Dạy học môn toán lớp 4 theo định hướng mô hình hóa toán học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
–––––––––––––––––––

ĐẶNG THỊ MINH NGỌC

DẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 4
THEO ĐỊNH HƯỚNG MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
–––––––––––––––––––

ĐẶNG THỊ MINH NGỌC

DẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 4
THEO ĐỊNH HƯỚNG MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC
Ngành: Giáo dục học (Giáo dục Tiểu học)
Mã số: 8 14 01 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Thị Thu Hương

THÁI NGUYÊN - 2020

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên
cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2020
Tác giả luận văn

Đặng Thị Minh Ngọc

i


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn khoa học
TS. Lê Thị Thu Hương, đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực
hiện luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo (bộ phận Sau
Đại học), Khoa Toán, các thầy cô giáo giảng dạy và toàn thể các bạn học viên lớp
cao học Giáo dục học (Giáo dục Tiểu học) K26 - Trường Đại học Sư phạm - Đại
học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy, góp nhiều ý kiến quý báu cho tôi trong suốt
quá trình học tập, nghiên cứu khoa học và làm luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo, các em học
sinh của trường Tiểu học Bắc Cường và trường Tiểu học Lê Văn Tám, TP Lào
Cai, tỉnh Lào Cai đã giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn những tình cảm quý báu của người thân, bạn
bè, đồng nghiệp đã cổ vũ, động viên, góp ý và tiếp thêm động lực để tôi hoàn
thành luận văn này.
Mặc dù có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian có hạn và năng lực của bản
thân còn nhiều hạn chế trong kinh nghiệm nghiên cứu, nên luận văn không tránh

khỏi những thiếu xót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp, chỉ bảo của các
thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020
Tác giả luận văn

Đặng Thị Minh Ngọc

ii


MỤC LỤC
Lời cam đoan ........................................................................................................ i
Lời cảm ơn ........................................................................................................... ii
Mục lục ............................................................................................................... iii
Danh mục các chữ viết tắt .................................................................................. vi
Danh mục các bảng............................................................................................ vii
Danh mục các hình, biểu đồ ............................................................................. viii
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 2
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu ................................................................. 2
4. Giả thiết khoa học ............................................................................................ 2
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 3
6. Phạm vi nghiên cứu ......................................................................................... 3
7. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 3
8. Cấu trúc luận văn ............................................................................................. 4
NỘI DUNG ......................................................................................................... 5
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.............................................. 5
1.1. Khái quát về tình hình nghiên cứu ............................................................... 5
1.1.1. Nghiên cứu trên thế giới ............................................................................ 5

1.1.2. Nghiên cứu trong nước .............................................................................. 9
1.2. Một số vấn đề cơ bản về mô hình hóa toán học ......................................... 11
1.2.1. Một số khái niệm công cụ ....................................................................... 11
1.2.2. Các biểu hiện của năng lực MHH toán học............................................. 13
1.2.3. Các mức độ đánh giá năng lực MHH toán học ....................................... 14
1.3. Vai trò của MHH toán học trong dạy học môn Toán lớp 4........................ 15
1.4. Quy trình dạy học MHH toán học .............................................................. 17
1.5. Đặc điểm của HS cuối cấp tiểu học ............................................................ 21
1.5.1. Về tri giác ................................................................................................ 21
1.5.2. Về chú ý ................................................................................................... 22

iii


1.5.3.Về trí nhớ .................................................................................................. 23
1.5.4. Về tư duy ................................................................................................. 24
1.5.5. Về tưởng tượng ........................................................................................ 28
1.5.6. Về ngôn ngữ ............................................................................................ 29
1.6. Mục tiêu, nội dung chương trình môn Toán lớp 4 giữa chương trình hiện
hành và chương trình năm 2018 ........................................................................ 30
1.6.1. Mục tiêu chương trình môn Toán lớp 4 giữa chương trình hiện hành
và chương trình 2018 ......................................................................................... 30
1.6.2. Nội dung chương trình môn Toán lớp 4 giữa chương trình hiện hành
và chương trình năm 2018 ................................................................................. 32
1.7. Thực trạng dạy học môn Toán lớp 4 theo định hướng mô hình hóa
toán học ............................................................................................................. 42
1.7.1. Mục đích khảo sát .................................................................................... 43
1.7.2. Đối tượng khảo sát................................................................................... 43
1.7.3. Nội dung khảo sát .................................................................................... 43
1.7.4. Phương pháp khảo sát .............................................................................. 43

1.7.5. Kết quả khảo sát ...................................................................................... 44
Tiểu kết chương 1 .............................................................................................. 48
Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 4
THEO ĐỊNH HƯỚNG MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC ............................... 49
2.1. Định hướng đề xuất các biện pháp ............................................................. 49
2.1.1. Các biện pháp phải dựa trên cơ sở mục tiêu chung và mục tiêu cụ thể
của dạy học Toán ở tiểu học .............................................................................. 49
2.1.2. Các biện pháp phải được xây dựng dựa trên cơ sở nội dung chương
trình môn Toán ở tiểu học và đảm bảo các nguyên tắc dạy học ....................... 49
2.1.3. Các biện pháp phải phù hợp với đặc điểm về trình độ nhận thức của
học sinh lớp 4 ..................................................................................................... 50
2.1.4. Các biện pháp phải có tính khả thi, phạm vi sử dụng rộng rãi ................ 50
2.2. Một số biện pháp dạy học môn Toán lớp 4 theo định hướng mô hình hóa
toán học .............................................................................................................. 50

iv


2.2.1. Biện pháp 1: Phát triển năng lực thiết lập mô hình toán học cho tình
huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn ........................................................... 50
2.2.2. Biện pháp 2: Phát triển năng lực mô hình hóa toán học thông qua rèn
luyện năng lực giải quyết các vấn đề toán học mang tính thực tiễn.................. 60
2.2.3. Biện pháp 3: Xây dựng hệ thống bài tập theo hướng phát triển năng
lực mô hình hóa toán học cho học sinh ............................................................. 69
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ...................................................... 78
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm ............................................ 78
3.1.1. Mục đích .................................................................................................. 78
3.1.2. Nhiệm vụ ................................................................................................. 78
3.2. Đối tượng và nội dung thực nghiệm sư phạm ............................................ 78
3.2.1. Đối tượng thực nghiệm sư phạm ............................................................. 78

3.2.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm .............................................................. 79
3.3. Thời gian thực nghiệm................................................................................ 79
3.4. Tổ chức thực nghiệm .................................................................................. 79
3.5. Phương pháp đánh giá kết quả thực nghiệm .............................................. 80
3.6. Phân tích kết quả thực nghiệm ................................................................... 81
3.6.1. Phân tích kết quả thực nghiệm về mặt định lượng .................................. 81
3.6.2. Phân tích kết quả thực nghiệm về mặt định tính ..................................... 86
3.7. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm ................................................... 88
Kết luận chương 3.............................................................................................. 89
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ................................................................. 90
1. Kết luận .......................................................................................................... 90
2. Khuyến nghị................................................................................................... 91
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN ... 92
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 93
PHỤ LỤC

v


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MHH

: Mô hình hóa

MHHTH

: Mô hình hóa toán học

GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

NL

: Năng lực

SGK

: Sách giáo khoa

TH

: Tiểu học

HTXSNV : Hoàn thành Xuất sắc nhiệm vụ
GDPT

: Giáo dục phổ thông

TN

: Trải nghiệm

vi

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1. Nội dung chương trình môn Toán lớp 4 năm 2018 .......................... 34
Bảng 1.2. GV tham gia giảng dạy lớp 4 .............................................................. 43
Bảng 1.3. Tầm quan trọng của việc dạy học môn Toán lớp 4 theo định hướng
mô hình hóa toán học cho HS .......................................................... 44
Bảng 1.4. Sự cần thiết của việc dạy học môn Toán lớp 4 theo định hướng mô
hình hóa toán học ............................................................................. 45
Bảng 1.5. Mức độ thường xuyên dạy học môn Toán lớp 4 theo định hướng
mô hình hóa toán học ....................................................................... 45
Bảng 1.6. Khả năng sử dụng mô hình hóa trong học tập môn Toán của HS TH ... 46
Bảng 1.7. Khó khăn khi GV dạy học môn Toán lớp 4 theo định hướng mô
hình hóa toán học ............................................................................. 46
Bảng 3.1. Kết quả bài kiểm tra của lớp 4B và lớp 4C ...................................... 81
Bảng 3.2. Kết quả xử lý số liệu thống kê lớp 4B và 4C .................................... 85

vii


DANH MỤC CÁC HÌNH VÀ BIỂU ĐỒ
Hình 2.1. Hai dãy phố tại đường Kim Đồng, thành phố Lào Cai ..................... 53
Hình 2.2. Cầu Cốc Lếu, tỉnh Lào Cai ................................................................ 54
Hình 3.1. Bài kiểm tra của một học sinh lớp 4B ............................................... 84
Hình 3.2. Phiếu hỏi sau giờ dạy........................................................................ 86
Biểu đồ 3.1. Tỷ lệ phần trăm kết quả bài kiểm tra của lớp 4B và 4C ............... 82

viii

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giáo dục đào tạo từ lâu đã là một yếu tố rất quan trọng, thiết yếu trong sự
phát triển của một quốc gia. Tất cả các quốc gia đều lấy giáo dục làm quốc sách
hàng đầu để phát triển đất nước và đất nước Việt Nam tươi đẹp của chúng ta
không phải là ngoại lệ.
Nghị quyết 29 - NQ/TW ngày 04/11/2003 về "đổi mới căn bản, toàn diện
giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều
kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế” của
Đảng và Chính phủ đã chỉ rõ Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí
tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng
năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục
toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại
ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời....” [10].
Hiện nay Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ban hành Chương trình giáo dục phổ
thông (GDPT) tổng thể - chương trình mới được xây dựng theo hướng phát triển
năng lực người học; thông qua những kiến thức cơ bản, thiết thực, hiện đại và các
phương pháp tích cực hóa hoạt động của người học, giúp học sinh hình thành và
phát triển những phẩm chất và năng lực mà nhà trường và xã hội kỳ vọng. Hiểu một
cách đơn giản chương trình GDPT mới sẽ trả lời cho ta câu hỏi “Dạy để làm gì?”
chứ không phải “Dạy cái gì?” như chương trình hiện hành.
Trong Chương trình GDPT mới, Toán là môn học bắt buộc từ lớp 1 đến
lớp 12. Nội dung giáo dục toán học được phân chia theo hai giai đoạn: Giáo dục
cơ bản và Giáo dục định hướng nghề nghiệp. Ở cấp tiểu học, môn Toán thuộc
giai đoạn giáo dục cơ bản, giúp hình thành ở học sinh một cách có hệ thống các
biểu tượng, tính chất, quy tắc toán học cần thiết, làm nền tảng cho việc học tập
tiếp theo hoặc vận dụng vào cuộc sống hằng ngày. Tuy nhiên, việc hình thành

1

cho học sinh tri thức toán học đó đôi khi còn diễn ra khiên cưỡng, chưa được xây
dựng thông qua các tình huống thực tiễn, gắn với vốn sống của học sinh tiểu học.
Nói cách khác, năng lực mô hình hóa toán học của các em hay thậm chí là của
chính giáo viên giảng dạy còn nhiều hạn chế. Trong chương trình GDPT môn
Toán 2018, một trong các năng lực thành tố của năng lực đặc thù tính toán là
năng lực mô hình hóa toán học. MHH trong dạy học môn Toán chính là quá trình
giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ.
Quá trình này đòi hỏi HS phải có kĩ năng và thao tác tư duy toán học như phân
tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa.
Đối với học sinh lớp 4, những học sinh cuối cấp tiểu học đang trong giai
đoạn chuyển tiếp từ cấp tiểu học sang THCS. Lượng kiến thức mà các em cần
chiếm lĩnh tương đối nhiều. Vì vậy việc các em hiểu bài, hiểu có chiều sâu để
chiếm lĩnh kiến thức và áp dụng có hiệu quả vào thực tiễn là vô cùng quan trọng
và thiết thực.
Để góp phần giúp GV và HS nâng cao hiệu quả, chất lượng giảng dạy và
học tập môn Toán ở tiểu học nói chung và lớp 4 nói riêng, chúng tôi lựa chọn
nghiên cứu đề tài luận văn thạc sĩ: “Dạy học môn Toán lớp 4 theo định hướng
mô hình hóa toán học”.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu những vấn đề chung nhất về lí luận và thực tiễn về
MHH Toán học để đề xuất một số biện pháp sư phạm để dạy học môn Toán lớp
4 theo định hướng mô hình hóa toán học.
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu
Quá trình dạy học môn Toán lớp 4.
3.2. Đối tượng nghiên cứu
Năng lực mô hình hóa toán học của HS.
4. Giả thiết khoa học

2


Nếu đề xuất và thực hiện thành công một số biện pháp sư phạm để dạy
học môn Toán lớp 4 theo định hướng mô hình hóa toán học cho học sinh thì sẽ
góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán lớp 4.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Xác định cơ sở lí luận về năng lực mô hình hóa toán học
5.2. Nghiên cứu mục tiêu, nội dung môn Toán lớp 4 của chương trình môn Toán
tiểu học hiện hành và chương trình 2018.
5.3. Khảo sát, đánh giá thực trạng việc dạy học môn Toán lớp 4 theo định hướng
mô hình hóa toán học ở một số trường Tiểu học thành phố Lào Cai, tỉnh Lào Cai.
5.4. Đề xuất một số biện pháp dạy học môn Toán lớp 4 theo định hướng mô hình
hóa toán học.
5.5. Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện
pháp đã đề xuất.
6. Phạm vi nghiên cứu
6.1. Nội dung môn Toán lớp 4
6.2. Phạm vi khảo sát thực trạng tại một số trường Tiểu học thành phố Lào Cai,
tỉnh Lào Cai.
7. Phương pháp nghiên cứu
7.1. Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận, gồm: Phương pháp tổng hợp, hệ
thống hoá, phân tích tài liệu để xác định các khái niệm công cụ và xây dựng
khung lý thuyết của đề tài nghiên cứu.
7.2. Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn, gồm
7.2.1. Phương pháp quan sát: tiến hành quan sát, khảo sát thực tế, thu thập thông
tin góp phần làm rõ thực trạng nghiên cứu.
7.2.2. Phương pháp điều tra bằng ankét: tiến hành lấy ý kiến của các đối tượng
nghiên cứu thông qua phiếu điều tra, bảng hỏi nhằm làm rõ thực trạng cần nghiên

cứu.

3


7.2.3. Phương pháp chuyên gia: trưng cầu ý kiến chuyên gia về các nội dung
nghiên cứu, đánh giá thực trạng nghiên cứu, đánh giá về tính khoa học và tính
khả thi của các biện pháp sư phạm được đề xuất.
7.2.4. Phương pháp thống kê toán học: Sử dụng các công thức toán học để tính
toán các chỉ số định lượng trong nghiên cứu thực trạng và đánh giá kết quả thực
nghiệm sư phạm.
7.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Để kiểm tra tính khả thi của một số biện pháp dạy học môn Toán lớp 4
theo định hướng mô hình hóa toán học.
8. Cấu trúc luận văn
Cấu trúc luận văn gồm 3 chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2. Một số biện pháp dạy học môn Toán lớp 4 theo định hướng mô hình
hóa toán học.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.
Ngoài ra, luận văn còn có phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục các tài liệu
tham khảo và Phụ lục.

4


NỘI DUNG
Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Khái quát về tình hình nghiên cứu

1.1.1. Nghiên cứu trên thế giới
Trên thế giới đã có nhiều công trình nghiên cứu về mô hình hóa toán học
và đã được nhiều quốc gia ứng dụng vào giảng dạy Toán học.
Giáo dục toán học thực tế được viết tắt là RME, khởi phát vào năm 1968
với dự án Wiskobas (“toán học trong trường Tiểu học”), dự án được khởi xướng
bởi Edu Wijdeveld và Fred Goffree, không lâu sau đó thì Adri Treffers cũng
tham gia. Thực tế, ba giáo sĩ toán học này đã tạo ra nền tảng cơ bản cho RME.
Từ những năm 1970, Đại học Utrecht - Hà Lan sở hữu một tổ chức nghiên cứu
luôn cố gắng đổi mới việc học toán. Năm 1971, khi mà dự án Wiskobas trở thành
một phần của viện IOWO mới thành lập và Hans Freudenthal là giám đốc đầu
tiên. Vào năm 1973, viện IOWO được mở rộng với dự án giáo dục toán trung
học, đã có sự phản đối để phổ biến trong giáo dục toán học. [19]
Cách tiếp cận dựa trên quan điểm của Hans Freudenthal (1905 - 1990) cho
rằng toán học là hoạt động của con người. Lớp học toán không được coi là nơi
chuyển giao kiến thức Toán học từ giáo viên đến học sinh mà là nơi học sinh có
thể phát minh lại các ý tưởng và quan niệm toán học thông qua khám phá các
vấn đề thực tế. Toán học được coi là hoạt động của con người bắt đầu bằng việc
giải quyết vấn đề. Học sinh không nên được coi là người nhận thụ động mà nên
được đưa ra cơ hội để phát minh lại các ý tưởng và khái niệm toán học dưới sự
hướng dẫn của giáo viên. Sự tái tạo được phát triển thông qua việc học hỏi hàng
ngày thực tế khác nhau, cuộc sống hàng ngày, môi trường xung quanh, thậm chí
các môn học khác. Nó được sử dụng như một điểm khởi đầu để học toán. Để
chứng minh rằng quá trình quan trọng hơn kết quả, một thuật ngữ “toán hóa”

5


được sử dụng trong RME để chỉ một phép toán hóa quá trình bối cảnh thực tế.
Mô hình toán học hóa thực sự được giới thiệu vào nhà trường là nghiên cứu của
Pollak năm 1979. Pollak cho rằng dạy cho học sinh cách sử dụng toán trong cuộc

sống hàng ngày chính là nhiệm vụ cao cả của giáo dục toán học. Công việc chính
là giáo dục toán học thực tế (RME). RME phát triển các khái niệm về cuộc sống
hàng ngày. Rất nhiều quốc gia ở Hoa Kỳ và Châu Phi đã sử dụng RME trong
giáo dục toán học. Các nghiên cứu đã được thực hiện ở một số quốc gia, kể cả
các quốc gia đang phát triển như Indonesia chứng minh rằng RME là cách tiếp
cận đầy hứa hẹn đối với việc sửa chữa và cải thiện hiểu biết của học sinh về các
khái niệm toán học [15].
Mô hình hóa trong chương trình Toán ở Pháp
Theo nghiên cứu của Nguyễn Thị Nga (2014), tương tự như nhiều nước
khác, thể chế Pháp mong muốn đưa mô hình hóa vào dạy học toán và các môn
học khác. “Trong luật về định hướng và chương trình cho tương lai của trường
học (23/5/2005), liên quan đến phạm vi văn hóa khoa học và công nghệ, việc
thực hành một “Phương pháp tiếp cận khoa học” được yêu cầu như một năng lực
của học sinh [9]. Phương pháp đó được mô tả như sau:
- Biết quan sát, đặt câu hỏi, trình bày một giả thuyết và hợp thức hóa nó,
tranh luận, mô hình hóa theo cách cơ bản;
- Hiểu sự liên hệ giữa các hiện tượng tự nhiên và được áp dụng ở đó và hỗ
trợ mô tả các hiện tượng này”.
Mô hình hóa trong chương trình Toán ở Úc
Ở Úc, cũng có nhiều nỗ lực hướng tới phương thức đánh giá mới cho
chương trình giảng dạy theo định hướng mô hình hóa [14].
Mô hình hóa trong chương trình Toán ở Mỹ
Một số tài liệu nghiên cứu về mô hình hóa như cuốn sách của Garfunkel
Steen (1991), giới thiệu các ứng dụng toán học trong thực tế gần đây; các sách
giáo khoa theo định hướng ứng dụng (1989 - 1992) của trường Đại học Chicago

6


School Toán dự án bao gồm số học, đại số, hình học, thống kê, vi tích phân và

toán học rời rạc.
Mô hình hóa trong chương trình Toán ở Đức
Dự án MUED đã phát triển một số bài giảng dạy chi tiết toàn cầu nhằm
tăng khả năng làm việc thành thạo của học sinh trong các tình huống thực tế.
Mô hình hóa trong chương trình Toán của Thụy Điển
Romberg (1992) đưa ra một số lý do để học toán trong trường học là để
phát triển tư duy logic, có khả năng giải quyết những vấn đề trong tương lai, giáo
dục thẩm mỹ, phát triển lập luận toán học,… Học sinh cần hiểu được những tình
huống thực tiễn có liên quan đến các khái niệm toán học, mô hình toán học. Đã
có các công trình nghiên cứu về mô hình hóa trong việc đào tạo giáo viên
Lingefjärd (2000), Lingefjärd & Holmquist (2003; 2005; 2007) nghiên cứu tính
thực tiễn và thực tế của nhiệm vụ mô hình hóa Palm (2002; 2007), mô hình hóa
với quá trình giải quyết vấn đề của Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz (2000).
Mô hình hóa toán học là khái niệm trọng tâm trong chương trình sách giáo
khoa môn Toán ở Thụy Điển ở mọi cấp học, đặc biệt là cấp trung học (Johansson,
2006; Skolinspektionen, 2009; Skolverket, 2003,). Câu hỏi đặt ra là làm thế nào
để đưa mô hình hóa vào trong các hoạt động của sách giáo khoa, những khó khăn
và thách thức, làm thế nào để đánh giá được hoạt động mô hình hóa. Blum (2007)
phân biệt sự khác nhau giữa hai thuật ngữ mô hình hóa toán học và ứng dụng
toán học. Quá trình mô hình hóa tập trung vào sự chuyển đổi từ thế giới ngoài
toán học vào thế giới toán học, trong khi đó ứng dụng toán học thì tập trung vào
chiều ngược lại. Blum & Niss (1991) đã cảnh báo những khó khăn, thách thức
khi đưa mô hình hóa vào chương trình đang quá tải đó là: giáo viên không đủ
thời gian và không gian để tổ chức hoạt động, yêu cầu giáo viên có kiến thức nền
tảng sâu rộng hơn là những tri thức toán học thuần túy, đặc biệt là những vấn đề
liên quan đến những lĩnh vực khác hoặc vấn đề trong thực tiễn; đánh giá hoạt
động này cũng là một khó khăn của giáo viên. Chương trình môn Toán của Thụy

7

Điển được đổi mới năm 1965 và tiếp tục được điều chỉnh ở các năm 1970, 1972,
1982/83, 1994 và 2000. Từ năm 1994, mô hình hóa được thể hiện rõ hơn. Trong
các lần điều chỉnh này, mô hình hóa dần được đưa vào chương trình với mức độ
phức tạp tăng dần với những yêu cầu cơ bản như: giải quyết vấn đề, giao tiếp
toán học, lịch sử các ý tưởng toán học, mô hình hóa toán học [18].
Mô hình hóa trong chương trình Toán của Singapore
Chương trình môn Toán của Singapore đặt trọng tâm vào quá trình giải
quyết vấn đề từ những năm đầu 1990. Năm 2007, Bộ Giáo dục đã đưa ra khuyến
nghị trong việc dạy và học Toán đó là phải tập trung vào việc lập luận toán học,
giao tiếp toán học, tạo kết nối các ý tưởng toán học, mô hình hóa và ứng dụng.
Trong đó, chủ đề “mô hình hóa và ứng dụng” phải được đưa vào tất cả các cấp
học. Nó được định nghĩa là một quá trình thiết lập và cải tiến các mô hình toán
học để biểu diễn và giải quyết các vấn đề của thực tiễn và học sinhcần được học
toán thông qua sử dụng nhiều cách biểu diễn số liệu khác nhau, lựa chọn và áp
dụng những công cụ thích hợp của toán học để giải quyết vấn đề thực tiễn.
Chương trình môn Toán hiện hành của Singapore đã được cắt giảm khoảng 30%
so với chương trình cũ và phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trở
thành mục tiêu hàng đầu trong dạy học toán ở bậc phổ thông. Khung chương
trình toán học của Singapore đề cập đến 5 thành phần cốt lõi đó là: kĩ năng, khái
niệm, quá trình, thái độ và siêu nhận thức [19].
Chương trình giáo dục phổ thông của nhiều nước trên thế giới được xây
dựng tiếp cận theo hướng hình thành cho học sinh các kĩ năng thế kỷ 21, do đó
chương trình sách giáo khoa môn Toán và hệ thống đánh giá năng lực học sinh
cũng được thiết kế dựa vào các tình huống trong thực tiễn cuộc sống.
Như vậy, vấn đề mô hình hóa và gắn toán học với thực tiễn rất được
coi trọng trong chương trình sách giáo khoa của nhiều nước trên thế giới và
chương trình đánh giá học sinh quốc tế. Đặc biệt, ở các nước Hoa Kì, Australia,
Đức, Canada và Anh, có rất nhiều tài liệu về dạy học mô hình hóa được chính

8


thức phát hành ở tất cả các cấp độ từ tiểu học đến trung học phổ thông và đại
học. Trong các tài liệu này, người ta xây dựng những ví dụ, những tình huống cụ
thể để hỗ trợ cho giáo viên trong việc triển khai dạy học mô hình hóa [18].
Toán học luôn chiếm thời lượng lớn trong chương trình giáo dục toán
học ở hầu hết các nước trên thế giới vì vai trò và lợi ích của toán học trong
thực tiễn. Kiến thức toán học được sử dụng theo nhiều cách ở nhiều môn
học khác nhau như Vật lý, Hóa học, Sinh học, Địa lý, Kỹ thuật, trong công
việc và trong cuộc sống hàng ngày của mỗi người. Theo Blum và Niss (1991),
bên cạnh việc cung cấp cho học sinh những kiến thức và kĩ năng liên quan đến
toán học như khái niệm, định lý, công thức, quy tắc, dạy toán cần giúp học sinh
phát triển khả năng kết nối các kiến thức, kĩ năng đó để giải quyết những tình
huống thực tế. Khi sử dụng toán để giải quyết các vấn đề, tình huống trong lĩnh
vực ngoài toán thì mô hình toán học và quá trình mô hình hóa toán học là những
công cụ cần thiết. Từ đó, chương trình môn Toán cần phải giúp cho học
sinh hiểu rõ hơn thế giới, giải quyết những vấn đề nảy sinh trong cuộc sống
hàng ngày và chuẩn bị đối phó với những vấn đề trong tương lai [18].
Mô hình hóa cũng được quan tâm ở nhiều quốc gia như Australia (English,
Galbraith và các đồng nghiệp), Bỉ (Verschaffel và các đồng nghiệp), Đan Mạch
(Niss, Blomhøj và các đồng nghiệp), Đức (Blum, Kaiser và các đồng nghiệp),
Hà Lan (de Lange và các đồng nghiệp), Hoa Kì (Lesh, Schoenfeld và các đồng
nghiệp). Các câu hỏi đặt ra liên quan là làm thế nào để học sinh có thể được
chuẩn bị để giải quyết những vấn đề trong thực tiễn mà các em sẽ phải đối mặt
trong nghề nghiệp tương lai (Blum, 2004; English, 2006; Mousoulides, 2007,
2008). Câu hỏi thứ hai đó là người giáo viên cần có những năng lực gì để giảng
dạy mô hình hóa toán học cho học sinh (Lesh & Doerr, 2003).
1.1.2. Nghiên cứu trong nước
Ở Việt Nam trường pháp mô hình hóa là trường pháp mới mẻ đối với giáo

viên và học sinh. Việc vận dụng trường pháp này trong dạy và học toán chỉ mới
9


xuất hiện trong một số công trình nghiên cứu trong cả nước. Tiêu biểu là nghiên
cứu của tác giả Nguyễn Danh Nam, tác giả đã khái quát hóa được vai trò của
trường pháp mô hình hóa trong dạy toán cũng như chỉ ra rằng học sinh sẽ có
được nhiều lợi ích khi sử dụng trường pháp này: sử dụng nhiều biểu dữ liệu khác
nhau; lựa chọn và sử dụng các công cụ, trường pháp toán học phù hợp để giải
quyết các bài toán thực tiễn nhằm hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học.
Không chỉ vậy, trường pháp này còn giúp học sinh phát triển được các kỹ năng
toán học, hỗ trợ cho giáo viên nâng cao kĩ năng dạy học theo hướng phát hiện và
giải quyết vấn đề một cách hiệu quả hơn. Việc học toán không chỉ là những khái
niệm lý thuyết mà được vận dụng trong thực tiễn, thông qua đó năng lực phân
tích và giải quyết các vấn đề được đề cập đến nhiều hơn. Các thao tác tư duy toán
học như phân tích và tổng hợp, trừu tượng hóa và tổng quát hóa, so sánh và tương
tự, hệ thống hóa và đặc biệt hóa, suy diễn và quy nạp,...[8]
Theo tác giả Nguyễn Thị Nga trong “Bàn về vấn đề dạy học mô hình hóa
toán học ở trường phổ thông đã chỉ ra rằng, mô hình hóa cho phép làm rõ lợi ích
của toán học, giúp phát triển khả năng phê phán đối với việc giải quyết các vấn
đề trong cuộc sống thực tiễn cho học sinh, chuẩn bị cho học sinh những kiến thức
và kĩ năng cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp đa dạng sau này và nối liền toán
học với các môn học khác. Tác giả cho rằng mục đích lớn nhất của việc dạy học
toán là phải mang lại cho học sinh những kiến thức phổ thông và những kĩ năng
cơ bản để bước vào cuộc sống sau này. Đa số học sinh phổ thông không phải là
người làm toán mà là người sử dụng toán nên việc dạy học toán cần phải chuẩn
bị cho học sinh khả năng áp dụng kiến thức linh hoạt vào thực tiễn cuộc sống,
hình thành và nâng cao năng lực giải quyết vấn đề của học sinh. Để đạt được
mục đích này, việc chú trọng vấn đề mô hình hóa trong dạy học là thật sự cần
thiết.[9]

Tác giả Lâm Thùy Dương, Trần Việt Cường trong Vận dụng mô hình hóa
toán học trong dạy học môn Toán ở tiểu học đã cho thấy, hoạt động mô hình hóa

10


toán học đã kích thích khả năng tìm tòi, khám phá của học sinh, giúp các em lĩnh
hội được kiến thức mới. Thông qua hoạt động mô hình hóa, học sinh có cơ hội
để phát triển các thao tác tư duy, kĩ năng giải quyết vấn đề; đặc biệt là các em
thấy được mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn và các môn khoa học khác, yêu
thích học tập môn Toán hơn.[2]
Cũng trong nghiên cứu Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học
sinh trung học cơ sở trong dạy học giải toán bằng cách lập trường trình của đồng
tác giả Phạm Thị Diệu Thùy - Dương Thị Hà cho thấy phát triển năng lực mô
hình hóa toán học sẽ giúp học sinh hiểu được ý nghĩa của việc học toán, biết vận
dụng toán học vào thực tiễn, học sinh lĩnh hội được kiến thức một cách vững
chắc, sáng tạo, hình thành cho các em hành vi, thái độ, tinh thần hợp tác tích cực
trong học tập cũng như rèn luyện, phát triển kĩ năng học hợp tác; là một hướng
đúng đắn trong dạy học nhằm thực hiện mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện
nay.[12]
Tác giả Nguyễn Thị Tân An trong nghiên cứu của mình đã đưa ra một
cách phân loại các tình huống toán học và xây dựng quá trình hóa toán học phù
hợp với chương trình. Mỗi bước của quá trình hóa toán học được hướng dẫn cụ
thể giúp học sinh định hướng được cách giải quyết khi gặp phải một tình huống
toán học hóa cụ thể, giáo viên có thể sử dụng để lên kế hoạch dạy học. Bên cạnh
đó, mối liên hệ giữa các năng lực hiểu biết định lượng và quá trình toán học cũng
được chỉ rõ. Năng lực hiểu biết định lượng của học sinh cũng được nâng cao
trong khi giải quyết các tình huống chứa các yếu tố định lượng bằng mô hình hóa
toán học. Điều đáng ghi nhận ở nghiên cứu này là thang đánh giá giúp đo các
năng lực hiểu biết định lượng khi học sinh giải quyết một tình huống hóa toán

học chứa yếu tố định lượng. Mỗi năng lực được chấm điểm trong ba giai đoạn
của quá trình toán học hóa theo bốn mức từ 0 đến 3.[1]
1.2. Một số vấn đề cơ bản về mô hình hóa toán học
1.2.1. Một số khái niệm công cụ

11


Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho quá trình nghiên cứu nên mô
hình cần đảm bảo các mối liên hệ cơ bản của vật gốc. Do đó, mô hình cần đồng
cấu hay đẳng cấu với vật gốc nghĩa là đồng nhất hoàn toàn về mặt cấu trúc (đồng
nhất những tính chất và mối quan hệ chủ yếu). Tính chất này cho phép con người
xây dựng các mô hình đơn giản hơn vật gốc. Iu.M.Xviregiev cho rằng: mô hình
bao giờ cũng “nghèo nàn hơn hiện thực mà nó mô tả; mô hình có thể là thô sơ và
chưa hoàn thiện, song cần xét đến các khía cạnh chính của thực tiễn, những khía
cạnh mà chúng ta quan tâm tới. Về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá
trình tư duy, ra đời nhờ quá trình trừu tượng hóa các đối tượng cụ thể. Trong quá
trình trừu tượng hóa, cần loại bỏ dấu hiệu không bản chất, chỉ giữ lại những thuộc
tính bản chất; nói cách khác, đối tượng nghiên cứu đã được lí tưởng hóa. Mô
hình được mô tả như một vật dùng thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các
đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế. Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và
khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật. Tuy nhiên
điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng
của mô hình đó. Mô hình ở đây còn có thể hiểu là các hình vẽ, bảng biểu, hàm
số, đồ thị, trường trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hay thậm chí cả các mô hình
ảo trên máy vi tính. Mô hình toán học là một mô hình trừu tượng sử dụng để mô
tả về một hệ thống nào đó. Theo tác giả Nguyễn Danh Nam, chúng ta có thể liệt
kê 5 loại mô hình sau đây:
- Mô hình số học là mô hình được biểu diễn bởi bẳng phép toán, bộ số có
thứ tự, véc-tơ và tương tự;

- Mô hình đại số - giải tích là mô hình được biểu diễn bởi một số loại trường
trình hoặc bất trường trình, hệ trường trình hoặc hệ bất trường trình với
ẩn, tập hợp, hàm số, véc-tơ, ma trận và tương tự;
- Mô hình được biểu diễn bởi đồ thị của một hàm số nào đó;
- Mô hình hình học được biểu diễn bởi các hình hình học;
- Mô hình hỗn hợp bao gồm các loại mô hình nêu trên.

12


Vậy mô hình toán học là một cấu trúc toán học (đồ thị, bẳng biểu, trường
trình, hệ trường trình, biểu thức đại số, hàm số,…) gồm các kí hiệu và các quan
hệ toán học biểu diễn, mô tả các đặc điểm của một tình huống, một hiện tượng
hay một đối tượng thực được nghiên cứu.
Vậy mô hình hóa toán học là gì? Từ những năm 70 của thế kỉ trước đã
xuất hiện ý tưởng về việc sử dụng trường pháp MHHTH. MHHTH là quá trình
tạo ra các mô hình để giải quyết vấn đề toán học. Mô hình hóa toán học là quá
trình chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán học bằng cách thiết lập và
giải quyết các mô hình toán học (Nguyễn Thị Tân An). Cụ thể mô hình hóa toán
học là toàn bộ quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán học và
ngược lại, cùng với các yếu tố liên quan đến quá trình đó như: từ bước xây dựng
lại tình huống thực tiễn, lựa chọn mô hình toán học phù hợp, làm việc trong một
môi trường toán học, giải thích, đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực
tiễn và điều chỉnh mô hình cho đến khi có được kết quả hợp lý [1].
1.2.2. Các biểu hiện của năng lực MHH toán học
Nhiệm vụ mô hình hóa không nhất thiết liên quan đến vấn đề thực tiễn.
Mục đích của mô hình hóa là dạy học sinh lập luận, suy luận lôgic và giải quyết
vấn đề. Nhiệm vụ mô hình hóa là vấn đề “chứa” nội dung kiến thức toán học đòi
hỏi học sinh tò mò, tư duy, vận dụng kiến thức cũ, thảo luận và sử dụng ý tưởng
mới trong giải quyết vấn đề. Mô hình hóa giúp học sinh hiểu sâu các ý tưởng

toán học, rèn luyện cho các em cách phản ánh, hiểu và lập kế hoạch khi trình bày
một vấn đề “không truyền thống”. Mô hình hóa được quan tâm nghiên cứu nhiều
trong thời gian gần đây vì nó cho phép kết nối toán học với các môn học khác,
giúp học sinh phát triển khả năng phê phán khi giải quyết các vấn đề trong thực
tiễn, chuẩn bị cho các em kiến thức và kĩ năng cần thiết cho hoạt động nghề
nghiệp sau phổ thông. Mô hình hóa như là một môi trường học tập thuận lợi mà
học sinh được chủ động tìm hiểu và/hoặc điều tra những tình huống phát sinh
trong các lĩnh vực kiến thức khác bằng phương tiện và công cụ của toán học.

13


Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học toán có những ưu điểm sau
đây: (i) Học sinh có cơ hội tham gia giải quyết một số vấn đề thực tế chứ không
đơn thuần là giải một trường trình hay khảo sát một hàm số; (ii) việc học tập sẽ
có một ý nghĩa thực sự, dễ dàng kết nối với các tình huống và các vấn đề khác,
đặc biệt là các hiện tượng vật lý, chuẩn bị cho học sinh biết dùng toán học để
giải quyết những vấn đề của môn học khác; (iii) hầu hết học sinh dễ nhớ một vấn
đề mô hình hóa mà họ đã dành nhiều thời gian hơn so với việc đơn thuần là giải
một bài toán “thuần túy”; (iv) việc dạy học mô hình hóa có thể triển khai ở bất
kì mức độ giáo dục nào từ tiểu học đến trung học và cả đại học [8].
Tuy nhiên có thể thấy các tình huống mô hình hóa làm cho việc học toán
của học sinh trở nên khó khăn hơn so với các nhiệm vụ toán học thông thường
dễ nắm bắt và thường có quy tắc hay thuật toán. Vì vậy, người giáo viên cũng
cần chuẩn bị kĩ hơn về kế hoạch dạy học, biết cách phát triển chương trình dạy
học đáp ứng mục tiêu phát triển năng lực, dự đoán những khó khăn của học sinh
và đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh. Từ đó, chúng tôi đã tiến
hành nghiên cứu và khảo sát thực tế để tìm hiểu về năng lực mô hình hóa của
giáo viên Toán cũng như đưa ra những giải pháp cho việc tăng
cường tích hợp mô hình hóa trong dạy học Toán

1.2.3. Các mức độ đánh giá năng lực MHH toán học
Các tình huống và bài tập mô hình hóa cần được sắp xếp từ dễ đến
khó, từ đơn giản đến phức tạp. Việc học sinh tự mình giải quyết được một
bài toán có ý nghĩa rất lớn về mặt tâm lý. Ngược lại, việc thất bại ngay từ
bài toán đầu tiên dễ làm cho học sinh mất nhuệ khí, dễ gây tâm trạng bất lợi
cho quá trình tổ chức hoạt động tiếp theo. Do đó, trong khi thiết kế hệ thống
các tình huống và bài tập mô hình hóa, giáo viên cần chú ý đến các cấp độ
mô hình hóa.
Sau đây là cách đánh giá cấp độ mô hình hóa dựa theo Ludwig và
Xu [17]:
14


* Cấp độ 0: Học sinh không hiểu tình huống và không thể vẽ, phác thảo hay viết
bất cứ cái gì cụ thể về vấn đề.
* Cấp độ 1: Học sinh chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không cấu trúc và đơn
giản tình huống hoặc không thể tìm sự kết nối đến một ý tưởng toán học nào.
* Cấp độ 2: Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, học sinh tìm mô hình thật qua cấu
trúc và đơn giản hóa, nhưng không biết chuyển đổi thành một vấn đề toán học.
Ở cấp độ này, học sinh cần đạt được hai kĩ năng mô hình hóa đầu tiên.
* Cấp độ 3: Học sinh có thể tìm ra không chỉ mô hình thật, mà còn phiên dịch nó
thành vấn đề toán học, nhưng không thể làm việc với nó một cách rõ ràng trong
thế giới toán học. Ở cấp độ này, học sinh cần đạt được các kĩ năng mô hình hóa
từ 1 đến 4.
* Cấp độ 4: Học sinhcó thể thiết lập vấn đề toán học từ tình huống thực tiễn, làm
việc với bài toán với kiến thức toán học và có kết quả cụ thể. Ở cấp độ này, học
sinh cần đạt được các kĩ năng mô hình hóa từ 1 đến 7.
* Cấp độ 5: Học sinh có thể trải nghiệm quá trình mô hình hóa toán học và kiểm
nghiệm lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống đã cho. Ở cấp độ này,
học sinh cần đạt được đầy đủ 8 kĩ năng mô hình hóa ở trên.

1.3. Vai trò của MHH toán học trong dạy học môn Toán lớp 4
Đối với cấp tiểu học, phương pháp mô hình hóa thường được sử
dụng để giải quyết lớp các bài toán có lời văn. Mô hình thường là được biểu
diễn dưới dạng biểu tượng như hình chữ nhật, hình thang, hình tròn,… Tuy
nhiên hoạt động mô hình hóa không thể hiện một cách rõ ràng ở bậc tiểu
học. Van de Walle cho rằng mô hình diễn tả các khái niệm toán học và mối quan
hệ giữa các khái niệm đó có thể là đồ vật, bức tranh hay hình vẽ cụ thể giống như
việc sử dụng các khối hình chữ nhật để biểu diễn các phân số bằng nhau. Quá
trình mô hình hóa đòi hỏi hoạt động nhóm, hợp tác và thảo luận để có thể tập
hợp, liên kết các lập luận của thành viên trong nhóm [20].
Học sinh ngày nay đối mặt với nhiều vấn đề trong cuộc sống phức
15