Một phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

❍❖⑨◆● ❚❍➚ ❚❍❷❖

▼❐❚ P❍×❒◆● P❍⑩P ❈❍■➌❯ ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆
❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❇■➌◆ P❍❹◆ ❍❆■ ❈❻P

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✱ ◆❿▼ ✷✵✷✵


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

❍❖⑨◆● ❚❍➚ ❚❍❷❖

▼❐❚ P❍×❒◆● P❍⑩P ❈❍■➌❯ ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆
❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❇■➌◆ P❍❹◆ ❍❆■ ❈❻P
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿
▼➣ sè✿

❚❖⑩◆ Ù◆● ❉Ö◆●
✽✹✻✵✶✶✷

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❈→♥ ❜ë ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
P●❙✳❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❚❍❯ ❚❍Õ❨

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✱ ◆❿▼ ✷✵✷✵


✐✐✐

▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝↔♠ ì♥

✶

❇↔♥❣ ❦þ ❤✐➺✉

✷

❉❛♥❤ s→❝❤ ❜↔♥❣

✸

▼ð ✤➛✉

✹

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt

✻

✶✳✶

✶✳✷

▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✶ ❙ü ❤ë✐ tö ②➳✉✱ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✷ ❚♦→♥ tû ❝❤✐➳✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✸ ◆â♥ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✹ ⑩♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✈➔ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➔ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥
✶✳✷✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✷ ▼ët ❜➔✐ t♦→♥ t❤ü❝ t➳ ✤÷ñ❝ ♠æ t↔ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✸ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✹ ▼ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❣✐↔✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳

✳ ✻
✳ ✻
✳ ✼
✳ ✽
✳ ✽
✳ ✶✶
✳ ✶✶
✳ ✶✷
✳ ✶✹
✳ ✶✻

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ❣✐↔✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥
❤❛✐ ❝➜♣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
✷✷

✷✳✶

❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷
✷✳✶✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷
✷✳✶✳✷ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸


✐✈

✷✳✶✳✸
✷✳✷

❚❤✉➟t t♦→♥ ✤↕♦ ❤➔♠ t➠♥❣
♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ❣✐↔✐ ❜➜t ✤➥♥❣
✷✳✷✳✶ ▼æ t↔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✷ ❙ü ❤ë✐ tö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❝÷í♥❣ ❣✐↔✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ ✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❜✐➳♥
✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳

✳
✳
✳
✳

✷✹
✷✻
✷✻
✷✼

❑➳t ❧✉➟♥

✸✷

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✸✸




ớ ỡ
ữủ t t rữớ ồ ồ ồ
r q tr ồ t tỹ rữớ ồ
ồ t ồ tốt t tổ ữủ t ồ t
ự ổ ữủ ỷ ớ ỡ tợ Pỏ t
rữớ ồ ồ qỵ t ổ trỹ t ợ ồ
õ t t tr t ỳ tự qỵ
ụ ữ t tổ t õ ồ
t ởt tổ ổ ữủ sỹ ữợ

ú ù t t ừ P ế ổ
tọ ỏ t ỡ s s ổ ỷ ớ tr ừ tổ ố ợ ỳ
ổ tổ
ổ ỷ ớ ỡ t t tợ ỗ
ổ ở ộ trủ t tổ tr sốt q tr ồ t
tỹ
t







ỵ
H
C
ã, ã
(F, C)
NC (x0 )
S(F,C)
P(F, C)
P(F, C)

PC
(F, G, C)
S(G,C)


ổ rt tỹ

ởt t ỗ õ rộ ừ H
t ổ ữợ
t t tự ợ F
t r ở C
õ t ừ C t x0
t ừ t t tự
(F, C)
t tố ữ
t t ở
tr H C
t t tự
t t t tự (G, C)
t ừ t (F, G, C)


✸

❉❛♥❤ s→❝❤ ❜↔♥❣
✶✳✶
✶✳✷
✶✳✸

❇↔♥❣ t➼♥❤ t♦→♥ ✈î✐ x0 = (5, 5, 5)T ∈ R3 ✱ ❝❤å♥ µ = 1/(k + 2) ✳ ✳ ✳ ✷✶
❇↔♥❣ t➼♥❤ t♦→♥ ✈î✐ x0 = (−20, −60, −10)T ∈ R3 ✱ µ = 1/(k + 2) ✳ ✷✶
❇↔♥❣ t➼♥❤ t♦→♥ ✈î✐ x0 = (−20, −60, −10)T ∈ R3 ✱ µ = 1/(k + 4) ✳ ✷✶

H ởt ổ rt tỹ ợ t ổ ữợ ã, ã ã
C ởt t ỗ õ rộ ừ H F : C H tữớ
ữủ ồ tr ởt trữớ ủ F tứ H tợ H t
t tự ỡ tr tr H t tt (F, C) ữủ t
ữ s
x C s F (x ), x x 0 ợ ồ x C.
t t tự (F, C) ữủ ợ t t
rt t ự
t tố ữ t ữỡ tr r
t t tự õ q t tt ợ t tỹ
t ữ ổ tổ t tỹ t ỷ
ỵ
t t t tự tr
trữớ ủ t r ở C t ừ ữỡ tr t tỷ ỡ
ụ ự t t tự tr trữớ ủ
t t ợ t C t t ở ừ
ổ trữớ ủ r C t ừ ữỡ tr t tỷ
ỡ
ỳ t t tự ởt t ữủ
t ồ q t ự t ự ử ừ t
tr ởt số ồ t t tự ữủ
ự rở t tờ qt ỡ ữ t t tự
tr ợ F tr t t t


✺

✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✱
❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣✳ ✳ ✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ❣✐↔✐ ♠ët ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣

t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ tr♦♥❣ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✹❪✳ ◆ë✐
❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ✧❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
❜✐➳♥ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✧✳ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➲ t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉✱
→♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✱ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❝ò♥❣ ♠ët sè t➼♥❤
❝❤➜t❀ tr➻♥❤ ❜➔② ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt❀ ❣✐î✐
t❤✐➺✉ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ t❤ü❝ t➳ ❞➝♥ ✤➳♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
✤↕♦ ❤➔♠ t➠♥❣ ❝÷í♥❣ ❣✐↔✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ✧▼ët ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ❣✐↔✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✧✳
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❝ò♥❣ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥❀ ♠æ t↔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ❣✐↔✐ ❜➜t
✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü ❤ë✐ tö
❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣✳




ữỡ

t tự tr ổ
rt
ữỡ ợ t t t tự tr ổ
rt tỹ H ởt t tỹ t t tự
ữỡ t ữớ t tự ở ừ
ữỡ ữủ t tr ỡ s tờ ủ t

ởt số t t ừ ổ rt
H ởt ổ rt tỹ C ởt t ỗ õ
rộ ừ H ỵ t ổ ữợ ã, ã tữỡ ự ữủ
x =

x, x ợ ồ x H

ỹ ở tử ở tử

ởt {xk } H ữủ ồ ở tử ở
tử tợ x H ỵ xk x tữỡ ự xk

x xk x 0

tữỡ ự u, xk x 0 ợ ồ u H k
ởt {xk } H ở tử x t ụ ở tử x ữ
ữủ ổ ú t t r r

xk x
C = , C H

xk

x = xk x .




S : C H ữủ ồ ỷ õ t
{xk } ởt tr C s xk

x (I S)(xk ) 0 t

(I S)(
x) = 0
ừ t õ t t s

ờ ợ ộ x, y H t õ
= x

2

y

(ii) tx + (1 t) y

2

=t x

(i) x y



2

2

2 x y, y .
2

+ (1 t) y

2

t (1 t) x y

2

, t [0, 1] .

tỷ tr ổ rt

ừ ởt x H tr C ỵ PC (x) ởt tở

C x t ữủ
PC (x) = r { x y : y C}.



P õ t t s

ỵ C ởt t ỗ
õ rộ ừ ổ rt tỹ H õ
x PC (x), y PC (x) 0, y C, x H;
PC (x) ừ x tr C ổ tỗ t t
PC (x) PC (y)

2

PC (x) PC (y), x y , x, y H t ỗ ự

PC (x) PC (y) x y , x, y H t ổ

C ởt t ỗ õ
rộ ừ ổ rt tỹ H õ
x PC (x)

2

xy

2

y PC (x) 2 , x H, y C

PC (x) PC (y)

2

xy

x PC (x y)

2

y , x, y H;

z PC (x y)

2

xz

2

2

PC (x) x + y PC (y) 2 , x, y H;

2 x z, y + 5 y 2 , x, z C, y H.






õ t

sỷ C t ỗ rộ tr ổ rt tỹ H

x0 C õ t
NC (x0 ) = { H| , x x0 0, x C}
ữủ ồ õ t ừ C t x0 t NC (x0 ) ữủ ồ
õ t tr ừ C t x0
f : H R {+} ỗ tữớ tr H w H ữủ ồ
ữợ ừ f t x

f (y) w, y x + f (x), y H.
tt ữợ ừ f t x ữủ ồ ữợ ừ

f t x ỵ f (x) f ữủ ồ ữợ t x
f (x) = f ữợ tr t ỗ õ C H f (x) =

ợ ồ x C
ứ õ t ữợ ừ f tr tr
t õ ữủ t q s

ỵ sỷ C t ỗ õ rộ
tr H f : H R {+} ỗ ữợ tr C õ

x0 rf (x) ợ ồ x C
0 f (x0 ) + NC (x0 ).



ổ t tỷ ỡ

ởt S : C H ữủ ồ
ổ

S(x) S(y) x y

x, y C;

tỹ ổ (S) =

S(x) x x x

(x, x ) C ì (S);

tỹ (S) = tỗ t (0, 1) tọ

S(x) x x x

(x, x ) C ì (S);

ỷ (S) = tỗ t [0, 1) tọ

S(x) x

2

x x

2

+ x S(x)

(x, x ) C ì (S);

2

õ tr C {xk } C, xk

x S(xk )

tử xn

S(x)

x t S(xn )

w t w = S(x);

f : H R {} ữủ ồ
ỷ tử ữợ t x C ợ ồ {xk } C ở tử x
t lim inf k f (xk ) f (x).
ỷ tử tr t x C ợ ồ {xk } C ở tử x
t lim supk f (xk ) f (x).
f ỷ tử ữợ ỷ tử tr tr C f ỷ tử
ữợ ỷ tử tr t ồ x C

ởt F : C H ữủ ồ
ỡ tr C

F (x) F (y), x y x y

2

x, y C;

ỡ tr C

F (x) F (y), x y 0 x, y C;
ỡ tr C

F (y), x y 0 F (x), x y 0 x, y C;
ỡ ữủ tr C

F (x) F (y), x y F (x) F (y)

2

x, y C;




rỡ tr C F ỡ tr C

F (x) F (y), x y = 0 F (x) = F (y) x, y C;
rỡ t tr S C F ỡ tr C

{x S, y C, F (y), x y = 0} y S;
L tử st tr C

F (x) F (y) L x y

x, y C.

F ỡ ữủ t F

L tử st ợ số L =

1


ỡ tr C t õ q

(a) (b) (c) ữ ữủ ổ ú tr trữớ ủ tờ

qt F : C R F (x) = x2 ỡ ữ
ổ ỡ tr C = R ỡ ữ ổ ỡ tr

C = [0, 1]
ởt số ờ ỡ ữủ sỷ ử ự sỹ ở tử ừ
tt t tr ữỡ s

ờ ờ A : H H t tỷ ỡ
L tử st (0, 1] à (0, L22 ) õ ợ ồ x H
T (x) = x àA(x) tọ t tự

T (x) T (y) (1 ) x y
ợ = 1

x, y H,

1 à(2 àL2 ) (0, 1]

ờ ờ {n } {n } ổ tọ




n = ,
n=0



2n
n=0

< ,

n n < .
n=0

õ

(i) ỗ t {nk } {n } tọ limk nk = 0.
(ii) {n } {n } tọ n+1 n < n , > 0 t {n } tọ
limn n = 0.




t t tự ởt số t
q


t t tự

C t ỗ rộ tr ởt ổ rt tỹ H
F : C H t t tự r
ở C F ỵ (F, C) t
x C

F (x ), x x 0 x C.

s

ừ t (F, C) ữủ ỵ S(F,C) ỹ tỗ t
ừ t (F, C) ữủ s r tứ t tử ừ F t C
t
r trữớ ủ t C ổ t t ỵ t ở rr
ổ ỏ õ t ử ữủ õ sỹ tỗ t ừ t (F, C)
õ t ữủ tt ỹ t ỡ tử st ừ
F

F : C H ỡ tr
C L tử st tr C t t t tự (F, C)
õ t

ự ồ 0 < à <

2
L2

t T : C C ữủ

T (x) = PC (x àF (x)) x C.
õ ợ ồ x, y C t õ

T (x) T (y)

2

= PC (x àF (x)) PC (y àF (y))
x àF (x) y + àF (y)

= xy

2

2

2

2à F (x) F (y), x y + à2 F (x) F (y) 2 .

F tử st ỡ tr C

T (x) T (y)

2

xy

2

2à x y

2

+ à2 L2 x y

=(1 2à + à2 L2 ) x y 2 .

2

õ

T (x) T (y) (1 à(2 + àL2 ) x y .
= x y ,
tr õ =

(1 à(2 + àL2 ) [0, 1). T : C C

ỵ tỗ t t x C s T (x ) = x
õ x S(F,C)



ởt t tỹ t ữủ ổ t ữợ t tự


ử tr ởt t tỹ t tr ỹ t t
t ữủ ổ õ ữợ t t tự
ởt số ổ t ữủ ỹ st
ỗ ừ ởt õ õ ổ tỹ t
ổ ừ t t õ t
t ữợ ố q ờ s ỳ ỗ ữủt q
ừ ộ õ õ t ổ t
õ t t ữợ t ũ t tự
ồ t ổ t ởt tr ỳ ổ t tờ qt
t rs ữ r
rữợ t t t t t trữớ ữủ ổ t ữợ

t ữỡ tr ởt ỡ s s t ố n t ỵ
ữủt i, i = 1, 2, . . . , n m ỵ t tử ộ ỵ ữủ ỵ

j, j = 1, 2, . . . , m ỵ p tỡ n t ừ ộ t
ỗ t p = (p1 , p2 , . . . , pn ) sỷ ữủ ố ợ t
tự i ừ tt ỵ di õ di ử tở ừ tt
t tự di = di (p) õ t õ
m

di (p) =

dij (p),
j=1

tr õ dij (p) ố ợ t tự i ừ ỵ tự j


✶✸

❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝â ❧÷ñ♥❣ ❝✉♥❣ ❝õ❛ ♠➦t ❤➔♥❣ t❤ù i ❝❤♦ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤↕✐ ❧þ✱ ❦þ ❤✐➺✉
❧➔ si ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❣✐→ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♠➦t ❤➔♥❣✱ tù❝ ❧➔
m

si (p) =

sij (p),
j=1

tr♦♥❣ ✤â sij (p) ❧➔ ❧÷ñ♥❣ ❝✉♥❣ ❝õ❛ ♠➦t ❤➔♥❣ t❤ù i ❝❤♦ ✤↕✐ ❧þ t❤ù j ✈î✐ ✈➨❝✲tì
❣✐→ p✳

❚❛ ❝â t❤➸ tê♥❣ ❤ñ♣ ❧÷ñ♥❣ ❝➛✉ ✤è✐ ✈î✐ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♠➦t ❤➔♥❣ t❤➔♥❤ ♠ët ✈➨❝✲tì
❝ët n✲❝❤✐➲✉ d ✈î✐ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ {d1 , d2 , . . . , dn } ✈➔ ❧÷ñ♥❣ ❝✉♥❣ ✤è✐ ✈î✐ n ♠➦t
❤➔♥❣ t❤➔♥❤ ♠ët ✈➨❝✲tì ❝ët n✲❝❤✐➲✉ s ✈î✐ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ {s1 , s2 , . . . , sn }✳
✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝õ❛ t❤à tr÷í♥❣ ②➯✉ ❝➛✉ ❧÷ñ♥❣ ❝✉♥❣ ❝õ❛ ♠é✐ ♠➦t ❤➔♥❣
♣❤↔✐ ❜➡♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❝➛✉ ❝õ❛ ♠➦t ❤➔♥❣ ✤â ✈î✐ ✈➨❝✲tì ❣✐→ p∗ ✱ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ ❤➺
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉✿

s(p∗ ) = d(p∗ ).
❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ tê♥❣ q✉→t ♥➳✉ t❛ ①→❝
✤à♥❤ ✈➨❝✲tì x ≡ p ✈➔ F (x) ≡ s(p) − d(p)✳ ❈➛♥ ❝❤ó þ r➡♥❣ ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐↔✐ ❤➺
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝❤÷❛ ✤õ tê♥❣ q✉→t ✤➸ ❜↔♦ ✤↔♠ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✤❛♥❣ ①➨t✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥
tr÷í♥❣ ❤ñ♣ p∗ ≤ 0✳
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ tr➻♥❤ ❜➔② ❜➔✐ t♦→♥ ❜ò ♣❤✐ t✉②➳♥ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t❤à
tr÷í♥❣ ð tr➯♥✳ ❳➨t tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❝➛✉ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ tr÷î❝ ❝→❝ ❤➔♠ ❝✉♥❣✳ ❑❤✐
✤â✱ t❤❛② ✈➻ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t❤à tr÷í♥❣ ✤÷ñ❝ ①➨t tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤✱ t❛ ①➨t ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ s❛✉✿ ✈î✐ ♠é✐ ♠➦t ❤➔♥❣ t❤ù i✱ i = 1, 2, . . . , n✳

s(p∗ ) − d(p∗ ) = 0 ♥➳✉ p∗ > 0,
i
s(p∗ ) − d(p∗ ) ≥ 0 ♥➳✉ p∗ = 0.
i

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ♥➔② ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ ♥➳✉ ❣✐→ ❝õ❛ ♠é✐ ♠➦t ❤➔♥❣ ❧➔ ❞÷ì♥❣ tr♦♥❣
tr↕♥❣ t❤→✐ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t❤➻ ❧÷ñ♥❣ ❝✉♥❣ ♣❤↔✐ ❜➡♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❝➛✉ ❝õ❛ ❧♦↕✐ ♠➦t ❤➔♥❣ ✤â✳
▼➦t ❦❤→❝✱ ♥➳✉ ❣✐→ ❝õ❛ ♠➦t ❤➔♥❣ ð tr↕♥❣ t❤→✐ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❧➔ ❜➡♥❣ 0 t❤➻ ❦❤✐ ✤â ❧÷ñ♥❣
❝✉♥❣ ✈÷ñt q✉→ ❧÷ñ♥❣ ❝➛✉ ✤è✐ ✈î✐ ❧♦↕✐ ♠➦t ❤➔♥❣ ✤â✱ tù❝ ❧➔ s(p∗ ) − d(p∗ ) > 0✱
❤❛② t❤à tr÷í♥❣ ♥❣ø♥❣ ❤♦↕t ✤ë♥❣✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❤➺ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ♥➔② ❜↔♦ ✤↔♠ r➡♥❣ ❣✐→ ❝õ❛ ❝→❝ ♠➦t ❤➔♥❣ ❦❤æ♥❣ ❧➜② ❣✐→ trà ➙♠✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♠æ

t t ũ t t t tr ữủ
ữ s p Rn+ tọ

s(p ) d(p ) 0

s(p ) d(p ), p = 0.

ỡ ỳ t t r t ũ t ởt trữớ ủ t ừ
t tự õ t õ t t t ũ t ữợ
t tự ữ s t p Rn+ tọ

s(p ) d(p ), p p 0 p Rn+ .



ởt số t q

ởt số t q t tự (F, C)

t ữỡ tr t tỷ
r trữớ ủ t H = Rn C t ở ổ Rn t
t (F, C) tữỡ ữỡ ợ t ữỡ tr t tỷ F (x ) = 0.

H = Rn C = Rn F : Rn Rn t
x Rn ừ t t tự (F, C)
x ừ ữỡ tr t tỷ F (x ) = 0.

ự F (x ) = 0 t t tự r

õ t õ x S(F,C) .
ữủ x S(F,C) t F (x ), x x 0 ợ ồ x Rn . ồ

x = x F (x ), t ữủ F (x ), x x 0 F (x )

2

0. õ

F (x ) = 0.

t tố ữ
C t ỗ õ rộ ừ H F : C R ỗ
ỷ tử ữợ t tố ữ ỵ P(F, C) t
x C

s

F (x ) F (y) ợ ồ y C.




ử f số tr [a, b] R x [a, b] s
f (x ) = min f (x).
x[a,b]

x (a, b) t f (x ) = 0
x = a t f (x ) 0
x = b t f (x ) 0

r trữớ ủ t õ f (x )(x x ) 0 ởt t
tự

t t ở
C H ởt ởt t ỗ õ rộ ỡ tr F : C C
õ t t ở ỵ P(F, C) t
x C s x = F (x ).



ố ỳ t t tự t t ở
ữủ tr ữợ

sỷ C ởt t rộ ỗ õ ừ
ổ rt tỹ H õ x ừ t (F, C)
ợ ộ à > 0 x t ở ừ PC (I àF ) : C C,
tự

x = PC (x àF (x )).



ự t T (x) = PC (x F (x)) t ở
t õ

x (T ) x = T (x )
x = PC (x F (x ))
x F (x ) x , z x 0,
F (x ), z x 0,
F (x ), z x 0,

x S(F,C) .

z C
z C

z C


✶✻

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✷✳✺✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❝ô♥❣ ❝â t❤➸ ✤÷❛ ✈➲ ❜➔✐
t♦→♥ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣

x∗ = F (x∗ ),

✭✶✳✺✮

F (x) = x − g(x) + PC [g(x) − ρ(A(x) − T (x))],

✭✶✳✻✮

ð ✤➙②

✈î✐ ρ ❧➔ ♠ët t❤❛♠ sè ❞÷ì♥❣✳
❚ø ♥❤➟♥ ①➨t ♥➔②✱ t❛ ①➙② ❞ü♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ s❛✉ ✤➙② ✤➸ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐
t♦→♥ ❱■(F, C)✳

✶✳✷✳✹

▼ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❣✐↔✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥

❚❤✉➟t t♦→♥ ✶✳✷✳✻ ✭①❡♠ ❬✶✷❪✮✳ ❈❤♦ H ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝✱ x0 ∈ H✳ ❉➣②
❧➦♣ {xk+1 } ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉

xk+1 = xk − g(xk ) + PC [g(xk ) − ρ(A(xk ) − T (xk ))],

k = 0, 1, 2, . . . ✭✶✳✼✮

tr♦♥❣ ✤â ρ > 0 ❧➔ ❤➡♥❣ sè✳
▼ët sè tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t
✶✳ ◆➳✉ g(x) = x ∈ C t❤➻ ❞➣② ❧➦♣ ✭✶✳✼✮ ❝â ❞↕♥❣

x0 ∈ H,

xk+1 = PC [ρ(A(xk ) − T (xk ))],

k = 0, 1, 2, . . .

✭✶✳✽✮

✷✳ ◆➳✉ T (x) = 0 t❤➻ ❞➣② ❧➦♣ ✭✶✳✼✮ ❝â ❞↕♥❣

x0 ∈ H,

xk+1 = xk − g(xk ) + PC [g(xk ) − ρA(xk )],

k = 0, 1, 2, . . .
✭✶✳✾✮

✸✳ ◆➳✉ T (x) = 0 ✈➔ g = I ✱ →♥❤ ①↕ ✤ì♥ ✈à tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ H✱

t❤➻ ❞➣② ❧➦♣ ✭✶✳✼✮ ❝â ❞↕♥❣

x0 ∈ H,

xk+1 = PC [xk − ρA(xk )],

k = 0, 1, 2, . . .

✭✶✳✶✵✮




ỵ A, g : H H ỡ
tử st tữỡ ự T : C C tử
t t

xk+1 x tr H,
ợ



+ (k 1))
<
2 2

+ (k 1)2 ( 2 2 )k(2 k))
,
2 2

> (1 k) +

( 2 2 )k(2 k) (1 k) < ,

k<1

tr õ {xk+1 } x ừ t t
tự

A(x ), g(x) g(x ) T (x ), g(x) g(x )

g(x) C.



ự ỵ t ờ s

ờ C ởt t ỗ tr ổ rt
tỹ H t x H ừ t t tự
x tọ ữỡ tr

g(x ) = PC [g(x ) (A(x ) T (x ))],



tr õ > 0 số PC tr H C

ự ờ x ừ t t tự
õ t ữủ ổ t ữỡ tr t ở õ
tứ sỷ ử t t ổ ừ PC t ữủ

xk+1 x

= xk x (g(xk ) g(x ))
+ PC [g(xk ) (A(xk ) T (x ))]
PC [g(x ) (A(x ) T (x ))]


✶✽

❤❛②

xk+1 − x∗

≤ xk − x∗ − (g(xk ) − g(x∗ ))
+ PC [g(xk ) − ρ(A(xk ) − T (x∗ ))]
− PC [g(x∗ ) − ρ(A(x∗ ) − T (x∗ ))]
xk − x∗ − (g(xk ) − g(x∗ ))

≤2
+

xk − x∗ − ρ(A(xk ) − A(x∗ )) + ρ(T (xk ) − T (x∗ ))

.

✭✶✳✶✸✮
❱➻ A ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✈➔ g ❧➔ →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ ♥➯♥
2

xk − x∗ − (g(xk ) − g(x∗ ))

≤ (1 − 2δ + σ 2 ) xk − x∗

2

✭✶✳✶✹✮

✈➔

xk − x∗ − ρ(A(xk ) − A(x∗ ))

2

≤ (1 − 2ρα + ρ2 β 2 ) xk − x∗

2

.

✭✶✳✶✺✮

❚ø ✭✶✳✶✸✮✱ ✭✶✳✶✹✮✱ ✭✶✳✶✺✮ ✈➔ →♣ ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝õ❛ T ✱ t❛ ✤÷ñ❝

xk+1 − x∗ ≤ {(2 1 − 2δ + σ 2 ) + ργ +

1 − 2αρ + ρ2 β 2 } xk − x∗

= {k + ργ + t(p)} xk − x∗
= θ xk − x∗ ,

tr♦♥❣ ✤â

k = 2 1 − 2δ + σ 2 ,
t(ρ) =

1 − 2αρ + ρ2 β 2 ,

✈➔

θ = k + ργ + t(ρ).
●✐→ trà ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ t(ρ) ❧➔ ρ¯ = α/β 2 ✈î✐ t(ρ) =

1 − α2 /β 2 ✳ ❚❛ s➩ ❝❤➾ r❛

θ < 1✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❝❤♦ ρ = ρ¯, k + ργ + t(¯
ρ) < 1 ❦➨♦ t❤❡♦
k < 1 ✈➔ α > γ(1 − k) +

(β 2 − γ 2 )k(2 − k).

❉♦ ✤â✱ θ = k + ργ + t(ρ) < 1 ✈î✐ ♠å✐ ρ ✈î✐

ρ−

α + γ(k − 1))
<
β2 − γ2

α + γ(k − 1)2 − (β 2 − γ 2 )k(2 − k))
,

β2 − γ2

k<1




( 2 2 )k(2 k) (1 k) < .

> (1 k) +

< 1 t t ở õ ởt t x
õ xn+1 t ữủ ở tử x ừ t t
tự

ú ỵ õ trữớ ủ t s
g(x) = x C t t tữỡ ữỡ ợ t t
tỷ x C s

A(x ), x x T (x ), x x

x C.



T (x) = 0 t t tữỡ ữỡ ợ t t tỷ

x C s g(x ) C tọ
A(x ), g(x) g(x ) 0 g(x) C.

T (x) = 0 g = I ỡ tr ổ rt tỹ H
t t tữỡ ữỡ ợ t t tỷ x C s

A(x ), x x 0 x C.



t t tự ợ F ữủ
t A

t g = I ỗ t r trữớ
ủ k = 0 tr t

F (x) = PC [x (Ax T (x))],
= + t(p) < 1 ợ 0 < < 2( )/( 2 2 ), < 1 < .
õ F (x) õ ởt t ở ừ t
g = I ỗ t T (x) = 0 r trữớ ủ k = 0

= 0 tr t
F (x) = PC [x Ax],


✷✵

✈î✐ θ = t(ρ) < 1 ✈î✐ 0 < ρ < 2α/β 2 ✳ ❉♦ ✤â →♥❤ ①↕ F (x) ❝â ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t
✤ë♥❣✱ ✤â ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✽✮✳
✸✳ ◆➳✉ T (x) ≡ 0✱ t❤➻ γ = 0 ✈➔ ✭✶✳✻✮ trð t❤➔♥❤

F (x) = x − g(x) + PC [g(x) − ρA(x)],
✈➔

θ = k + t(ρ) < 1 ✈î✐ k < 1, α > β
✈➔

α
ρ− 2 <
β

k(k − 2),

α2 − β 2 (2k − k 2 )
.
β2

❉♦ ✤â →♥❤ ①↕ F (x) ❝â ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✱ ✤â ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✼✮✳
❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✶✶✳ ❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝
ϕ(x∗ ) = min ϕ(x),
x∈C

✭✶✳✶✾✮

✈î✐ ❤➔♠ ϕ : R3 → R ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

ϕ(x) = (x1 − 1)2 + (x2 − 2)2 + (x3 − 3)2
✈➔

C = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + 2x2 − x3 ≤ 2}
❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❧ç✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞ R3 ✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â ❣r❛❞✐❡♥t

ϕ : R3 → R3 ❝õ❛ ❤➔♠ ϕ ❧➔
ϕ(x) = 2x − a
✈î✐ x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 ✈➔ a = (2, 4, 6)T ∈ R3 ✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥
✭✶✳✶✾✮ ❧➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✿

ϕ(x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.
◆❣❤✐➺♠ ✤ó♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✾✮ ❧➔ ✤✐➸♠ x∗ = (1, 2, 3)T ∈ C ⊂ R3 ✳

✭✶✳✷✵✮


✷✶

❙û ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ✭✶✳✶✵✮ ✤➸ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥
✭✶✳✷✵✮ ❝ô♥❣ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✾✮ ✈î✐ A(x) =

ϕ(x) ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t

2✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✈➔ 2✲❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr➯♥ C ✳
❑➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ tr➯♥ ▼❆❚▲❆❇ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ tr♦♥❣ ❝→❝ ❇↔♥❣ ✶✳✶✕✶✳✸✳

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✷✳✶✷✳ ❚ø ❇↔♥❣ ✶✳✶✕✶✳✸ ♥❤➟♥ t❤➜② ✈î✐ ①➜♣ ①➾ ❜❛♥ ✤➛✉ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✱
✈î✐ sü ❧ü❛ ❝❤å♥ t❤❛♠ sè µ ♣❤ò ❤ñ♣✱ t❛ ❧✉æ♥ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❦❤→ tèt
❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ✤ó♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ s❛✉ ✶✵✵✵ ❜÷î❝ ❧➦♣✳
❇↔♥❣ ✶✳✶✿ ❇↔♥❣ t➼♥❤ t♦→♥ ✈î✐

x0 = (5, 5, 5)T ∈ R3 ✱

xk

❙❛✐ sè ✭

k

✭sè ❧➛♥ ❧➦♣✮
✶✵
✺✵

(1.0727, 2.0545, 3.0364)T
T

(1.0031, 2.0024, 3.016)

xk − x∗

✮

❚✐♠❡

✵✳✵✾✼✾

✵✳✵✼✸s

✵✳✵✵✹✷

✵✳✵✸✶s

(1.0008, 2.0006, 3.0004)T

✵✳✵✵✶✶

✵✳✵✷✼s

✺✵✵

(1.0000, 2.0000, 3.0000)T

✹✳✷✾✾✺❡✲✵✺

✵✳✾✽✻s

T

✶✳✵✼✻✵❡✲✵✺

✶✳✵✵✻s

(1.0000, 2.0000, 3.0000)

❇↔♥❣ ✶✳✷✿ ❇↔♥❣ t➼♥❤ t♦→♥ ✈î✐

✭sè ❧➛♥ ❧➦♣✮

x0 = (−20, −60, −10)T ∈ R3 ✱ µ = 1/(k + 2)

xk

❙❛✐ sè ✭

xk − x∗

✮

❚✐♠❡

✶✵

(0.6182, 0.8727, 2.4000)T

✶✳✸✸✷✾

✵✳✵✺✾s

✺✵

T

✵✳✵✺✼✺

✵✳✵✸✼s

✶✵✵

(0.9958, 1.9877, 2.9935)T

✵✳✵✶✹✺

✵✳✵✸✹s

✺✵✵

(0.9998, 1.9995, 2.9999)T

✺✳✸✷✽✹❡✲✵✹

✶✳✵✹✺s

T

✶✳✸✸✸✹❡✲✵✹

✶✳✶✸✸s

✶✵✵✵

(0.9835, 1.9514, 2.9741)

(1.0000, 1.9999, 3.0000)

❇↔♥❣ ✶✳✸✿ ❇↔♥❣ t➼♥❤ t♦→♥ ✈î✐

k

µ = 1/(k + 2)

✶✵✵

✶✵✵✵

k

❝❤å♥

✭sè ❧➛♥ ❧➦♣✮

x0 = (−20, −60, −10)T ∈ R3 ✱ µ = 1/(k + 4)

xk

❙❛✐ sè ✭

xk − x∗

✮

❚✐♠❡

✶✵

(−0.6154, −2.7692, 2.0000)T

✺✳✶✸✸✼

✵✳✵✶✸s

✺✵

(0.9086, 1.7300, 2.9434)T

✵✳✷✾✵✻

✵✳✵✸✼s

✶✵✵

(0.9760, 1.9292, 2.9852)

T

✵✳✵✼✻✷

✵✳✵✽✶s

✺✵✵

(0.9990, 1.9971, 2.9994)T

✵✳✵✵✸✷

✶✳✵✼✼s

✼✳✾✻✽✼❡✲✵✹

✶✳✶✸✽s

✶✵✵✵

(0.9997, 1.9993, 2.9998)

T