Chuyên đề GIẢI P.T Lượng giác

CHUYÊN ĐỀ :PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
(1) Nguyễn Công
Mậu


* Việc giải PTLG là vấn đề thường gặp trong các đề thi đại học .Phương pháp thường sử
dụng khi giải phương trình lượng giác là thực hiện một số phép biến đổi lượng giác thích hợp
kể cả việc biến đổi đại số để đưa PTLG về dạng phương trình lượng giác cơ bản hay các
phương trình lượng giác thường gặp hoặc đưa về dạng phương trình tích hoặc đặt ẩn phụ để
đưa về phương trình đại số bậc hai,bậc ba…;hoặc đôi khi còn phải sử dụng đến phương pháp
đánh giá hai vế của phương trình. Để đạt được kết quả cao trong việc giải PTLG yêu cầu học
sinh cần nắm vững các yêu cầu tối thiểu sau đây :
1)Học thuộc (hoặc thông qua suy luận) các công thức lượng giác,các cung, góc có liên quan
đặc biệt,giá trò lượng giác của các cung(góc) đặc biệt.
2)Cần nắm vững cách giải PTLG cơ bản và các trường hợp đặc biệt.Cách giải các phương
trình lượng giác thường gặp .
3)Phải có thói quen là đề cập đến TXĐ của phương trình (lấy điều kiện) trước khi tiến hành
phép biến đổi và đối chiếu điều kiện khi có kết quả.
* Tại sao đề cập đến việc biến đổi thích hợp:Vì các đồng nhất thức lượng giác thường rất đa
dạng.Chẳng hạn :
-Nếu cần biến đổi cos2x thì tuỳ theo đầu bài ta sẽ sử dụng một trong các đồng nhất sau:
Cos2x = cos
2
x – sin
2
x = 2cos
2
x -1 = 1-2sin
2
x.
Ví dụ : Giải phương trình :

a) cos2x = sinx- cosx → biến đổi Cos2x = cos
2
x – sin
2
x
b) cos2x = cosx → biến đổi Cos2x = 2cos
2
x -1
c) cos2x = sinx → biến đổi Cos2x = 1-2sin
2
x
-Nếu cần biến đổi cos
4
x-sin
4
x thì tuỳ theo đầu bài ta sẽ sử dụng một trong các đồng nhất
sau:
cos
4
x-sin
4
x = cos
2
x – sin
2
x = Cos2x = 2cos
2
x -1 = 1-2sin
2
x.

*Cần chú ý đến các đồng nhất lượng giác thường gặp khi giải toán như:
1
±
sin2x = (sinx
±
cosx)
2
Cos
3
x.sin3x+sin
3
x.cos3x =
4
3
sin4x

4
4cos3
2
2cos1
2sin
2
1
1sincos
2
244
xx
xxx
+
=

+
=−=+

8
4cos35
4
2cos31
2sin
4
3
1sincos
2
266
xx
xxx
+
=
+
=−=+
*Cần chú ý đến các số hạng có chứa thừa số (cosx+sinx) là: cos2x ; cos
3
x+sin
3
x ;
Cos
4
x-sin
4
x ; cos3x-sin3x ; 1+tanx ; cotx-tanx ;







+
4
sin2
π
x
….Tương tự đối với các số
hạng có chứa thừ số cosx-sinx.
CHUYÊN ĐỀ :PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC

(2) Nguyễn Công
Mậu
*Các phép biến đổi lượng giác thường được tiến hành theo các hướng sau:
+Hạ bậc phương trình(nếu có).
+Đưa về cùng cung:
-Nếu cùng hàm và cùng cung thì tiến hành đặt ẩn phụ.
-Nếu cùng cung nhưng còn hai hàm sin và côsin thì thường biến đổi về ph. trình
tích
(Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như: đặt nhân tử
chung,dùng hằng đẳng thức,nhóm hạng tử,nghiệm tam thức bậc hai)
-Nếu cùng cung và còn hai hàm sin ; côsin với bậc các hạng tử hơn,kém nhau 2n
(với n là số tự nhiên) thì ta có thể chia hai vế của phương trình cho cos
k
x hoặc sin
k
x (k là

bậc lớn nhất trong phương trình) để đưa phương trình đã cho về dạng còn chứa duy nhất
hàm tang hoặc côtang của một cung rồi tiến hành đặt ẩn phụ.
*Khi đánh giá hai vế của phương trình thì các bất đẳng thức thường được dùng để
ước lượng như:
1sin
≤
x
;
1cos
≤
x
;
22
cossin baxbxa
+≤+
;

1cossincossin
22
=+≤±
xxxx
nm
(với
3,;,
≥∈
nmNnm
)
-Đối với phương trình sinax
±
sinbx =

2
±




±=±
±=
⇔
1sin
1sin
bx
ax
(dấu
±
lấy tương ứng)
Tương tự đối với các phương trình : cosax
±
cosbx =
1
±
; sinax
±
cosbx =
2
±

*Đôi lúc giải PTLG ta còn dùng phép đổi biến cho phần cung lượng giác .Chẳng hạn
với phương trình :







+=






−
4
sin.2sin
4
3sin
ππ
xxx
(bài tập 19 d)
Ta có thể đặt t = x +
4
π









−=






−=⇒−=
−=−=






−⇒−=−
⇒
ttxtx
ttxtx
2sin
2
2sin2sin
2
22
3sin)3sin(
4
3sin3
4
3

ππ
π
π
π
π
Khi đó ta được phương trình : sin3t = sin2t.sint
tttt
23
sin.cos2sin4sin3
=−⇔
:phương
trình này ta có thể thực hiện nhiều cách giải dễ dàng.
* Chú ý: Đối với các công thức sinx
±
cosx =






±
4
sin2
π
x
; các công thức nhân ba ;
công thức hạ bậc theo tang của cung chia đôi khi dùng phải chứng minh .
CHUYÊN ĐỀ :PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
Bài 01 :Giải các phương trình sau:

a)
8
3
3cos.sin3sin.cos
33
=+
xxxx
; b)
xxx 2sin
2
3
cossin1
33
=++
c)
34cos43sin
2
+=
xx
; d)
0
cos
62cos62sin4
2
=
−−
x
xx
e)
02cos.3sin2tantan

=++
xxxx
; g)
xxx 2cos
8
13
sincos
266
=−
Bài 02 :Giải các phương trình sau:
a) sinx.sin2x + sin3x = 6cos
3
x ; b)
xxx 2sin3cot2tan
=+
c)
xxxxxxxx
432432
sinsinsinsincoscoscoscos
+++=+++
; d) 3tanx - 2sin2x = 1
e)
( )
012sin2cos.2tan1
2
=−++
xxx
; g)
03)1sin22cos2)(1sin2(cos4
2

=−++−+
xxxx
Bài 03 :Giải các phương trình sau:
a)
x
x
x
x
cos
1
3cos2
sin
1
3sin2
+=−
; b)
=−
2
3
sin.
2
sin.sin
2
3
cos.
2
cos.cos
xx
x
xx

x
2
1
c)
0sincos.sin3sin4cos
233
=+−−
xxxxx
; d)
0cos.sinsin3cos3sin4
233
=−−+
xxxxx
e)
1
3sin
2sinsin
−=
+
x
xx
; g) tan3x – tanx + 4sinx.cosx = 0
Bài 04 :Giải các phương trình sau:
a)
( )
xxx 3sin52cos4cos
2
+=−
; b)
1cossin

154
=+
xx

c)
116cos.4sin
=
xx
; d)
xxx 2cos
16
17
cossin
288
=+
e)
0)3cos2sin1(3cos)3sin2(cos3sin
=−++−
xxxxxx
; g) sinx + cosx =
xx cossin
1
Bài 05 :Giải các phương trình sau:
a)
2
2
4
sin
)sin(coscossin2cos
=







+
++
π
x
xxxxx
; b)
x
xx
xx
x
xx
x
2
sin
cossin
cos.2cos
sin
sincos
2sin
2
1
+
+
=

−
+
c)
x
x
xx
2sin
2cos42
cottan
2
−
=−
; d)






+=






−
2
3
10

sin
2
1
210
3
sin
xx
ππ
e)
( )
03sin3cotsin52
2
=+−−
xxx
; g)
( )
xxxx sin2sincos.1cos2
=+−
(3) Nguyễn Công
Mậu
BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
CHUYÊN ĐỀ :PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
Bài 06 :Giải các phương trình sau:
a)
0sin2sin2)
4
sin(.cos2cos2
33
=+−++
xxxxx

π
; d)
xxx 4sin
2
3
2cos2sin1
33
=++
b)
( )
13sin22cos.sin82cos.sin9cos
2422
+−=−
xxxxxx
; e)
2
3
3sin2cossin
222
=++ xxx

c)
0
4
3
4
3sin.
4
3
sin4cos.

4
1
=−






−






−+
ππ
xxx
; g)
xxxx cossincossin
44
+=−
Bài 07:Tìm nghiệm của phương trình trong khoảng đã chỉ ra :
a)
xx
x
xx
2sin2cos
2cos1

sin3sin
+=
−
−
; với x
)2;0(
π
∈
.
b)
x
xx
sin
1
cotcot
−=
; với x
[ ]
π
3;0
∈
.
c)
xxx 2cos.2sin81)
4
3sin(2
2
+=+
π
; với x

);(
ππ
−∈
.
d)
03cos22sin1
=−+
xx
; với x
)
2
3
;(
π
π
∈
.
e)
32cos
2sin21
3sin3cos
sin5
+=






+

+
+
x
x
xx
x
; với x
)2;0(
π
∈
. (khối A-2002)
g) cos3x-4cos2x+3cosx-4=0 ; với x
[ ]
14;0
∈
. (khối D-2002)
Bài 08:Giải các phương trình sau :
a) sin4x – cos3x =
3
(sin3x + cos4x) ; b)
xx 4cos12tan
4
=−

c) sin3x(cosx-2sin3x) + cos3x(1+sinx-2cos3x) = 0 ; d)
2
1
4
cos
4

cos
22
=






+−






−
xx
ππ

e)
( )
13sin22cos.sin82cos.sin9cos
2422
+−=−
xxxxxx
; g)
01sincos32sincos2
2
=+−−+

xxxx

Bài 09:Giải các phương trình sau :
a) 1+sin2x+cos2x+sin4x+cos4x = 0 . ; b)
032sin3)cos(sin22cos
32
=−−++
xxxx
c) 4cosx-2cos2x-cos4x = 1 ; d)
23sin2sinsin
222
=++
xxx
e) 1+cosx+cos2x+cos3x = 0 ; g)
xxxx 6cos5sin4cos3sin
2222
−=−
(k.B-2002)
Bài 10:Giải các phương trình sau :
a)
0
2
costan.
4
2
sin
222
=−







−
x
x
x
π
; b)
x
xxx
2sin
2
2sin4tancot
=+−

c)
xx
x
x
x 2sin.
2
1
sin
tan1
2cos
1cot
2
−+

+
=−
; d) sin2x-cos2x = 3sinx+cosx-2
e) 2sin2x-cos2x = 7sinx+2cosx-4 ; g) sin2x+2tanx = 3
Bài 11:Giải các phương trình sau :
(4) Nguyễn Công
Mậu
CHUYÊN ĐỀ :PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
a)
8
9
4
sin
4
sinsin
444
=






−+







++
ππ
xxx
; b)
( )
0cot.2cot1
sin
2
cos
1
48
24
=+−− xx
xx
c)
xxx cos)232(sin22cot3
22
+=+
; d)
xxxxxx 3cot2cottan3cot.2cot.tan
2222
+−=
e)
( )
24sin3cossin4
44
=++
xxx
; g)
04cot5tan5tan2

sin
2
2
2
=++++
xxx
x

Bài 12:Giải các phương trình sau :
a)
02cos33sinsin
222
=−+
xxx
; b)
)2tan(tan2coscos3sin
2
xxxxx
+=
c)
)sin1(22sin4
4
2cos
4
2cos xxxx
−+=+







−+






+
ππ
; d)
xxx
2
cos242sintan2
−=+

e)
34cos333sin.cos43cos.sin4
33
=++
xxxxx
; g)
0
2
cos2tan).sin1(
22
=−−
x
xx

Bài 13:Giải các phương trình sau :
a)
1
12sin
)2(sinsin3)sin2(coscos
=
−
+++
x
xxxxx
; b)
2
1
2sincossin
44
−=+
xxx

c)
xxxxx 2sin2sin)cot1(cos)tan1(
33
=+++
; d)
xxxx cos.2sin5cos2sin6
3
=−
e)
06sin.2sin46sin2sin4
222

=−+
xxxx
; g) cos3x-cos2x = sin3x .
Bài 14:Giải các phương trình sau :
a)
( )
xxxxx 2cos.2sin2cos.coscos1
=+−
; b)
2)sin(tan5)cos(cot3
=−−−
xxxx
c)
17)sin1(sin
44
=−+
xx
; d)
03cos2tan32costan
2
1
2
=+−−+
xxxx
e)
14cos2cos2cos4
=−−
xxx
; g)
xxx cot2

4
tan
4
tan
=






−+






+
ππ
Bài 15:Giải các phương trình sau :
a)
xxx
2
sin21cossin
−=+
; b)
xxxx cossinsincos
33
−=+

c)
xxx
x
x
cos2cot.4cos
cot2
1cot
2
=−
−
; d)
12sin4cossin
=+−
xxx
e)
)10
2
9
sin(8cos2sin
22
xxx
+=−
π
; g)
xxxx cos
2
1
cossin
2
1

sin
33
−=−
Bài 16:Giải các phương trình sau :
a)
3
10
sin
1
sin
cos
1
cos
=+++
x
x
x
x
; b)
1sin2cossin23
2
−=−−
xxx

c)
11
3cos
1
3cos1
cos

1
cos
=−+−
x
x
x
x
; d)
xx
x
x
x
x
2sin
2
1
cos
tan1
2sin1
tan
2cos
2
++
+
+
=
e)
032cos.3coscos4
2
=−−

xxx
; g)
04)cot(tan5cot
cos
1
2
2
2
=+++






+
xxx
x
(5) Nguyễn Công
Mậu