xử lý tín hiệu slide c5

CHƯƠNG 5: THIẾT KẾ MẠCH
LỌC SỐ
1. FIR filter (Finite Impulse Response)
2. IIR filter (Infinite Impulse Response)

Chương 5

1


FIR filter
Đáp ứng xung:

Phương trình sai phân:
𝑀−1

b
h n =ቊ n
0

y n = ෍ 𝑏𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘ሻ
𝑘=0

x(n)

…

0≤n≤M−1
khác

y(n)

z-1
h(0)
z-1

h(1)

z-1
h(M-1)

Chương 5

2


FIR filter
Thiết kế mạch lọc dùng phương pháp cửa sổ:
Đáp ứng tần số mong muốn:
∞

Hd 𝜔 = ෍

1 𝜋
hd n =
න 𝐻𝑑 (𝜔ሻ𝑒 𝑗𝜔𝑛 𝑑𝜔
2𝜋 −𝜋

ℎ𝑑 (𝑛ሻ𝑒 −𝑗𝜔𝑛

𝑛=0

Đáp ứng xung hd(n) vô hạn trên miền thời gian nên ta thực hiện cắt
hd(n) tại điểm n = M – 1 (để kích thước mạch lọc là M) bằng cách
nhân với hàm cửa sổ
h(n) = hd(n)w(n)
Chương 5

3


FIR filter
Thiết kế mạch lọc dùng phương pháp cửa sổ:
Xét hàm cửa sổ là hàm chữ nhật:
w n =ቊ
h(n) = hd(n)w(n)

1 0≤𝑛 ≤𝑀−1
0
𝑛 𝑘ℎá𝑐

1
H 𝜔 =
𝐻 𝜔 ∗W 𝜔
2𝜋 𝑑

1 𝜋
=
න 𝐻 𝑣 𝑊 𝜔 − 𝑣 𝑑𝑣
2𝜋 −𝜋 𝑑

Đáp ứng biên độ và pha của hàm cửa sổ:
𝑀−1
−𝜔
𝜔𝑀
2
si n( 2 ቁ
Θ
𝜔
=
𝑊(𝜔ሻ =
𝑀−1
𝜔
si n( 2 ቁ
−𝜔
+𝜋
2
Chương 5

𝜔𝑀
𝑛ế𝑢 sin
≥0
2
𝜔𝑀
𝑛ế𝑢 sin
<0
2
4


Cửa sổ

h(n) 0 ≤ n ≤ M – 1

Bartlett

FIR filter

1−

(tam giác)

Blackman

0.42 − 0.5𝑐𝑜𝑠

Hamming

𝑀−1
2
𝑀−1

2 𝑛−

2𝜋𝑛
4𝜋𝑛
+ 0.08𝑐𝑜𝑠
𝑀−1
𝑀−1

0.54 − 0.46𝑐𝑜𝑠

Hanning

2𝜋𝑛
𝑀−1

1
2𝜋𝑛
1 − 𝑐𝑜𝑠
2
𝑀−1

Kaiser
𝐼0 𝛼

𝑀−1
2

2

𝐼0 𝛼

− 𝑛−

𝑀−1
2

2

𝑀−1

2

Lanczos
𝑀−1
/(𝑀 − 1ሻ
2
𝑀−1
𝑀−1
2𝜋 𝑛 − 2
/( 2 ሻ

𝑠𝑖𝑛 2𝜋 𝑛 −

𝐿

,𝐿 > 0

Tukey
1
1
𝑛 − 1 + 𝛼 (𝑀 − 1ሻ/2
1 + 𝑐𝑜𝑠
2
1 − 𝛼 (𝑀 − 1ሻ/2

𝑀−1
𝑀−1
<𝛼
,0 < 𝛼 < 1
2

2
𝛼 𝑀−1
𝑀−1
𝑀−1
≤ 𝑛−
≤
2 5
2
2
Chương
𝑛−

5


FIR filter

Chương 5

6


FIR filter
Thiết kế mạch lọc dùng phương pháp cửa sổ:
Xét hệ thống là mạch lọc thông thấp:
−𝑗𝜔(𝑀−1ሻΤ2
𝑒
𝐻𝑑 𝜔 = ቊ
0
𝜔𝑐

hd n =

1
න
2𝜋 −𝜔𝑐

𝑀−1
−𝑗𝜔 𝑛− 2
𝑒

0 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔𝑐
𝑘ℎá𝑐
𝑑𝜔 =

𝑀−1
2
𝑀−1
𝜋 𝑛− 2

𝑠𝑖𝑛𝜔𝑐 𝑛 −

hd(n) là tín hiệu không nhân quả và vô hạn theo thời gian
h(n) = hd(n)w(n)
Chương 5

7


FIR filter

Thiết kế mạch lọc dùng phương pháp cửa sổ:

𝑀−1
2
𝑀−1
𝜋 𝑛− 2
0

𝑠𝑖𝑛𝜔𝑐 𝑛 −
w(n) là cửa sổ chữ nhật:

h n =

0≤𝑛 ≤𝑀−1
𝑘ℎá𝑐

Frequency domain
1.4

1.2

1

Magnitude

0.8

0.6

0.4

0.2

Chương 5
0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

8
0.7

0.8

0.9


FIR filter
Thiết kế mạch lọc dùng phương pháp cửa sổ:

Cửa sổ Bartlett

Cửa sổ Hamming
Frequency domain

Frequency domain

20

0

0
-10

-20

-20

Magnitude (dB)

Magnitude (dB)

-40

-60

-30

-80
-40

-100
-50

-120

-140

Chương 5

-60

0

0.1

0.2

0.3

0.4
0.5
0.6
Normalized Frequency ( rad/sample)

0.7

0.8

0.9

0

0.1

0.2

0.3

0.4
0.5
0.6
Normalized Frequency ( rad/sample)

0.7

0.8

0.9

9


FIR filter
Thiết kế mạch lọc dùng phương pháp cửa sổ:

Cửa sổ Hanning

Cửa sổ Blackman
Frequency domain

Frequency domain

20

20

0

0

-20

-20

-40

-40

-60
Magnitude (dB)

Magnitude (dB)

-60

-80

-80

-100

-100

-120

-120

-140

-140

-160

-160

-180

-180
0

0.1

0.2

0.3

0.4
0.5
0.6

Normalized Frequency ( rad/sample)

0.7

0.8

0.9

0

0.1

Chương 5

0.2

0.3

0.4
0.5
0.6
Normalized Frequency ( rad/sample)

0.7

0.8

0.9

10

FIR filter
Thiết kế mạch lọc dùng phương pháp cửa sổ:
Cửa sổ Kaiser

Cửa sổ Tukey

Frequency domain

Frequency domain

20

20

0

0

-20

-20

Magnitude (dB)

Magnitude (dB)

-40

-40

-60

-80

-60

-100

-80
-120

-100

-140

0

0.1

0.2

0.3

0.4
0.5
0.6
Normalized Frequency ( rad/sample)

0.7

0.8

0.9

0

0.1

0.2

Chương 5

0.3

0.4
0.5
0.6
Normalized Frequency ( rad/sample)

0.7

0.8

0.9

11

FIR filter
Thiết kế mạch lọc dùng phương pháp lấy mẫu tần số:
Đáp ứng tần số mong muốn là một tập các tần số cách đều nhau:

𝑘 = 0, 1, … ,
k =

2𝜋
𝑀

𝑀−1
2

𝑛ế𝑢 𝑀 𝑙ẻ

𝑀

𝑘 + 𝛼 , 𝑘 = 0, 1, … , 2 − 1 𝑛ế𝑢 𝑀 𝑐ℎẵ𝑛
𝛼 = 0 ℎ𝑎𝑦

Chương 5

1
2

12


FIR filter
Thiết kế mạch lọc dùng phương pháp lấy mẫu tần số:

Đối xứng: h(n) = h(M – 1 – n)

α=0

2𝜋𝑘
G(k) = −1 𝑘 𝐻𝑟

G(k) = – G(M – k)

𝑀

h(n) =

1
𝑀

𝐺 0 +

2 σ𝑈
𝑘=1 𝐺

𝑘

2𝜋𝑘
𝑐𝑜𝑠 𝑀 (𝑛

+

1
ሻ

2

α=½
2𝜋
1
G(k + ½) = −1 𝑘 𝐻𝑟
(𝑘 + ሻ
𝑀

h(n) =

2 𝑈
σ
𝐺
𝑀 𝑘=0

1

𝑘 + 2 𝑠𝑖𝑛

𝑀 𝑙ẻ

𝑀 𝑐ℎẵ𝑛

G(k + ½) = G(M – k – ½)

2

2𝜋
(𝑘

𝑀

U=

𝑀−1
൞𝑀 2
−1
2

1

1

+ 2ሻ(𝑛 + 2ሻ

Chương 5

13


FIR filter
Thiết kế mạch lọc dùng phương pháp lấy mẫu tần số:
Đối xứng: h(n) = h(M – 1 – n)
Xác định các hệ số của mạch lọc FIR có pha tuyến tính kích thước M = 15
có đáp ứng xung đối xứng và đáp ứng tần số:
2𝜋𝑘
𝐻𝑟
15

𝐻𝑟

k =

2𝜋
𝑀

2𝜋𝑘
15
𝑘+𝛼

1 𝑘 = 0,1,2,3
𝑘=4
= ቐ0.4
0
𝑘 = 5,6,7

α=0

2𝜋𝑘
G(k) = −1 𝑘 𝐻𝑟

𝑀

h(n) =

1
𝑀

Chương 5

G(k) = – G(M – k)

𝐺 0 + 2 σ𝑈
𝑘=1 𝐺 𝑘 𝑐𝑜𝑠

2𝜋𝑘
(𝑛
𝑀

1

+ 2ሻ
14


1
2𝜋𝑘
= ቐ0.4
15
0

𝐻𝑟

𝑘 = 0,1,2,3
𝑘=4
𝑘 = 5,6,7

2𝜋𝑘
G(k) = −1 𝑘 𝐻𝑟
=
15

U=

h(n) =

1
𝑀

𝑀−1
൞𝑀 2
−1
2

𝑀 𝑙ẻ

2𝜋𝑘
(𝑛
𝑀

2𝜋𝑘
1
(𝑛
+
ሻቅ
1
𝜋
15
2
=
1

+
2
−𝑐𝑜𝑠
15
15

2 σ7𝑘=1 𝐺 𝑘 𝑐𝑜𝑠
h(0) = h(15)

=7

𝑀 𝑐ℎẵ𝑛

𝐺 0 + 2 σ𝑈
𝑘=1 𝐺 𝑘 𝑐𝑜𝑠

1
𝑘 = 0,2
−1 𝑘 = 1,3
0.4
𝑘=4
0 𝑘 = 5,6,7

1

1

+ 2ሻ = 15 ቄ𝐺 0 +
2𝜋

3𝜋

4𝜋

+ 𝑐𝑜𝑠 15 − 𝑐𝑜𝑠 15 + 0,4𝑐𝑜𝑠 15 =-0,01411
h(4) = h(10) = - 0.09139

h(1) = h(13) = - 0.00195

h(5) = h(9) = - 0.0181

h(2) = h(12) = 0.04

h(6) = h(8) = 0.31332

h(3) = h(11) = 0.01122

Chương 5

h(7) = 0.52

15


FIR filter
Thiết kế mạch lọc dùng phương pháp lấy mẫu tần số:
Phản đối xứng: h(n) = -h(M – 1 – n)

α=0

2𝜋𝑘
G(k) = −1 𝑘 𝐻𝑟

G(k) = G(M – k)

𝑀

2

h(n) = ൞ 1
𝑀

α=½

− 𝑀 σ𝑈
𝑘=1 𝐺 𝑘 𝑠𝑖𝑛

2𝜋𝑘
𝑀

1

𝑛+2

(−1ሻ𝑛+1 𝐺 𝑀/2 + 2 σ𝑈
𝑘=1 𝐺 𝑘 𝑠𝑖𝑛

𝑀 𝑙ẻ

2𝜋𝑘

(𝑛
𝑀

1

+ 2ሻ

𝑀 𝑐ℎẵ𝑛

2𝜋
1
G(k + ½) = −1 𝑘 𝐻𝑟
(𝑘 + ሻ
𝑀

2

G(k + ½) = - G(M – k – ½)
h(n) =

2 𝑉
σ
𝐺
𝑀 𝑘=0

1

𝑘 + 2 𝑐𝑜𝑠

2𝜋

(𝑘
𝑀

G(M/2) = 0 khi M lẻ
1

1

+ 2ሻ(𝑛 + 2ሻ

Chương 5

V=

𝑀−3
൞𝑀 2
−1
2

𝑀 𝑙ẻ
𝑀 𝑐ℎẵ𝑛

16


Xác định các hệ số của mạch lọc FIR có pha tuyến tính kích thước
M = 15 có đáp ứng xung phản đối xứng và đáp ứng tần số:
2𝜋𝑘
𝐻𝑟
15

1 𝑘 = 0,1,2,3
𝑘=4
= ቐ0.4
0
𝑘 = 5,6,7

Chương 5

17


IIR filter
𝑁

𝑀

𝑦 𝑛 = − ෍ 𝑎(𝑘ሻ𝑦 𝑛 − 𝑘 + ෍ 𝑏(𝑘ሻ𝑥(𝑛 − 𝑘ሻ
𝑘=1

𝑘=0

−𝑘
σ𝑀
𝐵(𝑧ሻ
𝑘=0 𝑏(𝑘ሻ𝑧
𝐻 𝑧 =
=
−𝑘
𝐴(𝑧ሻ 1 + σ𝑁

𝑘=1 𝑎(𝑘ሻ𝑧

Chương 5

18


IIR filter
Cấu trúc trực tiếp:

Chương 5

19


IIR filter
Cấu trúc liên tầng:

𝐻 𝑧 =

−𝑘
σ𝑀
𝑘=0 𝑏(𝑘ሻ𝑧
−𝑘
1 + σ𝑁
𝑘=1 𝑎(𝑘ሻ𝑧

ma x(𝑀,𝑁ሻ

=𝐺

ෑ
𝑘=1

1 − 𝛽𝑘 𝑧 −1
1 − 𝛼𝑘 𝑧 −1

Bộ lọc IIR nhân quả có thể ghép từ các bộ lọc bậc 1.

Nếu các hệ số là số thực, các cặp nghiệm liên hiệp phức có thể kết
hợp tạo thành hệ bậc 2:
1 + 𝛽1 𝑧 −1 + 𝛽2 𝑧 −2
𝐻𝑘 𝑧 =
1 + 𝛼1 𝑧 −1 + 𝛼2 𝑧 −2
Chương 5

20


IIR filter
Cấu trúc liên tầng:
Cấu trúc bậc 1

Cấu trúc bậc 2

Chương 5

21

IIR filter
Cấu trúc liên tầng:
1 − 𝑧 −1 1 + 2𝑧 −1
1 − 𝑧 −1 1 + 2𝑧 −1
1
𝐻 𝑧 =
=
∙
∙
1 − 2𝑧 −1 1 + 𝑧 −1 1 + 3𝑧 −1
1 − 2𝑧 −1 1 + 𝑧 −1 1 + 3𝑧 −1

Chương 5

22


IIR filter
Cấu trúc song song:
−𝑘
σ𝑀
𝐴1
𝐴2
𝐴𝑁
𝑘=0 𝑏(𝑘ሻ𝑧
𝐻(𝑧ሻ =
=
+
+ ⋯+
−1

−1
−𝑘
1
−
𝑝
𝑧
1
−
𝑝
𝑧
1 − 𝑝𝑁 𝑧 −1
1 + σ𝑁
𝑎(𝑘ሻ𝑧
1
2
𝑘=1

Nếu các hệ số là số thực, các cặp nghiệm liên hiệp phức có thể kết
hợp tạo thành hệ bậc 2:

𝛽0 + 𝛽1 𝑧 −1
𝐻𝑘 𝑧 =
1 + 𝛼1 𝑧 −1 + 𝛼2 𝑧 −2
Nếu M  N
𝑀−𝑁

𝐴(𝑧ሻ
𝐴1 (𝑧ሻ
−𝑘
𝐻 𝑧 =

= ෍ 𝑐𝑘 𝑧 +
𝐵(𝑧ሻ
𝐵(𝑧ሻ
𝑘=0

Chương 5

23


IIR filter
Cấu trúc song song:
Cấu trúc bậc 1

Cấu trúc bậc 2

Chương 5

24


IIR filter
Cấu trúc song song:

6𝑧 −1
H 𝑧 =
1 − 𝑧 −1 1 + 𝑧 −1 1 − 2𝑧 −1
−3
−1
4

=
+
+
1 − 𝑧 −1 1 + 𝑧 −1 1 − 2𝑧 −1

Chương 5

25