Chuyên đề 25 nguyên hàm câu hỏi

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

NGUYÊN HÀM

Chuyên đề 25

TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
Dạng 1. Nguyên hàm của hàm ẩn hoặc liên quan đến phương trình f(x),f’(x),f’’(x)
Dạng 1. Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thúrc u ( x ) f  ( x)  u ' ( x) f ( x)  h( x)
Phương pháp:
Dễ dàng thấy rằng u ( x) f  ( x)  u  ( x) f ( x)  [u ( x) f ( x)]
Do dó u ( x) f  ( x)  u  ( x ) f ( x)  h( x)  [u ( x) f ( x)]  h( x)
Suy ra u ( x) f ( x)   h( x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x)
Dang 2. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f  ( x )  f ( x)  h( x)
Phương pháp:


Nhân hai vế vói e x ta durọc e x  f  ( x)  e x  f ( x)  e x  h( x)  e x  f ( x)   e x  h( x)
Suy ra e x  f ( x)   e x  h( x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x)
Dang 3. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f  ( x)  f ( x)  h( x)
Phương pháp:


Nhân hai vế vói e x ta durọc e x  f  ( x)  e  x  f ( x)  e x  h( x)  e  x  f ( x)   e  x  h( x)
Suy ra e x  f ( x)   e  x  h( x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x)
Dạng 4. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f  ( x)  p ( x)  f ( x)  h( x)
(Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1)
Phương pháp:

p ( x ) dx
Nhân hai vế với e 
ta được
f  ( x)  e 

p ( x ) dx

 p ( x)  e 

Suy ra f ( x)  e 

p ( x ) dx

p ( x ) dx

  e

 f ( x)  h( x)  e 

p ( x ) dx

p ( x ) dx

  f ( x)  e 


p ( x ) dx



  h( x)  e  p ( x ) dx


h( x)dx

Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x)
Dang 5. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f  ( x)  p ( x)  f ( x)  0
Phương pháp:
f  ( x)
f  ( x)
Chia hai vế với f ( x) ta đựơc
 p ( x)  0 
  p ( x)
f ( x)
f ( x)
f  ( x)
Suy ra 
dx    p ( x)dx  ln | f ( x) |   p ( x)dx
f ( x)
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x)
Dạng 6. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f  ( x)  p( x)  [ f ( x)]n  0
Phương pháp:
f  ( x)
f  ( x)
Chia hai vế với [ f ( x)]n ta được

p
(
x
)


0

  p( x)
[ f ( x)]n
[ f ( x)]n
f  ( x)
[ f ( x)] n 1
Suy ra 
dx    p ( x)dx 
   p ( x)dx
[ f ( x)]n
n  1
Facebook Nguyễn Vương  Trang 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Từ dầy ta dễ dàng tính được f ( x)
Câu 1.

(Mã 103 2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  2   

2
1
và f   x   4 x 3  f  x   với mọi
25

x   . Giá trị của f 1 bằng
391

1
41
1
B. 
C. 
D. 
400
40
400
10
(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y  f  x  đồng biến và có đạo hàm

A. 
Câu 2.

liên tục trên  thỏa mãn
nào sau đây?
A. 12;13  .
Câu 3.

 f   x 

2

 f  x  .e x , x   và f  0   2 . Khi đó f  2  thuộc khoảng

B.  9;10  .

C. 11;12  .

(Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số

y  f  x

D. 13;14  .
thỏa mãn

f  2  

4
19

và

f   x   x3 f 2  x  x   . Giá trị của f 1 bằng
2
A.  .
3
Câu 4.

1
B.  .
2

C. 1.

3
D.  .
4

(Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 1;0 thỏa mãn
điều kiện: f 1  2 ln 2 và x.  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Biết f  2   a  b.ln 3 ( a , b  ).





Giá trị 2 a 2  b2 là

3
9
.
D. .
4
2
(Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x   0, x  0 và có đạo hàm

A.
Câu 5.

27
.
4

B. 9 .

C.

1
f   x  liên tục trên khoảng  0;    thỏa mãn f   x    2 x  1 f 2  x  , x  0 và f 1   . Giá

2
trị của biểu thức f 1  f  2   ...  f  2020  bằng
2020
2015
2019
2016
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
2021
2019
2020
2021
(Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 1;0 thỏa mãn f 1  2 ln 2  1 ,

A. 
Câu 6.

x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1 , x   \ 1;0 . Biết f  2   a  b ln 3 , với a , b là hai

Câu 7.

số hữu tỉ. Tính T  a 2  b .
3
21
3

A. T 
.
B. T  .
C. T  .
D. T  0 .
16
16
2
(THPT Nguyễn Trãi - Đà Nẵng - 2018) Cho hs y  f  x  thỏa mãn y  xy 2 và f  1  1 thì
giá trị f  2  là
A. e 2 .

Câu 8.

B. 2e .

C. e  1 .

D. e3 .

(Sở Hà Nội Năm 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  , f  x   0 với mọi x và thỏa mãn

1
f 1   , f   x    2 x  1 f 2  x  .Biết
2
a, b  ,  a, b   1 .Khẳng định nào sau đây sai?
A. a  b  2019 .

B. ab  2019 .

f 1  f  2   ...  f  2019  

C. 2a  b  2022 .

a
1
b

D. b  2020 .

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />
với


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 9.

(THPT Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;  

1
. Tính f  4  ?
2
A. 24 .
B. 14 .
C. 4 .
D. 16 .
Câu 10. (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho hàm số f  x   0 với mọi x   ,
thỏa mãn 2 xf   x   f  x   3 x 2 x . Biết f 1 

f  0   1 và

f  x   x  1. f   x  với mọi x   . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. f  x   2
Câu 11.

B. 2  f  x   4

C. f  x   6

D. 4  f  x   6

(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên

 2; 4

3

và f   x   0, x   2; 4 . Biết 4 x 3 f  x    f   x    x 3 , x   2; 4 , f  2  

7
. Giá trị của
4

f  4  bằng
40 5  1
20 5  1
.
B.

.
2
4
(Chuyên Thái Bình 2019) Cho

A.
Câu 12.

20 5  1
40 5  1
.
D.
.
2
4
là hàm số liên tục trên  thỏa mãn

C.

f ( x)

f  x   f   x   x, x   và f  0   1 . Tính f 1 .
2
1
e
.
B. .
C. e .
D. .
e

e
2
(THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số

A.
Câu 13.

f  x  thỏa mãn

2

 xf   x    1  x 2 1  f  x  . f   x   với mọi x dương. Biết f 1  f  1  1 . Giá trị f 2  2  bằng
A. f 2  2   2 ln 2  2 . B. f 2  2   2 ln 2  2 .
C. f 2  2   ln 2  1 .
Câu 14.

D. f 2  2   ln 2  1 .

(Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ( f '( x))2  f ( x). f ''( x)  x 3  2 x, x  R
và f (0)  f '(0)  1 . Tính giá trị của T  f 2 (2)
A.

43
30

B.

16
15

C.

43
15

D.

26
15

 
(Sở Bình Phước 2019) Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm trên  0;  , thỏa mãn
 2
x
 
 
f  x   tan x. f   x  
. Biết rằng 3 f    f    a 3  b ln 3 trong đó a, b . Giá
3
cos x
3
6
trị của biểu thức P  a  b bằng
14
2
7
4
A.
B. 
C.

D. 
9
9
9
9
Câu 16. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f  x  đồng biến trên  0;   ;

Câu 15.

y  f  x

liên tục, nhận giá trị dương trên

 0;  

và thỏa mãn

f  3 

4
9

và

2

 f '  x     x  1 . f  x  . Tính f  8  .
A. f  8   49 .

B. f  8   256 .

C. f  8  

1
.
16

D. f  8 

49
.
64

Facebook Nguyễn Vương 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489



2

2

 f   x    f  x   x

Câu 17. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f 1  2 và x 2  1

2



 1 với mọi x   . Giá

trị của f  2  bằng
2
2
5
5
B. 
C. 
D.
5
5
2
2
(Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên

A.
Câu 18.

khoảng  0;    , biết f   x    2 x  1 f 2  x   0 , f  x   0, x  0 và f  2  

1
. Tính giá trị của
6

P  f 1  f  2   ...  f  2019  .
2021
2020

2019
.
B.
.
C.
.
2020
2019
2020
Câu 19. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn

A.

 f  x

2

2018
.
2019
thỏa mãn

D.

 2;1

f  0   3 và

. f   x   3 x 2  4 x  2 . Giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn  2;1 là

A. 2 3 42 .
B. 2 3 15 .
C. 3 42 .
Câu 20. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số
3

f ( x)

D. 3 15 .
thỏa mãn

f (1)  4

và

2

f ( x)  xf ( x)  2 x  3x với mọi x  0 . Giá trị của f (2) bằng
A. 5 .
Câu 21.

B. 10 .

C. 20 .

D. 15 .

(Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: f  0   2 2,

f  x   0, x   và f  x  . f   x    2 x  1 1  f 2  x  , x   . Khi đó giá trị f 1 bằng

A.
Câu 22.

26 .

B.

24 .

C. 15 .

D.

23 .

2

(Cần Thơ 2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x    f  x  . f   x   2 x 2  x  1 , x   và
2

f  0   f   0   3 . Giá trị của  f 1  bằng

19
.
D. 10 .
2
(Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn

A. 28 .
Câu 23.

B. 22 .

 x  2  f  x    x  1 f   x   e x

C.

và f  0  

1
. Tính f  2  .
2

e2
e2
e
e
f
2

f
2

f
2

f
2

A.  

.
B.  
.
C.  
.
D.  
.
3
6
3
6
Câu 24. (Liên Trường - Nghệ An - 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 0;  1 thỏa mãn điều
kiện f 1  2 ln 2 và x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Giá trị f  2   a  b ln 3 , với a, b  . Tính

a 2  b2 .
25
9
5
13
A.
.
B. .
C. .
D.
.
4
2
2
4
Câu 25. (THPT Lê Xoay - 2018) Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và

thỏa mãn f 1  1 , f  x   f   x  . 3x  1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 2  f  5   3 .

B. 1  f  5   2 .

C. 4  f  5   5 .

D. 3  f  5   4 .

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 26.

(THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện

1
f  0   .
Biết
rằng
tổng
2
a
a
là phân số tối giản.
f 1  f  2   f  3  ...  f  2017   f  2018  với  a  , b  *  và
b
b
Mệnh đề nào sau đây đúng?

a
a
A.  1.
B.  1 .
C. a  b  1010 .
D. b  a  3029 .
b
b
f   x    2 x  3 f 2  x 

Câu 27.

và

(THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số f  x   0 , f   x  

3x 4  x 2  1 2
f  x  và
x2

1
f 1   . Tính f 1  f  2   ...  f  80  .
3
3240
6480
6480
3240
A. 
.
B.

.
C. 
.
D.
.
6481
6481
6481
6481
Câu 28. (Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số f  x  đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn  0; 2 và
2

2

thỏa mãn  f  x    f  x  . f   x    f   x    0 . Biết f  0   1 , f  2   e6 . Khi đó f 1 bằng
3
2

5
2

3

B. e .

A. e .

D. e 2 .

C. e .

2

Câu 29. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  thỏa mãn f   x   2 x. f  x   e x , x   và f  0   0 .
Tính f 1 .
1
B. f 1   .
e

A. f 1  e2 .

C. f 1 

1
.
e2

D. f 1 

1
.
e

Câu 30. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f '  x  . f  x   x4  x2 . Biết f  0  2 . Tính f 2  2  .
A. f 2  2  
Câu 31.

313
.
15

B. f 2  2  

332
.
15

C. f 2  2  

324
.
15

D. f 2  2  

323
.
15

(Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   f   x   e x , x   và

f  0   2 . Tất cả các nguyên hàm của f  x  e 2 x là
A.  x  2  e x  e x  C .

B.  x  2  e2 x  e x  C .

C.  x  1 e x  C .

D.  x  1 e x  C .

Câu 32. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  0;    thỏa mãn 2 xf   x   f  x   2 x x   0;    ,
f 1  1 . Giá trị của biểu thức f  4  là:

25
25
17
17
.
B.
.
C.
.
D.
.
6
3
6
3
(Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn

A.
Câu 33.

3

4

điều kiện x 6  f   x    27  f  x   1  0, x   và f 1  0 . Giá trị của f  2  bằng
A. 1 .
B. 1.

C. 7 .
D.  7 .
Câu 34. (Bến Tre 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn:

 f   x 

2

 f  x  . f   x   15 x 4  12 x , x   và

f  0   f   0   1 . Giá trị của f 2 1 bằng

A.

5
.
2

B. 8.

C. 10.

D. 4.

Facebook Nguyễn Vương 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 35. Cho

hàm

số

y  f  x

 xf   x   2 f  x   .ln x  x
nào dưới đây?
25 

A. 12;  .
2

Câu 36.

đạo

hàm

liên

tục

 f  x  , x  1;    ; biết f

27 

B. 13;  .
2 



trên

1;  

 e   3e . Giá trị
3

 23 
C.  ;12  .
 2


và

thỏa

mãn

f  2  thuộc khoảng

29 

D. 14;  .
2


(Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn

3 f   x  .e f

3

 x   x2 1

2x
 2
 0 với  x   . Biết f  0   1 , tính tích phân
f  x

11
A.
.
2

Câu 37.

3

có

7

 x. f  x  dx .
0

15
B.
.

4

45
9
C.
.
D. .
8
2
(SP Đồng Nai - 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục và không âm trên  thỏa mãn

f  x  . f   x   2 x f 2  x   1 và f  0   0 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn 1;3 . Biết rằng giá trị của biểu thức P  2M  m có dạng
a 11  b 3  c ,  a , b , c    . Tính a  b  c

A. a  b  c  7 .
Câu 38. Cho

hàm

số

B. a  b  c  4 .

y  f  x

liên

C. a  b  c  6 .

tục

trên

 \ 1;0

D. a  b  c  5 .
thỏa

mãn

f 1  2ln 2  1 ,

x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1 , x   \ 1;0 . Biết f  2   a  b ln 3 , với a, b là hai số
hữu tỉ. Tính T  a 2  b .
A. T 

21
.
16

B. T 

3
.
2

Câu 39. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

C. T  0 .

 0;   

D. T  

3
.
16

thỏa mãn 3x. f  x   x 2 . f   x   2 f 2  x  , với

1
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
3
hàm số y  f  x  trên đoạn 1; 2 . Tính M  m .
f  x   0, x   0;    và f 1 

A.

9
.
10

B.

21
.
10

C.

5
.
3

D.

7
.
3

Dạng 2. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm
Câu 1.

2





(Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x x3  4x .
Hàm số F  x 2  x  có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 6 .

B. 5 .

C. 3 .

D. 4 .

1  cos x   sin x  cot x  dx và S
2

Câu 2.

(THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho F  x   

sin 4 x

là tổng

 
tất cả các nghiệm của phương trình F  x   F   trên khoảng  0;4  . Tổng S thuộc khoảng
2

A.  6 ;9  .

B.  2 ;4  .

C.  4 ;6  .

D.  0;2  .

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 3.

(Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số

f  x 

2cos x  1
trên khoảng  0;   . Biết rằng giá trị lớn nhất của F  x  trên khoảng  0;   là
sin 2 x

3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

Câu 4.

Câu 5.

 
A. F    3 3  4
6

 2
B. F 
 3

A. 2 .

B. 1.

 
 5 
C. F     3
D. F    3  3
3

 6 
x cos x  sin x
Biết F  x là nguyên hàm của hàm số f  x  
. Hỏi đồ thị của hàm số y  F  x có
x2
bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng 0; 4  ?

3


 2

C. 3 .

D. 0 .

(Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  

x  cos x
. Hỏi đồ
x2

thị của hàm số y  F  x  có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
Câu 6.

B. 2.

C. vô số điểm.

D. 0.

(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số

y  f '  x  trên

 5;3

như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol

y  ax2  bx  c ).

Biết f  0  0 , giá trị của 2 f  5  3 f  2  bằng
A. 33.
Câu 7.

B.

109
.
3

C.

35
.
3

D. 11.

Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn f   x  

f  x

 4 x 2  3 x và

x
f 1  2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ x  2 là

A. y  16 x  20 . B. y  16 x  20 .

C. y  16 x  20 .

D. y  16 x  20 .

BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI
 />Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  />Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  />Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  />
Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương
 />Tải nhiều tài liệu hơn tại: />
Facebook Nguyễn Vương 7