3 chuyên đề 3 vòng tròn lượng giác trong bài toán thời gian

CHUYÊN ĐỀ
3

VÒNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
TRONG BÀI TOÁN THỜI GIAN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Sử dụng sự tương tự giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều, ta biểu diễn dao động của một vật tại
(+)
các thời điểm t1 và t2 lần lượt tương ứng với các vị trí M 1 và M 2 trên đường
M
tròn. Khi đó thời gian để vật di chuyển giữa hai vị trí x1 và x2 được xác định bằng
biểu thức:
 (rad )  (rad )
 0
t =
=
T=
T với M1OM 2 = 

2
3600

1

M2



− A x2

x1

x
+A

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
Dạng 1: Xác định thời gian để vật đi qua một li độ cho trước từ thời điểm ban đầu
 Bài toán tổng quát: Một vật dao động điều hòa với phương trình li độ x = A cos (t + 0 ) , A và  là
các hằng số dương. Kể từ thời điểm ban đầu t0 = 0 . Xác định thời gian để vật đi qua vị trí có li độ xD kể từ
thời điểm ban đầu.
 Phương pháp giải:
Ta có thể giải quyết dạng toán trên theo các bước sau
Bước 1: Xác định vị trí ban đầu của vật và biểu diễn tương
v0
ứng trên đường tròn bằng điểm M .
M
o nếu biết  0 → 0 = xOM .
chiều dương của góc là cùng chiều kim đồng hồ.
0
o nếu biết x0 = xt =0 và v0 thì
+A
−A
x
O
x
M
+ v  0 thì
thuộc nửa trên của đường tròn.
0
+ v  0 thì M thuộc nửa dưới của đường tròn.

v0

Bước 2: Xác định vị trí xD và biểu diễn tương ứng trên
đường tròn bằng điểm N .

N

M

0

−A

xD

O

x0

+A
x

Bước 3: Xác định thời gian để vật đi qua vị trí xD
t =

 (rad )

 (rad )
 0

=
T=
T
2
3600


Với  là góc mà bán kính quét được giữa hai vị trí x0 và
xD ;  là tần số góc của dao động điều hòa.

N

M


−A

xD

O

x0

+A
x

HDedu - Page 1


 Ví dụ minh họa:

 Ví dụ 1: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hòa qaunh vị trí cân bằng O trên trục Ox với


phương trình x = 4 cos  2 t −  cm, t được tính bằng giây. Kể từ thời điểm t = 0 , thời điểm vật đi qua vị trí
3

cân bằng lần đầu tiên là
A. 0,42 s.
B. 0,14 s.
C. 0,67 s.
D. 0,25 s.
 Hướng dẫn: Chọn A.
N



−4

+2

O

+4
x

M

Biểu diễn dao động của chất điểm tương ứng trên đường tròn.
o
o

o

t = 0 thì 0 = −



→ điểm M thuộc nửa dưới của đường tròn.
3
xcb = 0 → điểm N trên đường tròn.

1500 )
(

5
T=
. (1) = s.
MON = 150 → t =
0
0
360
360
12
0

 2 
 Ví dụ 2: (Quốc gia – 2011) Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 4 cos 
t  ( x tính
 3 
bằng cm; t tính bằng s). Kể từ t = 0 , chất điểm đi qua vị trí có li độ x = −2 cm lần thứ 2011 tại thời điểm
A. 3015 s.

B. 6030 s.
C. 3016 s.
D. 6031 s.
 Hướng dẫn: Chọn C.
N1



−4
−2

O

M
x

N2

Ta có:

2
= 3 s.
  2 


 3 
Biễu diễn dao động của vật trên đường tròn:
o t0 = 0 , ta có 0 = 0 → điểm M trùng với biên dương.
o x = −2 cm → N1 (chuyển động theo chiều âm) và N 2 (chuyển động theo chiều dương) trên đường
tròn.

o T=

2

=

HDedu - Page 2


o nhận thấy trong mỗi chu kì, chất điểm đi qua vị trí x = −2 cm hai lần → ta tách 2011 = 2.1005 + 1 ;
chất điểm mất 1005 chu kì để đi qua vị trí x = −2 cm 2010 lần, ta chỉ cần tính thêm thời gian để chất
điểm này đi qua vị trí x = −2 cm lần đầu tiên.
 1200 

= 1005. ( 3) + 
= 3016 s.
→ t = 1005T +
0 

 120 
Dạng 2: Thời gian để vật đi giữa hai vị trí có li độ cho trước
 Bài toán tổng quát: Một vật dao động điều hòa với phương trình li độ x = A cos (t + 0 ) , A và  là
các hằng số dương. Tại thời điểm t1 vật đi qua vị trí có li độ x1 , đến thời điểm t2 = t1 + t vật đi qua vị trí có
li độ x2 . Xác định khoảng thời gian t .
 Phương pháp giải:
N

M



−A

x2

x1

+A
x

Một cách tương tự, ta cũng có thể giải quyết bài toán trên theo các bước sau:
o Bước 1: Biểu diễn tương ứng trên đường tròn vị trí vật có li độ x1 .
o Bước 2: Biểu diễn tương ứng trên đường tròn vị trí vật có li độ x2 .
o Bước 3: Xác định thời gian để vật đi qua vị trí hai vị trí x1 và x2
t =

 (rad )

 (rad )
 0
=
T=
T
2
3600


Với  là góc mà bán kính quét được giữa hai vị trí x1 và x2 ;  là tần số góc của dao động điều
hòa.
 Ví dụ minh họa:
 Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với chu kì T = 2 s, khoảng thời gian để vật đi từ vị trí có li độ

A 3
A
theo chiều dương là
x1 = − đến vị trí có li độ x2 = +
2
2
A. 0,25 s.
B. 0,15 s.
C. 0,5 s.
D. 0,4 s.
 Hướng dẫn: Chọn C.

HDedu - Page 3


−A

− A

+

1
2

3
2

+A
x

A



N
M

Biểu diễn dao động của trên đường tròn.
o vật chuyển động theo chiều dương → vị trí có li độ x1 , x2 tương ứng với nửa dưới của đường tròn.
o

o

 = arc sin

x1
x
+ arc sin 2 .
A
A


 3 
1
 arc sin   + arc sin 

2


 2  


t =
T=
( 2 ) = 0,5 s.
3600
3600

 Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với chu kì T = 6 s, khoảng thời gian ngắn để vật đi từ vị trí có li độ
A 3
A
là
x1 = đến vị trí có li độ x2 = +
2
2
A. 0,25 s.
B. 0,15 s.
C. 0,5 s.
D. 0,4 s.
 Hướng dẫn: Chọn C.

−A

+ 12 A +

3
2

A +A
x



N
M

Biểu diễn dao động của vật tương ứng trên đường tròn.
o t = tmin → x1 , x2 tương ứng với nửa dưới của đường tròn.
o
o

 3
x1
x
1
0
− arc cos 2 = arc cos   − arc cos 
 = 30
A
A
2
 2 
300 )
(

t =
T=
( 6 ) = 0,5 s.
3600
3600
 = arc cos

 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
I. Chinh phục lý thuyết
Câu 1: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = A cos (t ) . Kể từ thời điểm ban đầu t = 0 ,
thời gian để chất điểm đi qua vị trí vận tốc cực đại lần đầu là

HDedu - Page 4


3

.
D. t =
.

2
3
Câu 2: Một vật dao động điều hòa với chu kì T . Thời gian ngắn nhất để vật đi giữa hai vị trí biên là
T
T
3T
A. T .
B. .
C. .
D.
.
2
3
2
Câu 3: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A . Cứ sau mỗi khoảng thời gian liên tiếp bằng

T
nhau t = vật lại đi qua vị trí có li độ
4
A
2
3
A.
A.
A. x = A .
B. x = .
C. x = 
D. x = 
2
2
2
Câu 4: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A . Khoảng thời gian để vật đi từ vị trí có li độ
A
A
x1 = + đến vị trí có li độ x2 = − theo chiều âm là
2
2
T
T
T
A. T .
B. .
C. .
D. .
2
3

6
Câu 5: Một vật dao động điều hòa với chu kì T . Khoảng thời gian để vật đi từ vị trí có vận tốc cực đại đến
vị trí vật đổi chiều chuyển động lần thứ hai là
T
T
T
3T
A.
.
B. .
C. .
D. .
2
3
6
4
Câu 6: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A . Khoảng thời gian để vật đi từ vị trí có vận
tốc cực đại đến vị trí gia tốc cực đại lần đầu tiên là
T
T
T
3T
A.
.
B. .
C. .
D. .
2
3
6

4
Câu 7: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A . Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi giữa
3
A là
hai vị trí có li độ x = +
2
T
T
T
3T
A.
.
B. .
C. .
D. .
2
3
6
4
Câu 8: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A . Trong một chu kì, khoảng thời gian lớn nhất
A
để vật đi giữa hai vị trí x = là
2
T
T
3T
2T
A.
.
B. .

C.
.
D. .
2
6
4
3
Câu 9: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A . Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi giữa vị
trí có li độ cực đại đến vị trí gia tốc của vật bằng một nửa gia tốc cực đại lần đầu tiên là
T
T
3T
2T
A.
.
B. .
C.
.
D. .
2
3
4
3
3
A
Câu 10: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A . Tại thời điểm t1 vật đi qua vị trí x1 = +
2
T
theo chiều âm, đến thời điểm t2 = t1 + vật đi qua vị trí có li độ
4

2
3
A
A
A.
A.
A. x2 = + .
B. x2 = − .
C. x2 = −
D. x2 = +
2
2
2
2
A. t =

2

.

B. t =


.


C. t =

II. Bài tập vận dụng



Câu 1: Cho một vật dao động điều hòa với phương trình li độ x = 8cos   t −  cm, t được tính bằng giây.
6

Vật đi qua vị trí cân bằng lần đầu tiên tại thời điểm

HDedu - Page 5


2
s.
3


Câu 2: (BXD – 2020) Cho một vật dao động điều hòa với phương trình li độ x = 10 cos   t −  cm, t được
3

tính bằng giây. Vật đi qua vị trí biên lần đầu tiên tại thời điểm
1
1
2
A. 0,5 s.
B. s.
C. s.
D.
s.
6
3
3



Câu 3: (BXD – 2020) Cho một vật dao động điều hòa với phương trình li độ x = 10 cos   t −  cm, t được
3

tính bằng giây. Vật đi qua vị trí có tốc độ cực tiểu lần thứ hai vào thời điểm
1
1
2
7
A. s.
B. s.
C. s.
D.
s.
6
3
3
3


Câu 4: (BXD – 2020) Cho một vật dao động điều hòa với phương trình vận tốc v = 4 cos   t +  cm/s,
3

t được tính bằng giây. Vật đổi chiều chuyển động lần đầu tiên vào thời điểm
13
1
2
7
A. s.

B.
s.
C. s.
D.
s.
6
3
3
3


Câu 5: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = A cos  2 t −  cm, t được tính
6

bằng giây và A là hằng số dương. Kể từ thời điểm ban đầu, vật đổi chiều chuyển động lần thứ hai vào thời
điểm
7
5
1
3
A.
s.
B.
s.
C.
s.
D.
s.
12
12

12
4
A
Câu 6: Một vật dao động điều hòa có chu kì T . Nếu chọn mốc thời gian t = 0 lúc vật qua vị trí x0 = theo
2
chiều dương thì trong nửa chu kì đầu tiên, vận tốc của vật có giá trị cực đại ở thời điểm
T
11T
5T
3T
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
12
12
8


Câu 7: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10 cos  2 t −  cm, t được tính
3

bằng giây. Kể từ thời điểm ban đầu, vật đi qua vị trí có gia tốc cực đại lần đầu tiên vào thời điểm
7
2

1
3
A.
s.
B.
s.
C.
s.
D.
s.
12
3
12
4


Câu 8: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình vận tốc v = 10 cos  2 t −  cm, t
3

được tính bằng giây. Kể từ thời điểm ban đầu, vật đi qua vị trí có li độ x = 2,5 cm theo chiều dương lần đầu
tiên vào thời điểm
A. 0,5 s.
B. 0,125 s.
C. 0,15 s.
D. 0,25 s.
2 

Câu 9: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 10 cos 10 t −
 cm. Thời điểm đầu tiên (sau
3 


thời điểm t = 0 ) vật lặp lại vị trí ban đầu là
2
17
1
A. 0,5 s.
B.
s.
C.
s.
D.
s.
15
15
15
Câu 10: Vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ T . Khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ li độ
A 2
A 3
x1 = −
đến li độ x2 =
là
2
2
A. 0,5 s.

B.

1
s.
6

C.

1
s.
3

D.

HDedu - Page 6


5T
7T
7T
T
.
B. t =
.
C. t = .
D. t =
.
12
24
12
3
Câu 11: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa dọc theo một đường thẳng với biên độ A . Một điểm M
nằm cố định trên đường thẳng đó, phía ngoài khoảng chuyển động của vật. Tại thời điểm t thì vật xa M nhất,
sau đó một khoảng thời gian ngắn nhất là t vật gần M nhất. Tốc độ cực đại của vật dao động là
A

2 A
A
A
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
t
t
2t
3t


Câu 12: Một vật dao động điều hòa, có phương trình li độ x = 8cos  2 t −  cm ( t tính bằng s). Kể từ thời
3

điểm t = 0 , thời điểm vật qua vị trí có li độ x = −4 3 cm theo chiều âm lần thứ 2019 là
A. 2016,5 s.
B. 2018,6 s.
C. 1008,75 s.
D. 1008,25 s.
5
Câu 13: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 1 s, biên độ A = 4 cm, pha ban đầu là
. Tính từ lúc
6
t = 0 , vật có tọa độ x = −2 cm lần thứ 2019 vào thời điểm

A. 1502,275 s.
B. 1503,125 s.
C. 1503,375 s.
D. 1009,25 s.


Câu 14: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 4 cos   t +  cm ( t tính bằng s).
3

Kể từ t = 0 , chất điểm đi qua vị trí có li độ x = −2 cm lần thứ 2019 tại thời điểm
A. 3016,5 s.
B. 6030,5 s.
C. 2018,33 s.
D. 6031,5 s.



Câu 15: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 10 cos  5 t −  ( x tính bằng cm và t
3

tính bằng giây). Trong 4,2 giây đầu tiên từ thời điểm t = 0 , số lần chất điểm đi qua vị trí có li độ x = −5 cm là
A. 20 lần.
B. 10 lần.
C. 21 lần.
D. 11 lần.
Câu 16: Một vật dao động điều hòa với tần số góc  và biên độ A . Trong một chu kì thời gian để li độ của
2
A là
vật nhỏ có độ lớn không nhỏ hơn
2

T
T
T
2T
A. .
B.
.
C. .
D. .
2
4
6
3
Câu 17: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 2 cos ( t −  ) cm, t được tính bằng
A. t =

giây. Lấy  2  10 . Kể từ thời điểm ban đầu, vật đi qua vị trí có gia tốc a = 10 cm/s2 lần thứ 2019 vào thời
điểm
6075
6055
675
605
A.
s.
B.
s.
C.
s.
D.
s.

3
3
3
3
Câu 18: Một vật dao động điều hòa với tần số góc  và biên độ A . Trong một chu kì thời gian để vận tốc
A
của vật không nhỏ hơn
là
2
T
T
T
2T
A. .
B.
.
C. .
D. .
2
4
3
3
A
Câu 19: Một vật dao động điều hòa với tần số góc  và biên độ . Trong một chu kì thời gian để gia tốc
3 2
 A là
của vật nhỏ có độ lớn không nhỏ hơn
2
T
T

T
T
A. .
B. .
C. .
D. .
2
3
4
6
Câu 20: Một chất điểm đang dao động điều hoà trên một đoạn thẳng. Trên đoạn thẳng đó có năm điểm theo
đúng thứ tự M , N , O , P và Q với O là vị trí cân bằng. Biết cứ 0,05 s thì chất điểm lại đi qua các điểm M
, N , O , P và (tốc độ tại M và Q bằng 0). Chu kì bằng
A. 0,3 s.
B. 0,4 s.
C. 0,2 s.
D. 0,1 s.

HDedu - Page 7


Câu 21: (BXD – 2019) Một chất điểm đang dao động điều hoà trên một đoạn thẳng. Trên đoạn thẳng đó có
ba điểm theo đúng thứ tự M , O và N với O là vị trí cân bằng và M , N là vị trí mà chất điểm đổi chiều
chuyển động. Ban đầu chất điểm ở vị trí M , sau khoảng thời gian t nhỏ nhất vật đi qua trung điểm của
đoạn OM . Sau khoảng thời gian bao lâu nữa thì vật đi qua trung điểm đoạn ON lần đầu tiên
t
t
A. t .
B. 2t .
C.

.
D.
.
2
3
Câu 22: Một chất điểm dao động điều hoà có vận tốc bằng không tại hai thời điểm liên tiếp là t1 = 2, 2 s và

t2 = 2,9 s. Tính từ thời điểm ban đầu ( t0 = 0 s) đến thời điểm t2 chất điểm đã đi qua vị trí cân bằng
A. 6 lần .
B. 5 lần.
C. 4 lần.
D. 3 lần.



Câu 23: Một chất điểm dao động điều hoà theo phương trình x = 4 cos  5 t +  cm; (trong đó x tính bằng
6

cm còn t tính bằng giây). Trong một giây đầu tiên từ thời điểm t = 0 , chất điểm đi qua vị trí có li độ x = 3
cm
A. 4 lần.
B. 7 lần.
C. 5 lần.
D. 6 lần.


Câu 24: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4 cos  3 t +  cm, t được tính bằng giây. Kể từ
6

t = 0 , lần thứ 2020 vật cách vị trí cân bằng một đoạn 2 cm là

12115
12115
A. t =
s.
B. t = 412, 6 s.
C. t = 336,5 s.
D. t =
s.
36
316
Câu 25: Một vật dao động điều hòa với biên độ 5 cm. Biết rằng trong một chu kỳ dao động, khoảng thời gian
T
độ lớn vận tốc không vượt quá 10 cm/s là . Lấy  2 = 10 . Tần số góc dao động của vật là
3
A. 2 2 rad/s.
B. 4 rad/s.
C. 2,5 rad/s.
D. 2 rad/s.
Câu 26: (Quốc gia – 2013) Một vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình x = A cos ( 4 t ) ( t tính bằng
s). Tính từ t = 0 ; khoảng thời gian ngắn nhất để gia tốc của vật có độ lớn bằng một nửa độ lớn gia tốc cực đại
là
A. 0,083 s.
B. 0,104 s.
C. 0,167 s.
D. 0,125 s.


Câu 27: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = A cos  2 t −  , t được tính bằng
3


2 x
giây. Kể từ thời điểm ban đầu, thời điểm vật đi qua vị trí có vận tốc v =
lần thứ 2020 là
3
2019
2021
2019
A.
s.
B. 2020 s.
C.
s.
D.
s.
4
12
15
Câu 28: Một vật nhỏ dao động điều hòa trên đoạn thẳng AB . Trên AB có 7 điểm theo thứ tự A , M , N ,
O , P , Q , B ( O là vị trí cân bằng). Biết cứ 0,05 s thì chất điểm lại đi qua các điểm A , M , N , O , P , Q ,
B , Q , P... Tốc độ của vật khi qua N là 10 cm/s. Biên độ dao động bằng
A. 2 cm.

B. 2 3 cm.

C. 4 3 cm.

D. 6 cm.

HDedu - Page 8