TÓM tắt lý THUYẾT TOÁN cấp 3

TRUNG TÂM DẠY THÊM

---------------------------------------o0o---------------------------------------

18A Song Hành, P.Trung Mỹ Tây, Q. 12
: 088 880 51 52

Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13

TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN CẤP 3
 Công thức đạo hàm, nguyên hàm, cấp số,…
 Các công thức phương trình, bất phương trình,…
 Hình giải tích Oxy, phép biến hình.
 Hình không gian - Hình không gian Oxyz
 Lượng giác – Số phức.

Họ và Tên : …………………………………………………………………………………………………………………
Lớp

: …………………………………………………………………………………………………………………
Năm học 2020 – 2021
(Lưu hành nội bộ)


facebook : />
GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983 790 520

Trang 1

BẢNG CƠNG THỨC NGUN HÀM

BẢNG CƠNG THỨC ĐẠO HÀM
STT
1
2

ĐẠO HÀM CƠ
BẢN

ĐẠO HÀM MỞ
RỘNG

C  '  0

 x  '  mx
m

u  '  mu

m1

m

m 1

u'

4

1
1

 '   2
x
x
1
x '
2 x
 sin x  '  cos x

 

 

6

 cos x  '   sin x

 cos u  '  u '.sin u

3

7

8

u'
1
 '   2
u
u
u'

u '
2 u
 sin u  '  u '.cos u

1

 tan x  ' 

 tan u  ' 

2

10



e  '  e
 a  '  a .ln a

11

 ln x  ' 

12

 log a x  ' 



  1  cot x

 u ' 1  cot u

2

9

x

x

x

x

2

u

u

u

u

 ln u  ' 
1
x ln a



u'
u.ln a

 au  '  a.u '

 u  v  w '  u ' v ' w '

2

3

 u.v  '  u '.v  u.v '

 u  u 'v  v 'u
4   
v
v2

5

 u  u 'v  v 'u
  
v
v2

7

'

ad  bc
 ax  b 
6 
 
 cx  d   cx  d 2
a b 2
a c
b c
x 2
x
a' b'
a' c'
b' c'



n 1

1  ax  b 
  ax  b  dx  a . n  1  C
1
1
 ax  bdx  a ln ax  b  C
dx
1 1
  ax  b 2   a . ax  b  C
n

1

 sin xdx   cos x  C  sin  ax  b dx   a cos  ax  b   C

1

 cos2 xdx 

 cos2  ax  b dx 





   tan 2  ax  b   1dx


1
 .tan  ax  b   C
a
1
 sin 2  ax  b dx



  cot 2  ax  b   1dx


1
  .cot  ax  b   C
a
1 ax b

ax b
 e dx  a e  C

  tan 2 x  1 dx

 tan x  C
1

 sin 2 xdx 

a ' x2  b ' x  c '

  cot x  C

e

x

1

 cos  ax  b dx  a sin  ax  b   C

dx  e x  C

a mxn
ax
mx  m
a
dx


C
C

m.ln a
ln a
----------------------------------------------

x
 a dx 

QUY TẮC NHÂN - HỐN VỊ - CHỈNH HỢP
– TỔ HỢP– NHỊ THỨC NEWTON.

'

 ax 2  bx  c 

 
 a ' x2  b ' x  c ' 



1



1

'

dx

 x2   x  C

  cot 2 x  1 dx

BẢNG QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

'

1

 xdx  ln x  C

1

u'
u

 log a u  ' 

x n 1
C
n 1

 cos xdx  sin x  C

 e  '  u '.e
 a  '  u '.a .ln a

1
x

n
 x dx 

NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG

u'

cos 2 u
 u '(1  tan 2 u )
u '
 cot u  '  2
sin u

cos x
2
 1  tan x
1
 cot x  '  2
sin x

NGUYÊN HÀM CƠ
BẢN
 dx  x  C



2

----------------------------------------------

1. Quy tắc nhân :

Giả sử một hành động phức tạp H được phân tích
thành các hành động liên tiếp: H1, H2 ,......, Hn .


H1 có n1 cách chọn.



H2 có n 2 cách chọn.



………………………………………..
H n có n n cách chọn.

Vậy số cách chọn của hành động H là:
n  n1.n2 .....nn .
2. Hốn vị:

Năm học 2020 - 2021
LỚP HỌC MINH TRÍ - 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q. 12, TP.HCM
Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13
ĐT : 088 880 51 52

facebook : />
GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983 790 520

Trang 2

CẤP SỐ NHÂN

Một hoán vò n phần tử là 1 bộ có thứ tự gồm n phần
tử được lấy từ n phần tử ban đầu. Số hoán vò của n
phần tử là: P  n   n !  1.2....  n  2  .  n  1 .n
3. Chỉnh hợp:

Đònh
nghóa

Một chỉnh hợp n chập k là 1 bộ sắp thứ tự gồm k
phần tử lấy ra tử n phần tử đã cho.
n!
Số các chỉnh hợp n chập k là : Ank 
 n  k !

Tính chất Số hạng thứ n : un  u1.q n1
1
Tính chất Nếu a, b, c là 3 số hạng liên tiếp
2
của một CSN  b2  ac
Tổng của n số hạng đầu tiên là :
1  qn
Sn  u1  u2  ...  un  u1
1 q

Tính chất
3
Tổng của một CSN lùi vô hạn :
 q  1 : Sn  u1  u2  ...  1u1q
----------------------------------------------

4. Tổ hợp:
Một tổ hợp n chập k là 1 bộ khơng có thứ tự gồm k phần
tử có thứ tự gồm k phần tử (là 1 tập con gồm k phần

tử) lấy tử n phần tử ban đầu.
Số các tổ hợp n chập k là : Cnk 

n!
 n  k  !k !

5. Tính chất của Cnk :

Cn1  Cnn1  n

Cn0  Cnn  1
Cnk  Cnk 1  Cnk11

Cn0  Cn1  Cn2  .....  Cnn  2n

CÁC CƠNG THỨC CẦN NHỚ VỀ
GIỚI HẠN HÀM SỐ

6. Nhị thức newton:
n

 a  b 

n

 Cnk ank bk

k 0
n

 a  b n    1k Cnk ank bk
k 0

----------------------------------------------

CẤP SỐ CỘNG

CSN là một dãy số mà kể từ số
hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số
đứng trước nhân với một số không
đổi gọi là công bội.

sin kx
eax 1
1
2. lim
1
x 0 ax
x  0 kx
ln ax 1

3. lim
1
x 0
ax
---------------------------------------------Bài 2: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG

1.

CSC là một dãy số mà kể từ số hạng
thứ hai, mỗi số hạng bất kỳ bằng số
Định
nghĩa
đứng trước cộng với một số không
đổi gọi là công sai.
Tính chất Số hạng thứ n : un  u1   n  1 d
1




Nếu a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của
Tính chất
ac
2
một CSC  b 
2



lim

Lưu ý:
Đường thẳng d đi qua điểm M  xo ; yo  và có hệ số
góc k có dạng: d : y  k  x  xo   yo



Hệ số góc của tiếp tuyến tại M  xo ; yo    C  là:

k  f '  xo 
Cách giải: Phương trình tiếp tuyến
M  xo ; yo    C  là : y  f '  xo  x  xo   yo
----------------------------------------------

Tổng của n số hạng đầu tiên là :
n  u1  un 
Tính chất Sn  u1  u2  ...  un 
2
3
n
 2u1   n  1 d 
2
----------------------------------------------

Năm học 2020 - 2021
LỚP HỌC MINH TRÍ - 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q. 12, TP.HCM
Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13
ĐT : 088 880 51 52

tại

GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983790520

n

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU

1.

2.
3.

facebook : Trung Tâm Minh Trí

Tìang 3

4.

 B  0

A  B   A  B

 A  B
 AB
A  B 
 A  B

1. Cho 0  a  1, N  0 : a x  N  x  loga N
a. loga 1  0 , loga a  1

b. log a a   , a loga b  b
c. a logb c  c logb a
2. Cho 0  a  1; N1 , N 2  0
a. loga  N1.N 2   loga N1  loga N 2

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
 B  0
A  B  
 A  B 2

 A  0  hay B  0
A  B  

AB

2.
3.

A  B  C (1)
Điều kiện : A, B, C  0

1  A  B  2

b. loga

3.

AB  C  2 AB  C  A  B

-------------------  O  -------------------

BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU
 A  B
A  B  B  A  B  
4.
 A  B
 A  B
2. A  B  
 A  B
3. Chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối : lập bảng xét
dấu, chia trường hợp.
-------------------  O  ------------------1.
1.

BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
 B  0
 
 A  0
 A  0

 
AB
2. A  B   B  0

  B  0
 A  B 2
 

  A  B 2
 

-------------------  O  -------------------

1.

CÁC CÔNG THỨC VỀ LŨY THỪA
1. a 0  1 , a1  a ; 0 0 : vô nghĩa
am
1
2. a m .a n  a mn , n  a mn , a n  n
a
a
3.

n

a

1
 an

,

m
n m
a an

 Năm học 2020 – 2021

a na n n


, a . b  n a.b
b
b
-------------------  O  -------------------

CÔNG THỨC LOGARIT

A  B  ....  C  M
Cách giải: lập bảng xét dấu, chia trường hợp
-------------------  O  -------------------

1.

n

N1
 log a N1  loga N 2
N2

c. loga N   .loga N
1
d. log  N  loga N
a

1
e. loga   loga N
N
Công thức đổi cơ số: 0  a, b  1; c  0,   0
logb c
a. loga c 

logb a
b. logb c  logb a.log a c
1
c. loga b 
logb a
Tính đơn điệu hàm số: y  a x và y  log a x :
+ Là hàm đồng biến nếu a  1
+ Là hàm nghịch biến nếu 0  a  1
-------------------  O  -------------------

PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng cơ bản : 0  a  1

b0
f x
a    b  
 f  x   loga b

2. Đưa về cùng cơ số : Biến đổi phương trình về
f x
g x
dạng: a    a   *

+ Nếu a là một số khác 1 thì : *  f  x   g  x 
+ Nếu cơ số a thay đổi thì :

a0

*  
 f  x   g  x   0 1


a

1






Lưu ý: khi giải (1) phải có điều kiện f(x) và g(x)
xác định.
3. Lấy logarit 2 vế : Biến đổi phương trình về
dạng: a    b   (*) với 0  a, b  1
+ Lấy logarit theo cơ số c 0  c  1 2 vế ta
được :
f x

g x

LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM
Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13
ĐT : 088 880 51 52


GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983790520
f x
g x
logc a    logc b  

 f  x .logc a  g  x .logc b
4. Đặt ẩn phụ: Đặt t  a x , t  0 với a thích hợp
để đưa phương trình mũ về phương trình đại số.
5. Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy
nhất:
+ Ta tìm một nghiệm đặc biệt và dùng tính chất
của hàm số mũ để chứng minh nghiệm đó là
duy nhất.
-------------------  O  -------------------

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Trường hợp 1: nếu a xác định :
f x
g x
+ Nếu a  1 thì a    a    f  x   g  x 
+ Nếu 0  a  1 thì:

a    a    f  x  g x
Trường hợp 2: nếu a là biểu thức chứa biến :

a0
f x
g x
a    a    
a 1  f  x   g  x   0

-------------------  O  ------------------f x

g x

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1.
2.

3.
4.

 0  a  1

Dạng cơ bản: loga f  x   b   f  x   0

 f  x   ab

Đưa về cùng cơ số: biến đổi phương trình về
dạng:
 f  x   0; g x   0

loga f  x   loga g  x   
0  a 1

f  x  g x

Đặt ẩn phụ: đặt t  loga x . Đưa phương trình
ban đầu về phương trình theo biến t.
Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy
nhất: ta tìm một nghiệm đặc biệt và dùng tính
chất của hàm số logarit để chứng minh nghiệm
đó là duy nhất.
-------------------  O  ------------------BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Trường hợp 1: nếu a xác định
+ a  1 thì loga f  x   loga g  x 

 f  x  g x  0
+

a  1 thì loga f  x   loga g  x 

 0  f  x  g x
Trường hợp 2: nếu a là biểu thức chứa biến

 Năm học 2020 – 2021

facebook : Trung Tâm Minh Trí

Tìang 4


0  a 1


loga f  x   loga g  x    f  x   0, g  x   0

 a 1  f  x   g  x   0
-------------------  O  -------------------

HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI MỘT
1. Định nghĩa:
+ Hệ hai phương trình chứa hai ẩn x, y gọi là đối

xứng loại loại 1 nếu thay đổi vai trò của x và y
thì mỗi phương trình của hệ không đổi.
2. Phương pháp giải:
S  x  y 2
+ Đặt 
S  4 P ta đưa hệ ban đầu về
 P  x.y
một hệ mới có 2 ẩn là S và P.
+ Tìm S, P; x, y là nghiệm phương trình:
X 2  SX  P  0
-------------------  O  -------------------





HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI HAI
1. Định nghĩa:
Hệ hai phương trình chứa hai ẩn x, y gọi là
hệ đối xứng loại hai nếu thay đổi vai trò của x
và y thì phương trình này chuyển thành phương
trình kia và ngược lại.
2. Phương pháp giải:
+ Lấy 1  2
-------------------  O  -------------------

HỆ ĐẲNG CẤP BẬC HAI
1. Định nghĩa : hệ có dạng:
 ax 2  bxy  cy 2  d
 I  2

a ' x  b ' xy  c ' y 2  d '

2. Phương pháp:
Cách 1:
+ Xét xem x  0 có phải là nghiệm của hệ hay
không ?
+ x  0 : Đặt y  kx
 Thế vào hệ, khử x ta được 1 phương trình
bậc hai theo k.
 Giải tìm k, ứng với mỗi trường hợp của k ta
tìm được  x; y  .
Cách 2:
 Dùng phương pháp cộng đại số, khử
y2 (hay x2 ).
 Tính y theo x, thế vào một trong hai
phương trình của hệ ta được 1 phương trình
trùng phương theo x.
 Giải tìm x, từ đó tìm được y.
-------------------  O  -------------------

LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM
Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13
ĐT : 088 880 51 52


GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983790520

  0

3. x1  x2  0   P  0


 S  0
4. Có 1 nghiệm x  0  P  0
-------------------  O  -------------------

BẤT ĐẲNG THỨC
1. Bất đẳng thức Cauchy:
ab
 ab
 a, b  0 thì
2
 a1 , a2 ,......, an  0 thì
a1  a2  ......  an n
 a1.a2 .....an
n
Dấu ‘=’ xảy ra  a1  a2  .....  an
2. Bất đẳng thức BCS:
a b
. Ta có:
 Cho các số:
x y

 Cho 2n số

SO SÁNH MỘT SỐ VỚI HAI NGHIỆM
CỦA TAM THỨC BẬC HAI

a2  b2  x 2  y2 

ax  by 

a1 , a2 ,......, an
.Ta có:
b1, b2 ,......, bn

a1b1  ...  an bn 

a12  ...  an2 b12  ...  bn2 

-------------------  O  -------------------

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
1. Định nghĩa:

 a1x  b1y  c1
Là hệ có dạng : 


a2 x  b2 y  c2
2. Cách giải:
a b
c b
a
D  1 1 ; D x  1 1 ; Dy  1
a2 b2
c2 b2
a2



c1
c2

Dx
D
Dy

D
 D  0 : lúc này ta tìm được giá trị của tham số
m. Thế ma và hệ ban đầu thấy ngay hệ vơ
nghiệm hoặc vơ số nghiệm.
-------------------  O  -------------------

DẤU NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH
BẬC HAI
Cho phương trình: ax 2  bx  c  0 a  0
1. x1  0  x2  P  0
  0

2. 0  x1  x2   p  0

 S  0

 Năm học 2020 – 2021


a0


1. x1    x2  

 0

 x1    x2     0

a0




 0


2.   x1  x2   x1    x2     0



S

  0


2



a0





 0



3. x1  x2     x1    x2    0



S

  0


2


-------------------  O  -------------------

BẢNG XÉT DẤU CƠ BẢN

D.x  Dx
Hệ  trở thành: 
 D.y  Dy


 x 

D  0 : hệ có nghiệm duy nhất: 



 y 


facebook : Trung Tâm Minh Trí

Tìang 5

1. Dấu của nhị thức bậc nhất y  ax  b , a  0
x
b



a
f  x  Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
Nhớ: “ phải cùng, trái trái”.
2. Dấu của tam thức bậc hai y  f  x  ax2 bx c :
TH1: Nếu   0 thì ta có bảng xét dấu:
x

x1
x2

f  x

Cùng dấu 0 Trái dấu 0
với a
với a



Cùng dấu
với a

Nhớ: “ trong trái, ngồi cùng”.

TH2: Nếu   0 thì ta có bảng xét dấu:
x

xo

f  x



Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a

TH3: Nếu   0 thì ta có bảng xét dấu:
x

Cùng dấu với a
f  x



-------------------  O  -------------------

LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM
Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13
ĐT : 088 880 51 52

GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983790520

Tìang 6

ĐIỀU KIỆN ĐỂ TAM THỨC KHÔNG ĐỔI
DẤU TRÊN  :
a  0
ax 2  bx  c  0 x    
  0
a  0
2. ax 2  bx  c  0 x    
  0
a  0
3. ax 2  bx  c  0 x    
  0
a  0
4. ax 2  bx  c  0 x    
  0
-------------------  O  ------------------1.

facebook : Trung Tâm Minh Trí

A 6  B6  A 2  B2   3A 2 B2 A 2  B2 
3

-------------------  O  ------------------CHÚC CÁC EM ĐẠT ĐIỂM CAO TRONG KỲ
THI ĐẠI HỌC

ĐỊNH LÝ VI_ÉT ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Định lý thuận:
Nếu phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 có hai
nghiệm x1 và x2 thì tổng và tích hai nghiệm là :
b

S  x1  x2   a
.

 P  x .x  c
1 2

a
1. Định lý đảo:
a  b  S
Nếu ta biết tổng và tích hai số là 
thì hai
 a.b  P
soá a, b là nghiệm phương trình : X 2  SX  P  0 .
-------------------  O  -------------------

ĐỊNH LÝ VI_ÉT ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
Nếu phương trình : ax3  bx 2  cx  d  0 (a  0)
coù ba nghiệm x1 , x2 và x3 thì :

b
 x1  x2  x3   a


c

 x1x2  x2 x3  x3 x1 
a

d

 x1x2 x3   a

-------------------  O  -------------------

HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A 2  B2  A  B  2AB
2

A 4  B4  A 2  B2   2A 2 B2
2

A 3  B3   A  B  3AB A  B
3

 Năm học 2020 – 2021

LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM
Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13
ĐT : 088 880 51 52


facebook : lớp nhóm minh trí

GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983 790 520

Trang 7

TÓM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG OXY
Bài 1. TỌA ĐỘ VECTƠ – ĐIỂM
I. TỌA ĐỘ VECTƠ :




1. u   x , y   u  xi  y j


i  1;0  , j   0;1 là hai vectơ đơn vị trên hai
trục Ox, Oy.



2. Tính chất: Cho a   a1, a2  , b  b1 , b2 

   a1  b1
a/ a  b  
với

a2  b2
 
b/ a  b  a1  b1 , a2  b2 

c/ ka  ka1; ka2 


d/ a  a12  a22

e/ Tích vô hướng: a.b  a1b1  a2 b2
 

f/ a  b  a.b  0  a1b1  a2 b2  0


g/ a cùng phương b  a1b2  a2 b1  0

 
a1b1  a2 b2
a.b
h/ coí a, b    
a.b
a12  a22 . b12  b22

 

II. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM :



1. M  x; y   OM  xe1  ye2
2. Tính chất: Cho A  x A ; y A  ; B  xB ; yB 

a/ AB   x B  x A ; yB  y A 

2

2
b/ AB  AB   xB  x A    yB  y A 
x A  xB

 x I 
2
c/ I là trung điểm AB  

y  yB
 yI  A
2

d/ G xG ;yG  là trọng tâm ABC
x A  x B  xC

 xG 
3
 

y  yB  yC
 yG  A
3


-----------------------Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT ĐƯỜNG
THẲNG
I. Định nghĩa vectơ pháp tuyến của đường thẳng:
 
+ Vectơ n  0 gọi là vectơ pháp tuyến của  nếu



II. Định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng:
 
+ Vectơ u  0 gọi là vectơ chỉ phương của đường



thẳng  nếu giá của u song song hoặc trùng
với đường thẳng  .
Lưu ý : Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của
đường thẳng vuông góc với nhau.
III. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT :
+ Đường thẳng  đi qua điểm M  xo ; yo  và có

vectơ pháp tuyến n   A; B  thì phương trình
tổng quát của  có dạng :
A  x  xo   B  y  yo   0
Hay : Ax  By  C  0 (với A 2  B 2  0 ).
Lưu ý:
+ Hai đường thẳng song song có chung vectơ
pháp tuyến.
+ Hai đường thẳng vuông góc thì có vectơ pháp
tuyến vuông góc với nhau.
IV. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ :
+ Cho  đi qua MO  xO ; yO  và có VTCP

u   a; b  . Phương trình tham số của đường

 x  xo  at

thẳng  có dạng : 
t   .
 y  yo  bt
VI. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC :

+ Cho  đi qua MO  xO ; yO  có VTCP u   a; b  .

 Nếu a  0, b  0 thì phương trình chính tắc của
 có dạng :

x  x o y  yo

.
a
b

V. PHƯƠNG TRÌNH ĐT CÓ HỆ SỐ GÓC:
+ Đường thẳng  đi qua A  xO ; yO  và có hệ số
góc k thì có dạng: y  k  x  xo   yo .

+ Đường thẳng  có VTCP a  a; b thì có hệ
số góc k 

b
,  a  0 .
a

Lưu ý :
1. Đường thẳng đi qua hai điểm A  x A ; y A  ,
B  x B ; yB  có hệ số góc k 

yB  y A
.
xB  x A

 d : y  ax  b
2. Cho 

d ' : y  a ' x  b

giá của n vuông góc với  .
Năm học 2020 - 2021
LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM
Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13
ĐT : 088 880 51 52


facebook : lớp nhóm minh trí

GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983 790 520

Trang 8

TÓM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG OXY
a  a '
+ Nếu d // d’  

b  b '
+ Nếu d  d '  a.a '  1
VI. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA 2

ĐIỂM:
+ Đường thẳng đi qua A  x A ,y A  ,B  x B ,y B  có
dạng:

x  xA
y  yA

x B  x A yB  y A

VII.PHƯƠNG TRÌNH ĐOẠN CHẮN :
+ Đường thẳng  đi qua hai điểm A  a; 0  ,

B  0; b  trên hai trục Ox, Oy thì phương trình
tổng quát của  có dạng :

Cho 1 : A1 x  B1 y  C1  0 ; 2 : A2 x  B2 y  C2  0
Tọa độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ :

1

0o  1 , 2   90o

1, 2   0o

 1 // 2 hoặc 1  2
 
n1.n2
A1 A2  B1B2
coí 1 , 2     
n1 n2

A12  B12 A22  B22


II. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 ĐT :
+ Khoảng cách từ điểm M  xo ; yo  đến

C1
C
; Dy  1
C2
C2


D

x x


cắt 2 tại :  DD
y

y


D

D  0

thì 1 // 2

 Nếu D  Dx  Dy  0 thì 1  2
 Chú ý : Nếu A2  0, B2  0, C2  0
1

A1
B
 1  1 cắt 2
A2 B2

2

A1
B
C
 1 1
A2 B2 C2

 1 // 2

A1
B
C
 1  1  1  2
A2 B2 C2

-----------------------Bài 4. GÓC – KHOẢNG CÁCH
I. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG :

A1
A2

Axo  Byo  C
A2  B 2

II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC :
+ Cho 1 : A1x  B1y  C1  0
2 : A1x  B1y  C1  0
+ Nếu 1 cắt 2 thì phương trình đường phân
giác của góc hợp bởi 1 và 2 là :
A1x  B1y  C1

 Nếu D  0 vaø  x
 Dy  0

3



d  M ,  

Bài 3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI HAI ĐƯỜNG
THẲNG

 Nếu D  0

+


1 : A1x  B1y  C1  0 có n   A1; B1 


2 : A2 x  B2 y  C2  0 có n2   A2 ; B2 

 : Ax  By  C  0 là :

x y
  1.
a b

------------------------

 A1 x  B1 y  C1  0
.

 A2 x  B2 y  C2  0
A B1
B
Gọi D  1
; Dx  1
A2 B2
B2

+

A12  B12



A2 x  B2 y  C2
A22  B22

 Lưu ý 1 :
 
+ Nếu n1.n2  0 thì phương trình đường phân
giác của góc tù tạo bởi 1 và 2 là:
A1x  B1y  C1
A12  B12



A2 x  B2 y  C2
A22  B22

Và phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo
bởi 1 và 2 là :
A1x  B1y  C1



A2 x  B2 y  C2

A12  B12
A22  B22
 
+ Nếu n1.n2  0 thì phương trình đường phân
giác của góc tù tạo bởi 1 và 2 là :
A1x  B1y  C1
A12  B12



A2 x  B2 y  C2
A22  B22

Và phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo
bởi 1 và 2 là :
A1x  B1y  C1
A12  B12



A2 x  B2 y  C2
A22  B22

Năm học 2020 - 2021
LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM
Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13
ĐT : 088 880 51 52


facebook : lớp nhóm minh trí

GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983 790 520

Trang 9

TÓM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG OXY
 Lưu ý 2 :

---------------------------------------------Bài 6. ELIP

+ Cho  : Ax  By  C  0 và M  x M ; yM  ,
N  x N ; yN  .
f  M   Ax M  ByM  C ; f  N   Ax N  ByN  C

 Nếu f  M  và f  N  cùng dấu thì M và N cùng
phía đối với  .
 Nếu f  M  và f  N  trái dấu thì M và N khác phía
đối với  .

-----------------------Bài 5. ĐƯỜNG TRÒN

1. ĐỊNH NGHĨA:
Cho 2 điểm phân biệt F1 và F2 và F1F2  2c  0 .
Tập
hợp
các
điểm
M
sao
MF1  MF2  2a  a  c  gọi là đường Elip.

cho

2. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC:

x2 y2
Có dạng: 2  2  1 ( a 2  b 2  c 2 ; a, b, c  0 ).
a
b

1. Định nghĩa 1 :
+ Phương trình đường tròn tâm I a; b bán kính
2

2

R có dạng  C  :  x  a    y  b   R 2 .
+ Lưu ý: phương trình đường tròn tâm O(0; 0) bán
kính R có dạng : x 2  y 2  R 2
2. Định nghĩa 2 :
+ Mỗi
phương

trên trục lớn A1   a; 0  , A2  a;0  .
4. TRỤC NHỎ: Oy; độ dài trục nhỏ B1B2  2b ; đỉnh
trên trục nhỏ B1  0; b  , B2  0; b  .

trình

x 2  y 2  2ax  2by  c  0

3. TRỤC LỚN : Ox; độ dài trục lớn A1 A2  2a ; đỉnh

có
với

điều

dạng

5. HÌNH CHỮ NHẬT CƠ SỞ : x   a, y  b .

kiện 6. TIÊU ĐIỂM: F1  c;0  , F2  c, 0  ,

a 2  b 2  c  0 đều là phương trình đường tròn
có tâm I(a; b) bán kính R  a 2  b 2  c .


Nếu (C) tiếp xúc Ox  R  b .



Nếu (C) tiếp xúc Oy  R  a .



Nếu (C) tiếp xúc Ox và Oy  R  a  b .



Nếu d  I ,    R thì  và (C) không có điểm



chung.
Nếu d  I ,    R thì  và (C) có 2 điểm chung.

Tiêu cự : F1F2  2c .
c
.

a
8. BÁN KÍNH QUA TIÊU ĐIỂM:
Cho M  xM ; yM    E 

7. TÂM SAI: e 

c
xM
a
 Nếu (C) tiếp xúc   R  d  I ,     .
c
 Bán kính qua tiêu điểm F2 : MF2  a  xM
3. Tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn :
a
Cho đường tròn (C) có tâm I a; b , bán kính R và
a
a
9. ĐƯỜNG CHUẨN:  1  : x   ;   2  : x 
e
e
M  x 0 ; y0    C  . Tiếp tuyến tại M   C  là đường
---------------------------------------------thẳng đi qua M  x 0 ; y0  và có vectơ pháp tuyến
 
n  IM .
4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường
tròn:
Cho đường thẳng  và đường tròn (C) có tâm I và
bán kính R.
 Nếu d  I ,    R thì  tiếp xúc (C)



Bán kính qua tiêu điểm F1 : MF1  a 

Năm học 2020 - 2021
LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM
Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13
ĐT : 088 880 51 52


facebook : lớp nhóm minh trí

GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983 790 520

Trang 10

TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG OXY
1
1
1
a.ha  b.hb  c.hc
2
2
2
1
1
1
2. SABC  ab íin C  bc íin A  ac íin B
2
2

2
abc
3. SABC 
với R : bán kính đường tròn
4R
ngoại tiếp.
abc
4. SABC  pr ( p 
: nửa chu vi; r : bán
2
kính đường tròn nội tiếp).

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG

1.

1. Vng bình = chiếu nhân huyền
AB 2  BH .BC ; AC 2  CH .BC .
2. Huyền bình bằng vng bình + vng bình.
2

2

5. SABC 

2

BC  AB  AC
3. Cao nhân huyền = vng nhân vng.
AH .BC  AB. AC

4. Cao bình = chiếu nhân chiếu

SABC 

p  p  a  p  b  p  c 

-------------------  O  ------------------TÍNH CHẤT CÁC TAM GIÁC ĐẶC BIỆT
1. Tam giác đều:

2

3
3 2  BH .C
AH  BH .CH
AH
Đư ờ
ng cao  caunâ.
; Diện tícâ  caunâ2 .
2
4
5. Nghịch cao bình = nghịch vng bình + nghịch
2. Tam giác vng cân:
vng bình .
Caunâ âuyền  caunâ góc vuông. 2
1
1
1


2

2
2
3. Nửa tam giác đều:
AH
AB
AC
-------------------  O  ------------------+ Cạnh đối diện góc 60 bằng cạnh đối diện
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
góc 30 . 3
THƯỜNG
+ Cạnh huyền bằng cạnh đối diện góc 30 . 2
----------------------------------------------

BA PHÉP BIẾN HÌNH CẦN NHỚ
Phép 1. PHÉP TỊNH TIẾN
1. Định lý hàm cos : Với mọi ABC ta có :
2

2

1.

2

a  b  c  2bc.c A.
b2  a2  c 2  2ac.c B.
c 2  a2  b2  2ab.c C .

2. Định lý hàm sin : Với mọi ABC ta có :

2.

a
b
c


 2R
íin A íin B íin C

3. Độ dài đường trung tuyến :
Với mọi ABC ta có :
ma2 
mb2

b2  c2 a2

2
4

3.





 
x '  x  a
đó: MM '  v  
. Biểu thức trên gọi là

y '  y  b

a2  b2 c 2

2
4

-------------------  O  ------------------CƠNG THỨC VỀ DIỆN TÍCH TAM GIÁC


Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình
 
biến điểm M thành điểm M’ sao cho MM '  v

được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v .
TÍNH CHẤT:
+ Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường
thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đường
tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
+ Phép tịnh tiến bảo tồn khoảng cách giữa hai
điểm bất kỳ.
BIỂU THỨC TỌA ĐỘ :

Gọi M '  x '; y '   T M  x; y  với v   a; b  . Khi
v

a2  c2 b2


2

4

mc2 

ĐỊNH NGHĨA:

4.

biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
LƯU Ý :

Năm học 2020 - 2021
LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM
Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13
ĐT : 088 880 51 52


facebook : lớp nhóm minh trí

GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983 790 520

Trang 11

TÓM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG OXY


Nếu v có giá song song hoặc trùng với đường
thẳng d thì đường thẳng d bất động qua phép
tịnh tiến.
----------------------------------------------

 Biến ba điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng
hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự
giữa các điểm ấy.
 Biến đường thẳng thành đường thẳng song song
hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn
thẳng thành đoạn thẳng.
 Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó,
biến góc thành góc bằng nó.
 Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính

Phép 2. PHÉP QUAY
1.

ĐỊNH NGHĨA:
Cho điểm O và góc lượng giác
 . Phép biến hình biến điểm O

thành chính nó, biến điểm M
khác O thành điểm M’ sao cho
OM '  OM và góc lượng giác OM;OM ' bằng
 được gọi là phép quay tâm O góc  .
 Điểm O gọi là tâm quay và  được gọi là góc
của phép quay.
 Kí hiệu: QO ,  .

2.

3.

k .R .
3.

TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN:
 Định lý : với hai đường tròn bất kỳ luôn có một
phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn
kia.
----------------------------------------------

TÍNH CHẤT:
+ Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai
điểm bất kỳ.
+ Phép quay biến đường thẳng thành đường
thẳng, biến đường tròn thành đường tròn có cùng
bán kính..
BIỂU THỨC TỌA ĐỘ :
Trong mặt phẳng Oxy cho A  x A ; y A  . Gọi A’
là ảnh của A qua phép quay QO,  . Ta có :

 x A '  x A  cos   y A  sin 

 y A '  x A  sin   y A  cos 
----------------------------------------------

Phép 3. PHÉP VỊ TỰ
1.

2.

ĐỊNH NGHĨA :

Cho điểm O và số k  0 . Phép biến hình biến


điểm M thành điểm M’ sao cho OM '  kOM
được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.
 Kí hiệu: VO,k  .
 Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
 Khi k  1 , phép vị tự là phép đồng nhất.
 Khi k  1 , phép vị tự là phép đối xứng tâm.
TÍNH CHẤT:
a. Tính chất 1 :
Phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo


thứ tự thành M’, N’ thì thì M ' N '  k MN vaø
M ' N '  k .MN
b. Tính chất 2 : Phép vị tự tỉ số k:

Năm học 2020 - 2021
LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM
Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13
ĐT : 088 880 51 52


Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & TMT 13

GV: Vũ Văn Thiện

Traèg 11

TÓM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ II

Bài 1. TỌA ĐỘ VECTƠ – ĐIỂM
x A  x B  xC  x D


I. Tọa độ của vectơ:




M  x; y; z  OM  xi  y j  zk





u   x; y; z  u  xi  y j  zk



Với i  1; 0; 0  ; j   0;1; 0  ; k   0; 0;1 là ba
vectơ đơn vị trên 3 trục Ox, Oy, Oz.
II. Tính chất về tọa độ vectơ:


Cho a  a1; a2 ; a3  ; b  b1; b2 ; b3 
 
1. a  b 
2.

3.
4.
5.
6.
7.

 a1  b1

a2  b2

 a3  b3

 
a  b  a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 

k a   ka1; ka2 ; ka3 

a  a12  a22  a32

a.b  a1b1  a2 b2  a3b3
 

a  b  a.b  0  a1b1  a2 b2  a3b3  0

 
a.b
cés a, b   
a.b

IV. Tích có hướng của 2 vectơ và ứng dụng :

1. Định nghĩa :
+ Trong khoâng gian Oxyz cho hai vectơ :


a  a1; a2 ; a3  ; b   b1; b2 ; b3  .


+ Vectơ tích có hướng của a và b là :
  

 a, b   a2 a3 ; a3 a1 ; a1 a2 
   b b b b b b 


2

 





a12  a22  a32 . b12  b22  b32


8. a cùng phương b
a
a a
 1  2  3  b1 , b2 , b3  0 
b1 b2 b3

III. Tính chất về tọa độ của điểm :

1. AB   x B  x A ; yB  y A ; zB  zA 
2

2

2. AB   xB  x A    yB  yA    zB  zA 
3. I là trung điểm của AB
 x  x B y A  yB zA  zB 
I  A
;
;

 2
2
2 
4. G là trọng tâm ABC

Chú ý:

3

3

1

1

2

a c
 ad  bc
b d

2. Tính chất:
  


* a cùng phương b   a, b  0
 
 
 
*  a, b  a , b
 
  
  
* a , b , c đồng phẳng   a, b .c  0
 
3. Ứng dụng :
1  
* Diện tích tam giác: SABC   AB, AC 

2

a1b1  a2 b2  a3b3

2

xG 



4



y A  yB  yC  xD

 yG 

4



z  zB  zC  x D

zG  A


4


6. Tọa độ tâm I đường tròn nội tiếp ABC :

 x  BC.x A  CA.x B  AB.xC
 I
BC  CA  AB

BC.y A  CA.yB  AB.yC


 yI 

BC  CA  AB

 z  BC.zA  CA.zB  AB.zC
 I
BC  CA  AB


*

Thể tích tứ diện : VA.BCD 

*

Thể tích hình hộp:

1
6

  
 AB, AC  . AD



  
VABCD. A ' B 'C ' D '   AB, AD  . AA '


----------------------------------------------

Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
 x A  x B  xC y A  yB  yC zA  zB  zC 
I 
;
;


 I. Định nghĩa 1:
3
3
3
Phương trình mặt cầu (S) tâm I  a; b; c  bán
5. G là trọng tâm tứ diện ABCD
kính R có dạng :
2
2
2
 x  a   y  b   z  b  R 2
Năm học 2019 - 2020
LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM
facebook : />ĐT : 088 880 51 52


Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & TMT 13

GV: Vũ Văn Thiện

Traèg 12

TÓM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ II
Chú ý: Phương trình mặt cầu tâm O  0;0; 0  bán

+ Phương trình tổng quát của   là :

A  x  xo   B  y  yo   C  z  zo   0

kính R có dạng: x 2  y 2  z2  R 2

hay : Ax  By  Cz  D  0

II. Định nghĩa 2: Mỗi phương trình có dạng:

x 2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d  0
vôùi điều kiện a2  b2  c 2  d  0 là phương
trình mặt cầu tâm I  a; b; c  bán kính

2. (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz)  R  a

Chú ý:
 Hai mặt phẳng song song có cùng vectơ pháp
tuyến.
 Hai mặt phẳng vuông góc thì hai vectơ pháp
tuyến vuông góc với nhau.
IV. Phương trình theo đoạn chắn:

3. (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)  R  b

+ Nếu   cắt 3 trục tọa độ tại A  a;0; 0  ,

R  a2  b2  c 2  d
III. Điều kiện tiếp xúc:
1. (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy)  R  c

---------------------------------------------Bài 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
 
+ Vectơ n  0 được gọi là vectơ pháp tuyến

của mặt phẳng   neáu giá của n vuông góc
với   .
II. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng:
 
+ Cặp vectơ a , b không cùng phương được
gọi là cặp vec tơ chỉ phương của mặt phẳng


  nếu giá của a và b song song hoặc nằm
trong mặt phẳng   .

B  0; b;0  ,

pháp tuyến của mặt phẳng   .
+ Mặt phẳng (ABC) nhận :
 
 AB, AC là một cặp vectơ chỉ phương.

 
 n  [ AB, AC ] là một vectơ pháp tuyến.

x y z
   1.
a b c
---------------------------------------------Bài 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MP

CHÙM MẶT PHẲNG
I. Một số quy ước và ký hiệu:
1. Hai bộ số  A; B; C  và  A '; B '; C ' được gọi
là tỉ lệ với nhau nếu:

A
B
C
 
với quy
A' B' C '

ước mẫu số khác 0.
2. Nếu  A; B; C  và  A '; B '; C ' tỉ lệ với nhau
thì ta ký hiệu : A : B : C  A ' : B ' : C '
3. Nếu  A; B; C  và  A '; B '; C ' không tỉ lệ với
nhau thì ta ký hiệu : A : B : C  A ' : B ' : C '
II. Vị trí tương đối hai mặt phẳng:
Cho 2 mặt phẳng:   : Ax  By  Cz  D  0

  : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0
1.

 

cắt    A : B : C  A ' : B ' : C '

A
B
C
D
  
A' B' C ' D'
A
B
C
D
  
3.   //    
A' B' C ' D'
III. MP đi qua giao tuyến hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng cắt nhau :

2.

III. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
qïa Mo  xo ; yo ; zo 

+  
VTPT n   A; B; C 

( a, b, c  0 ) thì :

  :

Lưu ý:

 
+ Nếu a , b là một cặp vectơ chỉ phương của
  
mặt phẳng   thì n   a, b là một vectơ
 

C  0; 0; c 

      

  : Ax  By  Cz  D  0 và
  : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0 .

Năm học 2019 - 2020
LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM
facebook : />ĐT : 088 880 51 52


Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & TMT 13

GV: Vũ Văn Thiện

Trằg 13

TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ II


Mọi mặt phẳng chứa giao tuyến của   và

  thì phương trình có dạng :

---------------------------------------------Bài 6. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

p  Ax  By  Cz  D   q  A ' x  B ' y  C ' z  D '  0

I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng :
(*) với p2  q2  0

a
 a1; a2 ; a3 
A
x
;
y
;
z
d
qua
có
VTCP


A
A
A
 Ngược lại mọi phương trình (*) đều là


phương trình của mặt phẳng đi qua giao
d’ qua B  xB ; yB ; zB  có VTCP b  b1; b2 ; b3  .
tuyến của   và   .
 Nếu a1 : a2 : a3  b1 : b2 : b3 . Khi đó :
 Phương trình (*) gọi là phương trình chùm
 Nếu A  d ' ( hoặc B  d ) Thì d  d ' .
mặt phẳng.
 Nếu A  d ' ( hoặc B  d ) Thì d // d ' .
---------------------------------------------  
[
a
, b]. AB

Nếu
a
:
a
:
a

b
:
b
:
b
thì
ta
tìm
1
2

3
1
2
3
Bài 5. ĐƯỜNG THẲNG
  
 Nếu [a, b]. AB  0  d và d’ cắt nhau.
  
I. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
 Nếu [a, b]. AB  0  d và d’ chéo nhau.
 
+ Vectơ u  0 gọi là vec tơ chỉ phương của II. Vị trí tương đối của đường thẳng và MP:


đường thẳng  nếu giá của u song song
 d qua M  xo ; yo ; zo  , VTCP u  a; b; c

hoặc trùng với đường thẳng  .
   : Ax  By  Cz  D  0 có n   A; B; C  .
II. Phương trình tham số và chính tắc:
 Nếu a : b : c  A : B : C  d    .
qïa Mo  xo ; yo ; zo 



 Nếu a : b : c  A : B : C thì ta tìm u.n
VTCP u  a; b; c

 u.n  0


 Nếu 
 d //  
 M   


 u.n  0

 Nếu 
 d   
 M   
 Phương trình tham số :


 x  xo  at
 d cắt  
 Nếu u.n  0

 :  y  yo  bt t   

--------------------------------------------- z  zo  ct
Bài 7. KHOẢNG CÁCH
 phương trình chính tắc :

x  xo y  yo z  zo


a
b
c

Với a; b; c  0 .

I. Khoảng cách từ 1 đến đến 1 mặt phẳng :
Cho M  xo ; yo ; zo  và   : Ax  By  Cz  D  0

III.Phương trình đường thẳng đi qua giao
Axo  Byo  Czo  D
tuyến hai mặt phẳng :
d  M ,  
A2  B 2  C 2
  là giao tuyến hai mặt phẳng :

  : Ax  By  Cz  D  0 ; n   A; B; C  II. Khoảng cách từ 1 điếm đến 1 đường thẳng:


Cho
điểm
M
,
qua
M
và
có
VTCP
u


1
o
;

  : A' x  B ' y  C ' z  D '  0




 M M , u
n    A '; B '; C '
 o 1 
d  M1,   

u
Ax

By

Cz

D

0

:
A' x  B ' y  C ' z  D '  0
 Chú ý: Có thể tìm khoảng cách từ M1 đến
 Đường thẳng  có 1 vectơ chỉ phương

 
 như sau :
là u  [n , n  ]
Năm học 2019 - 2020

LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM
facebook : />ĐT : 088 880 51 52


Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & TMT 13

GV: Vũ Văn Thiện

Trằg 14

TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ II
 
 
 Viết phương trình mặt phẳng   qua M1 và
       n1  n2  n1.n2  0
---------------------------------------------   .
Bài 9. GIAO CỦA MP & MẶT CẦU
 Tìm giao điểm H của  và   . Khi đó :
d  M1 ,   M1H
III. Khoảng cách giữa hai ĐT chéo nhau:
Cho hai đường thẳng chéo nhau  và  '

  qua A có vectơ chỉ phương a .

  ' qua B có vectơ chỉ phương b .
  
 a, b . AB
 
d ,  '     
 a, b

 
---------------------------------------------Bài 8. GĨC
I. Góc giữa hai đường thẳng:


Cho  có VTCP a và  ' có VTCP b .

a.b
cés ,  '   
a.b
 Chú ý:  0o  ,  '  90o
 

    '  a  b  a.b  0
II. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :


 có VTCP a và  có VTPT n .

n.a
siè ,   
n.a
 Chú ý:


0o  ,  90o



 //   hoặc      n  a 






n.a  0 .
III. Góc giữa hai mặt phẳng:


Cho  có VTPT n1 và   có VTPT n2 .
 
n1.n2
cés  ,    
n1 . n2
 Chú ý:





 0o   ,   90o



 : Ax  By  Cz  D  0



S : S  :  x  a   y  b   z  c  R 2

2

2

2

có tâm I, bán kính R.
 Gọi H là hình chiếu của I lên  


Tìm d  d  I , 

 Nếu d  R :  không cắt S
 Nếu d  R : thì  tiếp xúc với S  tại tiếp
điểm H.
 Nếu d  R thì   cắt (S) theo đường tròn (C)
có tâm H, bán kính r  R 2  d 2 .
 Vậy

:


Ax  By  Cz  D  0
C  : 
 x  a2   y  b2   z  c2  R 2


---------------------------------------------Bài 10. CÁC DẠNG TỐN CƠ BẢN
1. Đường vng góc chung của 2 đường thẳng

chéo nhau:
CÁCH 1:
Gọi  là đường vng góc chung của d1 và
  
d2 chéo nhau  u  u1, u2 


 Tìm phương trình mặt phẳng   chứa  và
d1 .   :

qïa M1  d1
  
VTPT n   u , u1 



 Tìm phương trình mặt phẳng   chứa  và
d2 .    :

qïa M2  d2
  
VTPT n  u , u2 



 Đường vng góc chung  là giao tuyến của
  và   .

Năm học 2019 - 2020
LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM

facebook : />ĐT : 088 880 51 52


Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & TMT 13

GV: Vũ Văn Thiện

Traèg 15

TÓM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ II
CÁCH 2:
Hai đường thẳng chéo nhau nhưng vuông góc
với nhau
 Viết phương trình mp   chứa d1 và vuông
góc với d2 .
 Viết phương trình mp   chứa d2 và vuông
góc với d1 .
 Đường vuông góc chung  là giao tuyến của
  và   .
CÁCH 3:
Tìm tọa độ điểm M  d1 ; N  d2 sao cho MN là

4. Tìm hình chiếu  của đường thẳng d trên
mặt phẳng   :
CÁCH 1
 Viết phương trình mặt phẳng   chứa d và
vuông góc với   .
 Gọi       . Suy ra  là hình chiếu
của d trên   .

đoạn vuông góc chung của d1 và d2 .
 M  d1  Tọa độ của M theo tham số m của
phương trình d1
 N  d2  Tọa độ của N theo tham số n của
phương trình d2
 
 MN .u1  0
 MN  d1 
  
 
 Tìm được m,
 MN  d2 MN .u  0
2


n.
 Tìm tọa độ điểm M, N.
2. Tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng
  :
 Viết phương trình đường thẳng  qua M và
vuông góc với   .
 Tìm H     

CÁCH 2
TH1 : d //  
 Chọn điểm M  d .
 Tìm hình chiếu H của M trên   .
  là đường thẳng đi qua H và song song với
d.
TH1 : d cắt  

 Tìm I  d  
 Chọn M  d và M  I .
 Tìm hình chiếu H của M trên   .
  là đường thẳng IH.
---------------------------------------------Bài 11. CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỰ ĐỐI

XỨNG
3. Tìm hình chiếu H của điểm M trên đường 1. Tìm điểm M’ đối xứng với M qua   :
thẳng  :
 Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên   .
CÁCH 1
 M’ đối xứng với M qua    H là trung
 Gọi H là hình chiếu của M trên  .
điểm của đoạn thẳng MM’.
 Viết tọa độ của H theo tham số t của  .
 
 Ta có : MH    MH .u  0  t  tọa
độ H.
CÁCH 2
 Viết phương trình mặt phẳng   qua M và
vuông góc với  .
 Tìm H      .

2. Tìm điểm M’ đối xứng với M qua  :
 Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên  .
 M’ đối xứng với M qua   H là trung
điểm của đoạn thẳng MM’.

Năm học 2019 - 2020
LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM

facebook : />ĐT : 088 880 51 52


Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & TMT 13

GV: Vũ Văn Thiện

Trằg 16

TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ II
 (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)
3. Tìm đường thẳng d’ đối xứng với d qua   :
 d  I , P   R
TH1 : d //  
 Tìm D’.
4. Tìm mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu S  I , R 

 Chọn điểm M  d .
 Tìm điểm M’ đối xứng với M qua   .
 d ' là đường thẳng đi qua M’ và song song
với d.
TH1 : d cắt  
 Tìm I  d  
 Chọn M  d và M  I .

tại điểm M  xo ; yo ; zo   S 
 
 (P) đi qua M, VTPT nP   IM .
---------------------------------------------Bài 12. CÁC DẠNG TỐN VỀ ĐƯỜNG
THẲNG

 Tìm điểm M’ đối xứng với M qua  
 d ' là đường thẳng IM’.

1. Tìm 

Qïa M
:
vïéâèg géùc với d vàcắt d

 Tìm điểm H là hình chiếu của M trên d.
  là đường thẳng MH.

---------------------------------------------Bài 12. CÁC DẠNG TỐN VỀ MẶT PHẲNG
2. Tìm 
1. Tìm

P

séèg séèg   : Ax  By  Cz  D  0
:
cácâ điekm M  xo ; yo ; zo  méät đéạè bằèg k

  P  : Ax  By  Cz  D '  0
 d  M , P   k 

Axo  Byo  Czo  D '
A2  B 2  C 2

Qïa M

:
vïéâèg géùc với d1 vàcắt d2

 Viết phương trình mặt phẳng   qua M và
vng góc với d1 .
 Tìm A  d 2   

k

  là đường thẳng MA.

 Tìm D’.
2. Tìm mặt phẳng (P) cách   một đoạn bằng
k:
   : Ax  By  Cz  D  0 Suy ra

 P  : Ax  By  Cz  D '  0
 Chọn điểm M  xo ; yo ; zo     .
d   , P   d  M , P   k



Axo  Byo  Czo  D '
2

2

A  B C

2

3. Tìm 

Qïa M
:
cắt d1 vàd2

 Viết phương trình mp   chứa M và d1 .
 Tìm A  d2   
  là đường thẳng AM.

k

 Tìm D’.
3. Tìm mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu S  I , R 
và song song với   .
   : Ax  By  Cz  D  0 Suy ra

 P  : Ax  By  Cz  D '  0

4. Tìm 

Séèg séèg d
:
cắt d1 vàd2

 Viết phương trình mặt phẳng   chứa d1 và
song song với d.

Năm học 2019 - 2020

LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM
facebook : />ĐT : 088 880 51 52


Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & TMT 13

Traèg 17

GV: Vũ Văn Thiện

TÓM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ II
 Tìm A  d2   
  là đường thẳng qua A và song song với d.

qïa A

  
5. Tìm  séèg séèg mp (P) : u   nP , ud 


 d
6. Tìm 

 (P)
:
caét d1 vaød2

 Viết phương trình mặt phẳng   chứa d1 và
vuông góc với mặt phẳng (P).
 Tìm A  d2   

  là đường thẳng đi qua A và vuông góc với
mặt phẳng (P).

7. Tìm 

câö ùa tréèg (P)
:
caét d1 vaød2

 Tìm A  d1   P 
 Tìm B  d2   P 
  là đường thẳng AB.
----------------------------------------------

Năm học 2019 - 2020
LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM
facebook : />ĐT : 088 880 51 52


Traná 11

àacebook : lớp nhóm minh trí

GV: Vũ Văn Thiện

TÓM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 & 12
1. TÌM GIAO TUYẾN HAI MẶT PHẲNG:
+ Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta
tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng đó rồi nối
lại.

A  
 AB  

B  


2. TÌM GIAO ĐIỂM ĐT& MP:
Caùch 1 :
+ Tìm trong mp   1 đường thẳng b sao cho b
cắt a tại 1 điểm A.
 A  a
 A  a   
+ Kết luận : 

A  b   

Các xác định thiết diện: ta tìm các đoạn giao
tuyến của   với các mặt bên hay mặt đáy
của hình chóp cho tới khi các đoạn giao
tuyến khép kín ta được hình thiết diện.
6. QUỸ TÍCH GIAO ĐIỂM HAI ĐT d1 &ø d2 :
+

Tìm hai mp cố định lần lượt chứa d1 và d2 .

+
+

Suy ra I nằm trên giao tuyến của hai mp này.
Giới hạn (nếu có).

7. TÍNH CHẤT 2 MP CHỨA 2 ĐT SS :
+ Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt chứa hai
đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng song song với hai đường thẳng đó
hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

a // b

 a   
 x // a // b

 b  ( )

 x      

Cách 2:
+ Chọn mặt phẳng phụ    chứa a.
+ Tìm giao tuyến x        

8. CHỨNG MINH ĐT SONG SONG MP:
+ Ta chứng minh đường thẳng đó song song
với 1 đường thẳng nằm trong mặt phẳng.

+ Trong mp    tìm A  a  x .
+ Kết luận A  a     .

 a // b

a     a //  


b   

3. CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG:
9. TÍNH CHẤT ĐT SONG SONG MP :
+ Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ta
+ Nếu một đường thẳng song song với một mặt
chứng minh chúng nằm trên giao tuyến của
phẳng thì nó song song với giao tuyến của
hai mặt phẳng phân biệt.
mặt phẳng đó và mặt phẳng thứ hai chứa nó.
4. CHỨNG MINH 3 ĐT ĐỒNG QUY:
 a //  
+ Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng bất

 a     a // x
kỳ.

+ Chứng minh điểm M thuộc đường thẳng còn
 x      
lại (ta đưa về bài toán chứng minh 3 điểm
thẳng hàng, hoặc ta chứng minh điểm M là
10. TÍNH CHẤT 2 MP SONG SONG 1 ĐT :
điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến
+ Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng song
là đường thẳng thứ ba).
song với một đường thẳng thì giao tuyến của
5. THIẾT DIỆN:
chúng song song với đường thẳng đó.
Định nghĩa : Thiết diện của hình chóp bị cắt bởi

 a // 

mặt phẳng   là một đa giác phẳng có các
 a //   x // a

cạnh là giao tuyến của   với các mặt bên
x   
hay mặt đáy hình chóp.
11.TÍNH CHẤT 2 MP SONG SONG :
Năm học 2020 – 2021

LỚP HỌC MINH TRÍ 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q. 12, Tp.HCM

Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13

ĐT : 088 880 51 52


Traná 12

àacebook : lớp nhóm minh trí

GV: Vũ Văn Thiện

TÓM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 & 12
+ Khi hai mặt phẳng song song, đường thẳng
nào nằm trong mặt phẳng này thì song song
với mặt phẳng kia.
12. CÁCH CHỨNG MINH 2 MP SONG SONG :
Cách 1 : Ta chứng minh mặt phẳng này chứa 2

đường thẳng cắt nhau cùng song song với
mặt phẳng kia.
Cách 2 : Ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai
đường thẳng song song cùng song song với 2
đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng kia.
13. TÍNH CHẤT 2 MP SONG SONG:
+ Khi hai mặt phẳng song song, mặt phẳng thứ
3 nếu cắt mặt phẳng thứ nhất thì cắt mặt
phẳng thứ hai và hai giao tuyến song song
với nhau.
   //  

      a  a // b

       b

-------------------------------VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN
1. QUY TẮC 3 ĐIỂM:
Cho 3 điểm A, B, C bất kỳ, ta có :
  
 AB  BC  AC (đối với phép cộng)
  
 AC  AB  BC (đối với phép trừ)
2. QUY TẮC HÌNH BÌNH HÀNH:
 Cho hình bình hành ABCD ta có:
  
AC  AD  AB
3. QUY TẮC TRUNG ĐIỂM:
  
 I là trung điểm AB  IA  IB  0 .

 Với một điểm O bất kỳ, ta có :
 1  
OI  OA  OB .
2
4. QUY TẮC TRỌNG TÂM:
   
 G là trọng tâm ABC  GA  GB  GC  0 .
 Với một điểm O bất kỳ, ta có :
 1   
OG  OA  OB  OC
3
5. QUY TẮC HÌNH HỘP :
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ , ta có :
   
AB  AD  AA '  AC ' .
6. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA 3 VECTƠ:





Năm học 2020 – 2021

a. Định nghĩa: Trong không gian ba vectơ gọi
là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song
song với một mặt phẳng
b. Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng :
+ Nếu 1:



+ Trong không gian cho hai vec tơ a và b

không cùng phương với vectơ c . Khi đó ba
  
vec tơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi có






cặp số m, n sao cho c  ma  nb . Ngoài ra cặp
số m, n là duy nhất.
Lưu ý 2:
+ Trong không gian cho ba vectơ không đồng
  

phẳng a, b, c . Khi đó với mọi vectơ x ta
tìm được duy nhất bộ ba số m, n, p sao cho




x  ma  nb  pc . Ngoại ra ba số m, n, p là
duy nhất,

-------------------------------Chương III: QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Bài 1 : GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1. Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau :
+ Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O thì

chúng tạo thành bốn góc. Số đo của góc nhỏ
nhất trong bốn góc đó gọi là góc tạo bởi hai
đường thẳng đã cho a và b.
2. Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau:
+ Góc giưa hai đường thẳng a và b là góc tạo
bởi hai đường thẳng x’Ox, y’Oy kẻ từ một
điểm O bất kỳ lần lượt song song với a và b.





-------------------------------Bài 2 : ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MP
1. Tính chất đường thẳng vuông góc với mp:
+ Nếu một đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng
của mặt phẳng đó..

LỚP HỌC MINH TRÍ 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q. 12, Tp.HCM

Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13

ĐT : 088 880 51 52


Traná 13

àacebook : lớp nhóm minh trí

GV: Vũ Văn Thiện

TÓM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 & 12
   a
     
a   

hai mặt phẳng đó cũng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba.


      x


       x   





      

2. Cách chứng minh đt vuông góc mp:
+ Ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc 4. CÁCH DỰNG ĐOẠN VUÔNG GÓC KẺ TỪ
với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt
1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶT PHẲNG:
phẳng
+ Chọn mặt phẳng phụ    chứa A và vuông

-------------------------------Bài 2 : HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

1. CÁCH CHỨNG MINH 2 MP VUÔNG GÓC
+ Ta chứng minh mặt phẳng này chứa một
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

góc với   .
+ Tìm giao tuyến x        .
+ Trong mặt phẳng (  ) kẻ đường thẳng
AH  x
+ Kết luận AH    . Hay d  A,     AH .

a   

     
a   


2. TÍNH CHẤT HAI MP VUÔNG GÓC :
5. CÁC LOẠI KHOẢNG CÁCH:
+ Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì
1. Khoảng cách từ 1 đến đến 1 đường thẳng :
bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng
Là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến
này và vuông góc với giao tuyến thì vuông
đường thẳng.
góc với mặt phẳng kia.
2. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng :
.
Là độ dài đoạn vuông góc kẻ tử điểm đó đến
    


mặt phẳng.
x     
 a   

 a  x
3. Khoảng cách từ một

đường thẳng đến một
 a  
mặt phẳng song song:
Là khoảng cách từ một
+ Nếu hai mặt phẳng   và   vuông góc với
điểm bất kỳ trên đường
nhau và A là điểm nằm trên   thì đường
thẳng đến mặt phẳng.
thẳng qua A và vuông góc với   sẽ nằm
4. Khoảng cách giữa hai mp
trong   .
song song:
Là khoảng cách từ một
     
điểm bất kỳ trên mặt phẳng

 A   
này đến mặt phẳng kia.
 a   

 A a
 a   


3. TÍNH CHẤT 2 MP VUÔNG GÓC VỚI MP
THỨ BA:
+ Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông
góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của
Năm học 2020 – 2021

5. Khoảng cách giữa hai đt chéo nhau a & b:
Cách 1 :
+ Dựng đoạn vuông góc chung
MN của a và b.
+ d  a, b   MN .
Cách 2 : (Nếu hai đường thẳng vuông góc).

LỚP HỌC MINH TRÍ 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q. 12, Tp.HCM

Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13

ĐT : 088 880 51 52


Traná 14

àacebook : lớp nhóm minh trí

GV: Vũ Văn Thiện

TÓM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 & 12
là hình chiếu của đường thẳng a lên mặt phẳng
 

+ Dựng mặt phẳng   chứa b
vuông góc với a.
+ Tìm A  a   


+ Kết luận:  a,    a
, a ' .


+ Dựng AB  b tại B. Suy ra
AB là đoạn vuông góc
chung của a và b.
+ Kết luận : d  a, b   MN

 A  a  

 MH  

 AH là hình chiếu của đường thẳng a lên  

Cách 3 : (Nếu hai đường
thẳng không vuông
góc).
+ Dựng mp phụ   chứa b và   // a .
+



d  a, b   d  a,     d  M  a,    .

-------------------------------6. Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng chéo nhau (Nếu hai đường thẳng
không vuông góc)
+ Chọn mặt phẳng phụ   chứa b và song
song với a.
+ Chọn điểm M thuộc a, dựng MH    .
+ Trong   từ H kẻ đường thẳng a’ song song
với a cắt b tại B.
+ Trong mp a, a ' , qua B kẻ đường thẳng song



  a,    a
, a '  MAH


II. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG :
Là góc tạo bởi hai đường thẳng :
+ Cùng đi qua 1 điểm trên giao
tuyến.
+ Cùng vuông góc với giao
tuyến.
+ Cùng thuộc hai mặt phẳng.


x      




ax



bx
 
  ,    a
, b







a









 b   

-------------------------------CÁC LOẠI HÌNH ĐẶC BIỆT

song với MH cắt đường thẳng a tại A.

+ Chứng minh AB  a, b .
1. HÌNH LĂNG TRỤ
+ Kết luận AB là đoạn vuông góc chung của a
Là hình đa diện có 2 đáy là 2 đa giác nằm trong
và b.
hai mặt phẳng song song, các cạnh bên song
song với nhau.
2. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG :
Là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với
mặt đáy.
-----------------------------------3. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỀU :
Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
GÓC

-----I. GÓC GIỮA ĐT & MP :
+ Là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu 4. HÌNH HỘP :
của đường thẳng đó lên mặt phẳng.
Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
 Phương pháp:
5. HÌNH HỘP ĐỨNG :
+ Tìm giao điểm
Là hình hộp có các cạnh bên vuông góc với mặt
A  a   
đáy.
6. HÌNH HỘP CHỮ NHẬT :
+ Lấy M trên a.
Là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Kẻ MH   
7. HÌNH LẬP PHƯƠNG :
+ Suy ra đường

Là hình hộp chữ nhật có các cạnh bên bằng nhau.
thẳng a’ qua AH
Năm học 2020 – 2021

LỚP HỌC MINH TRÍ 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q. 12, Tp.HCM

Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13

ĐT : 088 880 51 52


Traná 15

àacebook : lớp nhóm minh trí

GV: Vũ Văn Thiện

TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 & 12
KẾT LUẬN
-------------------------------Hình lăng trụ  lăng trụ đứng  lăng trụ đều
ĐỊNH LÝTỈ SỐ THỂ TÍCH
Hình hộp  hộp đứng  hộp chữ nhật  lập
phương

------

Cho hình chóp S.ABC, trên SA, SB, SC lần lượt
lấy các điểm A’, B’, C’ bất kỳ. Ta có:
VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '


.
.
.
VS . ABC
SA SB SC

8. HÌNH CHĨP ĐỀU :
a. Định nghĩa :
Hình chóp đều là
-------------------------------hình chóp có đáy
MẶT CẦU
là đa giác đều, các
cạnh bên bằng
1. ĐỊNH NGHĨA MẶT CẦU:
nhau. Hình chiếu
Tập hợp các điểm trong khơng gian cách điểm O
của đỉnh lên mặt
cố định một khoảng R cho trước được gọi là mặt
phẳng đáy trùng
cầu tâm O bán kính R.
với tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác 2. ĐỊNH NGHĨA KHỐI CẦU:
đáy.
Tập hợp các điểm nằm trong mặt cầu và thuộc
b. Tính chất : Trong hình chóp đều thì :
mặt cầu gọi là khối cầu.
+ Các mặt bên là những tam giác cân bằng 3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ
nhau.
MP
+ Đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm cạnh
đáy là trung đoạn của hình chóp đều.

-------------------------------DIỆN TÍCH - THỂ TÍCH
1. DIỆN TÍCH XUNG QUANH HÌNH CHĨP
+ Bằng tổng diện tích các mặt bên
Sxïná ëïanâ   Smặtbên
2. DIỆN TÍCH TỒN PHẦN :
+ Bằng diện tích xung quanh + diện tích đáy.
Stoàn êâần  Sxïná ëïanâ  Sđáy
3. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP:
Vcâóê

a. Nếu d O,     R thì   khơng cắt (S).
b. Nếu d O,     R thì

 

 

tiếp xúc (S),

gọi là mặt phẳng tiếp diện.

c. Nếu d O,     R thì   cắt

(S) theo

giao tuyến là đường tròn nằm trong   có
tâm H là hình chiếu của O lên mặt phẳng

1

 Sđáy .h
3

 

Với h: chiều cao hình chóp
4. THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ :

Vlăná trïï  S đáy .h
Với h: chiều cao hình lăng trụ.
5. THỂ TÍCH HÌNH HỘP CHỮ NHẬT:

Vâộê câư õnâật  a.b.c
Với a, b, c là ba kích thước.
3. THỂ TÍCH HÌNH LẬP PHƯƠNG :

Vlậê êâư ơná  a3
Với a : độ dài cạnh.
Năm học 2020 – 2021

Cho mặt cầu S  O, R  và mặt phẳng  

và có bán kính r  R 2  d 2 O,    .

4. TRỤC ĐƯỜNG TRỊN NGOẠI TIẾP ĐA
GIÁC:
a. Định nghĩa :
+ Trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác là
đường thẳng đi qua tâm của đường tròn ngoại
tiếp đa giác và vng góc với mặt phẳng

chứa đa giác.
b. Tính chất:
+ Mọi điểm nằm trên trục của đường tròn ngoại
tiếp đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác.
Ngược lại, mọi điểm cách đều các đỉnh của
đa giác thì nằm trên trục của đường tròn
ngoại tiếp đa giác.

LỚP HỌC MINH TRÍ 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q. 12, Tp.HCM

Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13

ĐT : 088 880 51 52


Traná 16

àacebook : lớp nhóm minh trí

GV: Vũ Văn Thiện

TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 & 12
5. MẶT PHẲNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN
THẲNG :
a. Định nghĩa:
+ Là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn
thẳng và vng góc với đoạn thẳng đó.
b. Tính chất :
+ Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng thì cách đều hai đầu đoạn thẳng.

Ngược lại, mọi điểm cách đều hai đầu đoạn
thẳng thì thuộc mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng đó.
6. XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU
NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP :
* Cách 1 :
+ Nếu các đỉnh của hình chóp cùng nhìn đoạn
AB dưới một góc vng thì ta6k của mặt cầu
là trung điểm đoạn AB. Bán kính R 

+ Hình trụ là hình tròn xoay tạo ra bởi 4 cạnh
của hình chữ nhật khi quay quanh đường trung
bình của hình chữ nhật đó.
3. Định nghĩa khối trụ:
Khối trụ là hình trụ cùng với phần bên trong của
nó.
4. Các loại giao tuyến của mặt trụ với mp:
Loại 1:
+ Nếu cắt mặt trụ tròn xoay bằng một mặt
phẳng   khơng vng góc với trục nhưng cắt
tất cả các đường sinh thì ta được giao tuyến là
2R
một elip có trục nhỏ bằng 2R và trục lớn là
sin 
(Với  là góc giữa   và trục  ).

AB
.
2

Loại 2:
* Cách 2 :
Một mặt phẳng   song song với trục  của
+ Tìm trục  của đường tròn ngoại tiếp đa
một mặt trụ tròn xoay và cách  một khoảng
giác này.
bằng h :
+ Tìm giao điểm  của trục  với mặt
phẳng trung trực một cạnh bên. Suy ra  là + Nếu h  R :   cắt mặt trụ theo hai đường sinh,
tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
thiết diện là một hình chữ nhật.
2
7. Diện tích mặt cầu: Smặtcầï  4 R .
+ Nếu h  R :   tiếp xúc với mặt trụ theo một
8. Thể tích khối cầu: Vkâốicầï 

4 3
R .
3

đường sinh.
+ Nếu h  R :   khơng cắt mặt trụ.

-------------------------------MẶT TRỤ – HÌNH TRỤ – KHỐI
TRỤ

+ Nếu   qua trục thì thiết diện là hình chữ nhật
có hai kích thước là chiều cao hình trụ và 2R.
5. Thể tích khối trụ:

Vtrïï  Sđáy .h

6. Diện tích xung quanh: S xïná ëïanâ trïï  2 R.h
1. Định nghĩa mặt trụ:
Mặt trụ là hình tròn xoay sinh ra bởi đường thẳng 7. Diện tích tồn phần :
Vtoàn êâần trïï  Sxïná ëïanâ trïï Sđáy trïï
l khi quay quanh đường thẳng  song song với
l.  gọi là trục, l gọi là đường sinh của mặt trụ.
8. Hình cầu nội tiếp hình trụ :
2. Định nghĩa hình trụ:
+ Hình trụ là hình giới hạn bởi mặt trụ và 2
Nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các đường
đường tròn bằng nhau, là giao tuyến của mặt trụ
sinh của hình trụ và tiếp xúc với hai đáy của hình
với hai mặt phẳng vng góc với trục  . Bán
trụ.
kính R của hai đường tròn là khoảng cách giữa 9. Mặt cầu ngoại tiếp hình trụ:
 và l.
Nếu mặt cầu đó chứa hai đường tròn đáy của
hình trụ.
Năm học 2020 – 2021

LỚP HỌC MINH TRÍ 18A Song Hành, P. Trung Mỹ Tây, Q. 12, Tp.HCM

Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13

ĐT : 088 880 51 52