CHUYÊN đề 20 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

CHUYÊ
N ĐỀ 20

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

MỤC LỤC

PHẦN A. CÂU HỎI
Dạng 1. Ứng dụng tích phân để tìm diện tích
Dạng 1.1 Bài toán tính trực tiếp không có điều kiện

Câu 1.

(THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hàm số

[ a; b ]

trên đoạn
thẳng

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

x = a, x = b

b

S = ∫ f ( x ) dx
A.
Câu 2.

B.

S = π ∫ 2 dx
0

,

B.

D.

b

.

y = 2x

,

S = π ∫ 2 dx

0

S = ∫ 2 2 x dx

0

C.

S

2

2x

D.

0

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = ex y = 0
,

,

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2

S = ∫ e x dx

Câu 4.

.

2

S = ∫ 2 dx

2

A.

S = ∫ f ( x ) dx

là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

x

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi

x=0 x=2

a

C.

2

x

A.

S = − ∫ f ( x ) dx
.

S

a

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2

Câu 3.

a

(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi

y=0 x=0 x=2
,

, trục hoành và hai đường

b

S = ∫ f ( x ) dx
.

,

y = f ( x)

xác định và liên tục

được tính theo công thức

b

a

y = f ( x)

0

B.

C.

y = f ( x)

y = f ( x ) , y = 0, x = −1

và

2

S = π ∫ e x dx

0

(Mã 102 - BGD - 2019) Cho hàm số
bởi các đường

2

S = π ∫ e x dx

x=5

liên tục trên

S = π ∫ e 2 x dx

0

¡.

D.
Gọi

S

0

là diện tích hình phẳng giới hạn

(như hình vẽ bên).

1


Mệnh đề nào sau đây đúng?
1

5

−1

1

S = − ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx
A.

S=
C.
Câu 5.

1

5

−1

1

.

B.

S=
A.

f ( x)

y = f ( x ) , y = 0, x = −1, x = 2

−1

1

liên tục trên

2

−1

1

Câu 6.

−1

1

¡

.

. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

1

2

.

B.

−1

1

S=
.

D.

1

2

−1

1

.

∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx
.

(ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x3 − x

A.
Câu 7.

5

S = − ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx

S = − ∫ f ( x ) dx+ ∫ f ( x ) dx
C.

.

1

(như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
1

1

∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx

D.

(Mã 103 - BGD - 2019) Cho hàm số

2

−1

S = − ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
.

1

5

S=

∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx

các đường

1

37
12

và đồ thị hàm số

B.

y = x − x2 .
9
4

C.

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Gọi

S

81
12

là diện tích hình phẳng
0

y = f ( x)

, trục hoành và hai đường thẳng
nào sau đây đúng?

x = −1 x = 2
,

13

D.

a=
. Đặt

∫

−1

(H)

giới hạn bởi các đường
2

f ( x ) dx b = ∫ f ( x ) dx
,

0

, mệnh đề

2


A.
Câu 8.

S =b−a

S =b+a

(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho
có phương trình

( H)

A.
Câu 9.

B.

y = 4 − x2

(với

C.

( H)

0≤x≤2

S = −b + a

D.

S = −b − a

là hình phẳng giới hạn bởi parabol

y = 3x 2

, cung tròn

) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của

bằng

4π + 3
12

B.

4π − 3
6

C.

4π + 2 3 − 3
6

D.

5 3 − 2π
3

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên
được tính theo công thức nào dưới đây?

2

2

∫ ( −2 x + 2 ) dx

A.

−1

∫ ( 2 x − 2 ) dx

B.

−1

3

2

∫ ( −2 x

C.
Câu 10.

2

−1

2

+ 2 x + 4 ) dx

∫ ( 2x

D.

−1

2

− 2 x − 4 ) dx

(Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hàm số
bởi các đường

1

S=
A.

∫

y = f ( x ) , y = 0, x = −1

f ( x)

và

x=4

1

f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx
1

S=
.

1

4

−1

1

Câu 11.

.

y = f ( x ) , y = 0, x = −2

1

3

−2

1

1

3

và

f ( x)
x =3

liên tục trên

C.
Câu 12.

1

1

.

1

4

−1

1

¡.

.

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

(như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

S=
B.

1

3

−2

1

∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx.
1

S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx.
−2

4

∫

D.

S = − ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx.
A.

là diện tích hình phẳng giới hạn

S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

(Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho hàm số
cá đường

S

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

−1

B.

S = − ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx
C.

. Gọi

(như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

4

−1

¡

liên tục trên

S=
D.

∫

−2

3

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx.
1

(CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên
được tính theo công thức nào dưới đây?

4


2

∫ ( 2x

A.

2

−1

− 2 x − 4 ) dx

∫ ( −2 x

Câu 13.

∫ ( 2x

.

2

C.

2

2

−1

B.

+ 2 x − 4 ) dx

2

−1

.

2

+ 2 x + 4 ) dx

∫ ( −2 x

. D.

−1

2

− 2 x + 4 ) dx
.

(HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Gọi

y = f ( x)

c

b

a

A.

x = a, x = b

, trục hoành, đường thẳng

S = ∫ f ( x ) dx

S=
.

c

b

a

c

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
(như hình vẽ bên). Hỏi cách tính

Câu 14.

∫

c

.

.

D.

y = x − 3x y = x
3

A.
Câu 15.

S=4

,

.

B.

b

a

c

S

. Tính

S =8

S

.

.

C.

S =2

y =3

x

,

y=0 x=0 x=2
,

2

.

D.

0

B.

0

2

S = π ∫ 3x dx
.

C.

0

S = ∫ 32 x dx
.

D.

(THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số

[ a; b]

. Gọi

D

.

là diện tích của hình phẳng giới

2

S = π ∫ 32 x dx
.

S

S =0

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2

S = ∫ 3x dx
A.

,

.

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

(CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi
hạn bởi các đường

Câu 16.

c

S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

(THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Gọi
đồ thị hàm số:

nào dưới đây đúng?

b

S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
C.

S

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

a

B.

S

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

( C ) : y = f ( x)

0

y = f ( x)

.
liên tục trên đoạn

, trục hoành, hai đường thẳng
5


SD
x=a x=b
D
,
(như hình vẽ dưới đây). Giả sử
là diện tích hình phẳng . đúng trong các phương án A,
B, C, D cho dưới đây?

0

b

a

0

0

b

a

0

S D = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
A.

.

B.

S D = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx
C.

0

b

a

0

0

b

a

0

S D = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
.

S D = − ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx
.

D.

y = ( x − 2) −1

.

2

Câu 17.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

x = 1, x = 2

A.

2
3

bằng

.

B.

f ( x)
Câu 18.

Cho hai hàm số
số

và

,

và các đường thẳng

C.

[ a ; b]

∫
.

B.

a

1
3

.

D.

7
3

.

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm

x=a x=b
,
bằng

b

∫ [ f ( x ) − g ( x ) ] dx
Câu 19.

.
liên tục trên

b

A.

3
2

g ( x)

y = f ( x) y = g ( x )

a

, trục hoành và hai đường thẳng

b

∫

f ( x) + g ( x) dx
.

C.

a

b

∫ [ f ( x ) − g ( x) ] dx

f ( x ) − g ( x ) dx
.

D.

a

.

Diện tích phần hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới
đây?

6


∫( x

)

1

A.

2

−2+

x dx

−1

∫ ( −x
1

2

+2+

−1

)

−2−

∫ ( −x
1

2

+2−

−1

)

x dx

)

.

x dx
.

(KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và trục

A.

11

Ox

.

B.

34
3

.

C.

31
3

.

D.

32
3

.

(ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

y = ( x − 2)

A.
Câu 22.

B.

. D.

y = 4x − x2

Câu 21.

.

2

−1

x dx

C.
Câu 20.

∫( x
1

2

, đường cong

11
2

y = x3

B.

và trục hoành ( như hình vẽ ) bằng :

73
12

C.

7
12

D.

5
2

(CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Diện tích của hình phẳng

x = a x = b ( a < b)
được giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
,
(phần tô

đậm trong hình vẽ) tính theo công thức nào dưới đây ?

y = f ( x)

c

b

a

c

b

S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
A.

S = ∫ f ( x ) dx
.

B.

a

.

7


c

b

a

c

b

S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
C.
Câu 23.

∫ f ( x ) dx

S=

a

.

D.

.

S

(ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Tính diện tích

y = x + 1, x = −1, x = 2

hình phẳng giới hạn bởi các đường

2

A.
Câu 24.

S =6

và trục hoành.

.

B.

S = 16

S=
.

C.

đường

A.

y = x + 5 y = 6x x = 0 x = 1
,

,

4
3

B.

,

hàm số

A.

−3 x − 1
x −1

4
S = 1 − ln
3

.

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

.

7
3

C.

và hai trục tọa độ là

B.

0

S

. Tính

4
S = 4 ln
3

8
3

D.

S

5
3

?

S = 4 ln
C.

1

3
3
∫ ( x − 3 x ) dx + ∫ ( 3 x − x ) d x

−1

A.

0

S=

4
−1
3

D.

4
S = ln − 1
3

3

S=
.

A.

1

−1

0

3
3
∫ ( 3x − x ) dx + ∫ ( x − 3x ) dx

.

B.

3

7
3

.

y = x 2 ; y = 0; x = 1; x = 2

.

C.

8
3

bằng

1

.

D. .

(THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Gọi

( H):y =
thị của hàm số
A.

2 ln 2 − 1

.

.

∫ ( 3x − x ) dx

−1

D.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

4

3

B.

0

y = x3 − x

1

∫ ( 3 x − x ) dx

−1

C.

S=
.

1

Câu 28.

S

S

S = 13

(THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

y = 2x
x = 1 x = −1
;
và các đường
;
được xác định bởi công thức:

S=

Câu 27.

. Tính

D.

(THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

( C) : y =

Câu 26.

.

(THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi
2

Câu 25.

13
6

x −1
x +1
B.

S

và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của

ln 2 + 1

.

C.

ln 2 − 1

.

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ

S

bằng
D.

2 ln 2 + 1

.

8


Câu 29.

(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Gọi

ln x
y= 2
y = 0 x =1 x = e
x

đường

,

e

S =π ò
1

A.
Câu 30.

e

S =ò
.

7

2

C.

,

B.

5

.

e

.

2

æ
ln x ö
÷ dx
S = π òç
ç
2 ÷
÷
ç
è
ø
x
1

D.

là

C.

y = x2 + 2x y = x + 2
,

.

B.

y = x ln x

e −1
2

4

.

D.

10

.

9

2

.

.

C.

5
2

.

D.

, trục hoành và đường thẳng

e +1
2

x=e

11
2

.

là

2

.

B.

.

C.

e2 − 1
4

.

D.

(CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Hình phẳng

y=x

A.

2
3

2

,

y = 3x − 2

. Tính diện tích hình phẳng

(đvdt)

B.

1
3

( H)

(đvdt)

C.

1

(đvdt)

( H)

e2 + 1
4

.

được giới hạn bởi các đường

D.

1
6

(đvdt)

(THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các
y = ln x, y = 1
x =1
hàm số
và đường thẳng
bằng
2
e
e+2
2e
e−2
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
Giá trị dương của tham số
các đường thẳng

m=
A.
Câu 36.

.

2

æ
ln x ö
÷ dx
S = òç
ç
2 ÷
÷
ç
è
ø
x
1

(SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong

A.

Câu 35.

e

ln x
dx
x2

y = −x2 + 2x +1 y = 2x2 − 4x + 1

2

Câu 34.

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

(THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn

A.

Câu 33.

1

B.

là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các

(CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

bởi hai đồ thị

Câu 32.

,

ln x
dx

x2

đồ thị các hàm số
8
A. .
Câu 31.

,

S

7
2

.

m

sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số

y = 0, x = 0, x = m

B.

m=5

bằng

10

A.

4

.

B.

.

và

là

.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số

20
3

y = 2x + 3

C.

m=2

.

y = 4x − x2

C.

4
3

.

D.
và đường thẳng

D.

m =1

.

y = 2x

bằng

16
3
9


Câu 37.

(THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác

OAB

cong

A.
Câu 38.

5
6

) trong hình vẽ bên.

.

B.

5π
6

.

C.

8
15

.

D.

(KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tính diện tích

y = x − 2 x y = 0 x = −10 x = 10

S

8π
15

.

của hình phẳng giới hạn

2

bởi các đường

A.
Câu 39.

2000
S=
3

,

.

B.

y = f ( x)

1

a=

S = 2008

.

.

C.

S = 2000

S=
.

D.

A.

.

là diện tích hình phẳng giới hạn

x = −3 x = 2
,

(như hình vẽ bên). Đặt

b = ∫ f ( x ) dx
1

,

S = a+b

, trục hoành và hai đường thẳng

S

2008
3

2

∫ f ( x ) dx

−3

.

. Mệnh đề nào sau đây là đúng.

B.

S = a −b

.

C.

S = −a − b

.

D.

S =b−a

.

(CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x2

A.
Câu 41.

,

(THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi
bởi các đường

Câu 40.

,

và đường thẳng

4
3

y = 2x

B.

là :

5
3

C.

3
2

D.

23
15

(CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số

y = − x2 + 2x + 1 y = 2x2 − 4x + 1
,

A.

8

B.

5

là
C.

4

D.

10

10


Câu 42.

(CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Cho hàm số

ìï 7 - 4 x 3 khi 0 £ x £ 1
f ( x) = ïí
ïïî 4 - x 2 khi x >1

f ( x)
tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

A.
Câu 43.

16
3

.

B.

20
3

S=
A.

y = − x + 12 x

937
12

C.

A.

7
3

,

D.

B.

và

y = −x

.

B.

x −1
y=
x +1

S = 1 + ln 2.

343
12

793
4

S=
C.

8
15

( H)

.

C.

S = 2 ln 2 − 1.

.

B.

7
15

A.

S = ln 2 + 1

.

C.

D.

.

C.

S = 2 ln 2 + 1

.

S
C.

397
4

là hình phẳng giới hạn bởi các đường

10
3

.

D.

S

S

S = 2 ln 2 + 1.

2
5

và

.

D.

.

S = ln 2 − 1.

y = x4 + x −1

D.

S

16
3

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

là

y = x2 + x −1

và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của
B.

giới hạn

bằng

(THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Gọi

x −1
(H ) : y =
x +1

(H )
của hình phẳng

S=

(H)

và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của
B.

.

.

và trục hoành. Diện tích của

8
3

S

9

2

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường

A.

Câu 48.

.

.

(ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Gọi

A.

Câu 47.

S=

y = x−2

đồ thị hàm số

Câu 46.

10

(ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho

y= x

Câu 45.

và các đường thẳng

(CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Tính diện tích
bởi các đường cong

Câu 44.

x = 0, x = 3, y = 0

.

3

. Tính diện

4
15

là

.

là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

bằng

S = ln 2 − 1

.

D.

S = 2 ln 2 − 1

.

(THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính diện tích của phần hình phẳng gạch
chéo trong hình vẽ sau:
11


A.

Câu 49.

10
3

.

B.

.

C.

có phương trình

Diện tích hình phẳng

(

2 4π + 3
A.

)

3

( H)

.

(H)

(HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình phẳng

y = 4−

Câu 50.

4

13
3

D.

giới hạn bới parabol

hàm số

x2
12

và đường cong

2

x
4

(tham khảo hình vẽ bên )

bằng:

B.

4π + 3
6

C.

4π + 3
3

có đồ thị như hình vẽ bên. Biết diện tích của hình phẳng

y = f ( x)

.

y=

D.

(ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho hàm số

[ −5;3]

11
3

f ( x)

xác định và liên tục trên đoạn

( A) , ( B ) , ( C ) , ( D )

6; 3; 12; 2
và trục hoành lần lượt là

4 3 +π
6

. Tính tích phân

∫

1

−3

giới hạn bởi đồ thị

 2 f ( 2 x + 1) + 1dx

bằng

12


A.
Câu 51.

27.

B.

25.

C.

17.

D.

21.

(TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
hàm số

y = x3 y = x2 − 4 x + 4
,

2

∫ x −( x
3

A.

2

0

Ox

(tham khảo hình vẽ) được tính theo công thức nào dưới đây?

1

− 4 x + 4 ) dx

2

∫ x dx − ∫ ( x
3

0

1

2

2

− ∫ x dx + ∫ ( x 2 − 4 x + 4 ) dx
3

.

1

C.

và trục

0

B.

1

1

− 4 x + 4 ) dx

∫ x dx + ∫ ( x
3

.

D.

.

2

0

1

2

− 4 x + 4 ) dx
.

y = x −1
Câu 52.

(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và nửa trên của đường tròn

A.
Câu 53.

π 1

−
4 2

.

x2 + y 2 = 1

B.

π −1
2

bằng?

.

C.

[KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Cho

y=
hạn bởi các đường có phương trình

( H)

π
−1
2

.

.

là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới

− x khi x ≤ 1
10
x − x2 y = 
 x − 2 khi x > 1
3
,

D.

π
−1
4

. Diện tích của

(H)

bằng?
13


A.
Câu 54.

11

6

.

B.

13
2

.

C.

.

D.

14
3

.

(THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018) Cho đường tròn có đường kính bằng

2

Elip lần lượt nhận

1

bằng . Diện tích

S

2

A.

S = 4,8

phần hình phẳng ở bên trong đường tròn và bên ngoài

.

B.

S = 3,9

.

4

f ( x ) = ax + bx + c
3

C.

2

của hàm số

trong hình dưới đây.

A.

51
8

S=
.

và

B.

, các đường thẳng

52
8

S = 3, 7

Elip (phần gạch carô trên

C.

.

S

D.

S = 3, 4

.

của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

x =1 x = 2
,
và trục hoành (miền gạch chéo) cho

S=
.

2

kết quả dưới đây?

(THPT TRẦN QUỐC TUẤN - LẦN 1 - 2018) Tính diện tích

S=

4

đường kính vuông góc nhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé của mỗi Elip đều

hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong

Câu 55.

11
2

50
8

S=
.

D.

53
8

.
14


f
Câu 56.

(THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số

liên tục trên đoạn

[ −6; 5]

, có đồ

5

I = ∫  f ( x ) + 2  dx
−6

thị gồm 2 đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị

I = 2π + 35

I = 2π + 34

A.
.
B.
Dạng 1.2 Bài toán có điều kiện

Câu 57.

Hình vuông

y=

S1
S2

A.
Câu 58.

1 2
x
4

OABC

. Gọi

4

có cạnh bằng

S1 , S2

.

C.

I = 2π + 33

.

.

D.

I = 2π + 32

( C)

được chia thành hai phần bởi đường cong

.

có phương trình

lần lượt là diện tích của phần không bị gạch và bị gạch như hình vẽ bên dưới. Tỉ số

bằng

3
2

.

3

B.

.

C.

1
2

.

(ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Kí hiệu
các đường

y = 2 x + 1 y = 0 x = 1 x = t ( t > 1)
,

,

,

. Tìm

t

D.

S ( t)

để

2

.

là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

S ( t ) = 10

.
15


A.

t =3

.

B.

t=4

.

C.

y=
Câu 59.

(Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho đường thẳng

t = 13

3
x
2

.

D.

t = 14

.

y = x2 + a
và parabol

( a là tham số thực

S1 , S2

dương). Gọi
lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi
thì a thuộc khoảng nào dưới đây?

A.

 2
 0; ÷
 5

B.

1 9 
 ; ÷
 2 16 

C.

y=
Câu 60.

(Mã 102 - BGD - 2019) Cho đường thẳng

3
x
4

2 9 
 ; ÷
 5 20 
y=

và parabol

D.

1 2
x +a
2

,(

a

 9 1
 ; ÷
 20 2 

là tham số thực dương).

S1 S2

Gọi ,

lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi
thuộc khoảng nào dưới đây?

A.
Câu 61.

 7 1
 ; ÷
 32 4 

.

B.

1 9 
 ; ÷
 4 32 

.

(Mã 103 - BGD - 2019) Cho đường thẳng

S2

C.

y = 3x

 3 7 
 ; ÷

 16 32 

và parabol

.

D.

2x2 + a a
(

S1 = S2

S1 = S 2

thì

a

 3
 0; ÷
 16 

.

là tham số thực dương). Gọi

và
lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi
khoảng nào dưới đây?

S1 = S 2

thì

a

S1

thuộc

16


A.
Câu 62.

 9
 1; ÷
 8

(Mã

.

 9 
 ;1÷
 10 

B.

đề

102

.

BGD&ĐT NĂM

C.
2018)

g ( x ) = dx + ex + 2 a b c d e ∈ ¡

Cho

4 9 
 ; ÷
 5 10 

hai

.

hàm

D.
số

,

,

,

nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là

). Biết rằng đồ thị của hàm số

−2 −1 1
;

;

.

f ( x ) = ax 2 + bx 2 + cx − 2

2

( ,

 4
 0; ÷
 5

y = f ( x)

và

y = g ( x)

và
cắt

(tham khảo hình vẽ).

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

A.

37
12

B.

37
6

C.

13
2

D.

f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx −
Câu 63.

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hai hàm số

( a , b, c , d , e ∈ ¡ )
lượt là

−3 −1 1
;

;

. Biết rằng đồ thị hàm số

y = f ( x)

và

y = g ( x)

(tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi

2

1
2

9
2

và

g ( x ) = dx 2 + ex + 1

cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần

đồ thị đã cho có diện tích bằng

17


A.
Câu 64.

5

B.

9
2

C.

(MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018)

1
g ( x ) = dx 2 + ex + ( a, b, c, d , e ∈ ¡
2
ba điểm có hoành độ lần lượt

−3; −1; 2

)

8

D.

Cho hai hàm

. Biết rằng đồ thị của hàm số

số

4

f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx − 1

y = f ( x)

và

y = g ( x)

và

cắt nhau tại

(tham khảo hình vẽ).

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

A.

253
12

B.

125
12

C.

253
48

D.

f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx +
Câu 65.

(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hai hàm số
,

( a , b, c, d , e ∈ ¡ )

y = f ( x)

y = g ( x)

3
4

125
48

g ( x ) = dx 2 + ex −
và

3
4

. Biết rằng đồ thị của hàm số
và
cắt nhau tại ba điểm có hoành
−2 1 3
độ lần lượt là
; ; (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

18


A.
Câu 66.

253
48

B.

. Xét parabol

hình phẳng giới hạn bởi

S1 = S 2

Câu 67.

( P2 )

( P1 )

và

.Gọi

cắt trục hoành tại hai điểm

và đường thẳng

A, B

y=a

và có đỉnh thuộc đường thẳng

S2

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

B.

.
T = 64

.

C.

T = 32

.

D.

(ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hàm số
bốn và có đồ thị như hình vẽ.

A.

127
40

.

B.

127
10

y = f ( x); y = f '( x)

my = x , mx = y ( m > 0 )
2

A.

m =1

( P2 )

S1

là diện tích

và trục hoành. Biết

.

C.

2

B.

. Tìm giá trị của

m=2

m

107

.
5

để

C.

S =3

m=3

T = 72

y = f ( x)

.

là hàm số đa thức bậc

có diện tích bằng

(THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi
đường

. Gọi

d:y=a

2

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

Câu 68.

D.

253
24

A, B

đi qua

d

125
48

T = a − 8a + 48a
3

, tính
T = 99
A.
.

C.

( P1 ) : y = − x 2 + 2 x + 3

Cho parabol

( 0 < a < 4)

125
24

D.

S

13
.
5

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

.
D.

m=4

19


Câu 69.

(THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Cho hình thang cong

y = 0 x = 0 x = ln 4

,

và

A.
Câu 70.

S2

,

. Đường thẳng

như hình vẽ bên. Tìm

4
k = ln 2
3

x=k

k

để

S1 = 2 S 2

k = ln
.

B.

8
3

( 0 < k < ln 4 )

bốn

và

y = g ( x)

.

C.

(H)

k = ln 2

Diện tích của hình phẳng

3,11

2, 45

B.

.

(H)

A.

sao cho

3
.
4

AB = 2

D.

k = ln 3

.

( phần gạch sọc trên hình vẽ bên ) gần nhất

3, 21

2,95

C.

D.

(THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho parabol

( P)

S1

được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đa thức bậc

−3; − 1; 2.

Câu 71.

thành hai phần có diện tích là

,

. Biết rằng đồ thị cảu hai hàm số này cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt có

hoành độ lần lượt là
với kết quả nào dưới đây?

A.

( H)

giới hạn bởi các đường

y = ex

.

(ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Hình phẳng
y = f ( x)

chia

( H)

( P) : y = x2

. Diện tích lớn nhất của hình phẳng giới hạn bởi

B.

3
.
2

C.

2
.
3

( P)

A, B
và hai điểm

và đường thẳng

D.

AB

thuộc
là

4
.
3

20


Câu 72.

(KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho Parabol
thẳng

( P)

A.
Câu 73.

d : y = mx + 2

và

d

m

với

là nhỏ nhất. Hỏi

1
(− 2; − )
2

là tham số. Gọi

m0

m0

để diện tích hình phẳng giới hạn bởi

1
)
2

B. (0;1).

C.

.

D.

1
( ;3)
2

(THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
tục trên đoạn
đường parabol

[ −5;3]

và đường

nằm trong khoảng nào?

( −1;
.

m

là giá trị của

( P ) : y = x2 + 1

. Biết rằng diện tích hình phẳng

y = g ( x ) = ax 2 + bx + c

S1 , S2 , S3

.

f ( x)

xác định và liên

giới hạn bởi đồ thị hàm số

f ( x)

và

m, n , p
lần lượt là

.

3

∫ f ( x ) dx

Tích phân

A.
Câu 74.

−5

bằng

208

−m + n − p −
.
45

m−n+ p+
B.

208
45

m−n+ p−
C.

(ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho hàm số
hình vẽ bên. Biết rằng diện tích các phần

( A) , ( B )

208
.
45

f ( x)

−m + n − p +
D.
liên tục trên

lần lượt bằng

3

¡
và

208
.
45

và có đồ thị như

7

. Tích phân

π
2

∫ cos x . f ( 5sin x − 1) dx
0

bằng

21


−
A.
Câu 75.

4
5

B.

Cho hàm số

y = f ( x)

2

C.

4
5

D.

−2

A, B
có đồ thị như hình vẽ và diện tích hai phần

lần lượt bằng

11

và

2.

0

I=
Giá trị của

A.
Câu 76.

3.

∫ f ( 3x + 1) dx

−1

bằng

B.

13
.
3

C.

9.

D.

13.

(CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hình phẳng
bởi đồ thị

( P)

( C)

(H)

được giới hạn

của hàm đa thức bậc ba và parabol

có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm của hình vẽ có diện tích bằng

22


A.

37
12

.

B.

7
12

.

11
12

C.

.

D.

y=
Câu 77.

(ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Parabol

bán kính bằng

A.

Câu 78.

3π + 2
12π

B.

a

S1

thành hai phần có diện tích

.

Tìm số thực
tích lớn nhất.

1
2

2 2

9π − 2
3π + 2

.

và

S2

C.

x2
2

, trong đó

3π + 2
9π − 2

S1 < S2

D.

y=

x 2 + 2ax + 3a 2
1 + a6

Câu 79.

3π + 2
21π − 2
y=
và

3

.

B. 1.

C. 2.

(HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Cho hàm số

y = f ( x)

D.

y = f ( x)

như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng phần sọc kẻ bằng
2

3

4

1

2

3

3

.

.

a 2 − ax
1 + a6

có diện

.

có đạo hàm trên

3

S1
S2

. Tìm tỉ số

3

A.

.

chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ,

.

để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm

5
12

¡

, đồ thị hàm số

. Tính giá trị của biểu thức:

T = ∫ f ′ ( x + 1) dx + ∫ f ′ ( x − 1) dx + ∫ f ( 2 x − 8 ) dx

T=
A.
Câu 80.

9
2

.

B.

T =6

.

C.

T =0

T=
.

(THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Cho hàm số
sử

( Cm )

D.

y = x4 − 6x2 + m

cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi

3
2

.

có đồ thị

( Cm )

là các số nguyên,
A. 7.

a
b>0 b
,

là phân số tối giản). Giá trị của biểu thức
B. 6.
C. 5.

. Giả

và trục hoành có

m=
phần phía trên trục hoành và phần phía dưới trục hoành có diện tích bằng nhau. Khi đó

( Cm )

a
b

(với

a b
,

S = a+b

là:
D. 4.
23


Câu 81.

Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số đa thức bậc ba và parabol (P) có trục đối xứng
vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm như hình vẽ có diện tích bằng

A.

37
12

.

B.

7
.
12

C.

11
12

.

D.

5
12

.

p, q
Câu 82.

(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Cho các số

1 1
+ =1
p q

hình phẳng giới hạn bởi
bởi

( C)

y = x p −1 ( x > 0 )

a, b
và các số dương

( C)

. Xét hàm số:

, trục hoành, đường thẳng

, trục tung, đường thẳng

y =b

, Gọi

thỏa mãn các điều kiện:

( S)

x=a

có đồ thị là

, Gọi

( S2 )

( C)

. Gọi

p >1 q >1
,

( S1 )

,

là diện tích

là diện tích hình phẳng giới hạn

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục

S1 + S2
x=a y =b
S
tung và hai đường thẳng
,
. Khi so sánh
và
ta nhận được bất đẳng thức nào trong

các bất đẳng thức dưới đây?

a p bq
+ ≤ ab
p q
A.
Câu 83.

B.

a p −1 b q −1
+
≥ ab
p −1 q −1

.

C.

a p +1 b q +1
+
≤ ab
p +1 q +1

(SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn
Trên đường tròn

( O; R )

A, B

lấy hai điểm

sao cho

AB = a 3

a p bq
+ ≥ ab
p
q
.

D.

( O; R )

. Mặt phẳng

.
và

( P)

( O′; R )

đi qua

,

OO′ = 4 R

A B
,

.

cắt đoạn

24


OO′

và tạo với đáy một góc
diện đó bằng

A.
Câu 84.

 4π
3 2
+

÷R
2 ÷
 3


B.

d

hạn bởi

thay đổi cắt

( P)

Smax =
A.

cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết

 2π
3 2
−

÷R
4 ÷
 3


.

C.

( P)

tại hai điểm

và đường thẳng

20183 + 1
6

d

,

sao cho

 2π
3 2
+

÷R
4 ÷
 3


B.

20183
3

A ( −1;0 )

, tiếp tuyến

d

tại

diện tích hình phẳng giới hạn bởi
(phần tô màu trong hình vẽ).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

A.

2
5

.

B.

1
4

.

A
d

của

( C)

.

C.

.

D.

cắt

( C)

( C)

hàm số

m
A.

y = 4− x

S=
để

2

.

25
3

20183 − 1
6

và hai đường thẳng

S

S

( P ) : y = x2

2
9

.

.

và một đường

là diện tích hình phẳng giới

S max =
.

D.

có đồ thị

( C)

20183
3

, biết rằng

tại hai điểm có hoành độ lần lượt là

và hai đường thẳng

C.

. Gọi

 4π
3 2
−

÷R
2 ÷
 3


S.

y = ax 4 + bx 2 + c

(THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Đặt
2

của

Smax =

( C)

, đồ thị

AB = 2018

S max

. Tìm giá trị lớn nhất

S max =
.

A B

(CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
điểm

Câu 86.

( P)

,

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Cho parabol
thẳng

Câu 85.

.

60°

.

( C)
0

và

đi qua

2

x=0 x=2
;
có diện tích bằng

và

28
5

x = −1 x = 0
;
có diện tích bằng

D.

1
5

.

là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của

x = −2 x = m ( −2 < m < 2 )
, trục hoành và đường thẳng
,
,
. Tìm số giá trị của tham số

.
B.

3

.

C.

4

.

1

D. .
25