Bộ đề toán thi vào lớp 10 chuyên tỉnh nghệ an (có đáp án và giải chi tiết)

QU C BIÊN

B

Đ TOÁN THI VÀO L P 10
CHUYÊN T NH NGH AN
CÓ ĐÁP ÁN VÀ GI I CHI TI T


1

PHẦN 1: ĐỀ TOÁN VÀO 10 CHUYÊN
PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
Đề chính thức

Đề số 1

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH
Năm học 2019-2020
Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (6,0 điểm).
a) Giải phương trình x3  x2  12 x x  1  20  0 .

( x  1)( xy  1)  6

.
b) Giải hệ phương trình  2 2
 x ( y  y  1)  7
Câu 2 (3,0 điểm)
a) Cho đa thức P( x)  ax 2  bx  c  a   * thỏa mãn P  9   P  6   2019.
Chứng minh P 10   P  7  là một số lẻ.
b) Tìm các cặp số nguyên dương  x; y  sao cho x 2 y  x  y chia hết cho xy 2  y  1 .
Câu 3 (2,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  a  b  c  2. Tìm giá
1
1
1


.
trị lớn nhất của biểu thức P 
a 2  b2
b2  c 2
c2  a2
Câu 4 (7,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn  O  . Gọi

E là điểm nằm chính giữa của cung nhỏ BC . Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho
EM  EC , đường thẳng BM cắt đường tròn  O  tại N ( N khác B ). Các đường
thẳng EA và EN cắt cạnh BC lần lượt tại D và F .
a) Chứng minh tam giác AEN đồng dạng với tam giác FED .
b) Chứng minh M là trực tâm của tam giác AEN .
c) Gọi I là trung điểm của AN , tia IM cắt đường tròn  O  tại K . Chứng minh
đường thẳng CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK .
Câu 5 (2,0 điểm). Cho 12 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm nào cũng là đỉnh của một
tam giác mà mỗi tam giác đó luôn tồn tại ít nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn 673. Chứng
minh rằng có ít nhất hai tam giác mà chu vi của mỗi tam giác nhỏ hơn 2019.

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
Năm học 2018-2019

Đề chính thức

Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 2
Câu 1.
a) Giải phương trình :

x  2  4  x  2 x2  5x 1

 xy  3 y  4 x 2

b) Giải hệ phương trình:  2
2

 y  2 y  7  7 x  8x

Câu 2.
a) Tìm các số nguyên x; y; z sao cho x2  y 2  z 2  6  xy  3x  4 z
b) Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn m  n  1 là một ước nguyên tố của
2  m2  n2   1. CMR m.n là số chính phương

Câu 3. Cho a, b, c thực dương thỏa mãn abc  1. Chứng minh rằng:
1
a 4  a3  ab  2



1
b4  b3  bc  2



1
c 4  c3  ac  2

 3

Câu 4.
Cho tam giác ABC vuông tại A  AB  AC  nội tiếp đường tròn (O) đường cao AH.
Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Qua H
kẻ đường thẳng song song với BD cắt AK tại I. Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại N
(N khác B)
a) Chứng minh AN.BI  DH .BK
b) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng BC tại P. Chứng minh đường thẳng
BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP
c) Tiếp tuyến của (O) tại C cắt DP tại M. Đường tròn qua D tiếp xúc với CM tại M

và cắt OD tại Q (Q khác D). Chứng minh đường thẳng qua Q vuông góc với BM
luôn đi qua điểm cố định khi BC cố định và A di động trên đường tròn (O)
Câu 5 Để phục vụ cho lễ khai mạc World Cung 2018, ban tổ chức giải đấu chuẩn bị 25000
quả bóng, các quả bóng được đánh số từ 1 đến 25000. Người ta dùng 7 màu: Đỏ, Da cam,
Vàng, Lục, Lam, Chàm, Tím để sơn các quả bóng (mỗi quả được sơn 1 màu). Chứng minh
rằng trong 25000 quả bóng nói trên tồn tại 3 quả bóng cùng màu được đánh số là a, b, c mà
a chia hết cho b, b chia hết cho c và abc  17

----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


3
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
Năm học 2017-2018

Đề chính thức

Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 3

Câu 1 (7.0 điểm).

a) Giải phương trình 3x  7 x  4  14 x  4  20







6x  4y  2  x  1 2

b) Giải hệ phương trình 
2
6y  4x  2  y  1



Câu 2 (2.0 điểm).
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn S  n   n2  2017n  10 với S  n  là tổng các chữ số của n.
Câu 3 (2.0 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn c  a . Chứng minh rằng:
2

2

2

 a   b 
 c 
3


 
  4
 
2
a  b b  c
c a

Câu 4 (7.0 điểm).
Cho hai đường tròn  O  và  O '  cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm
M khác A. Qua M kẻ các tiếp tuyến MC và MD với đường tròn  O '  (C, D là tiếp điểm và
D nằm trong đường tròn tâm O).

a) Chứng minh rằng AD.BC  AC.DB .
b) Các đường thẳng AC, AD cắt đường tròn  O  lần lượt tại E và F (E, F khác A ).
Chứng minh đường thẳng CD đi qua trung điểm của EF.
c) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm có định khi M thay đổi.
Câu 5 (2.0 điểm).
Trong đường tròn  O  có bán kính 21 đơn vị, cho 399 điểm bất kì A1, A2 ,..., A399 .
Chứng minh rằng tồn tại vô số hình tròn có bán kính bằng 1 đơn vị nằm trong đường tròn

O và không chứa điểm nào trong 399 điểm A , A ,..., A
1

2

399

.

----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


4
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
Năm học 2016-2017

Đề chính thức

Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 4

Câu 1 (7.0 điểm).
a) Giải phương trình

3x

5

b) Giải hệ phương trình

x

3x 2

1

2xy

4x

3y

4x 2

y2

12x

6

4x

4.

0

4y

9

0

.

Câu 2 (3.0 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x ; y sao cho x 2

2

xy

2 .

Câu 3 (2.0 điểm).
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a2

P
a

b2
b

2

b

c

2

c
4a

Câu 4 (6.0 điểm).
Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn O . Kẻ các tiếp tuyến AE, AF của O (E,
F là các tiếp điểm). Điểm D di động trên cung lớn EF sao cho DE

DF , D không trùng

với E và tiếp tuyến tại D của O cắt các tia AE, AF lần lượt tại B, C.
a) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng OB,
OC. Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp một đường tròn.
b) Kẻ tia phân giác DK của góc EDF và tia phân giác OI của góc BOC
K

EF;I

BC . Chứng minh rằng OI song song với DK.

c) Chứng minh đường thẳng IK luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5 (2.0 điểm).
Mỗi điểm trong mặt phẳng được gắn với một trong hai màu đỏ hoặc xanh. Chứng
minh rằng luôn tồn tại một tam giác đều có ba đỉnh cùng màu và có độ dài cạnh bằng

3

hoặc 3.
----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


5
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
Năm học 2015-2016

Đề chính thức

Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 5

Câu 1 (7,0 điểm).
a) Giải phương trình

x 2  5x  4  2 x  5  2 x  4  x 2  4x  5.


1 
1
 x    y    2

b) Giải hệ phương trình 
y 
x
.
2x 2 y  xy 2  4xy  2x  y

Câu 2 (2,0 điểm).
Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn a  b ab .
2

2

a 2  b2
Tính giá trị của biểu thức A 

2ab
Câu 3 (2,0 điểm).

3(a  b  c) 2
.
Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh (a  1)(b  1)(c  1) 
4
2

2

2

Câu 4 (7,0 điểm).
Cho đường tròn (O;R) có BC là dây cố định (BC  2R) ; E là điểm chính giữa

cung nhỏ BC. Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC và AB < AC (A khác B). Trên đoạn
AC lấy điểm D khác C sao cho ED = EC. Tia BD cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là
F.
a) Chứng minh D là trực tâm của tam giác AEF.
b) Gọi H là trực tâm của tam giác DEC; DH cắt BC tại N. Đường tròn ngoại tiếp tam
giác BDN cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là M. Chứng minh đường thẳng DM luôn
đi qua một điểm cố định.
Câu 5 (2,0 điểm).
Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng của 11
phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại. Biết các số 101 và 102 thuộc A. Tìm tất
cả các phần tử của A.
----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


6
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
Năm học 2014-2015

Đề chính thức

Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 6
Câu 1 (7,0 điểm).
a) Giải phương trình

x  1  2 x x  3  2 x  x 2  4 x  3.

y2
1
 x2



2
2
( x  1) 2
b) Giải hệ phương trình  ( y  1)
3xy  x  y  1.

Câu 2 (3,0 điểm).
a) Tìm các số nguyên x và y thoả mãn phương trình 9 x  2  y  y .
2

b) Tìm các chữ số a, b sao cho ab   a  b  .
2

3

Câu 3 (2,0 điểm).
Cho các số a, b, c không âm. Chứng minh rằng

a 2  b2  c 2  3 3  abc   2  ab  bc  ca .
2

Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 4 (6,0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AE và CF cắt nhau
tại H. Gọi P là điểm thuộc cung nhỏ BC (P khác B, C); M, N lần lượt là hình chiếu của P
trên các đường thẳng AB và AC. Chứng minh rằng:
a) OB vuông góc với EF và

BH
EF
.
2
BO
AC

b) Đường thẳng MN đi qua trung điểm của đoạn thẳng HP.
Câu 5 (2,0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC có BAC  60 , BC  2 3 cm. Bên trong tam giác này cho
13 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong 13 điểm ấy luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách
giữa chúng không lớn hơn 1cm.
o

----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

7
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
Năm học 2013-2014

Đề chính thức

Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 7

Câu 1 (7,0 điểm).
a) Giải phương trình:



2x  3  2





x  6  x 1  5 .

3
 x y  2 y  3

b) Giải hệ phương trình:  3
 y (3x  2)  1

Câu 2 (2,0 điểm).
Cho hai số nguyên x, y . Chứng minh rằng: ( x  y)( x  2 y)( x  3 y)( x  4 y)  y 4  2
không phải là số chính phương.
Câu 3 (2,0 điểm).
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a  0, b  0, c  1 và a  b  c  2 . Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức T  (6  a 2  b2  c2 )(2  abc) .
Câu 4 (7,0 điểm).
Cho đường tròn (O) đường kính BC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A khác B. Kẻ
các tiếp tuyến AD, AE của (O) ( D, E là các tiếp điểm). Kẻ DH vuông góc với EC tại H. Gọi
K là trung điểm của DH, Gọi I là giao điểm của AC và DE. CK cắt (O) tại Q khác C, AQ cắt
(O) tại M khác Q.
Chứng minh rằng:
a) AB.CI = AC.BI
b) QD vuông góc với QI.
c) DM song song với OC.
Câu 5 (2,0 điểm).
Trên mặt phẳng cho bảy điểm (không có 3 điểm nào thẳng hàng). Gọi h là đội dài
lớn nhất của các đoạn thẳng nối hai trong bảy điểm đã cho. Chứng minh rằng tồn tại ít
nhất một tam giác có các đỉnh là ba trong bảy điểm đã cho thỏa mãn diện tích của nó nhỏ
hơn

h 2 (4  3 3)
24
----------Hết----------

Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


8
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
Đề chính thức

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
Năm học 2012-2013
Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 8

Câu 1 (7,0 điểm).
a) Giải phương trình: ( x  1  1)(5  x)  2 x.

 x 2  2 xy  x  2 y  3  0
b) Giải hệ phương trình:  2
2
 y  x  2 xy  2 x  2  0.
Câu 2 (3,0 điểm).
Tìm các số tự nhiên x và y thoả mãn 2  1  y .
x

2

Câu 3 (2,0 điểm).
Cho ba số dương x, y, z thoả mãn

1 1 1
   1. Chứng minh rằng:
x y z

x  yz  y  zx  z  xy  xyz  x  y  z .
Câu 4 (6,0 điểm).
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm D khác A và

DAB  600. Trên đường kính AB lấy điểm C (C khác A, B) và kẻ CH vuông góc với AD
tại H. Phân giác trong của góc DAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F. Đường thẳng DF
cắt đường tròn tại điểm thứ hai N.
a) Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn và ba điểm N, C, E thẳng hàng.
b) Cho AD = BC, chứng minh DN đi qua trung điểm của AC.
Câu 5 (2,0 điểm).
Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì
trong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng
nhau.
----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
Năm học 2011-2012

Đề chính thức

Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 9

Câu 1 (7,0 điểm).

3x  15  3x  8x  5 .

a) Giải phương trình:

 xy  x  y  3

b) Giải hệ phương trình:  1
1
2


2
2
 x  2x y  2 y 3 


Câu 2 (3,0 điểm).
Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn: 5 x  2 xy  y  4 x  40  0 .
2

2

Câu 3 (6,0 điểm). Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cố định ((O) và d không có điểm
chung). M là điểm di động trên d. Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB phân biệt và cát tuyến MCD
của (O) (A, B là tiếp điểm, C nằm giữa M và D, CD không đi qua O). Vẽ dây DN của (O)
song song với AB. Gọi I là giao điểm của CN và AB. Chứng minh rằng:
a)

IC BC
=
và IA = IB.
IA BD

b) Điểm I luôn thuộc một đường cố định khi M di động trên đường thẳng d.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

 a b  b c  c a  ab
2

2

2

2

 bc 2  ca 2   abc  3  a3  abc  b3  abc  c3  abc  .

Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 5 (2,0 điểm).
Cho một đa giác lồi có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính

1
chứa đa giác đó.
4
----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


10
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
Đề chính thức

Đề số 10

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
Năm học 2010-2011
Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1. (7,0 điểm)
a) Giải phương trình: x 2  8x  3  2 x 8  x 

 x3  y 3  4 x  2 y
b) Giải hệ phương trình:  2
2
 x  1  3 1  y 
Câu 2. (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên n để n4  n3  n2 là số chính phương.
Câu 3. (4,0 điểm). Cho tam giác ABC và AD là đường phân giác trong. Trên đoạn AD lấy
hai điểm M, N (M, N khác A và D) sao cho ABN  CBM . Đường thẳng BM cắt đường tròn
ngoại tiếp tam giác ACM tại điểm thứ hai là E. Đường thẳng CN cắt đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABN tại điểm thứ hai là F.
Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng.
Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R), M là một điểm bất kì
trên cung nhỏ BC (M khác B, C). Đường tròn (O’; R’) tiếp xúc trong với đường tròn (O; R)
tại điểm M (với R’ < R). Các đoạn thẳng MA, MB, MC lần lượt cắt đường tròn (O’; R’) tại
điểm thứ hai là D, E, F. Từ A, B, C kẻ các tiếp tuyến AI, BJ, CK với đường tròn (O’; R’)
trong đó I, J, K là các tiếp điểm.
Chứng minh DE song song với AB và AI = BJ + CK.
Câu 5 (4,0 điểm)
a) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a  b  c  3 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a b  b c  c a  abc .
b) Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng
hàng và không có 4 điểm nào cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh rằng trong 2010 điểm đã cho, có thể dựng được một đường tròn đi qua
3 điểm, chứa 1000 điểm và không chứa 1007 điểm còn lại.

----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

11
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
Năm học 2009-2010

Đề chính thức

Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 11
Bài 1: (3.5 điểm)
a. Giải phương trình

3

x2  3 7 x 3

8

2  3x  y 3

b. Giải hệ phương trình 
 x3  2  6

y

Bài 2: (1.0 điểm)
Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên

x2  ax  a  2  0 .
Bài 3: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc
AC). Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B). Đường thẳng AM
cắt BC tại K. Chứng minh: AE.AN = AM.AK.
Bài 4: (1.5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài
cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N
khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt
đường thẳng AO lần lượt tại I và K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường
tròn và tứ giác BICK là hình bình hành.
Bài 5: (2.0 điểm)
a. Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn
hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC.
b. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a  b  c  3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  a 2  b2  c 2 

ab  bc  ca
a 2b  b2c  c 2a

----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
Đề chính thức

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
Năm học 2008-2009
Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 12

Bài 1: ( 2 điểm)
Tìm số tự nhiên có hai chữ số xy , biết rằng xxyy = xx2 + yy2 .
Bài 2: ( 2 điểm)
Giải phương trình : 10 x3+1 = 3(x2 + 2 )
Bài 3: ( 2 điểm)
Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c ( a = 0) . Biết rằng phương trình f(x) = x
vô nghiệm . Chứng minh rằng phương trình : a *f(x) ]2 + bf(x) + c = x vô nghiệm .
Bài 4: ( 1 điểm)
Cho x , y, z > 0 thỏa mãn xy + yz + xz = xyz .
Chứng minh rằng :

 1
y
z
x
1 1
 2  2  3 2  2  2 
2

x
y
z
y
z 
x

Bài 5 : ( 3 điểm )
Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi O là trung điểm của BC . Đường tròn (O;R) tiếp xúc
với AB ở E , tiếp xúc với AC ở F . Điểm H chạy trên cung nhỏ EF ( H khác E, F) . Tiếp
tuyến của đường tròn tại H cắt AB , AC lần lượt tại M, N .
a)

Chứng minh : ∆MOB đồng dạng ∆ONC.

b)

Xác định vị trí điểm H sao cho diện tích ∆AMN lớn nhất .

Bài 6 : ( 1 điểm )
Cho 33 điểm nằm trong hình vuông có độ dài bằng 4 , trong đó không có ba
điểm nào thẳng hàng . Người ta vẽ các đường tròn bán kính bằng

2 và tâm là các

điểm đã cho . Hỏi có hay không ba điểm trong cá điểm đã cho sao cho chúng đều
thuộc phần chung cuả ba hình tròn có tâm cũng là ba điểm đó ? Vì sao ?

----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


13

PHẦN 2: ĐỀ TOÁN VÀO 10 CHUYÊN

ĐẠI HỌC VINH NGHỆ AN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH
Năm học 2018-2019

Đề chính thức

Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 13

Câu 1 Cho phương trình x2   2m  3 x  3m  1  0 ( m là tham số)
a) Tìm tất cả các số thực m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn điều
kiện x12  x22  x1 x2  7
b) Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm nguyên
Câu 2 a) Giải phương trình

x  x  3  2 x2  4 x  3

1
1

x  x  y  y  3

b) Giải hệ phương trình 
 x2  1  y 2  1  5

x2
y2


Câu 3: Cho số tự nhiên n  2 và số nguyên tố p thỏa mãn p  1 chia hết cho n đồng thời
n3  1 chia hết cho p . Chứng minh rằng n  p là một số chính phương

Câu 4 Cho các số thực không âm a, b thỏa mãn:  a  b   a  b  2 . Chứng minh rằng:
2


a3 
b3 
1

1 

9
  b  13   a  13 





Câu 5. Cho 2 đường tròn (O; R) và  O '; r  cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B  R  r ' sao
cho O và O’ ở 2 phía của AB, Gọi K là điểm sao cho OAO ' K là hình bình hành
a) CMR: ABK là tam giác vuông
b) Đường tròn tâm K bán kính KA cắt (O; R) và (O '; r ) theo thứ tự tại M và N (khác A).
Chứng minh rằng ABM  ABN
c) Trên đường tròn  O; R  lấy C thuộc cung AM không chứa B (C khác A, M). Đường
thẳng CA vuông góc với  O ', r  tại D. CMR: KC  KD
Câu 6: Cho 17 số tự nhiên mà các chữ số của mỗi số được lấy từ tập hợp 0;1; 2;3; 4 .
Chứng minh rằng ta có thể chọn được 5 số trong 17 số đã cho sao cho tổng của 5 số này
chia hết cho 5.
----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


14
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH
Năm học 2015-2016

Đề chính thức

Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1)

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 14

Câu 1 (2,0 điểm). Giải các phương trình

a)

1
3
8


;
x  1 2x  1 x  2

b) 2x  1  3  x  3x  5.
2
2

x  x  y  y
Câu 2 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình  2
(x, y  ).
2
x

y

5




Câu 3 (1,5 điểm). Cho hai số thực a, b thỏa mãn a  b  3, ab  1. Tính giá trị của biểu


thức P 



a  b a 2  b2
a a b b



.

Câu 4 (4,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), AB  AC . Phân giác
góc BAC cắt BC tại D. Đường tròn tâm I đường kính AD cắt AB, AC lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh rằng AD  EF .
b) Gọi K là giao điểm thứ hai của AD và (O). Chứng minh rằng ABD ~ AKC .
c) Kẻ EH  AC tại H. Chứng minh rằng HE.AD  EAEF
. .
d) Hãy so sánh diện tích của tam giác ABC với diện tích của tứ giác AEKF.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c  3. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P 

a
b
c



.
2
2
1b
1c
1  a2
----------Hết----------

Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


15
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH
Năm học 2015-2016

Đề chính thức

Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 15

Câu 1 (3,0 điểm). Giải các phương trình sau
a)
b)

1
2
3


;
x 2  2x  1 x 2  x  1 2x
3x  1  x  3  x  1.

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình nghiệm nguyên 3x 2  y 2  2xy  7.



Câu 3 (1,5 điểm). Tìm các số nguyên tố p, q thỏa mãn p  q  2 p  q

.
2

   

Câu 4 (3,5 điểm). Cho hai đường tròn O , O ' cắt nhau tại A và B. Từ điểm C thuộc tia đối

 

 

của tia AB kẻ hai tiếp tuyến đến O tại D và E, E nằm trong O ' . Các đường thẳng AD,

 

AE cắt O ' tại điểm thứ hai tương ứng là M, N. Gọi I là giao điểm của DE và MN.
a) Chứng minh rằng tứ giác BEIN nội tiếp và BIN ~ BDA.
2

2

 DA 
CA  CD 
b) Chứng minh rằng

 
 .
CB  CB 
 DB 
c) Chứng minh rằng I là trung điểm của MN.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c  2. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức

P  a 2  b2  c2 

ab  bc  ca
1
 2
2
a  b2  c2

----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


16
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH
Năm học 2014-2015

Đề chính thức

Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 16

Câu 1 (1,5 điểm). Rút gọn biểu thức

x xy y
 x y
A
 xy  .
, với x, y  0 và x  y.

 x y
 ( x  y )2


Câu 2 (2,0 điểm). Cho phương trình x2  2(4m  1) x  16m2  11  0 (1), với m là tham số.
a) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình (1) có các nghiệm là x1 , x2 thỏa mãn (2 x1  1)(2 x2  1)  9.

 x 2  x  xy  2
Câu 3 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình 
2
3x  x  3xy  y  4
Câu 4 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x2  4 y  8. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P  x  y 

10
.
x y

Câu 5 (4,0 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa cung AB,
D là điểm thuộc cung nhỏ BC (D khác B và C). Trên đoạn thẳng AD lấy điểm E sao cho

AE  BD.
a) Chứng minh rằng ACE  BCD.
b) Gọi F là giao điểm của OC và BD. Chứng minh rằng DC là phân giác của ADF .
c) Tiếp tuyến của (O) ở A cắt BC tại I. Chứng minh rằng IE//BD.

----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


17
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
Đề chính thức

Đề số 17
(không lời giải)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH
Năm học 2013-2014
Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (2,0 điểm). Tìm hai số nguyên a và b sao cho

1
1

1 .
a  1966 b  2013
Câu 2 (2,5 điểm). Cho phương trình x2  2mx  m(m  1)  0(1) .
a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm bé là x1 , nghiệm lớn là x2 thỏa mãn điều
kiện x1  2 x2  0 .
Câu 3 (1,5 điểm). Giả sử x và y là các số dương có tổng bằng 1. Đặt S  xy 

1
.
xy

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của S
b) Biểu thức S có giá trị lớn nhất hay không ? Vì sao?
Câu 4 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8, BC = 10. Gọi M, N, P tương ứng là
chân đường cao, chân đường phân giác, chân đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A.
a) Chứng minh rằng, điểm N nằm giữa hai điểm M và P.
b) Tính diện tích các tam giác APB, ABN và ABM.

----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


18
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH
Năm học 2013-2014

Đề chính thức

Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2)

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 18
(không lời giải)

Câu 1 (1,5 điểm). Giả sử n là số nguyên tố lớn hơn 2. Chứng minh rằng

2013n 2  3
là số
8

nguyên dương.
Câu 2 (1,5 điểm). Rút gọn biểu thức
A  3 2  5  3 2  5.

Câu 3 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình
2
2

 x  y  6 xy  17
 2

6 y  xy  x  5 y  1  0

Câu 4 (1,5 điểm). Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c và A  B  C .
Chứng minh rằng 9ab  (a  b  c)2 .
Câu 5 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A, biết rằng H nằm
trên đoạn thẳng BC và không trùng với B hoặc C. Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại
tiếp tam giác ACH tại D phân biệt với A. Đường thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABH tại E phân biệt với A.

a) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh rằng bốn điểm I, J, D,
E cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng HA là tia phân giác của EHD .
c) Xác định mối liên hệ giữa AB, AC và AH để DE tiếp xúc với cả hai đường tròn nói
trên.

----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


19
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH
Năm học 2012-2013

Đề chính thức

Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 19

Câu 1.(1,5 điểm) Rút gọn biểu thức

A

a a b b a a b b  a
b  a  b
a b

 




a 
a b b a a b b a  b
a  b 
 a  b

trong đó a, b là các số thực dương phân biệt.
Câu 2. (1 điểm). Chứng minh rằng với mọi tham số m bất kì thì phương trình

4 x2  2(m  1) x  m  3  0 luôn có hai nghiệm phân biệt.

3x  4 y  10 xy  0
.
Câu 3. (1,5 điểm). Giải hệ phương trình 
5 x  2 y  8 xy  0
Câu 4.(2,0 điểm)
1. Tìm hai số nguyên dương p, q sao cho p 2  q 2  7.
2. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương lớn hơn 1 thì n4  4n không phải là số
nguyên tố.
Câu 5. (4 điểm). Cho đường tròn (O, R) có đường kính AB cố định và đường kính CD
thay đổi sao cho CD không vuông góc cũng không trùng với AB . Gọi d là tiếp tuyến tại

A của (O; R) . Các đường thẳng BC và BD cắt d tương ứng tại E và F .
1.Chứng minh rằng CDEF là tứ giác nội tiếp.
2. Gọi M là trung điểm của EF , chứng minh rằng BM  CD .
3. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF . Chứng minh rằng MK  R .
4. Gọi H là trực tâm của tam giác DEF , chứng minh rằng H luôn chạy trên một
đường tròn cố định.

----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


20
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH
Năm học 2012-2013

Đề chính thức

Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 20

Câu 1.(1,5 điểm).
Giả sử a, b, c là các số nguyên sao cho a 2  b 2  c 2 chia hết cho 4. Chứng minh rằng
a, b, c đồng thời chia hết cho 2.
Câu 2. (1,5 điểm).
Giải phương trình x 4  | 2 x 2  3 | 2  0.
Câu 3. (1,0 điểm).
Tìm các số nguyên dương p, q, r sao cho ( p 2  1)(q 2  4)(r 2  9)  48 pqr.
Câu 4.(1,0 điểm)
20( x  y )  9 xy

Giải hệ phương trình 30( y  z )  11yz
12( z  x)  5 zx


Câu 5. (1,5 điểm).
Chứng minh rằng

1
2 1



1
3 2

 ... 

1
2012 2011



1
2013 2012

 2.

Câu 6 (3,5 điểm).
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C thuộc (O) sao cho CA > CB. Các
tiếp tuyến tại A và C cắt nhau tại D. Vẽ hình bình hành BODE.
a) Chứng minh rằng ba điểm B, C, E thẳng hàng.
b) Gọi F  AE  OD và H  OE  CD. Chứng minh rằng HF//AC.
c) Chứng minh rằng ba đường thẳng OC, DE, HF đồng qui.

----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


21
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH
Năm học 2011-2012

Đề chính thức

Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 21

Câu 1. Cho biểu thức P 

( x  1) y  x
x y



( y  1) x  y
x y

, trong đó x, y là các số thực

dương phân biệt. Tính giá trị của biểu thức khi x  5  21, y  5  21.
Câu 2. Cho các hàm số y  ax 2  2a 2  1 (P ) và y  2ax  2a 2 (d ).
1. Tìm các giá trị của a sao cho (P ) đi qua điểm A(2;15).
2. Với các giá trị nào của a thì (d ) tiếp xúc với (P).

 x  y  xy  55
.
Câu 3. Giải hệ phương trình  2
2
x

y


85

Câu 4. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn hệ thức a  b  c  3. Tìm giá trị nhỏ nhất
 3  3  3 
của biểu thức P  1  1  1  .
 a  b  c 

Câu 5. Cho đường tròn tâm O, bán kính R  15cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho
OA  25cm. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O).

1.Tính độ dài đoạn BC.
2. Điểm M thuộc cung nhỏ BC (M  B, M  C ), tiếp tuyến với đường tròn tại M
cắt AB, AC lần lượt tại E và F . BC cắt OE, OF lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng
tỷ số

PQ
không phụ thuộc vào vị trí của điểm M thuộc cung nhỏ BC (M  B, M  C ).
EF

----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


22
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN

Đề chính thức

Đề số 22

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH
Năm học 2011-2012
Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1. Cho phương trình x 2  4x  m 2  3m  0 (1).
1. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm.
2. Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Hãy tìm các giá trị của m sao
cho x1  x22  4 x2 .
Câu 2. Tìm các số nguyên không âm a, b sao cho a 2  b 2  5a  3b  4 là số nguyên tố.
Câu 3. Giả sử x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn hệ thức x  y  z  8. Hãy tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức P  x 3 y  y 3 z  z 3 x.
Câu 4. Cho nửa đường tròn O; R  đường kính AB. M là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn
đó. Gọi H thuộc AB sao cho MH  AB. Tia phân giác của góc HMB cắt đường tròn ngoại
tiếp tam giác AMH tại điểm thứ hai I và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BMH tại
điểm thứ hai J .
1. Gọi E, F là trung điểm của MA, MB. Chứng minh rằng E, I , F thẳng hàng.
2. Gọi K là trung điểm của IJ . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác KEF
theo R.
Câu 5. Bên trong hình lục giác đều có cạnh bằng 2 cho 81 điểm phân biệt. Chứng minh
rằng tồn tại một hình vuông có cạnh bằng 1 (kể cả biên) chứa ít nhất 6 điểm trong số các
điểm đã cho.

----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


23
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH
Năm học 2010-2011

Đề chính thức

Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 23

Câu I.
1. Tính giá trị của biểu thức P 

83 3
1

.
72 3 2 3

2. Tìm các giá trị nguyên của x để

3x  1
là số nguyên.
x 1

Câu II.

x  3  2 x  2 3x  1.

1. Giải phương trình

2. Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình x  2(m  1) x  2m  5  0. Tìm giá
2

trị nhỏ nhất của biểu thức A  x1  x2 .
2

2

Câu III. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R  2 và có các góc
B, C nhọn. Biết BAC  60 , đường cao AH của tam giác ABC bằng 3.
0

1. Tính diện tích tam giác ABC.
2. Gọi P là một điểm di động trên cung nhỏ BC; M, N lần lượt là các điểm đối xứng
của P qua các đường thẳng AB và AC. Xác định vị trí của P sao cho độ dài MN lớn nhất.
Tính độ dài lớn nhất đó.

----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC