CÂU hỏi CHỨA đáp án CHUYÊN đề 20 (DẠNG 1 2)

Dạng 1. Ứng dụng tích phân để tìm diện tích
Dạng 1.1 Bài toán tính trực tiếp không có điều kiện
Câu 1.

[2D3-3.1-1] (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hàm số

 a; b  . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y  f  x

xác định và liên tục trên đoạn

y  f  x

, trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b được tính theo công thức

b

A.

S �
f  x  dx

b

B.

b

a

S  �
f  x  dx

a

.

S �
f  x  dx

a
b
C.
.
D.
.
Lời giải
y  f  x
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
a

.

S �
f  x  dx

b

x  a, x  b được tính bởi công thức:

Câu 2.

S�
f  x  dx
a

.

(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
y  2 x , y  0 , x  0 , x  2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2

A.

2

S �
2 x dx

B.

0

2

S�
2 x dx

C.

Lời giải

0

S �
22 x dx
0

2

D.

S �
2 2 x dx
0

Chọn B
2

2

0

0

S�
2 x dx  �
2 x dx

Câu 3.

(do

2 x  0, x � 0; 2

).

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y  e x , y  0 , x  0 , x  2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2

A.

S �
e x dx
0

2

B.

S �
e x dx
0

2

C.
Lời giải

S �
e x dx
0

2

D.

S �
e 2 x dx
0

Chọn A
2

x
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  e , y  0 , x  0 , x  2 là:

Câu 4.

(Mã 102 - BGD - 2019) Cho hàm số
giới hạn bởi các đường

y  f  x

y  f  x  , y  0, x  1

S �
e x dx
0

.

liên tục trên �. Gọi S là diện tích hình phẳng
và x  5 (như hình vẽ bên).

Trang 1/73 - Mã đề 177


Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

1

5

1

1

S  �
f ( x)dx  �
f ( x )dx
S

C.

1

5

1

1

f ( x)dx
�f ( x)dx  �

1

S
.

B.

.

5

f ( x)dx
�f ( x)dx  �

1

D.
Lời giải

1

1

5

1

1

.

S  �
f ( x )dx  �
f ( x )dx

.

Chọn C
S
Ta có:
Câu 5.

1

5

1

5

1

1

1

1

f  x  dx
�f ( x) dx  �f  x  dx  �f  x  dx  �

(Mã 103 - BGD - 2019) Cho hàm số
hạn bởi các đường
đúng?

S
A.
C.

1

2

1

1

f  x  dx
�f  x  dx +�
1

2

1

1

.

2

1

2

1

1

1

B.

(như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây

.

�f  x  dx= �f  x  dx  �f  x  dx

1

2

1

1

S  �
f  x  dx  �
f  x  dx
S

Chọn D

Trang 2/73 - Mã đề 177

liên tục trên �. Gọi S là diện tích hình phẳng giới

y  f  x  , y  0, x  1, x  2

S  �
f  x  dx+ �
f  x  dx

S

f  x

.

D.
Lời giải

1

2

1

1

f  x  dx
�f  x  dx  �

.

.


Nhìn hình ta thấy hàm số
1

1

1

1

�f  x  dx  �f  x  dx
2

f  x

liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn

 1;1

f  x

 1; 2

; hàm số

liên tục và nhận giá trị âm trên đoạn

nên

nên

2

f  x  dx
�f  x  dx  �
1

1

S
Vậy
Câu 6.

1

2

1

1

f  x  dx
�f  x  dx  �

(ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
3
2
số y  x  x và đồ thị hàm số y  x  x .
37
9
A. 12
B. 4

81
C. 12
Lời giải

D. 13

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm

x0

�
�
x3  x  x  x 2 � x3  x 2  2 x  0 � �
x 1
�
x  2
�

3
2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  x và đồ thị hàm số y  x  x là:
1

S

0

x
�x  x   x  x  dx  �
3

2

2

2

0

3

 x  2 x  dx 
2

1

1

x
�

3

0

 x 2  2 x  dx

�x 4 x 3
� �x 4 x 3
�
16 8
�
�
 �   x 2 �  �   x 2 �   �   4 �
�4 3
�
�4 3
�2 �4 3
�0

Câu 7.

�1 1 � 37
�   1�
�4 3 � 12

.

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Gọi S là diện tích hình phẳng

 H  giới hạn bởi
0

các đường

y  f  x

, trục hoành và hai đường thẳng x  1 , x  2 . Đặt

a

�f  x  dx

1

,

2

b�

f  x  dx
0

, mệnh đề nào sau đây đúng?

Trang 3/73 - Mã đề 177


A. S  b  a

B. S  b  a

C. S  b  a
Lời giải

D. S  b  a

Chọn A

Ta có:

S

Câu 8.

2

0

2

0

2

1

1

0

1

0

f  x  dx   a  b
�f  x  dx  �f  x  dx  �f  x  dx   �f  x  dx  �

(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho

 H

.

là hình phẳng giới hạn bởi parabol

y  3x 2 , cung tròn có phương trình y  4  x 2 (với 0 �x �2 ) và trục hoành (phần tô đậm

trong hình vẽ). Diện tích của

 H

bằng

4  2 3  3
6
C.

4  3
6
B.

4  3
12
A.

5 3  2
3
D.

Lời giải
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và cung tròn ta được
với 0 �x �2 nên ta có x  1
1

Đặt:

2

x  2sin t  dx  2 cos tdt ; x  1  t 

Trang 4/73 - Mã đề 177

2

2

3 3
3
S  �3x dx  �4  x dx 
x  �4  x 2 dx 
 �4  x 2 dx
3
3 1
0
1
1
0
2

Ta có diện tích

1

2

3x 2  4  x 2 � x  �1




; x  2  t 
6
2




3
� 1
�2 4  3
�S 
 2�
t  sin 2t � 
3
6
� 2
�
6

Câu 9.

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong
hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

2

A.

 2 x  2  dx

�

B.

1
2

C.

2

 2 x
�

2

1

 2 x  4  dx

 2 x  2  dx
�

1
2

D.

 2x
�

2

1

 2 x  4  dx

Lời giải
Chọn C
Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là:
2

S

 x
�

2

1

Câu 10.

 3   x  2 x  1 dx 
2

2

�2 x

2

2

1

1

S
A.
C.

1

1

4

1

1

 2 x  4  dx

.

y  f  x  , y  0, x  1

và x  4 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới

4

1

2

liên tục trên �. Gọi S là diện tích hình phẳng

f  x  dx
�f  x  dx  �

1

 2 x
�

f  x

(Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hàm số
giới hạn bởi các đường
đây đúng?

 2 x  4 dx 

S
.

S  �
f  x  dx  �
f  x  dx

B.
.

D.
Lời giải

1

4

1

1

f  x  dx
�f  x  dx  �
1

4

1

1

.

S  �
f  x  dx  �
f  x  dx

.

Chọn A
Ta có: hàm số

f (x) �0 x � 1;1 ; f (x) �0 x � 1; 4 

, nên:
Trang 5/73 - Mã đề 177


4

S

�f  x  dx 

1

1

4

1

4

1

1

1

1

f  x  dx
�f  x  dx  �f  x  dx  �f  x  dx  �

. Chọn đáp án

B.
Câu 11.

f  x

(Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho hàm số
giới hạn bởi cá đường
đúng?

1

A.
C.

liên tục trên �. Gọi S là diện tích hình phẳng

y  f  x  , y  0, x  2
và x  3 (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây

3

S  �
f  x  dx  �
f  x  dx.
2

1

1

3

2

1

S
B.

S  �
f  x  dx  �
f  x  dx.

S
D.
Lời giải

1

3

2

1

1

3

2

1

f  x  dx.
�f  x  dx  �
f  x  dx.
�f  x  dx  �

Chọn B
3

1

3

2

2

1

�f  x  dx  S  �f  x  dx  �f  x  dx.

S
Ta có

f  x  �0

Do
Câu 12.

với

x � 2;1

f  x  �0

và

với

x � 1;3

S
nên

1

3

2

1

f  x  dx.
�f  x  dx  �

[2D3-3.1-1] (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Diện tích phần hình phẳng gạch
chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

2

A.

 2 x 2  2 x  4  dx
�

1
2

C.

 2 x
�

2

1

Trang 6/73 - Mã đề 177

2

. B.

 2 x  4  dx

 2x
�

2

1

 2 x  4  dx

2

. D.

 2 x
�

1

2

.

 2 x  4  dx

.
Lời giải


2
2
x � 1; 2
Từ đồ thị ta thấy  x  3 �x  2 x  1 ,
.
Vậy diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là
2

S

�
  x 2  3   x 2  2 x  1 �
�
�
�dx 

1

Câu 13.

2

 2 x
�

1

2

 2 x  4  dx

.

[2D3-3.1-1] (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn
y  f  x
bởi đồ thị hàm số
, trục hoành, đường thẳng x  a, x  b (như hình vẽ bên). Hỏi cách
tính S nào dưới đây đúng?

b

A.
C.

S�
f  x  dx
a

S
.

B.

c

b

a

c

S  �
f  x  dx  �
f  x  dx

c

b

a

c

f  x  dx  �
f  x  dx
�

.

D.

.
c

b

a

c

S�
f  x  dx  �
f  x  dx

.

Lời giải.
Chọn
Câu 14.

B.

[2D3-3.1-1] (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Gọi S là diện tích hình
3
phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: y  x  3 x , y  x . Tính S .
A. S  4 .
B. S  8 .
C. S  2 .

D. S  0 .

Lời giải
x  2
�

�
��
x0
3
3
�
x2
�
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là x  3x  x � x  4 x  0
.
0

S

Vậy
Câu 15.

 x3  4 x  dx 
�

2

2

x
�

3

0

 4 x  dx

 44 8.

[2D3-3.1-1] (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi S là diện
x
tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  3 , y  0 , x  0 , x  2 . Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
2

S�
3 dx

2

x

A.

0

S �
3 dx

2

2x

.

B.

0

S �
3 dx

2

x

.

C.
Lời giải

0

.

D.

S�
32 x dx
0

.

2

Diện tích hình phẳng đã cho được tính bởi công thức

S�
3x dx
0

Trang 7/73 - Mã đề 177


Câu 16.

[2D3-3.1-1] (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số

y  f  x

liên tục trên đoạn

 a; b .

Gọi D là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

 C  : y  f  x  , trục hoành, hai đường thẳng

x  a , x  b (như hình vẽ dưới đây). Giả sử S D là

diện tích hình phẳng D . đúng trong các phương án A, B, C, D cho dưới đây?

A.
C.

b

a

0

0

b

a

0

SD  �
f  x  dx  �
f  x  dx

.

B.

.

b

0

b

a

a

0

f  x  �0,
γx� a ;0 , f  x 

0, x

 0; b 

0

b

a

0

0

b

a

0

SD  �
f  x  dx  �
f  x  dx

D.
Lời giải

SD  �
f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx

Ta có
Vì

0

SD  �
f  x  dx  �
f  x  dx

SD  �
f  x  dx  �
f  x  dx

.
.

.

nên:

0

b

0

b

a

0

a

0

SD  �
f  x  dx   �
f  x  dx  �
f  x  dx.
  f  x   dx  �

y   x  2 1
2

Câu 17.

[2D3-3.1-1] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

đường thẳng x  1, x  2 bằng

2
A. 3 .

3
B. 2 .
2

Ta có:
Câu 18.

1
C. 3 .
Lời giải

2

S �
x 2  4 x  3 dx 
 x  2   1 dx  �
2

1

1

2

x

�

2

1

 4 x  3  dx 

, trục hoành và hai

7
D. 3 .
2
3

.

 a ; b  . Diện tích hình phẳng giới hạn
[2D3-3.1-1] Cho hai hàm số f ( x) và g ( x) liên tục trên
bởi đồ thị của các hàm số y  f ( x) , y  g ( x ) và các đường thẳng x  a , x  b bằng
b

b

A.

 f ( x)  g ( x) dx
�
a

Trang 8/73 - Mã đề 177

. B.

�f ( x)  g ( x) dx
a

. C.
Lời giải

b

�f ( x)  g ( x) dx
a

b

.

D.

 f ( x)  g ( x) dx
�
a

.


Theo lý thuyết thì diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các đường y  f ( x) ,
b

y  g ( x) , x  a , x  b được tính theo công thức
Câu 19.

S�
f  x   g  x  dx
a

.

[2D3-3.1-1] Diện tích phần hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên được tính theo công
thức nào dưới
đây?

x
�



1

A.

2

2

x dx

1

 x
�

C.

2

. B.



1

2

2



2

x dx

1

 x
�
1

x dx

1

x
�
1

. D.

2

2

.



x dx

1

.

Lời giải
Diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên là:

�x  2   
1

2

x dx 

1

Câu 20.




�



1

x  x 2  2 dx

1

( vì

x � 1;1 �  x  x 2  2

).

[2D3-3.1-1] (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số y  4 x  x và trục Ox
34

A. 11 .
B. 3 .
2

31
C. 3 .
Lời giải

32
D. 3 .

Chọn D
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  4 x  x và trục Ox .
2

x0
�
4 x  x2  0 � �
x  4.
�
Xét phương trình
4

Ta có
Câu 21.

4

4

x3
32
S�
4 x  x dx  �
(4 x  x )dx  (2 x  ) 
3 0
3
0
0
2

2

2

.

[2D3-3.1-1] (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Diện tích hình phẳng giới
hạn bởi parabol

y   x  2

2

3
, đường cong y  x và trục hoành ( như hình vẽ ) bằng :

Trang 9/73 - Mã đề 177

11
A. 2

73
B. 12

7
C. 12
Lời giải

5
D. 2

Chọn C:
1

2

0

1

S �
x3dx  �
 x  2  dx 
Câu 22.

2

�2 7

x 4 1 �x 3
 �  2x2  4x � 
4 0 �3
�1 12

[2D3-3.1-1] (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019)
Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số

y  f  x

, trục hoành và hai đường

a  b
thẳng x  a , x  b 
(phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức nào dưới đây ?

A.

C.

c

b

a

c

S�
f  x  dx  �

f  x  dx
c

b

a

c

b

.

S  �
f  x  dx  �
f  x  dx

B.

S �
f  x  dx
a

S

.

f  x  dx
�

a
D.
Lời giải

Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
b

thẳng x  a , x  b là
Câu 23.

S�
f  x  dx 
a

.

b

.

y  f  x

, trục hoành và hai đường

c

b

c

b

a

c

a

c

f ( x )dx  �
f ( x )dx
�f  x  dx  �f  x  dx   �

.

[2D3-5.4-1] (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Tính diện tích S hình phẳng
2
giới hạn bởi các đường y  x  1, x  1, x  2 và trục hoành.
13
S
6 .
A. S  6 .
B. S  16 .
C.

Lời giải
Trang 10/73 - Mã đề 177

D. S  13 .

2

S
Ta có:
Câu 24.

2
�x  1 dx 

1

2

x
�

2

1

 1 dx  6

.

[2D3-3.1-2] (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi S là diện tích
2
hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x  5 , y  6 x , x  0 , x  1 . Tính S .
4

7
8
5
A. 3
B. 3
C. 3
D. 3

Lời giải
Chọn B
2
Phương trình hoành độ giao điểm: x  5  6 x � x  5; x  1 .

1

Diện tích hình phẳng cần tìm:
Câu 25.

7
3

S�
x 2  6 x  5 dx 
0

.

[2D3-3.1-2] (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi diện tích hình

 C : y 

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
4
4
S  1  ln
S  4 ln
3
3
A.
B.

3 x  1
x  1 và hai trục tọa độ là S . Tính S ?
4
4
S  4 ln  1
S  ln  1
3
3
C.
D.
Lời giải

Chọn C

 C
Hoành độ giao điểm của

3 x  1
1

0� x
3.
và trục hoành là nghiệm của phương trình x  1

Do đó diện tích hình phẳng là
0

S

3 x  1
dx 
�
1 x 1



Câu 26.

3

0

4 �
�
3
dx   3 x  4 ln x  1 
�
�
x 1 �
�

1�


0


1
3

 4 ln

4
1
3

.

3

[2D3-3.1-2] (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
3
đồ thị hàm số y  x  x ; y  2 x và các đường x  1 ; x  1 được xác định bởi công thức:
0

S

A.

1

 x3  3x  dx  �
 3 x  x 3  dx
�

1

0

1

S
C.

 3 x  x  dx
�

.

B.

0

1

1

0

 3x  x3  dx  �
 x3  3x  dx

�

.

1

3

1

S

S
.

D.

 3x  x  dx
�
3

.
Lời giải

1

3
Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  x  x ; y  2 x và các đường

1

x  1 ; x  1 là

S

 x3  x    2 x 
�

1

1

dx



�x  3x dx
3

1

.

Bảng xét dấu x  3 x
3

x

x  3x
3

-1



0
0



1

Trang 11/73 - Mã đề 177


S

Do đó dựa vào bảng ta có:
Câu 27.

0

1

1

0

 x3  3x  dx  �
 3x  x3  dx

�

.

2
[2D3-3.1-2] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x ; y  0; x  1; x  2 bằng
4
7
8
A. 3 .
B. 3 .
C. 3 .
D. 1 .
Lời giải

2

2

7
S�
x dx  �
x 2 dx  .
3
1
1
Ta có
2

Câu 28.

[2D3-3.1-2] (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Gọi S là diện tích

 H:y 

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
S bằng
A. 2 ln 2  1 .

B. ln 2  1 .

C. ln 2  1 .
Lời giải

H
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

H

x 1
x  1 và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của

D. 2 ln 2  1 .

x 1
 0 � x 1
và trục hoành x  1
.

và các trục tọa độ là

1
1
1
1
x 1
x 1
2 �
�
S  � dx  �
dx  �
1 
dx    x  2 ln x  1   2 ln 2  1
�
�
0
x 1
x 1
x 1 �
0
0
0�
.

Câu 29.

[2D3-3.1-2] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Gọi S là diện tích của
hình phẳng giới hạn bởi các đường
đúng?

e

A.

ln x
S =  � 2 dx
x
1

y=

ln x
x 2 , y = 0 , x = 1 , x = e . Mệnh đề nào dưới đây

e

.

B.

ln x
S = � 2 dx
x
1

e

.

C.

Lời giải

2
�
�
ln x �
�
S =�
dx
�
�
�x 2 �
�
1

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi miền D gồm các đường

Trang 12/73 - Mã đề 177

y=

e

.

D.

2
�
ln x �

�
�
S = �
�
�
�dx
�x 2 �
1

ln x
x 2 , y = 0 , x = 1 , x = e là:


e

e

ln x
ln x
S = � 2 dx = � 2 dx
x
x
1
1
Câu 30.

ln x
> 0, " x �( 1; e)
2
vì x

.

[2D3-3.1-2] (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Diện tích
2
2
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y   x  2 x  1 , y  2 x  4 x  1 là
A. 8 .
B. 5 .
C. 4 .
D. 10 .

Lời giải
2
2
Phương trình hoành độ giao điểm là  x  2 x  1  2 x  4 x  1 � 3x  6 x  0
x0
�
��
x2
�
2

2

Diện tích hính phẳng là
2



 3x

�

2

0

Câu 31.

�
S�
 2 x2  4 x  1    x 2  2 x  1 �
�
�dx
0

 6 x  dx   x3  3 x2 

2
0

4
.

[2D3-3.1-2] (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tính diện
2
tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y  x  2 x , y  x  2 .
7
9
5
A. 2 .

B. 2 .
C. 2 .
Lời giải
x  2
�
��
2
2
x 1 .
�
Xét phương trình: x  2 x  x  2 � x  x  2  0

11
D. 2 .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là:
1

�x 3 x 2
�
2
7 10 9
  2x �
S�
x 2  x  2dx  �
 x  x  2  dx  �
 

3
2

�
�2
6 3
2
2.
2
1

1

Câu 32.

[2D3-3.1-2] (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đường cong y  x ln x , trục hoành và đường thẳng x  e là
e2  1
A. 2 .

e2  1
e2  1
C. 4 .
D. 4 .
Lời giải
y

x ln x và trục hoành là
Phương trình hoành độ của đường cong
�x  0
�x  0
�
�

x ln x  0 � ��
x  0 � ��
x  0 � x 1
�
��
�
ln x  0
x 1
��
��
.
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x ln x , trục hoành và đường thẳng x  e

là

e2  1
B. 2 .

e

e

1

1

S�
x ln x dx  �
x ln xdx

.

Trang 13/73 - Mã đề 177


1
�
du  dx
�
u  ln x
�
�
x
��
�
2
e 1e
x2
e2 x 2 e e 2  1
dv  xdx
x
�
�
S

ln
x

x
d

x



v
�
1
1
2
2
2
4
4 .
�
2
1
Đặt
. Suy ra
Câu 33.

[2D3-3.1-2] (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Hình phẳng

 H

được giới

2
 H
hạn bởi các đường y  x , y  3x  2 . Tính diện tích hình phẳng
2

1
1
A. 3 (đvdt)
B. 3 (đvdt)
C. 1 (đvdt)
D. 6 (đvdt)
Lời giải
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:

x 1
�
x 2  3x  2 � x 2  3x  2  0 � �
x 2.
�
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là:
2

S�
x   3x  2  dx 
2

1

Câu 34.

2

x
�

2

1

 3x  2  dx 

1
6

(đvdt).

[2D3-3.1-2] (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  ln x, y  1 và đường thẳng x  1 bằng
2
A. e .

B. e  2 .

D. e  2 .

C. 2e .
Lời giải

Ta có ln x  1  0 � x  e .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  ln x, y  1 và đường thẳng x  1 là:
e

S�
ln x  1dx 
1

Câu 35.

e

e

dx  1  x 1  1   e  1  2  e  e  2
 ln x  1 dx  x  ln x  1 1  �
�
e

1

e

1

[2D3-3.1-2] Giá trị dương của tham số m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
hàm số y  2 x  3 và các đường thẳng y  0, x  0, x  m bằng 10 là
A.

m

7
2.

B. m  5 .

C. m  2 .

Lời giải

D. m  1 .

2 x  3  0, x � 0; m
Vì m  0 nên
.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2 x  3 và các đường thẳng
y  0, x  0, x  m là:
m

S �
 2 x  3 .dx   x 2  3x 
0

Theo giả thiết ta có:

Trang 14/73 - Mã đề 177

m
0

 m2  3m

.


m2
�

S  10 � m2  3m  10 � m 2  3m  10  0 � �
� m  2  do m  0 
m


5
�
.
Câu 36.

2
[2D3-3.1-2] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  4 x  x và đường thẳng
y  2 x bằng

20
B. 3 .

A. 4 .

4
C. 3 .
Lời giải

16
D. 3

x0
�
4 x  x2  2 x � x2  2 x  0 � �
x2

�
Xét phương trình hoành độ giao điểm
2

2

2

3
�
�
S �
x  2 x dx  �
 2x  x  dx  �x 2  x3 �  43
�
�0
0
0
Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là
.
2

Câu 37.

2

[2D3-3.1-2] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Tính diện tích phần hình
phẳng gạch chéo (tam giác cong OAB ) trong hình vẽ bên.

5

B. 6 .

5
A. 6 .

8
C. 15 .
Lời giải

8
D. 15 .

Phương trình hoành độ giao điểm

�x  1
2
x   x  2 � x2  5x  4  0 � �
x4
�

Dựa vào đồ thị, khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là
1

2

0

1

S�

xdx  �
 x  2  dx 

Vậy
Câu 38.

S

2

1 1 5
 
2 3 6

5
6.

[2D3-3.1-2] (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tính diện tích S
2
của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x  2 x , y  0 , x  10 , x  10 .
2000
2008
S
S
3 .
3 .
A.
B. S  2008.
C. S  2000 .
D.

Lời giải
Chọn D

Trang 15/73 - Mã đề 177


Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường

 C  : y  x2  2x

và

 d : y  0

là:

x0
�
x2  2x  0 � �
x  2.
�
Bảng xét dấu:

10

S

Diện tích cần tìm:

2
�x  2 x dx 

10

0

2

0

x
�

10

2

2

10

0

2

 2 x  dx  �
 x 2  2 x  dx  �
 x 2  2 x  dx

10

�x 3
� �x 3
� �x 3
�
 �  x 2 �  �  x 2 �  �  x 2 �  1300  4  704  2008
�3
�10 �3
�0 �3
�2
3
3
3
3 .
Câu 39.

[2D3-3.1-2] (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi S là diện
tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y  f  x

1

x  2 (như hình vẽ bên). Đặt

A. S  a  b .

a

, trục hoành và hai đường thẳng x  3 ,

2

f  x  dx b  �
f  x  dx
�
3
1
,
. Mệnh đề nào sau đây là đúng.

B. S  a  b .

C. S  a  b .
Lời giải

D. S  b  a .

Chọn D

S
Ta có
Câu 40.

2

1

2

3

3

1

�f  x  dx  �f  x  dx  �f  x  dx

1

2

3

1

 �
f  x  dx  �
f  x  dx

 a  b .

[2D3-3.1-2] (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Diện tích hình phẳng giới
2
hạn bởi đồ thị hàm số y  x và đường thẳng y  2 x là :
4
5
3
A. 3

B. 3
C. 2

23
D. 15

Lờigiải
Chọn A
x0
�
x2  x � �
x 1
�
Xét phương trình
2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x và đường thẳng y  2 x là :
1

S�
x  x dx 
2

0

Trang 16/73 - Mã đề 177

1

x
�

2

0

 x  dx 

4
3


Câu 41.

[2D3-3.1-2] (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Diện tích hình phẳng giới hạn
2
2
bởi đồ thị các hàm số y   x  2 x  1 , y  2 x  4 x  1 là
A. 8
B. 5
C. 4
D. 10
Lời giải
2
2
Phương trình hoành đồ giao điểm hai đồ thị hàm số y   x  2 x  1 , y  2 x  4 x  1 là:
x0
�
 x 2  2 x  1  2 x 2  4 x  1 � 3x 2  6 x  0 � �
x  2.
�

2

Diện tích hình phẳng đã cho là
Câu 42.

[2D3-1.2-2]

�3x

2

0

(CHUYÊN

 6 x dx  �
 6 x  3x 2  dx   3x 2  x3 
2

0

KHTN

LẦN

2

NĂM

2

4
0
.

2018-2019)

Cho

hàm

số

�
7 - 4 x 3 khi 0 �x �1
�
f ( x) = �
2
�
� 4 - x khi x >1 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f ( x ) và
các đường thẳng x = 0, x = 3, y = 0 .
16
A. 3 .

20
B. 3 .

1

2

C. 10 .
Lời giải

D. 9 .

3

S =�
( 7 - 4 x )dx + �( 4 - x ) dx + �( x 2 - 4) dx
3

0

2

1

2

�
�x
�3
1
2
x �
�
�
�
�
�

= ( 7 x - x 4 ) | +�
4x +
4
x
�
�
|
| = 6 + 4 - 7 - 3- 8 +8
�1 �3
�
0
�
�
�
3�
�
�
�2
= 10 .
3
3
3

3

Trang 17/73 - Mã đề 177


Câu 43.

[2D3-3.1-2] (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Tính diện tích S của
3
2
hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường cong y   x  12 x và y   x .
937
343
793
397
S
S
S
S
12
12
4
4
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 đường cong:
x0
�
�
3
2
2
 x  12 x   x � x( x  x  12)  0 � �
x  3

�
x4
�
.
4

3
2
�x  x  12 x dx 

S

Diện tích cần tìm là:
0

3
4

0

4

3

0

3
2
x3  x 2  12 x dx
�x  x  12 x dx  �

0

4

�x 4 x3
�x 4 x3
�
2�
 �x  x  12 x dx  �
x  x  12 x dx  �   6 x �  �   6 x 2 �
�4 3
�3 �4 3
�0
3
0


Câu 44.



3

2





3



2

99 160 937


4
3
12 .

[2D3-5.5-2] (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho

H

là hình phẳng giới

H
hạn bởi các đường y  x , y  x  2 và trục hoành. Diện tích của   bằng

7
A. 3 .

8
B. 3 .

Xét các hình phẳng

 H1  :

10
C. 3 .
Lời giải

�y  x
�
�y  0
�x  0, x  4
�

và

16
D. 3 .

�y  x  2
 H2  : �
�y  0
�x  2, x  4
�

.

�
 H    H1  \  H 2 
�
�
 H  � H 2    H1  .
Ta có �

Do đó

4

4

0

2

S  H   S  H1   S  H 2   �x dx  �
 x  2  dx 

Cách khác: Ta có

Trang 18/73 - Mã đề 177

�x  y 2
 H :�
�x  y  2
�y  0, y  2
�

2

. Suy ra

4 �x 2
�4 16
2

10
x x  �  2x �   2 
0 �2
3
3
�2 3

S H  �
y 2   y  2  dy 
0

10
3

.


Câu 45.

[2D3-3.1-2] (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Gọi S là diện tích
x 1
x  1 và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S là
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
A. S  1  ln 2.
B. S  2 ln 2  1.
C. S  2 ln 2  1.
D. S  ln 2  1.
y

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành:
x 1
 0 � x 1
x 1
.
1

1

1

1
x 1
�x  1 �
� 2 �
S  � dx  �
dx  �
1
dx   x  2 ln x  1   2 ln 2  1.
� �
�
�
0
x 1
x 1 �
x 1 �
0
0�
0�
Khi đó

Câu 46.

2
4
[2D3-5.5-2] Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  x  x  1 và y  x  x  1
là
8
7
2
4
A. 15 .
B. 15 .
C. 5 .
D. 15 .

Lời giải
2
4
Phương trình hoành độ giao điểm của y  x  x  1 và y  x  x  1 là
x0
�
�
2
4
� x x 0� �
x 1
�
x  1
�

x2  x  1  x4  x  1
.
S

Diện tích hình phẳng cần tìm là
0



 x 2  x 4  dx 
�

1

Câu 47.

1

2
4
�x  x dx 

1

0

1

1

0

2
4
x 2  x 4 dx
�x  x dx  �

1

�x3 x5 �0
�x 3 x 5 �1
2 2
4
2
4
x

x
d
x





�
�
�  �   
�
�3 5 �1 �3 5 �0 15 15 15 .

0

[2D3-3.3-2] (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Gọi S là hình phẳng giới hạn
x 1
x  1 và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng
bởi đồ thị hàm số
A. S  ln 2  1 .
B. S  2 ln 2  1 .
C. S  ln 2  1 .
D. S  2 ln 2  1 .
Lời giải
Phương trình trục (Ox ) và (Oy ) lần lượt là y  0 và x  0 .
x 1
 0 � x 1
Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số ( H ) và trục Ox: x  1
.
(H ) : y 

1

x 1
S  � dx
x 1
0

x 1
�0, x � 0;1
Ta có:
. Vì x  1
nên diện tích cần tìm là:

1
1
1
x 1
2 �
�
S   � dx  �
1 
dx    x  2 ln x  1   2 ln 2  1
�
�
0
x 1
x 1�
0
0�
.

Câu 48.

[2D3-3.1-3] (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính diện tích của
phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ sau:

Trang 19/73 - Mã đề 177


10
A. 3 .

B. 4 .

Cách 1: Coi x là hàm số theo biến số y .

13
C. 3 .
Lời giải

11
D. 3 .

Hình phẳng đã cho giới hạn bởi các đường:

x  y 2 (với y �0 ); x  y  2; y  0 .
�y  1 (loai )
y2  y  2 � y2  y  2  0 � �
�y  2 (t / m)
Ta có:
Diện tích của hình phẳng cần tìm là
Cách 2:

2

2

0

0

S�
y  2  y 2 dy  �

 y  2  y 2  dy 

Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số y  x , y  x  2 :
�
�x �2
�x �2
x  x2� �
� x  4.
2 � �2
�x  5 x  4  0
�x   x  2 
Diện tích của hình phẳng cần tìm là

Trang 20/73 - Mã đề 177

4

4

0

2

S  �x dx  �
 x  2  dx 

10
3

(đvdt)

10
3

(đvdt)


Câu 49.

[2D3-3.1-3] (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình phẳng

H

giới hạn bới parabol

2

y

x
x2
y  4
4 (tham khảo hình vẽ bên )
12 và đường cong có phương trình

Diện tích hình phẳng



2 4  3

 H



4  3
6
B.

3

A.

bằng:
4  3
3
C.
Lời giải

4 3 
6
D.

�
x  12
x2
x2
x4
x2
x4 x2

�
�
 4
�
 4
�
 40
x   12
�
4
144
4
144 4
Xét phương trình 12
 H  bằng:
Diện tích hình phẳng
12 �
12 �
12 �
x2 x2 �
x2 x2 �
x2
S  � �4  �
dx  2 � � 4   �
dx  2� � 4 
 12 �
0
0
�
�

4 12 �
4 12 �
4
�
�
�
�
�

2
�
12 x
d x  2 � dx
�
0
�
12
�

12 �
x2 �
I1  � � 4  �
dx
0
�
�
4
�
�
Xét

Đặt x  4sin t � dx  4 cos xdx

Đổi cận: x  0 � t  0;

3

x  12 � t 


3

I1  8�
cos 2 tdt  4 �
 1  cos 2t  dt 
0

0

12

Xét

Vậy
Câu 50.

I2  �
0


3

4
 3
3

2

x
2 3
dx 
12
3

S  2 I1  2 I 2 



2 4  3



3

[2D3-3.1-3] (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho hàm số
và liên tục trên đoạn

 5;3

f  x

xác định

có đồ thị như hình vẽ bên. Biết diện tích của hình phẳng

Trang 21/73 - Mã đề 177


 A ,  B  ,  C  ,  D 

giới hạn bởi đồ thị hàm số

y  f  x

và trục hoành lần lượt là 6; 3; 12; 2 .

1

�
2 f  2 x  1  1�
dx
�
Tính tích phân ��
bằng
3

A. 27.

B. 25.
1

C. 17.
Hướng dẫn giải
1

1

D. 21.

3

�
2 f  2 x  1  1�
dx  2�f  2 x  1 dx  x  �f  x  dx  4
�
3 �
3
5
3
Ta có �
3

�f  x  dx  S

Mà

5

A

 S B   S C   S D   6  3  12  2  17

1

�
2 f  2 x  1  1�
dx  21
�
Vậy ��
3

Câu 51.

[2D3-3.1-3] (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Diện tích hình
3
2
phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  x , y  x  4 x  4 và trục Ox (tham khảo hình vẽ)
được tính theo công thức nào dưới đây?

2

x  x
�
3

A.

2

0

1

2

x dx  �
x
�
3

C.

 4 x  4  dx
2

1

2

�
x dx  �
 x2  4 x  4  dx
3

.

 4 x  4  dx

B.

0

1

1

2

x dx  �
x
�
3

 4 x  4  dx

D.
.
Lời giải
Dựa vào hình vẽ ta thấy hình phẳng cần tính diện tích gồm 2 phần:
3
Phần 1: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x , trục Ox , x  0 , x  1 .
0

1

Trang 22/73 - Mã đề 177

.

2

0

1

.


2
Phần 2: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  4 x  4 , trục Ox , x  1 , x  2 .

Do đó diện tích cần tính là
Câu 52.

1

2

1

2

0

1

0

1

S �

x 3 dx  �
x 2  4 x  4 dx  �
x 3dx  �
 x2  4 x  4  dx

.

[2D3-5.5-3] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số
 1

A. 4 2 .

y  x 1

2
2
và nửa trên của đường tròn x  y  1 bằng?
 1

1
B. 2 .
C. 2
.


1
D. 4
.

Lời giải

�x  1 khi x �1
y  x 1  �
1  x khi x  1 .
�
x 2  y 2  1 � y  � 1  x 2 do chỉ tính nửa trên của đường tròn nên ta lấy y  1  x 2 .

y  x 1

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
phần tô màu vàng như hình vẽ.

2
2
và nửa trên của đường tròn x  y  1 là

1

Diện tích hình phẳng trên là:

1

1

�1  x 2   1  x  �dx  1  x 2 dx   x  1 dx
S�
�
�
�

�
0
0
0

1

�x 2
�
 I1  �  x �  I  1
�2
�0 1 2 .
1

I1  �1  x 2 dx

Tính

0

.

�  �
t ��
 ;
�2 2�
�; dx  cos t.dt .
Đặt x  sin t ,

x 1� t 

2.
Đổi cận x  0 � t  0 ;

2

1


2


2


2

1  cos 2t
I1  �1  x 2 dx  �1  sin 2 t .cos t.dt  �
cos t cos t.dt  �
cos 2 t.dt  �
dt
2
0
0
0
0
0


1 � sin 2t �2 

 �
t
�
2�
2 �0 4

.Vậy

S

 1

4 2.
Trang 23/73 - Mã đề 177


Câu 53.

[2D3-5.5-3] [KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Cho

 H

là hình phẳng được tô đậm

trong hình vẽ và được giới hạn bởi các đường có phương trình

y

10
x  x2

3
,

 x khi x �1
�
y�
�x  2 khi x  1 . Diện tích của  H  bằng?

11
A. 6 .

13
B. 2 .

11
14
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y   x và y  x  2 là:  x  x  2 � x  1 .
Diện tích hình phẳng cần tính là:
1
3
10
10
�
�
�
�
2

2
S �
x

x

x
d
x

dx
�
� �
� x  x  x  2�
3
3
�
�
�
�
0
1
.
1
3
13
�
�7
�
2�

2
�S�
dx  �
dx
� xx �
� x  x  2�
3
� 1 �3
�
0�
1

3

13
�
�7
�
2�
2
�S�
dx  �
dx
� xx �
� x  x  2�
3
� 1 �3
�
0�
1

3

�
� 13
13 2 x 3 � �7 2 x3
� S  � x  �  � x   2x � 
3 �0 �6
3
�6
�1 2

Câu 54.

.

[2D3-5.2-3] (THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018) Cho đường tròn
có đường kính bằng 4 và 2 Elip lần lượt nhận 2 đường kính vuông góc nhau của đường tròn
làm trục lớn, trục bé của mỗi Elip đều bằng 1 . Diện tích S phần hình phẳng ở bên trong đường
tròn và bên ngoài 2 Elip (phần gạch carô trên hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong 4 kết
quả dưới đây?

Trang 24/73 - Mã đề 177


A. S  4,8 .

C. S  3, 7 .
Lời giải

B. S  3, 9 .

D. S  3, 4 .

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
x2 y2
x2 y2
 E1  :   1  E2  :   1
4 1
1
4
Hai Elip lần lượt có phương trình:
và
Tọa độ giao điểm của hai Elip trong góc phần tư thứ nhất là nghiệm phương trình:
x2
1
4  1 � x2  4 � x  2 5
x2 
4
5
5
2 5
5

�
x2
2
S   .2   .2.1  4 �
2 1 x  1
�

�
4
0 �
Diện tích hình phẳng cần tìm:
2

Câu 55.

�
dx  3, 71
�
�
�

[2D3-5.4-3] (THPT TRẦN QUỐC TUẤN - LẦN 1 - 2018) Tính diện tích S của miền hình

f  x   ax 3  bx 2  c
phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
, các đường thẳng x  1 , x  2 và
trục hoành (miền gạch chéo) cho trong hình dưới đây.

A.

S

51
8 .

B.

S

52
8 .

S

50
8 .

S

53
8 .

C.
D.
Lời giải
f  x   ax 3  bx 2  c
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
, các đường thẳng x  1 ,
x  2 và trục hoành được chia thành hai phần:
 Miền D1 là hình chữ nhật có hai kích thước lần lượt là 1 và 3 � S1  3 .
�f  x   ax 3  bx 2  c
�
�y  1
�x  1; x  2
 Miền D2 gồm: �
.
 C  đi qua 3 điểm A  1;1 , B  0;3 , C  2;1 nên đồ thị  C  có phương trình

Dễ thấy

f  x 

1 3 3 2
x  x 3
2
2
.
2

�1 3 3 2
� 27
� S2  �
dx 
� x  x  3  1�
2
2
8 .
�
1 �
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là

S  S1  S 2 

51
8 .

Trang 25/73 - Mã đề 177