . . . . 4
1.2 Phẽng trẳnh Ôo h m riảng cĐp hai . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Phẽng trẳnh tuyán tẵnh . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 DÔng chuân tc ca phẽng trẳnh hyperbolic . . . . 20
1.2.3 DÔng chuân tc ca phẽng trẳnh parabolic . . . . 23
1.2.4 DÔng chuân tc ca phẽng trẳnh eliptic . . . . . . 25
2 DÔng chuân tc ca phẽng trẳnh Ôo h m riảng tuyán
tẵnh cĐp hai trản mt phng

28

2.1 Phẽng trẳnh Ôo h m riảng tuyán tẵnh cĐp hai vểi hai bián
28
ẻc lêp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 DÔng chuân tc khấng a phẽng . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 DÔng chuân tc trẽn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.1 -nh lẵ rt gn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.2 DÔng chuân tc trẽn cho cĂc im kẳ d gĐp . . . . 47

iv


K¸t luªn
T i li»u tham kh£o

51
52

v


Lèi ni Ưu
Sá kh i Ưu ca l thuyát vã cĂc dÔng chuân tc ca phẽng trẳnh Ôo h m
riảng tuyán tẵnh cĐp hai trản mt phng ềc nghiản cu v o khoÊng
gia thá k 18. V o thèi im d'Alembert v Euler  ã xuĐt phẽng trẳnh
sng v phẽng trẳnh Laplace mấ tÊ sá chuyn ẻng ca dƠy v sá thay
thá vên tậc ca chĐt lng khấng nn ềc tẽng ng. Sau khi xuĐt hiằn
nhng dÔng chuân tc m Ôi diằn cho cĂc phẽng trẳnh loÔi eliptic v
phẽng trẳnh loÔi hyperbolic, ềc s dng nhiãu trong giÊi tẵch Ăp
dng trong viằc giÊi quyát cĂc b i toĂn khĂc nhau. Ng y nay vĐn ã n y ềc nhiãu ngèi quan tƠm v thèng ềc nghiản cu trong lắnh vác
phẽng trẳnh Ôo h m riảng. Xt phẽng trẳnh tng quĂt
a(x; y)uxx + b(x; y)uxy + c(x; y)uyy = 0;

(0.1)

vểi a; b; c l cĂc hằ sậ trẽn, c th ềc a vã cĂc dÔng a phẽng gƯn

im bĐt k ca phẽng trẳnh hyperbol v elip tẽng ng, tc l
thc D vểi D = b

2

xt biằt
4ac ca phẽng trẳnh (0.1) theo th tá l

dẽng

v Ơm, bơng cĂch thay i cĂc ta ẻ trẽn v thác hiằn php nhƠn trản mẻt h
m trẽn bĐt bián thẵch hềp (xem[4]). -ậi vểi mẻt bẻ ba tng quĂt trẽn
hoc trẽn Ưy trong tấpấ Whitney biằt thc l rẩng hoc l mẻt èng cong
trẽn ềc nhng trong mt phng. Nh vêy cho mẻt phẽng
trẳnh tng quĂt ca phẽng trẳnh sng dÔng uxx
uyy = 0
v
phẽng

trẳnh Laplace dÔng uxx + uyy = 0 cĂc dÔng chuân tc hiằn nay ca
phẽng trẳnh (0.1) chẵnh l gƯn mẻt im nơm ngo i èng thng n y.
-èng thng n y ềc gi l dÔng èng thay i vẳ bĐt k im n o gƯn n
phẽng trẳnh gm c cĂc im ca cÊ elip v hyperbol. Phẽng


1


trẳnh (0.1) thay i dÔng trong miãn ềc gi l phẽng trẳnh
dÔng hẩn hềp.

Trong nghiản cu ca Tricomi ([xem 6]) Â xt mẻt phẽng trẳnh
gƯn im P ca dÔng èng thay i, l phẽng trẳnh khấng suy bián ca
biằt thc, tc l D(P ) = 0 v dD(P ) 6= 0 v tÔi phẽng c trng
dy : dx ềc xĂc nh b i phẽng trẳnh

a(x; y)dy

2

2

b(x; y)dxdy + c(x; y)dx = 0:

(0.2)

Phẽng trẳnh (0.2) khấng tiáp tuyán vểi èng thng. GƯn mẻt im
nh vêy, Tricomi  a ra cho (0.1) dÔng chuân tc ềc kẵ hiằu
uyy + yuxx = 0:
Sau khi thay i cĂc ta ẻ trẽn v trẽn
bĐt bián. dÔng phẽng trẳnh thay

(0.3)

thác hiằn nhƠn trản mẻt h m
i trản trc ho nh v n thuẻc

phẽng trẳnh loÔi eliptic trong miãn y > 0 v hyperbolic trong
miãn y < 0. Hẽn na, ngèi ta  chng minh rơng phẽng trẳnh
c hai c tẵnh tÔi mẩi im x
dÔng chuân tc

0 ca trc ho nh.
.
CĂc c tẵnh nơm trong miãn y 0 v c dÔng 9(x x0)2 = 4y3
-ậi vểi phẽng trẳnh (0.3), Tricomi ([xem 6]) trẳnh b y dÔng mểi vã
loÔi b i toĂn giĂ tr biản trong miãn b chn b i cĂc c trng giao nhau i t
hai im ca dÔng èng thay i v b i mẻt cung trẽn nơm trong

miãn y > 0 v nậi cĂc im n y lÔi. -ậi vểi cĂc iãu kiằn biản ca Dirichlet

ềc xĂc nh trản cung n y v trản mẻt trong hai cung c trng,
ấng  chng minh nh l vã sá tn tÔi v tẵnh duy nhĐt ca
nghiằm. Ng y nay vĐn ã n y ềc t tản l Tricomi I.

Trong nghiản cu Tricomi ([xem 6]) cng cung cĐp nãn
tÊng cho dÔng chuân tc (0.3) nhng chng minh ca ấng
cha Ưy . Sau chng minh ng cho dÔng n y ềc thác hiằn
b i Cibrario. Nh lu trản, nhng kát quÊ ca Tricomi  ềc
s dng tẵch các trong nghiản cu l thuyát vã cĂc dÔng
chuân tc ca phẽng trẳnh Ôo h m riảng trản mt phng.
2


Bểc tiáp theo trong l thuyát vã cĂc dÔng chuân tc ca
phẽng trẳnh Ôo h m riảng hẩn hềp tng quĂt trản mt phng
ch yáu ềc thác hiằn sau . Luên vôn n y ềc trẳnh b y theo t i
liằu [3], [4], [7] nhng kát quÊ nhên ềc gƯn Ơy v nh l rt gn,
cĂc bián thc khĂc nhau ềc s dng thu ềc cĂc kát quÊ n y.

3

Chẽng 1
Kián thc chuân b
1.1 Mẻt sậ khĂi niằm vã phẽng trẳnh Ôo h m riảng
-nh nghắa 1.1.1. Phẽng trẳnh Ôo h m riảng l mẻt phẽng

trẳnh c cha cĂc Ôo h m riảng ca h m ân.

Phẽng trẳnh Ôo h m riảng ềc viát dểi dÔng
F (x1 ; x2 ; :::; xn; u; ux1 ; :::; uxn ; ux1x1 ; :::) = 0;

n

x 2R ;

(1.1)

trong x = (x1; :::; xn) l cĂc bián ẻc lêp, u l h m ân ca cĂc bián .
Nghiằm ca (1.1) trản l mẻt h m u xĂc nh, khÊ vi án cĐp cƯn
thiát trản v tha mÂn phẽng trẳnh tÔi mi im thuẻc .
Ni chung mẻt phẽng trẳnh Ôo h m riảng thèng c vấ
hÔn nghiằm. Vẵ d cĂc h m
x ct

u(x; t) = e ;
u(x; t) = cos(x

ct);

l cĂc nghiằm ca ut + cux = 0. Hẽn na, mi h m khÊ vi ca c ct

ãu l nghiằm ca phẽng trẳnh .
Phẽng trẳnh Ôo h m riảng thèng ềc phƠn loÔi theo cĂc
tiảu chẵ sau:
a) Theo cĐp ca phẽng trẳnh (ni chung phẽng trẳnh
c cĐp c ng cao c ng phc tÔp).
b) Theo mc ẻ phi tuyán, tuyán tẵnh (phẽng trẳnh tuyán tẵnh ni chung ẽn giÊn hẽn phẽng trẳnh phi tuyán, mc ẻ phi tuyán c ng cao thẳ c ng
4


phc tÔp).
c) Theo sá ph thuẻc v o thèi gian (phẽng trẳnh bián i theo thèi gian
thẳ ềc gi l phẽng trẳnh tián ha, ngềc lÔi ềc gi l phẽng trẳnh
dng). Trong tẳnh huậng n y ngèi ta thèng kẵ hiằu bián thèi gian l t,

cĂc bián cãn lÔi l bián khấng gian.
C th hẽn ta c cĂc khĂi niằm sau Ơy:
-nh nghắa 1.1.2. CĐp ca mẻt phẽng trẳnh Ôo h m riảng l

cĐp cao nhĐt ca Ôo h m riảng c mt trong phẽng trẳnh.
Chng hÔn,
(1.2)
ut + cux = 0
l phẽng trẳnh Ôo h m riảng cĐp 1, cãn cĂc phẽng trẳnh

(1.3)

uxx + uyy = f(x; y):
2

x

(x; y)uxx + 2uxy + 3x uyy = 4e :
3

(1.4)

uxuxx + (uy) = 0:

(1.5)

(uxx) + uyy + a(x; y)ux + b(x; y)u = 0;

(1.6)

2

l phẽng trẳnh Ôo h m riảng cĐp hai.
-nh nghắa 1.1.3. Mẻt phẽng trẳnh Ôo h m riảng tuyán tẵnh náu
l
n c dÔng
L[u] = f(x);
(1.7)
trong L[u] l mẻt t hềp tuyán tẵnh ca u v cĂc Ôo h m riảng ca u
vểi cĂc hằ sậ l cĂc h m ca bián ẻc lêp x, tc l
X

L[u] =

Náu f

0

a (x) D u:

thẳ ta ni phẽng trẳnh tuyán tẵnh (1.7) l thuƯn nhĐt, trĂi

lÔi thẳ ta ni phẽng trẳnh l khấng thuƯn nhĐt.
Chng hÔn, (1.2)-(1.4) l cĂc phẽng trẳnh tuyán tẵnh, trong (1.2)
l thuƯn nhĐt, (1.4) l khấng thuƯn nhĐt.
5


-nh nghắa 1.1.4. Mẻt phẽng trẳnh Ôo h m riảng khấng
tuyán tẵnh thẳ ềc gi l phi tuyán.

Chng hÔn phẽng trẳnh (1.5) l phẽng trẳnh phi tuyán.
Ni chung cĂc phẽng trẳnh Ôo h m riảng phc tÔp hẽn cĂc phẽng trẳnh
vi phƠn thèng vẳ vểi phẽng trẳnh vi phƠn thèng, tẳm mẻt nghiằm
riảng t nghiằm tng quĂt ta ch phÊi tẳm cĂc giĂ tr ca cĂc hơng sậ ty
, trong khi vểi phẽng trẳnh Ôo h m riảng, viằc chn nghiằm riảng th
a mÂn cĂc iãu kiằn b sung c khi cãn kh hẽn cÊ viằc tẳm nghiằm tng
quĂt do nghiằm tng quĂt ca cĂc phẽng trẳnh Ôo h m

riảng ph thuẻc v o cĂc h m ty (xem vẵ d sau Ơy) v
n c th c vấ hÔn cĂc nghiằm ẻc lêp tuyán tẵnh.
Vẵ d 1.1.1. GiÊi phẽng trẳnh Ôo h m riảng tuyán tẵnh cĐp hai
u ( ; ) = 0:

Tẵch phƠn phẽng trẳnh n y theo

(1.8)

(gi cậ nh) ta c

u=f();

(do cậ nh nản hơng sậ tẵch phƠn c th ph thuẻc ).
Tẵch phƠn theo (gi cậ nh) ta nhên ềc
Z

u( ; ) =

Do tẵch phƠn

trản l

f( )d + G( ):

mẻt h m ca

nản nghiằm ca

(1.8) l

u( ; ) = F ( ) + G( );

trong F; G l hai h m khÊ vi bĐt k.
F; G.

Nh vêy, nhên ềc mẻt nghiằm riảng tha mÂn mẻt sậ iãu kiằn

n o ta s phÊi xĂc nh hai h m


6


1.2 Phẽng trẳnh Ôo h m riảng cĐp hai
1.2.1 Phẽng trẳnh tuyán tẵnh

DÔng tng quĂt ca phẽng trẳnh tuyán tẵnh cĐp hai vểi
hai bián sậ ẻc lêp x v y c dÔng
a(x; y)uxx+2b(x; y)uxy+c(x; y)uyy+d(x; y)ux+e(x; y)uy+f(x; y)u = g(x; y);

trong a; b; c; d; e; f; g 2 C2 ( ) ; R2 v

(1.9)
2
2
2
a + b + c 6= 0 trong .

Xt toĂn t Ôo h m riảng
@
L

@

;
@x @y

2

@
:= a

2

2

2

@x

+ 2b

@x@y

@

@

@

+c

2

@y

+d

@x

@

+e

@y

+ f:

Khi phẽng trẳnh (1.9) ềc viát dểi dÔng
Lu = g;

v phẽng trẳnh thuƯn nhĐt tẽng ng cho phẽng trẳnh (1.9) l
Lu = 0:

(1.10)

ToĂn t L l tuyán tẵnh t iãu kiằn L(c1u1 + c2u2) = c1Lu1 + c2Lu2 tha m
Ân cho mi cp ca h m sậ u1; u2 2 C2( ) v hơng sậ bĐt k u1; u2 2 R.
DÔng tuyán tẵnh ca toĂn t nh sau náu u1; :::; un l nghiằm ca phẽng trẳnh
thuƯn nhĐt (1.10), khi vểi bĐt k cĂch chn hơng sậ c1; :::; cn cho

h m sậ c1u1 + ::: + cnun cng l mẻt nghiằm ca (1.10). Hẽn
na, náu up l nghiằm riảng ca phẽng trẳnh (1.9), khi
L(c1u1 + ::: + cnun + up) = L(c1u1 + ::: + cnun) + Lup = Lup = g:

Vẳ vêy
u = c1u1 + ::: + cnun + up;

cng l nghiằm ca phẽng trẳnh (1.9) cho vểi hơng sậ c1; :::; cn bĐt k.
Xt trèng hềp ẽn giÊn nhĐt khi cĂc hằ sậ ca phẽng trẳnh (1.9) l
7


hơng sậ thác. GiÊ thiát g l h m cho trểc l h m giÊi tẵch c giĂ tr thác

@

@x

; @y@

trong . Khi trong mẻt sậ trèng hềp, c th nhên ềc nghiằm tng
quĂt ca phẽng trẳnh (1.10) l mậi quan hằ hai chu k tuƯn
ho n C2( ), nản
u = uh + up;

ềc gi l
PhƠn loÔi Ôo h m toĂn t tuyán tẵnh L

sậ nghiằm tng quĂt ca phẽng trẳnh khấng thuƯn nhĐt.
,


(i) L

l kh£ quy ho°c ph¥n t½ch ˜Òc n¸u n‚ c‚ d¤ng t½ch cıa
tuy¸n t½nh th˘ nh§t- c§p th¯a sË cıa a @ + b @ + c.
@

@x

;

@

@y

@x

@y


(ii) L

l bĐt khÊ quy hoc khấng phƠn tẵch ềc náu n khấng
c dÔng trản.
@

@x

;

@

@y

a) Phẽng trẳnh khÊ quy
Trong trèng hềp nghiằm tng quĂt c th ềc tẳm thĐy, giÊ s

:
L = L1L2 + b1
+ c1 a
+
b
+
c
2
2
2
@y
@x
@y
=a
1 @x

T hằ sậ
l

@

2

2 1

@

@

@

@

2

LL

1 2

@x@y
L L = L L . Náu u
1 2

@
=

1l

@y@x l

giao hoĂn, tc

hơng sậ v toĂn t

nghiằm ca phẽng trẳnh tuyán tẵnh cĐp mẻt L1u =

0, do

Lu1 = (L1L2)u1 = (L2L1)u1 = L2(L1u1) = L2(0) = 0;

tc u1 l nghiằm ca (1.10). Tẽng tá, náu u2 l nghiằm ca L2(u) = 0, khi
u2 l nghiằm ca (1.10). T L l toĂn t tuyán tẵnh khi u = u1 + u2
cng l nghiằm. Do , náu a = a1a2 6= 0 v cĂc tha sậ L1; L2 l riảng
biằt, thẳ nghiằm tng quĂt ca (1.10) ềc tẵnh bơng cĂch
c

1

uh = e

a

1

c

x

2

(b1x

a1y) + e

a

2

x

(b2x a2y);

(1.11)

trong v l h m lĐy Ôo h m mẻt cĂch liản tc gĐp ấi tu . Náu
L = L
1 2 tc l
L = L 1L 1

=

a1 @x + b1 @y + c1

@

8

@

2

;


khi nghiằm tng quĂt l
c

1

uh = e a1

x

(x(b1x a1y) + (b1x a1y)):

ToĂn t L luấn khÊ quy khi n l toĂn t thuƯn nhĐt ca phẽng trẳnh

c dÔng

@

L=a

2

2

@

+ 2b

+c

@

2

:

2

2
@x@y
@x
@y
Náu a 6= 0 v 1; 2 l nghiằm ca phẽng trẳnh bêc hai a 2 + 2b + c = 0.
@x 1
:
Khi
L=a

@y @x

@

Náu a = 0 thẳ

@
@y

L=

Ch rơng côn ca

@

1; 2

2b

2 @y

@

@

@

@x

+c

@

:

@y

l thác náu b2

ac 0.

Vẵ d 1.2.1. Tẳm nghiằm tng quĂt ca phẽng trẳnh
uxx + ux = uyy + uy:

Phẽng trẳnh n y c dÔng Lu = 0 trong L l
L=
ToĂn t quy vã

L = L1L2

@2

2
@x
=

@y

2

@x

@x @y

@

@:

+@

@2

@x

@

@

@y
+ @y + 1

@

v t phẽng trẳnh (1.11) nghiằm tng quĂt l
u = (x + y) + e

mt khĂc cng c th l

x

(x

y);

viát dểi dÔng
x x y

u = (x + y) + e e
y

= (x + y) + e h(x

trong ,

v

h

l cĂc h m tu .
9

toĂn t

h(x

y)

y);

;


Mẻt phẽng trẳnh tuyán tẵnh cĐp hai trong n bián ẻc lêp x1; :::xn c
n

dÔng

n

2

@u

X

A

i;j=1

@xi@xj +

ij

Xi
=1

Bi

@u
+ Cu = G:

@xi

(1.12)

Náu xt toĂn t
2

n

L=

@

X

A

i;j=1

ij

n

@

Xi

@xi@xj +Bi @xi

+ C;

=1

khi phẽng trẳnh (1.12) ềc viát nh sau
Lu = G;

v phẽng trẳnh thuƯn nhĐt tẽng ng l
Lu = 0:

(1.13)
GiÊ s rơng hằ sậ Aij; Bi; C trong L l sậ thác, v Aij = Aji; i; j = 1; :::; n.
Khi L l khÊ quy
+ ::: + a

L = L1L2
= a

1 @x1

@

n

@xn

+c

@

b1 @x1

+ ::: + b

@

n

@xn

+d

:

@

Khi bián i tẽng tá trong trèng hềp ca hai bián ẻc lêp.
Vẳ vêy nghiằm tng quĂt ca phẽng trẳnh (1.13) l
uh = e

c

a

1

x1

(a2x1 a1x2; :::; anx1 a1xn)+e

d

b

1

x1

(b2x1 b1x2; :::; bnx1 b1xn);

trong , l cĂc h m tu . Náu a1 hoc b1 bơng 0 thẳ nghiằm
ca phẽng trẳnh tng quĂt ềc bián i thẵch hềp. Nghiằm
tng quĂt ca phẽng trẳnh khấng thuƯn nhĐt (1.12) l u = uh
+ up, trong up l nghiằm riảng.
b) Phẽng trẳnh bĐt khÊ quy
c)
Cho toĂn t L @x@ ;@y@ bĐt khÊ quy, khấng phÊi lc n o cng c th tẳm
ềc nghiằm tng quĂt, nhng c th xƠy dáng nghiằm bao h m nhiãu
10


h¬ng sË tu˝ ˛ nh˜ mong muËn. -i·u n y ¤t ˜Òc b¬ng c¡ch

th˚ nghi»m c‚ d¤ng mÙ
u = e x+ y;

trong ‚ , l

h¬ng sË x¡c ‡nh. T¯ ‚

@u = u;
@x

Th§y r¬ng

@u = u:
@y


@

L=

v trểc u = e x+ y

l

@

;
@x @y

e x+ y = L ( ; ) e x+ y;

nghiằm ca phẽng trẳnh thuƯn nhĐt (1.10) khi
L( ; )=0:

GiÊ s quan hằ cuậi cng l kát quÊ ca thu ềc h m sậ

= h( ).

Khi h m sậ
u = e x+h( )y;

l

nghiằm ca phẽng trẳnh (1.10). Ngo i ra

u = ( ) e x+h( )y;
chn h m l nghiằm bĐt k. KhĂi quĂt hẽn
Z
u=
( ) e x+h( )y; u =

()e

x+h( )y

d;

X

l cĂc nghiằm mẩi khi nh nghắa h m C2 ( ), v php lĐy Ôo h m trong

kẵ hiằu tng hoc trong kẵ hiằu tẵch phƠn l hềp lẵ. KhĂi niằm
trểc m rẻng cho phẽng trẳnh (1.13) khi hằ sậ khấng i.

Vẵ d, xt phẽng trẳnh nhiằt lềng
x

ToĂn t

xx

1 ut = 0; hơng sậ k > 0:
k
1@
2
@
L=
2
k @t
@x
11

(1.14)


l bĐt khÊ quy.
Tẳm nghiằm ca phẽng trẳnh u = e x+ t, thu
2

Do

=k

2

1
k

ềc

= 0:

v vểi mi giĂ tr ca h m sậ vểi
2

u=e

x+k t
2

l nghiằm. Náu lĐy = in khi h m u = e
1
2
X
kn t

inx kn t

l nghiằm v c dÔng

u = Cneinx

n=1
1

=

X

(An cos nx + Bn sin nx)e

kn2t

;

n=1

l

nghiằm ca phẽng trẳnh (1.14).

-nh nghắa 1.2.1. Phẽng trẳnh
auxx + 2buxy + cuyyF (x; y; u; ux; uy) = 0;

tÔi im P (x; y) 2 l
(i) hyperbolic, náu
(ii) parabolic, náu
(iii) eliptic, náu

(1.15)

(x; y) > 0.

(x; y) = 0.

(x; y) < 0.

Phẽng trẳnh l hypebolic (parabolic, eliptic) trong têp con
G náu n l hypebolic (parabolic, eliptic) tÔi mi im ca G.
Tiáp theo, tẳm toÔ ẻ mểi
v sao cho vểi iãu kiằn ca toÔ ẻ
mểi

phẽng trẳnh (1.15) c phƯn chẵnh c biằt ẽn giÊn. Khi phẽng trẳnh l dÔng chuân tc.
-nh l 1.2.2. GiÊ s rơng phẽng trẳnh (1.15) l hyperbolic,
parabolic hoc elliptic trong lƠn cên im P0(x0; y0). Khi tn tÔi
thay i khÊ nghch ca bián sậ
(

:

= (x; y)

= (x; y)
12


xĂc nh trong lƠn cên im P0(x0; y0) sao cho phẽng trẳnh (1.15)
c th rt gn th nh mẻt trong ba dÔng dểi Ơy
(i) Náu P0(x0; y0) l mẻt im hyperbolic
u + ( ; ; u; u ; u ) = 0:

(1.16)

(ii) Náu P0(x0; y0) l mẻt im parabolic
u + ( ; ; u; u ; u ) = 0:

(1.17)

(iii) Náu P0(x0; y0) l mẻt im elliptic
u + u + ( ; ; u; u ; u ) = 0:

(1.18)

Trong trèng hềp ca phẽng trẳnh hypebolic php bián i
= + ;
=
;

rt gn (1.16) u u + ( ; ; u; u ; u ) = 0; ềc gi l dÔng chuân tc
th hai cho phẽng trẳnh hyperbolic.
Chng minh. (i) GiÊ s P0(x0; y0) l mẻt im thuẻc hyperbolic. Chn

v c th tá

2

2

A = a x + 2b x y + c y = 0;
2

C = a x + 2b x

c v

y

2

+ c y = 0;

l nghiằm ca phẽng trẳnh khấng tuyán tẵnh cĐp mẻt dÔng
2

2

ax + 2bxy + cy = 0:

(1.19)

Bơng l thuyát  trẳnh b y ta c
d

2
2
dt = pFp + qFq = 2(ap + 2bpq + cq ) = 0;

vẳ vêy cng vểi nhng c trng ca phẽng trẳnh (1.19) thẳ
(x; y) = const:
13