Đề thi cuối kỳ học kỳ I năm học 2019-2020 môn Toán cao cấp cho kỹ sư 2 - ĐH Sư phạm Kỹ thật

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM

KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2019-2020

MÔN: TOÁN CAO CẤP CHO KỸ SƯ 2
Mã môn học: MATH133201

Thời gian : 90 phút (23/ 7/2020)

Đề thi gồm 02 trang

Được phép sử dụng tài liệu

Câu 1 (3 điểm)
a) Anh/Chò hãy nêu tên các cách giải hệ phương trình tuyến tính (chỉ nêu tên mà không cần trình
bày cách giải). Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau đây.
+z =
0
2 x + y

(m là tham số)
1
5 x + 2 y + mz =
4 x + 2 y + mz = 2 − m


b)
Cho biết mạch điện như hình vẽ thỏa hệ phương trình

+ i2
+ i3 =
0
 i1

= E2 − E1
− R1i1 + R2i2

− R2i2 + R3i3 = E3 − E2

trong đó R1, R2 , R3 , E1, E2 , E3 là các hằng số dương. Viết

 i1 
 
lại hệ dạng AX = B với X =  i2  , tính định thức det A
i 
 3

và cho biết đẳng thức X = A−1B đúng hay sai và giải (lưu ý Khơng u cầu giải hệ phương trình)
thích.
Câu 2 (3,5 điểm)
a) Cho ma trận A = aij 33 và hệ phương trình vi phân cấp 1 tuyến tính thuần nhất X ' (t ) = AX (t ) có
1
 10 
1
  − 3t
  − 4t
 
nghiệm X 1 =  0 e , X 2 =  − 1e , X 3 =  8 et và hệ phương trình vi phân cấp 1 tuyến tính khơng thuần
1

1
1
 
 
 
 3e 2t 


nhất X ' (t ) = AX (t ) + F (t ) có nghiệm riêng X p (t ) =  te2t  . Nghiệm tổng qt hệ X ' (t ) = AX (t ) + F (t ) là
 7e 2t 


(câu này Anh/Chị viết X (t ) = ... vào giấy làm bài thi).

X (t ) = ...

b) Trình bày phương pháp biến thiên hằng số (Variation of Parameters) giải hệ phương trình vi phân
tuyến tính khơng thuần nhất X ' (t ) = AX (t ) + F (t ) , với A = aij nn là ma trận hằng số.
c) Giải hệ phương trình vi phân
 x'−2 y = e −5t
với điều kiện x(0) = 0, y(0) = 0

 x + y '+3 y = 12

Tính lim x(t ) , lim y (t ) . Xác tọa độ gần đúng trong mặt phẳng Oxy của điểm M (x(t ); y(t )) sau
t → +

t → +

khoảng thời gian t đủ lớn.

-1-


Câu 3 (3,5 điểm) (được phép sử dụng các cơng thức nghiệm thiết lập khi học hay trong giáo trình )
a) Viết dạng cầu của phương trình truyền nhiệt ba chiều k (

 2u  2u  2u
u
+ 2 + 2)=
.
2
x
y
z
t

b) Giải phương trình truyền sóng
 2u  2u
a
=
, 0 x  , t  0
x 2 t 2
u ( , t ) = 0, t  0
 u (0, t ) = 0,

u
với điều kiện 
u ( x,0) = x( − x)
= 0, 0  x  


t t = 0

2

( BC )
( IC )

c) Giải phương trình truyền nhiệt
 2u
u
+ e− x =
, 0  x 1, t  0
2
x
t
 u (0, t ) = 0,
−x
u ( x,0) = 1 − e

với điều kiện 

❖

u (1, t ) = 0, t  0

( BC )

0  x 1

( IC )

Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.
CHUẨN ĐẦU RA
Chuẩn đầu ra của học phần

Nội dung kiểm tra

(về kiến thức)

Câu 1: Nắm vững phép toán ma trận, tính được định thức và ứng G1: 1.2, G2:2.1,2.3
dụng, tìm ma trận đảo và ứng dụng, biết và thực hiện các cách G2:2.1.3, 2.1.4 , 2.4.2, 2.4.3,
giải hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng.
2.4.4,2.4.6,2.4.7,2. 5.1
Câu 2: Tìm được trị riêng, vectơ riêng và ứng dụng giải hệ
phương trình vi phân (hoặc giải bằng biến đổi Laplace). Nhận
dạng được các bài toán trong thực tế được mô hình bởi hệ
phương trình vi phân. Giải được hệ phương trình vi phân và hiểu
được ý nghóa các kết quả tìm được.

G1: 1.2
G2:2.1.3, 2.4.2,
2.4.3,2.4.6,2.4.7,2. 5.1

G1: 1.2
Câu 3: Khai triển được hàm số thành chuỗi Fourier và ứng dụng.
Nhận dạng giải được phương trình sóng, phương trình nhiệt và G2: 2.1.4 , 2.4.2, 2.4.3,
ứng dụng vào thực tế.
2.4.4,2.4.6,2.4.7,2. 5.1
Ngày 21 tháng 7 năm 2020
Thông qua Bộ môn Toán

-2-