sang kien kinh nghiem 2020 n t VAN

MỤC LỤC
Trang
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
3
CHƯƠNG I: TỔNG QUAN
4
1.Cơ sở lí luận
4
2. Phương pháp tiếp cận tạo ra sáng kiến
6
3. Mục tiêu nghiên cứu
6
CHƯƠNG II: MÔ TẢ SÁNG KIẾN
7
I.NÊU VẤN ĐỀ CỦA SÁNG KIẾN
7
1. Phân tích, đánh giá thực trạng vấn đề
7
2. Chỉ ra các tồn tại hạn chế.
9
3. Nguyên nhân của những tồn tại, hạn chế.
9
4. Phân tích, đánh giá và chỉ ra tính cấp thiết cần tạo ra Sáng kiến.
10
II.GIẢI PHÁP ĐỂ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN
10
1.Nội dung
10
1.1 Kiến thức cơ bản
10
1.1.1. Nguyên hàm

10
1.1.2. Tính chất của nguyên hàm
11
1.1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm
11
1.1.4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
11
1.2 Dạng 1. Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thức
12
1.3. Dạng 2. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức
15
f '( x) + f ( x) = h( x)

1.4 Dạng 3. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức

17

1.5 Dạng 4. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức

20

1.6 Dạng 5. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức

25

1.7 Dạng 6. Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thức

26

f '( x) − f ( x) = h( x)

f '( x ) + p ( x ). f ( x) = h( x)
f '( x) + p ( x). f ( x) = 0

f '( x) + p ( x) f ( x) = 0
n

III.KẾT QUẢ VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG, NHÂN RỘNG.
1.Kết quả:
2.Khả năng áp dụng nhân rộng.
IV.GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN
CHƯƠNG III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT
1.Kết luận

1

27
27
32
33
34
34


2.Kiến nghị
Tài liệu tham khảo

34
36

2


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Từ viết tắt
NLST
HS
THPT
THPT QG
THPT CNVT

Từ đầy đủ
Năng lực sang tạo
Học sinh
Trung học phổ thông
Trung học phổ thông quốc gia
Trung học phổ thông Công nghiệp Việt Trì

3


CHƯƠNG I: TỔNG QUAN
1.Cơ sở lí luận
Chiến lược phát triển giáo dục Việt Nam giai đoạn 2011 – 2020 đã nêu rõ: “Đến
năm 2020, nền giáo dục nước ta được đổi mới căn bản và toàn diện theo hướng
chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế, chất lượng
giáo dục được nâng cao một cách toàn diện: gồm giáo dục đạo đức, kỹ năng
sống, năng lực sáng tạo, năng lực thực hành, năng lực ngoại ngữ và tin học đáp
ứng nhu cầu nhân lực nhất là nhân lực chất lượng cao phục vụ sự công nghiệp
hóa , hiện đại hóa đất nước và xây dựng nền kinh tế tri thức; đảm bảo công bằng

xã hội trong giáo dục và là cơ hội học tập suốt đời cho mỗi người dân, từng
bước hình thành xã hội học tập”. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu
trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học.
*Khái niệm “Sáng tạo ( reation) là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không
bị gò bó, phụ thuộc vào cái đã có” Theo từ điển Bách khoa toàn thư Liên Xô
[ Tập 42, tr.54] thì “ Sáng tạo là một loại hoạt động mà kết quả của nó là một sản
phẩm tinh thần hay vật chất có tính cách tân, có ý nghĩa xã hội, có giá trị giúp
giải quyết một khó khăn, bế tắc nhất định”.
*Khái niệm năng lực sáng tạo( NLST) :
NLST là khả năng tạo ra những giá trị mới về vật chất và tinh thần, tìm ra cái
mới, giải pháp mới, công cụ mới, vận dụng thành công những hiểu biết đã có
vào hoàn cảnh mới.
Một số năng lực sáng tạo chủ yếu
- Năng lực tư duy - sáng tạo
- Năng lực quan sát và sáng tạo
- Năng lực tưởng tượng – liên tưởng
- Năng lực phát hiện vấn đề
*Tìm hiểu những đặc điểm về năng lực sáng tạo của học sinh trong học tập

4


Đối với học sinh phổ thông tất cả những gì mà họ “ tự nghĩ ra ” khi GV chưa
dạy, HS chưa đọc sách, chưa biết được, nhờ trao đổi với bạn bè đều coi như có
mang tính sáng tạo. Sáng tạo là bước nhảy vọt trong sự phát triển năng lực nhận
thức của HS. Một trong những đặc điểm quan trọng của hoạt động sáng tạo là
vấn đề tính mới mẻ.
Có thể nói quá trình sáng tạo bao gồm những đặc trưng cơ bản sau:
Tính mới mẻ của sản phẩm, tính bất ngờ của phỏng đoán, tính ngẫu nhiên của
phát triển, những cái làm cho quá trình sáng tạo có tính chất không nhận biết

được,không điều khiển được đều có tính chất tương đối.
Trong chương trình toán lớp 12, học sinh rất hứng thú với các bài toán
tích phân, nguyên hàm hay ứng dụng của nó vào tính diện tích hình phẳng, thể
tích khối tròn xoay. Đây cũng là một phần để các em lấy điểm trong bài thi môn
toán trong kì thi trung học phổ thông Quốc gia (THPT QG). Với đa số các câu
hỏi trắc nghiệm đơn giản không đánh đố, chỉ cần học sinh hiểu bài, nắm chắc
kiến thức là làm được các câu ở mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp….
Tuy nhiên, trong đề thi các năm gần đây xuất hiện một số bài tập nguyên hàm
tích phân, các bài toán vận dụng cao các em học sinh thấy khó khăn trong quá
trình làm bài, không đạt điểm cao môn toán trong kì thi THPT QG.
Đây là các bài tập tích phân nguyên hàm khi biết mối liên hệ giữa hàm số
f (x)

và đạo hàm của hàm số đó

f '( x)

. Tôi đã nhận được rất nhiều câu hỏi của

các em học sinh quan tâm đến các câu hỏi, các bài tập toán như vậy.
Qua quá trình nghiên cứu học hỏi tôi thấy nếu như các bài toán như vậy
được tổng quát hoá, được các thầy cô giáo giảng dạy cho các em theo chuyên đề
thì các em sẽ làm chủ kiến thức và không còn bỡ ngỡ khi gặp các bài toán như
vậy.

5


Nên tôi mạnh dạn viết thành sáng kiến kinh nghiệm “Xây dựng chuyên
f ( x)

đề nguyên hàm, tích phân liên quan đến hàm số

f '( x)

và đạo hàm

giúp

cho học sinh lớp 12 THPT phát triển năng lực tư duy sáng tạo " với mong
muốn góp phần giúp cho các em học sinh lớp 12 của trường trung học phổ thông
Công nghiệp Việt Trì (THPT CNVT) nói riêng và học sinh lớp 12 trong tỉnh nói
chung có tư duy học tập sáng tạo và đạt điểm cao môn Toán trong kì thi THPT
QG.
2. Phương pháp tiếp cận tạo ra sáng kiến
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết
•

Nghiên cứu lí thuyết toán học chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng.
- Phương pháp điều tra, quan sát:

•

Tìm hiểu thực tiễn dạy học chuyên đề. Nghiên cứu việc học tập chuyên đề với
phát triển tư duy học tập của học sinh.
- Tham khảo ý kiến chuyên gia: Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến đóng góp của
các thầy cô giáo, những người có kinh nghiệm trong lĩnh vực Toán học lĩnh vực
khoa học.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

•

Tổ chức giảng dạy các giờ học có áp dụng sáng kiến.
3. Mục tiêu nghiên cứu
f ( x)

“Xây dựng chuyên đề nguyên hàm, tích phân liên quan đến hàm số
và đạo hàm

f '( x)

giúp cho học sinh lớp 12 THPT phát triển năng lực tư duy

sáng tạo "

6


CHƯƠNG II: MÔ TẢ SÁNG KIẾN
I.
1.

NÊU VẤN ĐỀ CỦA SÁNG KIẾN
Phân tích, đánh giá thực trạng vấn đề
Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng là một trong những chuyên

đề khó của toán học THPT. Nằm trong kiến thức lớp 12 trong đề thi THPT QG
môn Toán với 6 đến7 câu (1,2 điểm đến 1,4 điểm) với nhiều mức độ câu hỏi. Cụ
thể năm 2017 với 2 câu nhận biết, 4 câu thông hiểu và 1 câu vận dụng. Nằm
trong kiến thức lớp 12 trong đề thi THPT QG môn Toán năm 2018 với 2 câu

nhận biết, 1 câu thông hiểu và 2 câu vận dụng thấp, 2 câu vận dụng cao. Nằm
trong kiến thức lớp 12 trong đề thi THPT QG môn Toán năm 2019 với 2 câu
nhận biết, 1 câu thông hiểu và 2 câu vận dụng thấp, 1 câu vận dụng cao.
Có nhiều dạng toán tính nguyên hàm, tích phân như:
-

Dạng 1: Tích phân cơ bản áp dụng trực tiếp, tính chất bảng nguyên

-

hàm cơ bản.
Dạng 2: Tích phân hàm hữu tỉ học sinh phải biết chia đa thức, phân

-

tích thừa số, thêm bớt để được dạng toán quen thuộc.
Dạn 3: Giải tích phân bằng phương pháp vi phân.
Dạng 4: Giải tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 5: Tích phân từng phần….

Các bài toán đưa ra đều ở dạng tường minh đa số học sinh nếu học thuộc và nắm
chắc kiến thức sẽ làm được khoảng 60% đến 80% bài kiểm tra 1 tiết hay các câu
nhận biết, thông hiểu trong đề thi THPT QG phần nguyên hàm tích phân.
Tuy nhiên, những câu toán vận dụng thấp, vận dụng cao khi có mối quan
hệ giữa hàm số f(x) và đạo hàm f’(x) thường làm học sinh lúng túng không tìm
ra cách giải. Ví dụ câu 48 mã đề 101- năm 2018

Cho hàm số

f ( x)

f (2) =

thỏa mãn

−2
9

f '( x) = 2 x [ f ( x) ]

và

7

2

với mọi

x∈¡

.


f (1)

Giá trị của

A.

−35

36

bằng

.

B.

−35
36

C.

−35
36

D.

−35
36

Khảo sát nhanh với học sinh khối 12 năm học 2018-2019
Lớp 12 A1 với 30 học sinh tham gia trả lời (lớp khối A)
Câu hỏi 1: Theo em thấy chuyên đề tích phân trong chương trình lớp 12 dễ hay
khó?
Dễ
Trung bình
Khó
4(13%)
4(13%)

22(76%)
Câu hỏi 2: Sau khi học chuyên đề tích phân em thấy câu hỏi 48 trong mã đề thi
101 năm 2018 môn toán như thế nào?

Câu 48 (mã đề 101- năm 2018) Cho hàm số
f '( x) = 2 x [ f ( x ) ]

2

với mọi

x∈¡

f ( x)

f (2) =

thỏa mãn

−2
9

và

.

f (1)

Giá trị của

A.

−35
36

Dễ
2(7%)

.

bằng

B.

−35
36

C.

Lạ
30(100%)

−35
36

D.

Khó
25 (83%)

−35
36

Không làm được
25 (83%)

Lớp 12 D2 với 35 học sinh tham gia trả lời (lớp khối D)
Câu hỏi 1: Theo em thấy chuyên đề tích phân trong chương trình lớp 12 dễ hay
khó?
Dễ
0(0%)

Trung bình
5(14%)

Khó
30(86%)

8


Câu hỏi 2: Sau khi học chuyên đề tích phân em thấy câu hỏi 48 trong mã đề thi
101 năm 2018 môn toán như thế nào?

Câu 48 (mã đề 101- năm 2018) Cho hàm số
f '( x) = 2 x [ f ( x ) ]

Giá trị của

A.

−35
36

2

f (1)

.

Dễ
0(0%)

với mọi

x∈¡

f ( x)

f (2) =

thỏa mãn

−2
9

và

.

bằng

B.

−35
36

Lạ
35(100%)

C.

−35
36

Khó
35(100%)

D.

−35
36

Không làm được
35(100%)

Điều này đã làm tôi trăn trở suy nghĩ và tìm hiểu một dạng toán tính nguyên
hàm tích phân nhờ mối quan hệ giữa đạo hàm f’(x) và hàm số f(x) cho trước.
2.

Chỉ ra các tồn tại hạn chế.
Với các bài toán tích phân, nguyên hàm như trước đây thường các em áp

dụng các cách giải và phương pháp có sẵn truyền thống nên các em có thể làm
được bài. Tuy nhiên với dạng toán lạ, mới cần sự tư duy sáng tạo thì các em
chưa nắm bắt được nên dẫn đến tình trạng không làm được bài hay tâm lí chán
nản ngại học.
3.

Nguyên nhân của những tồn tại, hạn chế.
- Nguyên nhân chủ quan:
Về phía giáo viên: Bên cạnh những giáo viên dạy giỏi nhiều kinh nghiệm

thì vẫn còn những giáo viên ngại đổi mới, chưa vận dụng nhiều phương pháp, kỹ
thuật mới trong dạy học và trong kiểm tra đánh giá.

9


Về phía học sinh: Xuất phát từ nguyên nhân là phần lớn học sinh còn
chưa hứng thú trong các hoạt động ngoại khóa, các em còn chưa được chủ động
trong việc tự đánh giá bản thân, và bạn bè trong quá trình học tập. Do học sinh
chỉ chú trọng thi trắc nghiệm khách quan, chỉ quan tâm đến kết quả mà chưa chú
trọng đến bản chất của sự việc, tư duy chưa nhanh nhẹn, tính toán còn gặp nhiều
sai lầm.
- Nguyên nhân khách quan:
Do dạng bài tập này là mới khai thác từ phương trình vi phân thuộc toán cao
cấp nên với Giáo viên THPT vẫn còn mới lạ chưa khai thác hết dẫn đến chưa có
nhiều bài tập nghiên cứu về dạng toán này để làm tư liệu sử dụng.
4.

Phân tích, đánh giá và chỉ ra tính cấp thiết cần tạo ra Sáng kiến.
Để tránh việc học sinh bỡ ngỡ khi gặp các bài tập tích phân mức độ vận dụng

thấp, vận dụng cao trong khi làm bài thi khảo sát, làm bài thi THPT QG tôi
mạnh dạn viết sáng kiến này với dạng toán tính nguyên hàm tích phân với mối
quan hệ giữa hàm số f(x) và đạo hàm f’(x) và phương pháp làm bài cụ thể cho
từng dạng và đưa ra một số ví dụ cụ thể cùng lời giải chi tiết.
Sáng kiến kinh nghiệm sẽ tạo ra được tài liệu tham khảo cho học sinh và
giáo viên bộ môn toán của trường THPT CNVT trong năm học 2019-2020. Giúp
các em học sinh thấy rằng từ kiến thức cơ bản sẽ sáng tạo được nhiều bài toán
hay phát triển tư duy sáng tạo cho các em.
II.
1.

GIẢI PHÁP ĐỂ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN
Nội dung
Đã có rất nhiều dạng toán nguyên hàm, tích phân cơ bản đã học qua các sách,

qua các chuyên đề của các thầy cô giáo qua các năm đã được nêu ra, nay tôi xin
viết chuyên đề nguyên hàm tích phân với bài toán tính nguyên hàm, tích phân
khi biết một đẳng thức liên hệ giữa hàm số f(x) và đạo hàm của nó f’(x). Thể
hiện chuyên đề qua các bài toán sau:
1.1

KIẾN THỨC CƠ BẢN

10

1.1.1. Nguyên hàm
f ( x)

Định nghĩa: Cho hàm số
khoảng). Hàm số
F '( x) = f ( x)

F ( x)

với mọi

xác định trên

K

(

K

là khoảng, đoạn hay nửa

được gọi là nguyên hàm của hàm số

x∈K

f ( x)

trên

K

nếu

.

Định lí:
1) Nếu

F ( x)

, hàm số
2) Nếu
của

G ( x) = F ( x) + C

F ( x)

f ( x)

Do đó

là một nguyên hàm của hàm số

trên

đều có dạng

F ( x ) + C, C ∈ ¡

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C

trên

cũng là một nguyên hàm của

là một nguyên hàm của hàm số
K

f ( x)

F ( x) + C

, với

C

f ( x)

K

thì với mỗi hằng số

f ( x)

trên

K

trên

K

.

thì mọi nguyên hàm

là một hằng số.

là họ tất cả các nguyên hàm của

f ( x)

trên

K

.

1.1.2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1:
Tính chất 2:
Tính chất 3:

( ∫ f ( x ) dx ) ′ = f ( x )

và

∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx

∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C
với

k

0

là hằng số khác .

∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx

1.1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số

f ( x)

liên tục trên

K

11

C

đều có nguyên hàm trên

K

.

. Ký hiệu


1.1.4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số hợp

Nguyên hàm của hàm số sơ
cấp

( u = u ( x) )

∫ dx = x + C
∫x

α

∫ du = u + C

1 α +1
x + C ( α ≠ −1)
α +1

dx =

∫u

α

1

1

∫ x dx = ln x + C

∫ u du = ln u + C

∫ e dx = e

∫ e du = e

x

x

+C

u

u

+C

ax
∫ a dx = ln a + C ( a > 0, a ≠ 1)

au
∫ a du = ln a + C ( a > 0, a ≠ 1)

∫ sin xdx = − cos x + C

∫ sin udu = − cos u + C

∫ cos xdx = sin x + C

∫ cos udu = sin u + C

x

1

∫ cos

2

x

1

∫ sin

1.2

1 α +1
u + C ( α ≠ −1)
α +1

du =

Dạng

1.

2

x

u

1

∫ cos

dx = tan x + C

toán

tích

u

1

∫ sin

dx = − cot x + C

Bài

2

phân

u ( x) f '( x) + u '( x) f ( x) = h( x)

Phương pháp:

12

liên

2

u

quan

du = tan u + C

du = − cot u + C

đến

đẳng

thức


-

Dễ dàng thấy rằng

-

Do đó

-

Suy ra

u ( x ) f '( x ) + u '( x ) f ( x ) = [u ( x ) f ( x )]'

u ( x) f '( x) + u '( x) f ( x) = h( x) ⇔ [u(x)f'(x)]' = h( x)
u ( x) f ( x) = ∫ h( x) dx

;

;

;
f ( x)

-

Từ đây ta dễ dàng tính được

Ví dụ 1. Cho hàm số
( x + 1) f '( x) + f ( x) = 3 x 2 − 2 x

f (2) = 2.

có đạo hàm liên tục trên

. Tính giá trị

2
f (2) = .
3

B.

A.

y = f ( x)

.

f (2)

. Biết

f (1) = −1

và

.

f (2) = 3.

C.

¡

D.

5
f (2) = .
2

Hướng dẫn: Đáp án B
Ta có
( x + 1) f '( x) + f ( x) = 3 x 2 − 2 x ⇔ [( x + 1) f ( x)]' = 3 x 2 − 2 x
2

2

⇒ ∫ [( x + 1) f ( x)]' dx = ∫ (3 x 2 − 2 x)dx
1

1

2

⇒ ( x + 1) f ( x) 1 = 4
2
⇒ f (2) = .
3

Ví dụ 2. Cho hàm số

y = f ( x)

sin xf '( x) + cos xf ( x) = 3 x 2 − 2 x

A.

π
f ( ) = 2.
2

có đạo hàm liên tục trên

. Tính giá trị

π
f( )
2

π
π3 π
f( )=
− .
2
8 4

. Biết

f (0) = 2

.

2

B.

¡

π
π3 π
f( )=
+ .
2
8 4
2

C.

Hướng dẫn: Đáp án B

13

f (2) = 3.

D.

và


Ta có
sin xf '( x ) + cos xf ( x) = 3x 2 − 2 x ⇔ [sin xf ( x)]' = 3 x 2 − 2 x

π
2

π
2

⇒ ∫ [ sin xf ( x)]' dx = ∫ (3x 2 − 2 x) dx
0

0

π π2
⇒ sin x. f ( x) =
−
8
4
3

π
2
0

π
π3 π2
⇒ f( )=
− .
2
8
4

Ví dụ 3. Cho hàm số
2

y = f ( x)

có đạo hàm liên tục trên

2

e x f '( x ) + 2 xe x f ( x ) = 3x 2 − 2 x

f (1) = 2.

2
f (1) = .
e

B.

A.

. Tính giá trị

f (1)

C.

¡

. Biết

f (0) = 2

và

.

f (1) = e.

D.

f (1) = e 2 − 1.

Hướng dẫn: Đáp án B
Ta có
2

2

2

e x f '( x ) + 2 x.e x f ( x) = 3x 2 − 2 x ⇔ [e x f ( x )]' = 3x 2 − 2 x
1

1

⇒ ∫ [e x f ( x )]' dx = ∫ (3 x 2 − 2 x)dx
2

0

0

2

1

⇒ e x . f ( x) = 0
0

2
⇒ f (1) = .
e

Ví dụ 4. Cho hàm số
1
ln x
ln x. f '( x) + f ( x) =
x
x

y = f ( x)

có đạo hàm liên tục trên
e4

I=

. Tính giá trị

∫ f ( x)dx
e

14

?

(0; +∞)

. Biết

f (1) = 0

và


A.

1
I = e 4 + e.
2

B.

2
I= .
e

C.

3
I = e4 .
2

D.

1
f (1) = e 4 − e.
2

Hướng dẫn: Đáp án C
Ta có
1
ln x
ln x
f ( x) =
⇔ [ ln x. f ( x)]' =
x
x
x
ln x
⇒ ∫ [ln x.f ( x)]' dx = ∫
dx
x
ln x. f '( x ) +

1
⇒ ln x.f ( x) = ln 2 x + C
2

Vì
1
f (1) = 0 ⇒ C = 0 ⇒ f ( x) = ln x.
2
e4

I=

∫

f ( x)dx =

e

1
3
e4
( x ln x − x) e = e 4
2
2

.

Ví dụ 5. Cho hàm số
ln x. f '( x) +

A.

3
.

2

1
ln x
f ( x) =
x
x

B.

y = f ( x)

có đạo hàm liên tục trên

. Tính giá trị

2
I= .
e

f (e 3 )

I=

C.

?

3 3
e.

2

Hướng dẫn: Đáp án A
Ta có

15

D.

1 3
e.
2

(0; +∞)

. Biết

f (1) = 0

và


ln x. f '( x) +

1
ln x
ln x
f ( x) =
⇔ [ ln x. f ( x)]' =
x

x
x

e3

e3

1

1

⇒ ∫ [ln x.f ( x)]' dx = ∫
e3

⇒ ln x.f ( x) 1

ln x
dx
x
e3

1
= ln 2 x
2
1

Vì
3
f (1) = 0 ⇒ f (e3 ) = .
2

e4

I=

∫

f ( x)dx =

e

1
3
e4
( x ln x − x) e = e 4
2
2

.

1.3 Dạng 2. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức

f '( x) + f ( x) = h( x )

Phương pháp:
-

Nhân hai vế với

ex

Suy ra

;

e f ( x ) = ∫ e h( x)dx
x

-

ta được

e x f '( x ) + e x f ( x ) = e x h( x ) ⇔ [e x . f ( x )]' = e x h( x )

x

f ( x)
-

Từ đây ta dễ dàng tính được

Ví dụ 6. Cho
x

và

f (0) = 1

A.

f ( x)

. Tính

.

là hàm số liên tục trên
eπ . f (π )

eπ − 1
2

¡

thỏa mãn

f ( x) + f '( x) = sin x

.

B.

eπ + 1
2

C.

Hướng dẫn: Đáp án C
Ta có

16

eπ + 3
2

D.

π +1
2

với mọi


f ( x) + f '( x ) = sin x ⇔ e x f ( x) + e x f '( x) = e x sin x
π

π

0

0

⇒ ∫  e x . f ( x)  ' dx = ∫ e x sin xdx
π

e x (sin x − cos x)
e . f ( x) =
0
2
0
π

x

f (0) = 1 ⇒ eπ . f (π ) =

Vì

eπ + 3
.
2

f ( x)

Ví dụ 7. Cho
x

f (0) = 1

và

A.

là hàm số liên tục trên
eπ . f (π )

. Tính

− eπ + 1
2

¡

thỏa mãn

f ( x) + f '( x) = cos x

với mọi

.

B.

eπ + 1
2

C.

eπ + 3
2

D.

π +1
2

Hướng dẫn: Đáp án A
Ta có
f ( x) + f '( x) = cos x ⇔ e x f ( x) + e x f '( x) = e x cos x
π

π

0

0

⇒ ∫  e x . f ( x)  ' dx = ∫ e x cos xdx
π

e x (sin x + cos x)
e . f ( x) =
0
2
0
x

π

f (0) = 1 ⇒ eπ . f (π ) =

Vì

−eπ + 1
.
2

f ( x)

Ví dụ 8. Cho
và

f (0) = 1

A.

. Tính

e4 + 1
2e 2

là hàm số liên tục trên
f (2)

¡

thỏa mãn

f ( x) + f '( x) = e x

.

B.

e4 + 3
2e 2

C.

17

e4 + 3
2

D.

e4 + 1
2

với mọi

x


Hướng dẫn: Đáp án A
Ta có
f ( x) + f '( x ) = cos x ⇔ e x f ( x) + e x f '( x) = e x .e x
2

2

⇒ ∫  e x . f ( x)  ' dx = ∫ e 2 x dx
0

0

2

e x . f ( x) =
0

2x 2

e
2

0

f (0) = 1 ⇒ f (2) =

Vì

e4 + 1
.
2.e 2

f ( x)

Ví dụ 9. Cho
và

f (0) = 1

. Tính

1+

A.

là hàm số liên tục trên
f (2)

¡

thỏa mãn

f '( x ) = x − f ( x)

với mọi

x

.

2
e2

B.

e2 + 2
2e 2

C.

e2 + 1
e2

1−

D.

1
e2

Hướng dẫn: Đáp án A
Ta có
f ( x) + f '( x ) = x ⇔ e x f ( x) + e x f '( x) = xe x
2

2

⇒ ∫  e x . f ( x)  ' dx = ∫ xe x dx
0

0

2

e . f ( x ) = ( xe − e )
x

x

x

0

2
0

f (0) = 1 ⇒ f (2) = 1 +

Vì
Ví dụ 10. Cho

f ( x)

2
.
e2

là hàm số liên tục trên
3

và

f (0) = 1

I = ∫ f ( x) dx

. Tính

1

.

18

¡

thỏa mãn

f '( x ) = x − f ( x)

với mọi

x


A.2.

B.e.

C.

e2 + 1
e2

1−

D.

1
e2

Hướng dẫn: Đáp án A
Ta có
f ( x) + f '( x ) = x ⇔ e x f ( x) + e x f '( x) = xe x
⇒ ∫  e x . f ( x)  ' dx = ∫ xe x dx
e x . f ( x ) = xe x − e x + C

Vì

f (0) = 1 ⇒ C = 0 ⇒ f ( x) = x − 1

3

3

1

1

I = ∫ f ( x)dx = ∫ ( x − 1)dx = 2

Vậy ta có

1.4. Dạng 3. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức

f '( x) − f ( x) = h( x)

Phương pháp:
-

Nhân hai vế với

e− x

e . f ( x) = ∫ e .h( x)dx
−x

-

Suy ra

ta được

e − x . f '( x ) − e − x . f ( x ) = e − x .h( x ) ⇔ [e − x . f ( x )]' = e − x .h( x)

−x

Từ đây ta dễ dàng tính được

f ( x)

.

f ( x)

Ví

dụ

11.

Cho

là

f '( x) = f ( x ) + x 2 .e x + 1, ∀x ∈ ¡

A.

26e3 − 3
.
3

B.

và

hàm

f (1) = −1.

26e 2 + 2
.
3

số

Ta có

19

tục

trên

¡

thỏa

f (3).

Tính

C.

Hướng dẫn: Đáp án A

liên

3e 2 − 1.

D.

9e3 − 1.

mãn


f '( x ) = f ( x) + x 2 .e x + 1 ⇒ e − x f '( x) − e− x f ( x ) = x 2 + e− x
⇒ [e − x . f ( x)]' = x 2 + e− x
3

3

1

1

⇒ ∫  e − x . f ( x)  ' dx = ∫ ( x 2 + e − x ) dx
3

x3
e . f ( x) = ( − e − x )
1
3
1
3

−x

f (1) = −1 ⇒ f (3) =

Vì
Ví dụ 12. Cho
và

f (1) = −1.

A.

f ( x)

26e3 − 3
3

là hàm số liên tục trên

¡

thỏa mãn

f '( x ) = f ( x) + x, ∀x ∈ ¡

f (3).

Tính

1
−4 + 4 .
e

B.

−4e 4 + 2
.
e4

C.

3e 2 − 1.

D.

9e3 − 1.

Hướng dẫn: Đáp án A
Ta có

f '( x) = f ( x) + x ⇒ e − x f '( x) − e− x f ( x) = x.e− x
⇒ [e − x . f ( x)]' = x.e − x
3

3

⇒ ∫  e − x . f ( x)  ' dx = ∫ x.e − x dx
1

1

3

3

1

1

e − x . f ( x) = (− x.e − x − e − x )

f (1) = −1 ⇒ f (3) = −4 +

Vì

1
e4
f ( x)

Ví dụ 13.

Cho

f '( x) − f ( x ) = sin x.e 2 x , ∀x ∈ ¡

là hàm số liên tục trên
f (0) =

và

−1
.
2

20

Tính

π
f ( ).
2

¡

thỏa mãn


A.

eπ

.
3

B.

eπ
.
2

π

C.

e − 1.

D.

π
−1
2

Hướng dẫn: Đáp án B
Ta có
f '( x) − f ( x ) = sin x.e 2 x ⇒ e − x f '( x ) − e − x f ( x) = sin x.e x
⇒ [e − x . f ( x)]' = sin x.e x
π
2

π
2

0

0

⇒ ∫  e − x . f ( x)  ' dx = ∫ sin x.e x dx
π

π
2
0

e x (sin x − cos x) 2
e . f ( x) =
2
0
−x

Vì

Ví

1
π
eπ
f (0) = − ⇒ f ( ) = .
2
2
2

dụ

14.

f '( x) = f ( x ) +

A.

f ( x)

Cho

ex
, ∀x ∈ ¡ \ { 0}
x2

26e3 − 3
.
3

B.

và

là

hàm

f (0) = 2.

số

Tính

8e3
.
3

liên

Ta có

21

trên

¡

thỏa

f (3).

C.

Hướng dẫn: Đáp án B

tục

3e3 − 1.

D.

9e3 − 1.

mãn


ex
1
, ⇒ e − x f '( x) − e − x f ( x) = 2
2
x
x
1
⇒ [e − x . f ( x )]' = 2
x
3
3
1
−x
⇒ ∫  e . f ( x)  ' dx = ∫ 2 dx
1
1 x
f '( x) = f ( x) +

3

1
e . f ( x) = −
1

x1
3

−x

f (0) = 2 ⇒ f (3) =

Vì
Ví dụ 15.

8e3
3
f ( x)

Cho

là hàm số liên tục trên

¡

thỏa mãn

4

f '( x ) = f ( x ) + 2 x, ∀x ∈ ¡

và

f (0) = −2

I=

A.I= -16

B.

I = ∫ f ( x)dx.
2

Tính

8e 4
.
3

C.

3e 4 − 1.

D.

9e3 − 1.

Hướng dẫn: Đáp án B
Ta có
f '( x) = f ( x ) + 2 x ⇒ e − x f '( x) − e− x f ( x) = 2 x.e − x
⇒ [e− x . f ( x)]' = 2 x.e− x
⇒ ∫  e − x . f ( x)  ' dx = ∫ 2 x.e − x dx
e − x . f ( x ) = −2 xe − x − 2e − x + C
4

Vì
1.5.

f (0) = −2 ⇒ C = 0 ⇒ f ( x) = −2 x − 2

Dạng

4.

Bài

toán

tích

I = ∫ f ( x)dx = −16.

suy ra
phân

f '( x ) + p ( x ). f ( x ) = h( x )

22

2

liên

quan

đến

biểu

thức


Phương pháp:
f '( x).e ∫
-

Nhân hai vế với
f ( x).e ∫

e∫

p ( x ) dx

⇔ [f ( x ).e ∫

p ( x ) dx

ta được

= ∫ h( x).e ∫

p ( x ) dx

-

Suy ra

-

Từ đây ta dễ dàng tính được

p ( x ) dx

+ p( x).e ∫

p ( x ) dx

p ( x ) dx

]' = h( x).e ∫

. f ( x ) = h( x).e ∫

p ( x ) dx

p ( x ) dx

dx

;
f ( x)

y = f ( x)

Ví dụ 16. Cho hàm số
( x 2 + 1). f '( x) + x. f ( x) = − x

.

liên tục và có đạo hàm trên

. Tính giá trị của

f (3)

¡

f (0) = 2

. Biết

và

.

Hướng dẫn:
x.

x 2 + 1. f '( x) +

x2 + 1

Theo đề ra ta có
f ( x) x 2 + 1 = ∫

Suy ra

Vì

f (0) = 2

Ví dụ 17.

nên

C =3

−x
x +1
2

vậy

( x + 2). f '( x) + ( x + 1). f ( x) = e x

A.

e
f (2) = .
3

B.

−x

x2 + 1

−x
x2 + 1

3 − 10
.
10

y = f ( x)

và

e
f (2) = .
6

liên tục trên

1
f (0) = .
2

Tính

¡

, thảo mãn các điều kiện

f (2).

2

f (2) =

C.

e
.
2

f (2) =

D.

Hướng dẫn: Đáp án D
Theo bài ra ta có

⇒ [f ( x ). x 2 + 1]' =

dx ⇔ f ( x) x 2 + 1 = − x 2 + 1 + C

f (3) =

Xét hàm số

f ( x) =

f '( x ).e x ( x + 1) + e x ( x + 2). f ( x) = e 2 x

23

.

e2
.
6


Suy ra

[f ( x ) .e x ( x + 1)]' = e 2 x ⇔ f ( x ).e x .( x + 1) = ∫ e 2 x dx

1
⇔ f ( x ) .e x .( x + 1) = e 2 x + C
2

f (0) =

Vì

1
⇔ C = 0.
2

.
f ( x) =

Hay

Ví dụ 18. Cho hàm số

f (1) = −2ln 2

Tính

A.

và

ex
e2
⇒ f (2) = .
2( x + 1)
6

y = f ( x)

liên tục trên

x( x + 1). f '( x) + f ( x) = x 2 + x

¡ \{0; −1}

. Giá trị của

, thỏa mãn điều kiện

f (2) = a + b ln 3 (a, b ∈ ¡ ).

a 2 + b2 .

25
.
4

B.

9
.
2

C.

5
.
2

D.

13
.
4

Hướng dẫn: Đáp án B

Theo bài ra ta có:

Suy ra

x
1

x
x
x
f '( x ) +
f ( x) =
⇔[
f ( x)]'=
2
x +1
( x + 1)
x +1
x +1
x +1

x
x
x
f ( x)= ∫
dx ⇔
f ( x) = x − ln | x + 1| +C
x +1
x +1
x +1

Mặt khác

f (1) = −2 ln 2

f (2) =

suy ra

Ví dụ 19. Cho hàm số
và
A.

y = f ( x)

f ( x ) = x. f '( x) − 2 x 3 − 3 x 2
5.

B.

20.

3 3
− ln 3
2 2

hay

9
a 2 + b2 = .
2
[1; 2]

co sđạo hàm liên tục trên
f (2).

. Tính

C.

10.

D.

Hướng dẫn: Đáp án B

24

15.

thỏa mãn

f (1) = 4


'

Theo bài ra ta có
2

Suy ra

x. f '( x) − f ( x )
 f ( x) 
= 2x + 3 ⇒ 
= 2x + 3
2
x

 x 

2

f ( x)
= (2 x + 3)dx
x 1 ∫1

1
⇔ f ( x ) .e x .( x + 1) = e 2 x + C
2

Vì

f (1) = 4

.

f (2) = 20.

suy ra

Ví dụ 20. Cho hàm số
f '( x) + 2 xf ( x) = 2 x.e −2 x

A.

.

e.

và

B.

y = f ( x)

f (0) = 1.

1
.
e

có đạo hàm và liên tục trên

Tính

C.

f (1).

−2
.
e

D.

2
.
e

Hướng dẫn: Đáp án D
2

Theo bài ra ta có
1

2

e x . f '( x ) + 2 x.e 2 x . f ( x) = 2 x ⇒ [e x . f ( x)]'=2x
1

e . f ( x ) = ∫ 2 xdx
x2

0

Suy ra

Vì

f (0) = 1

suy ra

0

2
f (1) = .
e

25

.

¡

thỏa mãn