Chuyên đề lượng giác

Chuyên đề
LƯỢNG GIÁC
Phần 1: CÔNG THỨC
1. Hệ thức LG cơ bản
2 2
2
2
sin cos 1
sin
tan
cos 2
1
tan 1
2
cos
k
k
α α
α π
α α π
α
π
α α π
α
+ =
 
= ≠ +
 ÷
 
 
= + ≠ +

 ÷
 
( )
( )
2
2
tan .cot 1
cos
cot
sin
1
cot 1
sin
k
k
α α
α
α α π
α
α α π
α
=
= ≠
= + ≠
2. Công thức LG thường gặp
Công thức cộng:
( )
( )
( )
sin sinacosb sinbcosa

cos cosa cos b sinasinb
tan tan
tan b
1 tan tan
a b
a b
a b
a
a b
± = ±
± =
±
± =
m
m
Công thức nhân:
2 2 2 2
3
3
3
2
sin 2 2sin .cos
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
3tan tan
tan3 =
1 3tan
a a a
a a a a a

a a a
a a a
a a
a
a
=
= − = − = −
= −
= −
−
−
Tích thành tổng: cosa.cosb =
1
2
[cos(a−b)+cos(a+b)]
sina.sinb =
1
2
[cos(a−b)−cos(a+b)]
sina.cosb =
1
2
[sin(a−b)+sin(a+b)]
Tổng thành tích:
sin sin 2sin cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =

sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
±
± =
Công thức hạ bậc: cos
2
a =
1

2
(1+cos2a)
sin
2
a =
1
2
(1−cos2a)
Biểu diễn các hàm số LG theo
tan
2
a
t =
Chuyên đề: LG
1
2
2 2 2
2 1- 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
= = =
+ + −
3. Phương trìng LG cơ bản
* sinu=sinv
2
2
u v k

u v k
π
π π
= +

⇔

= − +

* cosu=cosv⇔u=±v+k2
π
* tanu=tanv ⇔ u=v+k
π
* cotu=cotv ⇔ u=v+k
π

( )
Zk ∈
.
4. Một số phương trình LG thường gặp
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các
công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng
a.sin
2
x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos
2
x+b.cosx+c=0, a.tan
2

x+b.tanx+c=0, a.cot
2
x+b.cotx+c=0) để giải các phương
trình này ta đặt t bằng hàm số LG..
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là
2 2 2
a b c+ ≥
.
C ách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt
tan
b
a
α
=
, ta được: sinx+tan
α
cosx=
cos
c
a
α
⇔
sinx
cos
α
+
sin
α
cosx=

cos
c
a
α
⇔
sin(x+
α
)=
cos
c
a
α
sin
ϕ
=
ñaët
.
C ách 2: Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b+
, ta được:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
Đặt:
2 2 2 2

cos ; sin
a b
a b a b
β β
= =
+ +
. Khi đó phương trình tương đương:
2 2
cos sin sin cos
c
x x
a b
β β
+ =
+
hay
( )
2 2
sin sin
c
x
a b
β ϕ
+ = =
+
ñaët
.
Cách 3: Đặt
tan
2

x
t =
.
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin
2
x+bsinxcosx+ccos
2
x=0 (*).
Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với
2
x k
π
π
= +
.
+ Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos
2
x ta được: atan
2
x+btanx+c=0.
Chú ý:
2
2
1
tan 1
2
cos
x x k
x

π
π
 
= + ≠ +
 ÷
 
Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc.
4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c.
Cách giải: Đặt t= sinx± cosx. Điều kiện | t |
2≤
.

sin cos 2 sin 2 cos
4 4
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
x x x x
π π
π π
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   
Löu y ùcaùc coâng thöùc :

Chuyên đề: LG
2
Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.
Ví dụ 1. Giải phương tình: sin
2
x + sin
2
3x = cos
2
2x + cos
2
4x (1).
Giải
Phương trình (1) tương đương với:
1 cos 2 1 cos6 1 cos4 1 cos8
2 2 2 2
x x x x− − + +
+ = +
⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
⇔ 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0
⇔ 4cos5x.cos2x.cosx = 0
5
10 5
2
cos5 0
cos2 0 2 , ( , , )
2 4 2
cos 0

2 2

π kπ
π
x
x kπ
x
π π lπ
x x kπ x k l n
x
π π
x kπ x nπ


= +
= +


=






⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈





=





= + = +




¢
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos
6
x+sin
6
x = 2 ( cos
8
x+sin
8
x) (2).
Giải
Ta có (2) ⇔ cos
6
x(2cos
2
x−1) = sin
6
x(1−2sin
2

x)
⇔ cos2x(sin
6
x–cos
6
x) = 0
⇔ cos2x(sin
2
x–cos
2
x)(1+sin
2
x.cos
2
x) = 0
⇔ cos2x = 0
⇔
2 ,( )
2 4 2
π π kπ
x kπ x k= + ⇔ = + ∈ ¢
Ví dụ 3: Giải phương trình:
6 3 4
8 2 cos 2 2 sin sin 3 6 2 cos 1 0x x x x+ − − =
(3).
Giải
Ta có:
3 3 3
2 2
2

(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0
2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2
(1 cos2 )(cos2 cos 4 ) (1 cos2 )(cos2 cos4 ) 2
2(cos2 cos 2 cos4 ) 2
2
cos 2 (1 cos 4 )
2
2
cos 2 .cos 2
4
2
cos 2
2 8
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x
π
x x
⇔ − + − =
⇔ + =
⇔ + + + − − =
⇔ + =
⇔ + =
⇔ =
⇔ = ⇔ = ± ,( )kπ k+ ∈ ¢
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:
Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác:

8 8
17
sin cos
32
x x+ =
(4).
Giải
Ta có (4)
4 4
4 2
1 cos 2 1 cos 2 17 1 17
(cos 2 6cos 2 1)
2 2 32 8 32
x x
x x
− +
   
⇔ + = ⇔ + + =
 ÷  ÷
   
Chuyên đề: LG
3
Đặt cos
2
2x = t, với t∈[0; 1], ta có
2 2
1
17 13
2
6 1 6 0

13
4 4
2
t
t t t t
t

=

+ + = ⇔ + − = ⇔


= −


Vì t∈[0;1], nên
2
1 1 cos 4 1 1
cos 2
2 2 2 2
x
t x
+
= ⇔ = ⇔ =
⇔cos4x = 0 ⇔
4 ,( )
2 8 4
π π π
x kπ x k k= + ⇔ = + ∈¢
Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin

3
x – cos2x + cosx = 0 (5)
Giải
Ta có (5) ⇔ 2(1− cos
2
x)sinx + 2 – 2 cos
2
x + cosx – 1 = 0
⇔ (1− cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) − 1] = 0
⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
cos 1 2 ,( )
2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*)
x x kπ k
x x x x
= ⇔ = ∈

⇔

+ + + =

¢
Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện
| | 2t ≤
, khi đó phương trình (*) trở thành:
2t + t
2
– 1 + 1 = 0 ⇔ t
2
+ 2t = 0
0

sin -cos ,( )
2 (
4
t
π
x x x nπ n
t lo
=

⇔ ⇔ = ⇔ = − + ∈

= −

¢
¹i)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
4
π
x nπ= − +
;
2 , ( , ) x kπ n k= ∈ ¢
Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách
đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.
Ví dụ 6. Giải phương trình:
|sin |
cos
x
π x=
(6).

Giải
Điều kiện: x ≥ 0
Do
| sin | 0,x ≥
nên
|sin | 0
1
x
π π≥ =
, mà |cosx| ≤ 1.
Do đó
2 2 2
0
| sin | 0 ,( )
(6)
0
| cos | 1 ,( )
k n
x kπ k π n
x x kπ k
x
x nπ x nπ
x x nπ n
+
 
= =
 
= =

= = ∈

 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
=
= =
= = ∈
 

 
 
¢
¢
(Vì k, n ∈ Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.
Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình:
2
1 cos
2
x
x− =
.
Giải
Đặt
2
( )= cos
2
x
f x x +
. Dễ thấy f(x) = f(−x),
x∀ ∈ ¡

, do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét
với x ≥ 0.
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = −cosx+1, ∀x≥0 ⇒ f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 ⇒ f(x)
đồng biến với x≥0 .
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
thoả mãn
phương trình:
2
2
sin cos 2
n
n n
x x
−
+ =
.
Giải
Đặt f(x) = sin
n
x + cos
n
x, ta có : f’(x) = ncosx.sin
n-1

x – nsinx.cos
n-1
x.
= nsinx.cosx(sin
n-2
x – cos
n-2
x)
Chuyên đề: LG
4
Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
, ta có minf(x) = f
4
π
 
 ÷
 
=
2
2
2
n−

Vậy x =

4
π
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
1. cos
3
x+cos
2
x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS:
2 ; 2
2
x k x n
π
π π
= = +
2. tanx.sin
2
x−2sin
2
x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
HD: Chia hai vế cho sin
2
x ĐS:
; 2
4 3
x k x n
π π
π π
= − + = ± +

3. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)
ĐS:
7
; ; .
4 4 12 12
x k x n x m
π π π π
π π
= ± + = − + = +
4. |sinx−cosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:
2
x k
π
=
.
5. 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1) (ĐH Luật Hà Nội)
ĐS:
2 ; 2 ; 2 ;
2
x k x n x l
π
π α π π α π
= + = + = − +
với
1
sin
4
α
= −
.

6. sinx−4sin
3
x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS:
4
x k
π
π
= +
.
7.
sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x
π π
   
− = +
 ÷  ÷
   
; (Học Viện BCVT) ĐS:
4 2
x k
π π
= +
8. sin
3
x.cos3x+cos
3
x.sin3x=sin
3
4x

HD: sin
2
x.sinx.cos3x+cos
2
x. cosx.sin3x=sin
3
4x ĐS:
12
x k
π
=
.
9.
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
 
+ = −
 ÷
 
 
−

 ÷
 
ĐS:
4
8
5
8
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π
−

= +


−

= +



= +



10.
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3sin cosx x x x x x− = −
HD: Chia hai vế cho cos
3
x ĐS: x =
3
k
π
π
− +
,
4
x k
π
π
= ± +
11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS:
2
2 ( )
4 3
x k x k k
π π
π π
= + ∨ = ± + ∈ ¢
12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).
Giải
(1) ⇔2sinxcosx+2cos
2

x–1=1+sinx–3cosx.
⇔2cos
2
x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.
⇔2cos
2
x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0.
Đặt t=cosx, ĐK
1t ≤
, ta được: 2t
2
+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. ∆=(2sinx+3)
2
+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)
2
.
⇒
( )
1
1
2
cos
2
sin - 2
t
x
t x

=


⇒ =

=


loaïi
…(biết giải)
Chuyên đề: LG
5
13. 2sinx+cotx=2sin2x+1.
HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin
2
x–sinx+cosx=0.
Đặt t=sinx, ĐK
1t ≤
.
2(1–2cosx)t
2
–t+cosx=0 … ∆=(4cosx–1)
2
.
14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0.
(sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(cos
2
x–sin
2
x)=0.

(sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …
15. Giải phương trình lượng giác:
( )
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
Giải
Điều kiện:
( )
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
+ ≠


≠


Từ (1) ta có:
( )
2 cos sin
1 cos .sin 2

2 sin
sin cos2 cos
cos
1
cos sin 2 sin
x x
x x
x
x x x
x
x x x
−
= ⇔ =
+ −
2sin .cos 2 sinx x x⇔ =
( )
2
2
4
cos
2
2
4
x k
x k
x k
π
π
π
π


= +

⇔ = ⇔ ∈


= − +


¢
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là
( )
2
4
x k k
π
π
= − + ∈ ¢
16. Giải phương trình:
( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +
Giải

( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +
(1)
Điều kiện:
sin 2 0x
≠
2
1
1 sin 2
1 sin cos
2
(1)
sin 2 2 cos sin
x
x x
x x x
−
 
⇔ = +
 ÷
 
2

2
1
1 sin 2
1 1
2
1 sin 2 1 sin 2 0
sin 2 sin 2 2
x
x x
x x
−
⇔ = ⇔ − = ⇔ =
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
17. Giải phương trình:
2 2
2sin 2sin tan
4
x x x
π
 
− = −
 ÷
 
.
Giải
Pt⇔
2 2
2sin 2sin tan
4
x x x

π
 
− = −
 ÷
 
(cosx
)0
≠
2
1 cos 2 cos 2sin .cos sin
2
x x x x x
π
 
 
⇔ − − = −
 ÷
 
 
 
⇔
(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0
⇔
sin2x = 1 hoặc tanx = 1.
18. Giải phương trình:
( )
( )
3
sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0x x c x c x x+ − − + − − =
.

Giải
3
2 3 2
sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos 2 8( 3.cos sin ) 3 3 0
2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0
x x x x x x
x x x x x x x x
+ − − + − − =
⇔ + − − + + − − =
0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2
2
=−+−−−−⇔
xxxxxxxx
Chuyên đề: LG
6