Chuyên đề 23 mặt cầu, khối cầu đáp án

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Chuyên đề 23

MẶT CẦU - KHỐI CẦU

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM
Lý thuyết chung
MẶT CẦU

Mặt cầu ngoại tiếp đa diện
Mặt cầu nội tiếp đa diện

Một số công thức:
 Tâm I , bán kính
R  IA  IB  IM .
 Đường kính AB  2 R .
 Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là
đường tròn tâm I , bán kính R .

Hình thành: Quay đường
AB
tròn tâm I , bán kính R 
2
quanh trục AB , ta có mặt cầu
như hình vẽ.

 Diện tích mặt cầu: S  4 R 2 .

4 R 3
 Thể tích khối cầu: V 

.
3

Mặt cầu ngoại
tiếp đa diện là mặt
cầu đi qua tất cả
đỉnh của đa diện
đó.

Mặt cầu nội tiếp
đa diện là mặt cầu
tiếp xúc với tất cả
các mặt của đa
diện đó.

Dạng 1. Diện tích xung quanh, bán kính
Câu 1.

(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính R  2 . Diện tích của mặt cầu đã cho
bằng
32
A.
.
B. 8 .
C. 16 .
D. 4 .
3
Lời giải
Chọn C

S  4 R2  16
Câu 2.

(Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính r  5 . Diện tích mặt cầu đã cho bằng
500
100
A. 25 .
B.
.
C. 100 .
D.
.
3
3
Lời giải.
Chọn C
Diện tích mặt cầu S  4 r 2  4 .52  100 .

Câu 3.

(Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính r  4 . Diện tích của mặt cầu đã cho bằng
64
256
A. 16 .
B. 64 .
C.
.
D.
.
3

3
Lời giải
Chọn B
Diện tích của mặt cầu bằng 4 r 2  4. .4 2  64

Câu 4.

(Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu bán kính r  5 . Diện tích của mặt cầu đã cho bằng
A.

500
.
3

B. 25 .

C.

100
.
3

D. 100 .

Lời giải
Facebook Nguyễn Vương  Trang 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 5.

Câu 6.

Chọn D
Diện tích của mặt cầu có bán kính r  5 là: S  4 r 2  4 .52  100 .
(Mã 101 2018) Diện tích của mặt cầu bán kính R bằng:
4
A.  R 2
B.  R 2
C. 2 R 2
D. 4 R 2
3
Lời giải
Chọn D
16 a 2 . Khi đó, bán

(THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho mặt cầu có diện tích bằng
kính mặt cầu bằng
A. 2 2a

B.

C. 2a

2a

D.

a 2

2

Lời giải
Chọn C
Ta có: S  4 R 2  16 a 2  R  2a
Câu 7.

(Chuyên Đhsp Hà Nội 2019) Diện tích mặt cầu bán kính 2a là
2

A. 4 a .

2

2

B. 16 a .

C. 16a .

4 a 2
D.
.
3

Lời giải
2

Ta có: S  4 R 2  4  2a   16 a 2 .
Câu 8.

(THPT Nghĩa Hưng Nđ- 2019) Diện tích của một mặt cầu bằng 16  cm 2  . Bán kính của mặt
cầu đó là.
A. 8cm .

B. 2cm .

C. 4cm .

D. 6cm .

Lời giải
2
2
Ta có: 4 R  16  R  4  R  2(cm).
Câu 9.

(Bình Phước 2019) Tính diện tích mặt cầu  S  khi biết chu vi đường tròn lớn của nó bằng 4
A. S  32

B. S  16

C. S  64
Lời giải

D. S  8

Chọn B
Nhận xét : Đường tròn lớn của mặt cầu  S  là đường tròn đi qua tâm của mặt cầu  S  nên bán
kính của đường tròn lớn cũng là bán kính của mặt cầu  S  .

Chu vi đường tròn lớn của mặt cầu  S  bằng 4  2 R  4  R  2 .
Vậy diện tích mặt cầu  S  là S  4 R 2  16 .
Câu 10.

(Trường THPT Thăng Long 2019) Một mặt cầu có diện tích xung quanh là  thì có bán kính
bằng
A.

3
.
2

B.

3.

1
.
2
Lời giải
C.

D. 1.

Chọn C

Smc  4 R 2    R 

1
.

2

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 11.

(THPT Cẩm Bình 2019) Diện tích mặt cầu có đường kính bằng 2a là
A. 16 a 2 .

B.  a 2 .

4 a 3
.
3
Lời giải
C.

D. 4 a 2 .

Chọn D
Bán kính mặt cầu là R  a  Diện tích mặt cầu là S  4 R 2  4 a 2 .
Câu 12.

(Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Cho mặt cầu có diện tích bằng

8 a 2
. Bán kính
3

mặt cầu bằng
A.

a 6
.
3

B.

a 3
.
3

a 2
.
3
Lời giải

C.

D.

a 6
.
2

Chọn A
Ta có diện tích mặt cầu S  4 r 2  r 

S
8 a 2 a 6


.
4
3.4
3

Câu 13.

(Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Quả bóng rổ size 7 có đường kính 24.5 cm. Tính diện
tích bề mặt quả bóng rổ đó (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị)
A. 629 cm2.
B. 1886 cm2.
C. 8171 cm2.
D. 7700 cm2.
Lời giải
Chọn B
24.5
Ta có bán kính quả bóng rổ là r 
 12.25(cm) .
2
Vậy diện tích bề mặt quả bóng rổ đó là S  4 r 2  4 .(12.25) 2  1886 (cm 2 ) .

Câu 14.

(SGD Bình Phước - 2019) Tính diện tích mặt cầu  S  khi biết chu vi đường tròn lớn của nó
bằng 4
A. S  32 .

B. S  16 .

C. S  64 .
Lời giải

D. S  8 .

Chọn B
Nhận xét : Đường tròn lớn của mặt cầu  S  là đường tròn đi qua tâm của mặt cầu  S  nên bán
kính của đường tròn lớn cũng là bán kính của mặt cầu  S  .
Chu vi đường tròn lớn của mặt cầu  S  bằng 4  2 R  4  R  2 .
Vậy diện tích mặt cầu  S  là S  4 R 2  16 .
Dạng 2. Thể tích
Câu 1.

(Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r  4 . Thể tích của khối cầu đã cho bằng:
256
64
A.
.
B. 64 .
C.
.
D. 256 .
3
3
Lời giải
Chọn
A.

4
256
Thể tích của khối cầu V   r 3 
3
3
Facebook Nguyễn Vương 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 2.

(Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r  4. Thể tích của khối cầu đã cho bằng
64
256
A. 64 .
B.
.
C. 256 .
D.
.
3
3
Lời giải
Chọn D
4
4
256
.
Thể tích của khối cầu đã cho bằng V   R3   .43 

3
3
3

Câu 3.

(Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r  2 . Thể tích của khối cầu đã cho bằng
32
8
A. 16 .
B.
.
C. 32 .
D.
.
3
3
Lời giải
Chọn B

4
4
32
Thể tích của khối cầu đã cho : V   r 3   .23   .
3
3
3
Câu 4.

(Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r = 2. Thể tích của khối cầu bằng

8
32
A.
.
B. 16 .
C. 32 .
D.
.
3
3
Lời giải
Chọn A
4
4
32
Ta có: V   r 3   23  
3
3
3

Câu 5.

Câu 6.

(Mã 102 2018) Thể tích của khối cầu bán kính R bằng
3
4
A.  R 3
B.  R 3
C. 4 R 3

4
3
Lời giải
Chọn B

D. 2 R 3

(Đề Tham Khảo 2019) Thể tích khối cầu bán kính a bằng :
A.

 a3
3

B. 2 a 3

4 a 3
3
Lời giải
C.

D. 4 a 3

Chọn C
Câu 7.

(Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Thể tích của khối cầu có bán kính là 1 bằng:

4
A. 2 .
B. .

C.
.
D. 4 .
3
3
Lời giải
Chọn C

4
4
Thể tích của khối cầu: V   R3   .
3
3
Câu 8.

(SP Đồng Nai - 2019) Thể tích khối cầu có đường kính 2a bằng
A.

4 a 3
.
3

B. 4 a 3 .

C.

 a3
3

.

D. 2 a 3 .

Lời giải
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Chọn A
Đường kính của khối cầu là 2a , nên bán kính của nó là a , thể tích khối cầu là
Câu 9.

4 a 3
.
3

(THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Thể tích khối cầu bán kính 3 cm bằng
A. 36  cm 3  .

B. 108  cm 3  .

C. 9  cm 3  .

D. 54  cm 3  .

Lời giải

4
4
Thể tích khối cầu là: V  . .R3  . .33  36 cm3 .

3
3



Câu 10.



(THPT Lê Xoay Vĩnh Phúc 2019) Cho mặt cầu  S có diện tích 4a 2  cm 2  . Khi đó, thể tích
khối cầu  S là
64a 3
16a 3
D.
cm 3  .
cm 3  .


3
3
Lời giải
Gọi mặt cầu có bán kính R . Theo đề ta có 4 R 2  4 a 2 . Vậy R  a (cm) .

A.

4a 3
cm 3  .

3

B.

a 3
cm3  .

3

Khi đó, thể tích khối cầu  S là: V 
Câu 11.

C.

4 R 3 4 a 3

 cm3  .
3
3

(Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho mặt cầu có diện tích bằng 36 a 2 . Thể tich khối
cầu là
A. 18 a 3 .

B. 12 a 3 .

C. 36 a 3 .
Lời giải

D. 9 a 3 .

Gọi R là bán kính mặt cầu.

Mặt cầu có diện tích bằng 36 a 2 nên 4 R2  36 a 2  R2  9a 2  R  3a
4
4
Thể tích khối cầu là V   R3   (3a )3  36 a 3
3
3
Câu 12.

(THPT Đoàn Thượng – Hải Dương 2019) Tính diện tích S của mặt cầu và thể tích V của khối
cầu có bán kính bằng 3cm .
A. S  36  cm 2  và V  36  cm 3  .
B. S  18  cm 2  và V  108  cm 3  .
C. S  36  cm 2  và V  108  cm 3  .

D. S  18  cm 2  và V  36  cm 3  .
Lời giải

Chọn A
Mặt cầu bán kính r có diện tích là: S  4πr 2  4π.32  36π  cm 2  .
Khối cầu bán kính r có thể tích là: V 
Câu 13.

4 3 4 3
πr  π.3  36π  cm 3  .
3
3

(KSCL Sở Hà Nam - 2019) Thể tích của khối cầu bán kính 3a là
A. 4 a3 .

B. 12 a 3 .

C. 36 a 2 .
Lời giải

D. 36 a3 .

Chọn D
- Bán kính khối cầu: R  3a .
3

- Thể tích của khối cầu: V 

4 R 3 4  3a 

 36 a3 .
3
3

Facebook Nguyễn Vương 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 14.

(THPT Phan Bội Châu - Nghệ An - 2019) Cho mặt cầu có diện tích bằng 36 a 2 . Thể tich
khối cầu là
3
A. 18 a .

3
B. 12 a .

3

3
D. 9 a .

C. 36 a .
Lời giải

Chọn C
Gọi R là bán kính mặt cầu.
2
2
2
2
2
Mặt cầu có diện tích bằng 36 a nên 4 R  36 a  R  9a  R  3a .

4 3 4
3
3
Thể tích khối cầu là V   R   (3a )  36 a .
3
3
Dạng 3 Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối lăng trụ
Câu 1.

(Mã 123 2017) Tìm bán kính R mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng 2a.
A. R  3a

B. R  a

C. 100
Lời giải

D. R  2 3a

Chọn A

Đường chéo của hình lập phương: AC   2 3a . Bán kính R 
Câu 2.

AC 
a 3.
2

(Mã 110 2017) Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a . Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. a 

3R
3

B. a 

2 3R
3

C. a  2 R

D. a  2 3R

Lời giải
Chọn B

Gọi O  AC   AC  O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương.
Bán kính mặt cầu: R  OA 

1
a 3
2 R 2 3R
AC  
a

2
2
3
3

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 3.

(Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB  a ,
AD  AA '  2a . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật đã cho bằng

A. 9 a 2

B.

3 a 2
4

9 a 2
4
Lời giải
C.

D. 3 a 2

Chọn A

Bán kính khối cầu là một nửa đường chéo của hình hộp chữ nhật:
1
1 2
3
R
AB 2  AD 2  BB '2 
a  (2a)2  (2a) 2  a .
2
2
2
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là:
2

 3a 

S  4 R  4    9 a 2 .
 2 
2

Câu 4.

(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có ba
kích thước 1, 2 , 3 là
A. 36 .

B.

9
.
2

7 14
.
3
Lời giải

C.

D.

9
.
8

Gọi R là bán kính khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật.

Ta có R 

14
1
1 2
.
BD 
1  2 2  32 
2
2
2
Facebook Nguyễn Vương 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
3

4  14 
7 14
4
Vậy thể tích khối cầu là: V   R 3   
.
 
3
3
3  2 
Câu 5.

(THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh
3 cm là

A.

27 3
cm3.
2

B.

9 3
cm3.
2

C. 9 3 cm3.

D.

27 3
cm3.
8

Lời giải

B

A
D

C

O

F

E

H
G
Gọi R là bán kính khối cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.EFGH .
1
3 3
Ta có CE  AB. 3  3 3 cm. Suy ra R  CE 
cm.
2
2
3

4
4  3 3  27 3
Thể tích khối cầu là: V   R3   
 cm3.
 
3
3  2 
2
Câu 6.

(Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có kích
thước a , a 3 , 2a là
A. 8a 2 .

B. 4 a 2 .

C. 16 a 2 .
Lời giải

D. 8 a 2 .

Xét hình hộp chữ nhật là ABCD. ABC D có AB  a , AD  a 3 , AA  2a .
Gọi I là trung điểm AC , suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD .
Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp ABCD. ABCD là:
1
1
R  AC  
AB 2  AD 2  AA2  a 2 .
2
2
Vậy diện tích mặt cầu là: S  4 R 2  8 a 2 .
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 7.

(THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh
bằng 3cm là:
A.

27 3
 cm3 .
2

B.

9 3
cm3 .
2

C. 9 3 cm3 .

D.

27 3
 cm3 .
8

Lời giải
Chọn A
Nhận xét: Khối cầu ngoại tiếp hình lập phương có tâm chính là tâm của hình lập phương và bán
kính bằng nửa độ dài đường chéo.
Ta có: Độ dài đường chéo d  3 3 nên bán kính của khối cầu R 

3 3
.
2

4
27 3
  cm3  .
Vậy V   R 3 
3
2

Câu 8.

(Chuyên Nguyễn Huệ- 2019) Tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh
bằng a 3.
A. 3a .

B. a 3 .

C. 6a .

D.

3a
.
2

Lời giải
Chọn A
Đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương bằng độ dài đường chéo của hình lập phương đó.
Do đó, đường kính của mặt cầu cần tìm là d  a 3. 3  3a .
Câu 9.

Tính thể tích V cầu khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a .
A. V 

 a3
6

B. V 

.

4 a 3
.
3

C. V 

 a3
3

.

D. V 

 a3
2

.

Lời giải
Chọn A

Nhìn vào hình vẽ dễ nhận thấy bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương là tâm I , bán kính
a
r  IO  . Thể tích của mặt cầu nội tiếp hình lập phương là:
2
3

V

4 3 4  a   a3
(đvtt). Đáp án được chọn là A
 r   .  
3
3 2
6

Facebook Nguyễn Vương 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 10.

Cho khối cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của một hình lập phương. Gọi V1 ; V2 lần lượt là thể tích
của khối cầu và khối lập phương đó. Tính k 
A. k 

2
.
3

B. k 


.
6

V1

.
V2
C. k 


.
3

D. k 

 2
.
3

Lời giải
Chọn B

Gọi a là cạnh của hình lập phương đã cho.
3

a
4
4 a 
a 3
Bán kính của khối cầu là R  , nên thể tích của nó là V1  R 3  .   
.
6
3  2 
2
3

Thể tích khối lập phương là V2  a 3 .
Vậy k 
Câu 11.

V1

 .
V2
6

Tính thể tích của khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh bằng 1.



A.
.
B. .
C. .
3
12
6
Lời giải
Chọn C

D.

2
.
3

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

1
1

O

Bán kính của khối cầu r 

1
.
2

3
4
4 1

Thể tích khối cầu V   r 3   .   .



3
3
2
6

BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI
 />Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  />Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  />Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  />

Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương
 />Tải nhiều tài liệu hơn tại: />ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!

Facebook Nguyễn Vương 11