Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn căn thức bậc hai

MỤC LỤC
Nội dung
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn chuyên đề
II. Mục đích nghiên cứu
III. Phạm vi nghiên cứu
IV. Đối tượng nghiên cứu
V. Phương pháp nghiên cứu
PHẦN II: NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận
II. Cơ sở thực tiễn
III. Thực trạng
IV. Nội dung chuyên đề
V. Hiệu quả của chuyên đề
VI. Bài dạy minh họa
PHẦN III: KẾT LUẬN
Tài liệu tham khảo

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ.
1

Trang
2
2
3
3
4
4
5
5

5
6
21
22
26
27


Qua những năm giảng dạy ở trường THCS. Tôi nhận thấy rằng các em học
sinh, nhất là lớp 9 phải chịu nhiều áp lực trong việc thi cử vào các trường chuyên,
trường công để định hướng cho tương lai cuả mình sau này. Mà ở các kỳ thi đó, nội
dung đề thi thường rơi vào kiến thức cơ bản không thể thiếu đó là chương căn thức
bậc hai cho dưới dạng rút gọn biểu thức và thực hiện phép tính căn. Phần lớn các
em không làm được bài, bởi vì các em chưa nhận thấy được các biểu thức đã cho có
liên quan đến một kiến thức rất quan trọng là hằng đẳng thức mà các em đã được
học ở lớp 8.
Trong đại số 8 hằng đẳng thức đáng nhớ là một nội dung rất quan trọng và cần
thiết. Việc nắm vững, nhận dạng, để vận dụng các hằng đẳng thức vào giải toán là
một nhu cầu không thể thiếu khi học chương 1 đại số 8 cho tất cả học sinh phổ
thông. Tuy nhiên khi vận dụng hằng đẳng thức học sinh thường gặp phải những khó
khăn mà đó có thể là nguyên nhân chính hạn chế việc tiếp thu kiến thức toán,
nguyên nhân dẫn đến tình trạng trên là do:
- Học sinh chưa nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8.
- Kỹ năng vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa căn ở
lớp 9 chưa thành thạo.
- Kỹ năng biến đổi tính toán giải toán về căn thức bậc hai của đa số học sinh
còn yếu.
Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tôi đã phát hiện ra
rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán về rút gọn biểu thức chứa
căn bậc hai còn kém.Việc giúp học sinh nhận dạng và giải thành thạo dạng toán rút

gọn biểu thức chứa căn bậc hai là điều rất cần thiết và cấp bách nó mang tính đột
phá và mang tính thời cuộc rất cao, giúp các em có một sự am hiểu vững trắc về
lượng kiến thức căn bậc hai tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao
hơn sau này.
Với ước vọng để tìm ra hướng khắc phục, chúng tôi có suy nghĩ nhiều đến
các giải pháp mà bản thân đã tích cực áp dụng trong quá trình giảng dạy như:
- Hướng dẫn chu đáo bài tập về nhà.
- Tăng cường bài tập về nhà và kiểm tra thường xuyên.
- Cố gắng dành thời gian để hướng dẫn học sinh giải nhiều dạng bài toán

rút gọn biểu thức tại lớp.
Với những giải pháp trên mang lại kết quả chưa cao. Để thay đổi hiện
trạng trên, trong chuyên đề này chúng tôi đưa ra giải pháp đó là “Sử dụng hằng
đẳng thức, rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai” nhằm phát huy năng lực lựa
chọn phương pháp phù hợp cho mỗi dạng, mỗi kiểu bài khác nhau, đồng thời giúp
2


các em hiểu sâu sắc và vận dụng có hiệu quả. Để thực hiện giải pháp này, giáo viên
cần đưa ra các dạng bài toán rút gọn biểu thức cơ bản, thường gặp trong chương
trình, hướng dẫn cho học sinh phương pháp giải gọn, dễ hiểu, dễ nhớ đối với những
bài có nhiều cách giải. Trên cơ sở phân tích đề bài, giáo viên cần giúp đỡ cho các
học sinh giải quyết những vấn đề mà các em hay lúng túng, không xác định được
hướng giải.
Xuất phát từ tình hình đó, qua những năm giảng dạy và học hỏi ở đồng nghiệp,
tôi rút ra được một số kinh nghiệm cho bản thân để có thể truyền dạy cho các em
những kiến thức cơ bản để có thể giải quyết được vấn đề khó khăn ở trên. Chính vì
vậy tôi mới chọn chuyên đề "Sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức chứa căn
thức bậc hai"
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu chuyên đề “ Sử dụng hằng đẳng thức, rút gọn biểu thức chứa
căn thức bậc hai” giúp giáo viên quan tâm hơn đến một phương pháp dạy học tích
cực rất rễ thực hiện.
- Giúp giáo viên toán Trung học cơ sở nói chung và giáo viên dạy toán 9 Trung
học cơ sở nói riêng có thêm thông tin về phương pháp tích cực này nhằm giúp họ rễ
ràng phân tích để đưa ra biện pháp tối ưu khi áp dụng phương pháp vào dạy học.
- Qua chuyên đề này tôi muốn giúp giáo viên toán 9 có thêm cái nhìn mới sâu
sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về căn bậc hai cho
học sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ tư duy lôgic của học sinh
giúp học sinh phát triển khả năng tiềm tàng trong con người học sinh.
- Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh nghiệm để
làm luận cứ cho phương pháp dạy học mới của tôi những năm tiếp theo.
III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số bài tập rút gọn biểu thức chứa căn
mà học sinh thường được làm trong chương I - Đại số 9.
Phân tích cách biến đổi để đưa về dạng hằng đẳng thức rồi đưa biểu thức ra
ngoài dấu căn. Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải bài toán về căn
bậc hai.

IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

3


Chuyên đề được áp dụng cho học sinh lớp 9 và các học sinh khá, giỏi môn
toán và được thực hiện trong các giờ luyện tập, ôn tập, ôn thi vào lớp 10 về giải bài
tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức và thực hiện phép tính có chứa căn.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Đọc sách, tham khảo tài liệu.
Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp.

Dạy học thực tiễn trên lớp để rút ra kinh nghiệm.
Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy bộ môn toán của các giáo viên có kinh
nghiệm của trường trong những năm học trước và vốn kinh nghiệm của bản thân đã
rút ra được một số vấn đề có liên quan đến nội dung của chuyên đề.
Trong quá trình thực hiện chuyên đề này tôi đã sử dụng những phương pháp sau:
- Quan sát trực tiếp các đối tượng học sinh để phát hiện ra những vấn đề mà
học sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó.
- Điều tra toàn diện các đối tượng học sinh trong 2 lớp 9 của khối 9 với tổng số 50
học sinh để thống kê học lực của học sinh. Tìm hiểu tâm lý của các em khi học môn
toán, quan điểm của các em khi tìm hiểu những vấn đề về giải toán có liên quan đến căn
bậc hai (bằng hệ thống các phiếu câu hỏi trắc nghiệm).
- Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết luyện tập, tiết trả
bài kiểm tra..., tôi đã đưa vấn đề này ra hướng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo luận
bằng nhiều hình thức khác nhau như hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở
để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh được những sai lầm trong khi giải bài tập. Yêu
cầu học sinh giải một số bài tập theo nội dung trong sách giáo khoa rồi đưa thêm
vào đó những yếu tố mới, những điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức và
suy luận của học sinh.
- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang
nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy.Từ đó tổ chức có hiệu quả hơn trong các giờ dạy
tiếp theo.

PHẦN II: NỘI DUNG
4


I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những người năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri
thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho
những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà

nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo
dục của Đảng và Nhà nước ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay.
Để đáp ứng yêu cầu của thời đại khoa học kĩ thuật phát triển hiện nay. Tại nghị
quyết hội nghị lần thứ 2 của ban chấp hành Trung ương khóa VIII về những giải
pháp chủ yếu trong giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ: “Đổi mới mạnh mẽ phương pháp
giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy
sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương
tiện hiện đại vào dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho
học sinh”. Chính vì vậy đòi hỏi từng bộ môn trong nhà trường THCS phải có cách
nhìn nhận cải tiến phương pháp dạy học sao cho phù hợp với từng đối tượng học
sinh. Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phương pháp dạy
học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướng
dẫn của giáo viên. Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm
vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào bài
tập và thực tiễn.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN.
Trong trường THCS môn Toán là một môn nhiều học sinh cho là khó từ đó
không thích học. Qua quá trình giảng dạy và gần gũi học sinh tôi nắm được học
sinh thường chưa hiểu được công thức và không dám hỏi bạn bè và thầy cô giáo.
Với học sinh lớp 9 thì việc giải dạng toán “Tìm x trong dấu căn để giải phương
trình, các bài toán về căn bậc hai, các bài toán rút gọn... “gặp nhiều sai xót do các
em khi khai phương không lấy giá trị tuyệt đối, không chú ý đến điều kiện tồn tại
của căn bậc hai, các biểu thức liên hợp trong bài toán trục căn thức ở mẫu..., nên
dẫn đến kết quả sai hoặc bỏ xót nghiệm. Chính vì vậy mà khi gặp dạng toán này
học sinh thường ngại, lúng túng không tự tin và hay né tránh nên kết quả kiểm tra
phần này thường thấp.
III. THỰC TRẠNG
Ở các kì thi học kì I, học kì II, ôn thi vào lớp 10, vào các trường chuyên, học
sinh thường gặp đề thi có nội dung rút gọn biểu thức và thực hiện phép tính có chứa
căn thức bậc hai. Muốn giải được bài tập đó đòi hỏi học sinh phải nắm vững hằng

đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp 8 và phải biết vận dụng chúng vào từng loại bài
tập. Cái khó ở đây là các em học bảy hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 8 viết dưới
5


dạng biểu thức chứa chữ, không có chứa căn, mà ở lớp 9 bài tập rút gọn biểu thức
thường cho dưới dạng căn thức bậc hai có liên quan đến bảy hằng đẳng thức đáng
nhớ đã học ở lớp 8. Chính vì vậy một số em còn yếu không nhận thấy được ở điểm
này nên không làm được bài tập rút gọn. Vì vậy ta phải làm sao cho học sinh nhận
thấy được mối quan hệ qua lại giữa hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 8 và hằng đẳng
thức lớp 9 để các em có thể tự mình phát hiện và vận dụng nó vào việc giải bài tập.
IV. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
1. Lý Thuyết.
Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên, ta cần cho học sinh học kỹ bảy hằng đẳng
thức đã học ở lớp 8 (theo thứ tự):
1)

Bình phương một tổng: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2)

Bình phương một hiệu: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

3)

Hiệu hai bình phương:

a2 – b2 = (a + b).(a – b)

4)

Lập phương một tổng:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

5)

Lập phương một hiệu:

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

6)

Tổng hai lập phương:

a3 + b3 = (a + b).(a2 - ab + b2)

7)

Hiệu hai lập phương:

a3 - b3 = (a - b).(a2 + ab + b2)

Biết vận dụng nó để đưa ra những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9 (theo thứ tự)
viết dưới dạng có dấu căn:
1) a  2 ab  b 
2) a  2 a  1 





a b



a 1



2

2

 a    b    a  b  .
4) a a  b b   a    b   ( a 
5)1  a a   1   a   (1  a ).  1 
3) a  b 

2

2

3

3

3

3

a b





b ). a  ab  b
a a





6) a b  b a  ab ( a  b )
7) a  a  a ( a  1)

* Chú ý:
+a;b>0
+ Hằng đẳng thức số 4; 5 ở lớp 8 ít được sử dụng ở lớp 9, nên tôi không đưa
vào phần ghi nhớ ở lớp 9.
+ Khi làm được điều này học sinh sẽ có căn cứ để giải bài tập rút gọn biểu
thức có chứa căn thức bậc hai.
6


2. Bài tập vận dụng
*Sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập tập 1 đưa ra rất nhiều bài tập về rút
gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai như sau:
Bài toán 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

2

�
�
�
1 a a
1 a �

a
a) �
�
�
�1  a
�
�1  a �
� 1
�
�
�
�

Với a ≥ 0; a ≠ 1

Nhận xét đề bài: Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau:

 a    1  a  . 1  a  a 
  a    1  a  . 1  a 
3

1  a a  13 

1  a  12

2

tương tự hđt (hằng đẳng thức) số 3; 5 lớp 9. Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi
vế trái:
Giải
2

�
�
�
1 a a
1 a �
VT  �

a
�
�
�1  a
�
�1  a �
�
�
�
�
�







2

�1  a . 1  a  a
��
�
1 a
�
�
�
�

 a .
�
��1  a . 1  a �
1 a
�
��
�











2

� 1 �
 1  2 a  a .�
�
1 a �
�

Đến đây ta lại thấy xuất hiện hđt:  1  2 a  a    1  a  tương tự hđt số 2 lớp
2

9. Tiếp tục biến đổi ta được kết quả:
b)

ab
a 2b 4
a
b2
a 2  2ab  b 2



VT  1  a



2

.

1

1 a 

2

 1  VP

ðpcm

với a+b >0 và b �0

Nhận xét: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 hđt số 1 lớp 8. Áp dụng vào bài toán ta biến
đổi vế trái:
Giải
VT 

ab
a2b4
ab
 2
2
2
2
b
a  2ab  b
b

a 2b4

 a  b

2
2
a  b ab
ab b a
 2 .
 2 .
 a  VP
ab
a b
b
b

2

ðpcm

Bài toán 2: Rút gọn biểu thức:
7

Vi a  b  0


P

a  b  2 ab

1
:
a b
a b

* Nhận xét:
a  b  2 ab  a  2 ab  b 



a b



2

Giải
P


a  b  2 ab
1
:
a b
a b

a  2 ab  b
1
:
a b

a b

 a




2

 2 ab 

 b

2

a b

a b



:

1
a b

2

a b

�

a b
1

 a  b  � a  b 
  a  b


2

2

 ab

Vậy P = a – b (với a > 0, b > 0, a ≠ b)
Bài toán 3: Cho biểu thức:

�
��
�
1 a a
1 a a
P�

a
.

a
�

�
�
�1  a
��1  a
�
�
��
�

a) Rút gọn P
b) Tìm a để P  7  4 3
* Nhận xét:

 a    1 a   1
a  1  a    1 a   1

1 a a  1
1 a

3

3

Giải
ĐKXĐ: a ≥ 0; a ≠ 1

8


a  a

a a


�
��
�
1 a a
1 a a
P�
.�
�1  a  a �
�
�1  a  a �
�
�
��
�
3
3
�
��
�
1
a
1
a
�
 a ��
�

 a�
�1  a
��1  a
�
�
��
�
�
��
�
�1  a 1  a  a
��1  a 1  a  a
�
 a ��
�

�
��
1 a
1 a
�
��



















a a a �

1 a  a 
  1 2 a  a �
1 2 a  a
 1 a  �
1 a 
�
 1 a  �
 1 a  �
�
�
 1

2

a





�
a�
�
�

2

2

 1 a

2

Vậy P =  1  a 

2

Bài toán 4: Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết:
1 �
a 1
� 1
M �

�:
a  1 �a  2 a  1
�a  a

Nhận xét:

a  a  a ( a  1)
a  2 a 1 





a 1

2

với a,b ≥ 0 và a ≠ 0
có dạng hđt số 2 và 7 lớp 9. Áp dụng vào bài toán:

Giải
�
�
� 1
1 �
a 1
1
1 �
�
M �

:



:
�
a 1�a  2 a 1 � a a 1
a 1�
�a  a
�
�



�
�
1 a �
�
M 
:
� a a 1 �
�
�



M 

a 1
a

 

 1

1
a







�
�
a 1
1 a � a 1
�

.
2
� a a 1 � a 1
a 1
�
�



1







a 1



a 1

2

2

Vi # a  0

Bài toán 5: Cho biểu thức:
P

x 1 2 x
25 x


4 x
x 2
x 2

a)

Rút gọn P

b)

Tìm x để P = 2

Với x ≥ 0 ; x ≠ 4

Nhận xét: Bài toán cho có hằng đẳng thức:







4  x  2  x . 2  x và dùng quy tắc đổi dấu để rút gọn biểu thức P
9


Giải
x 1

a) P 
P
P
P

x 2



2 x





x 2



x 1



x 1
x 2

2 x



x 2

 

x 2  25 x





25 x
x4

x4
x  2  2x  4 x  2  5 x
x4

3x  6 x

x4

3 x





x 2

3 x



25 x

4x

x 2 2 x

x2 x 

b) P  2 �



x 2

x 2





 
x  2

x 2

2�3





3 x


x  2 �
x 2

x  4 � x  16

Bài toán 6: Chứng minh các đẳng thức sau
a)

a b b a
1
:
 ab
ab
a b

Với a, b > 0 ; a ≠ b

� a  a �� a  a �
b) �
1
.�
1
�
�
�
�
�
� 1  a
a

1
a


1
�
��
�

Với a ≥ 0 và a ≠ 1
Nhận xét: Hai câu trên gồm có các hđt số 6 & 7 lớp 9:
a b  b a  ab
a� a  a





a b





a �1

Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái còn gặp thêm dạng hđt số 3 lớp 8:
Giải
c)VT 

a b b a
ab

:

1
a b

ab



a b

� a  a �� a 
d )VT  �
1
.�
1
�
�
�
�
�
a

1
a 1 �
�
��
��
�







.

  a  b
ab
�
��
�
a � � a  a  1 �� a  a  1 �
 1
. 1



 1  a . 1  a  12 

 a

2



a b 

a 1

��
��

 1  a  VP

a 1

ðpcm

Bài toán 7: Cho biểu thức
Q

�
a
�
1
2
2
2
a  b � a  b2
a

�
b
�:
2
2
�a  a  b

a) Rút gọn Q
10

2

Với a > b > 0

�
�

2

 a  b  VP ðpcm


b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b
Nhận xét: Bài toán cho có dạng hđt số 3 lớp 8. Áp dụng vào bài toán ta rút gọn
câu a:
Giải
�
�
a
b
�
1
�:
2
2
a  b � a  b �a  a 2  b 2
� a 2  b 2  a �a  a 2  b 2

a
Q
�
.
�
2
2
�
b
a 2  b2 �
a

b
�
�
a

a )Q 

Q
Q

2

2

a
a 2  b2
a



a2 



a 2  b2

b



2

Q

2

2

2



a



b a 2  b2

a b
b a b
b) Khi a  3b .Ta co :
2



2

a2  b2

a b
a b
2

2







a2  a2  b2
b a2  b2

ab



2

a  b. a  b



a b
ab

ab
3b  b
1
2



ab
3b  b
2
2

Bài toán 8: Cho biểu thức:
1 �� a  1
a 2�
� 1
Q�

:

�

�
�
a ��
a 1 �
� a 1
� a 2
�

Với a > 0 ; a ≠ 4 ; a ≠ 1

a) Rút gọn Q
b) Tìm giá trị của a để Q dương
Nhận xét: Sau khi quy đồng mẫu thức, ta thấy xuất hiện dạng hđt số 3 lớp 8
Giải
1 �� a  1
a 2�
� 1
a )Q  �


�
�: �
a ��
a 1 �
� a 1
� a 2
�
� a  a  1 �� a  1 a  1  a  2
a 2 �
�

��
�
Q
:
� a a  1 ��
�
a 2
a 1
�
��
�
�
�� a  1  a  4 � �
�� a  2
a 1

 
 � � 1
1
��
�
Q�
:
.�
� a a  1 �� a  2
3
a  1 � � a a  1 ��
�
��
��

��







b) Q  0 �









a 2
3 a









  0 � vi 3

 




















�
� 
�
�

a  0(a  0) � a  2  0 � a  2 � a  4

Bài toán 9:Chứng minh các đẳng thức (với a,b không âm và a �b )

11

a 2
3 a




a)

a b
2 a 2 b

a b



2 a 2 b



2b

ba

2 b
a b

2

�a a  b b
�
�a b�
b) �

ab
�
�
� a b
�
� a b �
� 1
�
�
�
�

Nhận xét: Bài toán cho dưới dạng hđt số 3 & 4 lớp 9 kết hợp với quy tắc đổi
dấu. Áp dụng vào bài toán, biến đổi vế trái:
Giải
a )VT 




a b
a b
2b
a b
a b

2b





2 a  2 b 2 a  2 b b  a 2( a  b ) 2( a  b ) a  b

a b

 
2

2 a  b

4 ab  4b

2 a  b
2



a b
4 b



2



 4b



a b



a b

�a a  b b
b)VT  �
� a b 
�







( a  2 ab  b)  ( a  2 ab  b)  4b
2  a  b

a b

 

�

�a b
ab �
�
�
� ab
�
�





2 b



a b



 VP

ðpcm

2

�
�
�
�

2

� a  b a  ab  b
�
�
�
a b
�
�
�
�

 ab
�
�
� a b
a b
a b �
�
�
�
�





2



� 1
�
 a  2 ab  b �
�
�a b�





a b



2

.





1
a b



2

 1  VP

ðpcm

Bài toán 10: Cho biểu thức:


A

a b



2

 4 ab

a b



a b b a
ab

a)

Tìm điều kiện để A có nghĩa

b)

Khi A có nghĩa. Chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a

Nhận xét: Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức sau:
a �2 ab  b 



a�b



2

a b  b a  ab ( a  b )

Áp dụng vào bài toán ta có lời giải:
Giải

12



A

a b



2

 4 ab

a b
a ) ÐK : a; b  0 ; a �b


b) A 
A
A

a b



2

 4 ab

a b

a  2 ab  b
a b





 

a b 





a b b a
ab



a b b a
ab



a b 



a  2 ab  b  4 ab



a b



a b

ab





a b



a  b  a  b  a  b  2 b

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào a.
Bài toán 11: Cho biểu thức:
�
�
�2 x  1
�
x
1  x3
B�


x
�
� Với x ≥ 0 ; x ≠ 1
�
� x3  1 x  x  1 �
�1  x
�
�

�
�
�

a)

Rút gọn B

b)

Tìm x để B = 3

Nhận xét: Bài toán cho gồm có hằng đẳng thức sau:

 x  1  x 
 1 x  1

x3  1 
1  x3


Áp dụng vào bài toán ta có:
x  x
x 1

Giải
�
�
�2 x  1
�

x
1  x3
a) B  �


x
�
�
�
� 3
�
�1  x
�
� x 1 x  x 1�
�
�



�
�
�1 
2x  1
x
�
�
B�

� x 1 x  x 1
�

x  x 1�
�
�
�






�2 x  1  x  x  1 �
�
B�
1
�
� x  1  x  x  1 �
�
�
2x  1  x  x
B�
� x 1 x  x 1
�
�
x  x 1
B�
� x 1 x  x 1
�




b)






B3�






x x

x



�
�1  2 x  x
�
�
�
2
�1  x  x  1
�
�




x 1  3 �





x  4 � x  16

13



x 1
1

x

xx





a b
ab

2

a b





�
x�
�
�




Bài toán 12: Cho biểu thức:
� x
x  9 ��3 x  1 1 �
C �
:

�Với x > 0 ; x ≠ 9
�3  x  9  x ��
��
x�
�
��x  3 x
�

a)

Rút gọn C

b)

Tìm x sao cho C < -1

Nhận xét: Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau:





9 x  3 x 3 x
x3 x  x



x 3





Áp dụng vào bài toán ta có:

Giải
� x
x  9 ��3 x  1

1 �
a )C  �

:

��
�
�
3  x 9  x ��
x�
�
��x  3 x
�
�
x
C �

�
3 x
3
�





��
�
3 x 1
1 �

��
:

x�
x �� x
x 3
��
�

x9
x



 3 







�
��
�
3
� �3 x  x  x  9 ��
:
�3  x   3  x  ��





 �
� �
��
� 3  x  3
��
� �
�� x  x  3 �
2 x 4 � � 3
�
�
�
C �
:�

.�
�
�
�
�
�
�
�
 3  x   3  x  �� x  x  3 � � 3  x  ��2  x  2  �
�
�
�
�� x  x  3 �

3
�
� 3 x
C �
.�
�
�
�
2 x  2
 x  3 ��2  x  2  �
�
� 
� x 3  x  x  9 ��
3 x 1 x  3
��
C �
:
� 3  x 3  x ��
x
x 3
�
��

C  1 �

b)

�

4 x

2



x 2



2



3 x
x 2

 0 Vi 2





 1 �

2



3 x
x 2



1  0 �

3 x  2
2





x2

x 2



�
x  3�
�
x 3
�

x 1
x





 0



x  2  0 ( x  0 ) nên : 4  x  0 � x  16

Bài toán 13: Rút gọn:
P

x xy y
x y





x y



2

Với x ≥ 0; y ≥ 0 x2 + y2 > 0

Nhận xét: bài toán có hđt sau: x x  y y   x  y   x  xy  y  . Áp dụng vào
bài toán.
14

Giải
P

x xy y
x



P  x

y





x

y



2

 





x

y

x
x



xy  y  x  2 xy  y  x 

xy  y
y



x2

xy  y

xy  y  x  2 xy  y 



xy

Bài toán 14: Chứng minh đẳng thức
1 �
a 1
a 1

� 1


�
�:
a  1 �a  2 a  1
a
�a  a

Với a > 0 ; a ≠ 1

Nhận xét: bài toán cho gồm có hđt sau:
a a  a



a  2 a 1 



a 1





a 1

2

Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái:

Giải
�
�
1 �
a 1
1
1 �
� 1
�
VT  �



:
�:
a  1 �a  2 a  1 � a a  1
a 1 �
�a  a
�
�



�
�
1 a �
�
VT 

:
� a a 1 �
�
�



a 1

 



a 1

2









� x 2
x  2 � 1  x 
P�
.
�x 1  x  2 x 1�

�
�
� 2



x 1

x  2 x 1 









2

x 1



x 1

2

2

2

Nhận xét: bài toán cho gồm có hđt sau:





a 1

�
�
1 a � a 1
a 1
�

.

 VT
� a a 1 � a 1
a
�
�

Bài toán 15: Rút gọn biểu thức:

x 1 

a 1

Áp dụng vào bài toán ta có lời giải:
Giải

15

ðpcm


ÐK : x �0 ; x �1
�
2
� x 2
x  2 � 1  x 
x 2
�
P�

.


�
�
�x 1 x  2 x 1� 2
x

1
x

1
�

�
�
�





� x 2
P�
�
�
�




  x  2 
x  1  x  1



�
�
2
x  x  2 x  2  x  x  2 x  2 � 1  x 
�
P�
.
2

�
�
� 2
x 1 x 1
�
�
�
2 x
P�
� x  1 x  1
�









2



 

2
x 1 �
 1 x
�

.
�
� 2
�

x 1 



�
2
x  2 � 1  x 
.
2 �
x 1 � 2
�



� 1  x 2  x x 1  x
 
 
�
.


� 2
x 1
�









x 1



 

x 1



x 1

x







x 1  x 1 x



MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH
Bài 1: Rút gọn
a b
a b
4b


a b
a  b a b

Với a, b >0 ; a ≠ b

Nhận xét: bài toán cho có hằng đẳng thức:
ab 



a b



a b



Áp dụng vào bài toán ta có:
Giải

a b
a b







a b
a b



4b
ab

   a  b   4b
 a  b  a  b

a b

2

2

a  2 ab  b  a  2 ab  b  4b



a b



a b







2a  2b
a b



a b





2  a  b
a b

2

Bài 2: Cho biểu thức
�a  a

�
�
a a�
P�
2
�
�
� a 1  2 �
�
�
�
�
�
� 1 a �

a)

Tìm điều kiện để P có nghĩa

b)

Trong điều kiện đó, hãy rút gọn P

Nhận xét: Bài toán cho có hđt: a  a  a ( a  1) . Áp dụng vào bài toán ta có:
Giải
16


�a  a
�

�
a a�
P�

2
2

�
�
� a 1
�
� 1 a �
�
�
�
�
�
a)
ÐK : a �0 ; a �1
�a  a
�
�
a a�
b) P  �

2
2

�
�

� a 1
�
� 1 a �
�
�
�
�
�
� a a 1
�
�
a 1 a
�
�
P
 2 �2 
� a 1
�
�
1 a
�
�
�







�
�

� 





a  2 2  a  22 

�

 a

Bài 3: Cho biểu thức
x  3  2 x2  9

M 

2x  6  x2  9

a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức M
c) Tính giá trị của M khi x = -5
Nhận xét: Bài toán cho có các hđt sau:
x 2  9  x  3. x  3
x3



x3



3 �x �3

voi

2

Áp dụng vào bài toán ta có:
Giải
M 
a)
b)

x  3  2 x2  9

2x  6  x2  9
ÐK : 3 �x �3
Rút gon :

* Nêu x �3

  x  3
2  x  3   x  3   x  3 
2x  6  x  9
x  3 �
 x  3 �

 x  3  2 x  3�
 x  3  2
�
� 
�
M 
2 x  3   x  3  x  3
 x  3 �
 x  3  2
�
 x  3  x  3
M 
 x  3 x  3
M 

x  3  2 x2  9
2




x3



2

2



x3

2

17

x  3�
�
x  3�
�

2

 4a


* Nêu x �3
M 

M 

x  3  2 x2  9
2x  6 




 





 x  3  2  x  3   x  3 
2  x  3   x  3   x  3 
2

x  3 � x  3  2 x  3� 
�
�

 x  3

2

M 

x2  9






2



 

x  3



x3

x3



x3







 
 



x  3 � x  3  2 x  3�
�
�
�
�
x 3
x3 2 x3

�
�



x3
x 3

c) Khi x  5 ta co :
M 

5  3
2
1
1



5  3
8
4
2

Bài 4: Cho biểu thức
M 

a  a2  1
a  a2  1



a  a2  1
a  a2  1

a) Rút gọn biểu thức M
b) Tính giá trị của M khi a = 9
Nhận xét:
Bài toán cho có dạng hđt số 1 ; 2 ; 3 lớp 8. Áp dụng hđt, ta có lời giải
Giải
ÐK : 1 �a �1
a)M 

a  a 1
2

a  a2  1

a
M 

a2  1



a  a 1
2

a  a2  1

 a

2

a 2   a 2  1

a2  1







 
 1  a 

a  a2  1

a

a2

2

 a  a2  1
a2  1





2

2



a 2  2a a 2  1  a 2  1  a 2  2 a a 2  1  a 2  1
 4a a 2  1
1

b) Khi a  9 Ta co : M  4a a 2  1  4.9 80  36 16.5  144 5

Bài 5:Cho biểu thức
�
�
x �� 1
2 x
P�
1

:

��
� x  1 �� x  1 x x  x  x  1 �
�
�
��
�

voi x �0 ; x �1

a)

Rút gọn P

b)

Tìm các giá trị của x sao cho P < 1

c)

Tính giá trị của P nếu x  2002  2 2001

Nhận xét: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử rồi quy đồng mẫu thức ta sẽ
có hđt dạng số 2 lớp 9:
18


Giải
�
� �x  1  x �� 1
x �� 1
2 x
a) P  �
1
:

:�

�

��
� �
�
�
��
�
�
�
� x  1 �� x  1 x x  x  x  1 � � x  1 �� x  1
�x  1  x �� 1
2 x
P�
:�

� x 1 �
�
x  1  x  1
x 1
�
��
�







2 x
x  x  1   x  1

��
�� x  1  2 x �
� �x  1  x �
�
:�
�
��
�
�
x

1
x

1
x

1


��
��
�





�

� x  1  x
�  x  1
 �
�

�
 x  1 x  1
�x  1  x ��
P�
.�
2
� x 1 �
�
�
��
x 1
�



b) P  1 �

x 1 x





x 1

1�

x 1 x





x 1

Vi : x 2 �0
nên : x 1 0

x 1

c) Voi x  2002  2 2001 ta co P 

P



2002  2 2001  1 





1  0 �

2001  1

0







x 1

0�



x 1



x 1

0



2002  2 2001  1  2002  2 2001
2002  2 2001  1

2



2

2001  1  1

2002  2 2001  1  2001  1 2002  2001

2001  1  1
2001  2

Bài 6: Cho biểu thức
� 1
1 �� 1 �
A�

.�
1 �
�
1  a 1  a �� a �
�

a)

Rút gọn biểu thức

b)

Tính giá trị của A khi a = 1/4

Nhận xét: Sau khi quy đồng ta có hđt sau:

 1  a   1  a   1  a . Áp dụng vào bài toán ta có lời giải:
Giải
ÐK : a  0 ; a �1



x2

x 1

x 1 x



x 1 x  x 1



 




�
�
� 1
1 �� 1 � �1  a  1  a ��a  1 �
a) A  �


.
1


.�
�
�
��
1  a 1  a �� a � � 1  a 1  a �� a �
�
�
�



�
1 a 1 a �
2
�a  1 � 2 a �a  1 �
A�

.


�
�
�
�
�

�
�
1 a
a
� a � 1 a � a �
�
�
1
2
2
2
b) Khi a  ta co : A  

   4
1
4
a
1
2
4

19



�
�
�
�

Bài 7: Rút gọn cho biểu thức
Y

x2  x
2x  x
1
x  x 1
x

Với x >0

Nhận xét: Sau khi đặt nhân tử chung thì xuất hiện hđt sau:

 

x2  x  x � x
�
�

3

 1� x
�
�







x 1 x  x 1

Áp dụng vào bài toán ta có lời giải.
Giải
Y

x2  x
x  x 1

Y x



1

2x  x





x



x





 1 x  2

x 1 x  x 1
x  x 1





x 1
x

x 1  1  2 x 1  x  x 1  2 x 1  x  3 x

Bài 8: Rút gọn biểu thức
� a
1 �� 1
2 �
K �

�
� a 1  a  a �
�: �
�
�� a  1 a  1 �

Nhận xét: Bài toán cho có hđt: a  1   a  1  a  1 .

Áp dụng vào bài toán ta có
Giải
ÐK : a  0 ; a �1
�
��
� a
1 �� 1
2 �� a
1
1
2
��
K �


:

� �
� a 1  a  a �
�: �
a a  1 �� a  1
a 1 a 1
�
�� a  1 a  1 � � a  1
��
2
�
��
��
�

a

1


�
�
a

1
a

1

2
a

1
a

1
a 1
��
� �
�
K �
:
.

�

� a a  1 �� a  1 a  1 � � a a  1 ��
a
� a  1 � a  a  1
�
��
��
�





 











Bài 9: Rút gọn biểu thức
A

1
x2 x



1
x2 x



x3  3x
2 x 6

Nhận xét: Bài toán cho gồm có hđt sau:



 x 2  x  
x  3 x  x  x  3
2 x  6  2  x  3
x2 x

x2

  x
2

3

Áp dụng vào bài toán ta có lời giải
Giải
20

2

 x2x  2







�
�
�
�


ÐK : x �0
A

A

A

1
x2 x



1
x2 x



x3  3 x
2 x 6

2 x2 2 x 2 x2 2 x x
2



x2 x

4 x  2  x  x  2  x
2 x  2  x







1



x2 x

x2 x

x2 x









1
x2 x

x2 x






2
x


x  3
x 3



4 x  2  2x 2 2 x  2  x

2 x2x


4
4
2

V. HIỆU QUẢ CỦA CHUYÊN ĐỀ.
- Lúc chưa áp dụng đề tài, học sinh còn rất bở ngỡ vì không biết phải xuất phát
từ đâu khi gặp một số bài mà tôi đã trình bày ở trên. Nguyên nhân chính ở đây là
các em chưa thuộc hằng đẳng thức hoặc có thuộc thì chỉ thuộc lòng, không biết
cách vận dụng chúng như thế nào để giải bài tập dạng nêu trên. Chính vì vậy phần
lớn các em rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai hoặc thực hiện phép tính có
chứa dấu căn không ra đến kết quả cuối cùng
- Sau khi áp dụng đề tài tôi nhận thấy rằng các em bắt đầu hiểu ra và biết cách
áp dụng chúng một cách triệt để. Nhờ vậy tỉ lệ các em hiểu bài, làm được bài tăng
lên rõ rêt. Sau đây là bảng thống kê kết quả bài kiểm tra rút gọn biểu thức có chứa
căn thức bậc hai và thực hiện phép tính có chứa dấu căn:
Kết quả điểm kiểm tra
Khá Trung bình Yếu

Giỏi
Kém
Năm học
Áp dụng đề tài
2019 -2020
Chưa áp dụng
2018 -2019
Đã áp dụng
15% 20%

45%
17%
3%
2017 -2018
Đã áp dụng
20% 30%
40%
10%
0%
Qua việc áp dụng đề tài tôi nhận thấy giáo viên đỡ vất vả rất nhiều trong khâu
phải giải bài tập cho học sinh(phần lớn các em giải không được)mà kết quả đem lại
không được nhiều, giáo viên phải làm việc nhiều hơn học sinh, học sinh chỉ biết thụ
động tiếp thu kiến thức. Sau khi sử dụng đề tài này tôi thấy học sinh có ý thức học
tập hơn, biết tự mình phát hiện ra kiến thức và biết áp dụng chúng, đúng với tinh
thần lấy học sinh làm trung tâm phù hợp với việc đổi mới phương pháp dạy học
hiện nay.

21


VI. BÀI DẠY MINH HOẠ
Ngày soạn:
Ngày giảng:
CHUYÊN ĐỀ
SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN
THỨC BẬC HAI.
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Nắm vững 7 hằng đẳng thức đã học ở lớp 8, từ đó đưa ra được những hằng
đẳng thức của lớp 9.

- Biết áp dụng các hằng đẳng thức vào giải toán.
2. Kĩ năng
- HS có kĩ năng quan sát, phân tích, tư duy, tổng hợp tìm ra lời giải.
- Rèn cho HS kĩ năng tính toán, biến đổi chính xác.
3. Thái độ HS có thái độ say mê, yêu thích môn học.
II. CHUẨN BỊ
GV: Thước kẻ, máy vi tính, máy chiếu, sưu tầm các bài tập có liên quan.
HS: Ôn lại 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp 8.
Các phép biến đổi căn bậc hai chương I (Toán 9).
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
1. Tổ chức lớp: Sĩ số: 9A: 9B:
2. Kiểm tra bài cũ:
HS1. Viết bảy hằng đẳng thức đã học ở lớp 8.
HS2. Chứng minh các đẳng thức sau:
2

�
�
�
1 a a
1 a �

a
�
�
�
�1  a
�
�1  a �
� 1 với a ≥ 0; a ≠ 1

�
�
�
�

GV và HS nhận xét.
3. Bài mới:

Hoạt động của thầy và trò
* Hoạt động 1:

Nội dung
I. Nhắc lại bảy hằng đẳng thức đáng nhớ đã
HS nhắc lại 7 hằng đẳng thức học ở lớp 8.
đáng nhớ đã học ở lớp 8. Từ đó
22


GV đưa ra các hằng đẳng thức
của lớp 9. (Dùng máy chiếu)
* Hoạt động 2:
* Hoạt động 2.1:

II. Một số bài toán liên quan

Giáo viên đưa ra ND bài tập.
Bài toán 1: Chứng minh các
đẳng thức sau:
ab
a 2b 4

 a với a+b > 0 Bài toán 1:
b2
a 2  2ab  b 2

và b �0

* Nhận xét:
a 2  2ab  b 2   a  b 

2

Giải
Biến đổi vế trái:
GV: Em có nhận xét gì khi giải
bài toán trên

VT 


HS: Ngoài nhận xét trên bạn nào
có nhận xét gì khác không?

ab
a 2b 4
�
b2
a 2  2ab  b 2

ab
a 2b 4

�
2
b2
 a  b
2

2 4
�a  b � a b
 � 2 ��
2
�b �  a  b 

GV: Từ nhận xét trên yêu cầu 1
HS lên bảng trình bày lời giải của
bài toán.



GV: Cho HS khác nhận xét bài
của bạn
GV: Nhận xét, cho điểm

 a  b
b4

2

a 2b 4

�

2
 a  b

 a2
a

Vậy VT = VP (với a+b > 0 và b �0 )

23


* Hoạt động 2.2:

Bài toán 2:

Giáo viên đưa ra ND bài tập.

* Nhận xét:

Bài toán 2: Rút gọn biểu thức:
P

a  b  2 ab  a  2 ab  b 

a  b  2 ab
1
:
a b
a b

HS: Ngoài nhận xét trên bạn nào
có nhận xét gì khác không?
GV: Từ nhận xét trên yêu cầu 1
HS lên bảng trình bày lời giải của
bài toán.

a b



2

Giải
P

GV: Em có nhận xét gì khi giải
bài toán trên





a  b  2 ab
1
:
a b
a b

a  2 ab  b
1

:
a b
a b

 a




2

 2 ab 

 b

2

a b

a b



:

1
a b

2

�

a b

a b
1

 a  b  � a  b 
  a  b


2

2

 ab

GV: Cho HS khác nhận xét bài
Vậy P = a – b (với a > 0, b > 0, a ≠ b)
của bạn
GV: Nhận xét, cho điểm

Bài toán 3:
* Nhận xét:
* Hoạt động 2.3:
Giáo viên đưa ra ND bài tập.

1 a

Bài toán 3: Cho biểu thức:

�
��
�
1 a a
1 a a
P�

a
.

a
�
�
�
�1  a
��1  a
�
�
��
�

 a    1 a   1
a  1  a    1 a   1

1 a a  1

3

3

Giải
ĐKXĐ: a ≥ 0; a ≠ 1

a) Rút gọn P
b) Tìm a để P  7  4 3
HS: Quan sát, nhận xét.
24


a  a

a a


GV: Cho HS hoạt động theo nhóm

�
��
�
1 a a
1 a a
P�

a
.

a
�
�
�

�1  a
��1  a
�
�
��
�
3
3
�
��
�
1 a
1 a
�
��

 a �
 a�
�1  a
��1  a
�
�
��
�
�
��
�
�1  a 1  a  a
��1  a 1  a  a
�

�
��

 a �
 a�
�
��
�
1 a
1 a
�
��
�

 

HS: Các nhóm lên bảng trình bày
lời giải của bài toán.



 











 1 2 a  a �
 1 2 a  a
 1 a  �
1 a 
�
 1  a  � 1  a  �
�
�

 1  a  a  a �1  a  a  a

HS: Cho các nhóm nhận xét
GV: Nhận xét rồi cho điểm

2



2

2

  1 a

2

Vậy P =  1  a 

2

4. Củng cố
- GV khắc sâu cho HS các bài tập đã chữa
- HS nghe, áp dụng.
5. Hướng dẫn về nhà
- HS làm các bài tập còn lại trong tài liệu (Đính kèm)
- Buổi học sau thầy sẽ hướng dẫn các em phương pháp khác
- Hướng dẫn: bài toán 7.
Bài toán 11: Cho biểu thức:
�
�
�2 x  1
�
x
1  x3
B�


x
�
�với x ≥ 0; x ≠ 1
�
� x3  1 x  x  1 �
�1  x
�
�
�
�

�

a) Rút gọn B
b) Tìm x để B = 3.
* Nhận xét:
x3  1 

 x

1  x3  1 

3

1 







x 1 x  x  1

 x    1 x   1
3

xx



PHẦN III: KẾT LUẬN
25

