Khái niệm cơ bản lý thuyết xác suất

Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS. Lê Anh Vũ
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.1
CHƯƠNG 1
KHÁI NIỆM CƠ BẢN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

Nội dung

Phép thử và biến cố, các loại biến cố và quan hệ giữa các biến cố.

Xác suất (quan điểm cổ điển, thống kê, hình học ).

Các cơng thức tính xác suất:
• Cơng thức cộng xác suất.
• Xác suất có điều kiện và cơng thức nhân xác suất.
• Cơng thức xác suất đầy đủ và cơng thức Bayes.
• Cơng thức Bernoulli.

1. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ – CÁC LOẠI BIẾN CỐ
1.1. P
HÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

1.1.1. H
AI VÍ DỤ KINH ĐIỂN

Ví dụ 1.1.
Tung đồng xu hai mặt (sấp, ngửa) cân đối, đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang –
đó là một phép thử. Vài kết cục có thể hoặc khơng thể xảy ra:
• Mặt sấp xuất hiện.
• Mặt ngửa xuất hiện.
• Hoặc mặt sấp, hoặc mặt ngửa xuất hiện.
• Khơng mặt nào xuất hiện.

Chúng còn gọi là các biến cố sinh ra bởi phép thử đang xét.
Ví dụ 1.2.
Gieo một con xúc xắc sáu mặt cân đối và đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang –
đó cũng là một phép thử. Sinh ra bởi phép thử này có thể kể một vài biến cố dưới đây.
• Mặt k chấm xuất hiện (k = 1, 2, … , 6).
• Mặt có số chấm lẻ xuất hiện.
• Mặt có số chấm chẵn xuất hiện.
• Mặt có số chấm khơng q k xuất hiện ( k = 1, 2, … , 6).
• Mặt có số chấm lớn hơn 6 xuất hiện.
• Mặt có số chấm nhỏ hơn 7 xuất hiện.
Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS. Lê Anh Vũ
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.2
1.1.2. M
Ô TẢ PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ


Phép thử là việc hành động, một thí nghiệm trong khoa học xác suất nhằm
nhiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên. Phép thử ln được thực hiện trong một
nhóm các điều kiện nào đó hồn tồn xác định. Ta thường đồng nhất phép thử
với nhóm điều kiện xác định nó.
1.2.
2.1.

Mỗi khi thực hiện xong phép thử, ắt sẽ dẫn đến một trong những sự kiện (hay
kết cục) nhất định. Biến cố là sự kiện liên quan đến phép thử và có thể xẩy ra,
cũng có thể khơng xẩy ra sau khi phép thử kết thúc. Các biến cố sẽ đặc trưng
cho phép thử.
C
ÁC LOẠI BIẾN CỐ

1.2.1. B
IẾN CỐ CHẮC CHẮN

Biến cố chắc chắn là biến cố nhất định phải xẩy ra sau khi thực hiện xong phép
thử. Ta thường ký hiệu biến cố chắc chắn là U.
1.2.2. B
IẾN CỐ KHÔNG THỂ CÓ

Biến cố khơng thể có là biến cố khơng thể xảy ra khi phép thử được thực hiện.
Biến cố khơng thể có được ký hiệu là ∅.
1.2.3. B
IẾN CỐ NGẪU NHIÊN

Biến cố ngẫu nhiên (BCNN) là biến cố có thể xảy ra, cũng có thể khơng xẩy ra
khi thực hiện xong phép thử; Trước khi phép thử được thực hiện, ta chỉ có thể dự đốn
nhưng khơng thể khẳng định chắc chắn về sự xẩy ra hay khơng xẩy ra của biến cố đó.
Biến cố ngẫu nhiên được ký hiệu bằng các mẫu tự in hoa A, B, C…
Ví dụ 1.3.
• Bóc ngẫu nhiên 1 tờ lịch trong năm – đó là một phép thử.
Biến cố “bóc được tờ lịch ngày 30 tháng 2” là biến cố khơng thể có. Biến
cố “bóc được tờ lịch ghi ngày 14 tháng 2” là biến cố ngẫu nhiên. Biến cố
“bóc được tờ lịch ghi một trong các tháng 1, 2, 3, … , 12” là biến cố chắc
chắn.
• Một người mua một tờ vé số - đó là một phép thử. Các biến cố vé số đó
trúng độc đắc, trúng giải nhất, trúng giải nhì, trúng giải ba, trúng giải
khuyến khích, khơng trúng giải nào là những biến cố ngẫu nhiên. Biến cố
vé số đó hoặc trúng giải, hoặc khơng trúng giải là biến cố chắc chắn. Biến
cố vé số đó vừa trúng giải nhất vừa khơng trúng giải nào là biến cố khơng
thể có.
Ví dụ 1.4.

Bây giờ xét lại hai ví dụ kinh điển về tung đồng xu và gieo xúc xắc. Hãy kể các
biến cố chắc chắn, khơng thể có và BCNN.
2. PHÉP TOÁN VÀ QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
T
ỔNG CỦA CÁC BIẾN
C
Ố

• Tổng của hai biến cố A và B, ký hiệu A + B ( hay A∪B), là biến cố mà xảy ra
khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra sau khi phép thử được
thực hiện. Như vậy
Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS. Lê Anh Vũ
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê
(A+B xẩy ra) ⇔ ( Hoặc A xẩy ra, hoặc B xẩy ra).
• Tổng của n biến cố A
1
, A
2
… A
n
, ký hiệu
1
n
i
i
A
=
∑
= A
1

+ A
2
+ … + A
n
(hay
1
n
i
i
A
=
U
), là một biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một biến cố A
i
nào
đó ( i∈{1, 2, … , n}) xảy ra sau khi phép thử được thực hiện. Như vậy
(
1
n
i
i
A
=
∑
xẩy ra) ⇔ ( Hoặc A
1
xẩy ra, hoặc A
2
xẩy ra, …, hoặc A
n

xẩy ra).

2.2.
TÍCH CỦA CÁC BIẾN CỐ

• Tích của hai biến cố A và B, ký hiệu AB ( hay A∩B), là biến cố mà xảy ra
khi và chỉ khi cả A và B đều xảy ra sau khi phép thử được thực hiện. Như vậy
(AB xẩy ra) ⇔ (A xảy ra và B xẩy ra).
• Tích của n biến cố A
1
, A
2
, … , A
n
, ký hiệu
n
i
in
A
=
∏
= A
1
A
2
… A
n
(hay
1
n

i
i
A
=
I
), là
biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến cố A
i
đều xảy ra sau khi phép
thử được thực hiện.
(
n
i
in
A
=
∏
xẩy ra) ⇔ (A
1
xẩy ra, A
2
xẩy ra, … và A
n
xảy ra).
2.3. B
IẾN
C
Ố
X
UNG

K
HẮC VÀ
B
IẾN
C
Ố
Đ
ỐI
L
ẬP

• Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng khơng thể cùng
xảy ra khi phép thử được thực hiện. Tức là
A.B = ∅.
• Hai biến cố đối lập với nhau nếu chúng xung khắc và sau phép thử nhất thiết
phải xẩy ra hoặc biến cố này hoặc biến cố kia. Biến cố đối lập của A là được ký
hiệu là
A
. Như vậy, sau khi thực hiện phép thử, nhất định có một và chỉ một
trong hai biến cố A hoặc
A
xảy ra. Tức là
;
.
AAU
AA
⎧
+ =
⎪
⎨

= ∅
⎪
⎩

Nói riêng, hai biến cố đối lập thì xung khắc. Ngược lại nói chung là sai.
Ví dụ 1.5.
Một sinh viên thi hai mơn Tốn cao cấp và Kinh tế lượng. Gọi T là biến cố sinh
viên đó đậu mơn Tốn cao cấp, K là biến cố sinh viên đó đậu mơn Kinh tế lượng. Hãy
biểu diễn các biến cố sau qua T, K:
a) Sinh viên đó đậu ít nhất một mơn.
b) Sinh viên đó đậu cả hai mơn.
c) Sinh viên đó bị trượt mơn Tốn cao cấp.
d) Sinh viên đó bị trượt cả hai mơn.
e) Sinh viên đó chỉ đậu mơn Kinh tế lượng.
I.3
Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS. Lê Anh Vũ
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê
f) Sinh viên đó chỉ đậu một mơn.
g) Sinh viên đó đậu khơng q một mơn.
Giải
Gọi các biến cố trong các câu a, b, c, d, e, f, g lần lượt là A, B, C, D, E, F, G. Ta có
a) A = T + K (= T
K
+
T
K + TK) ; b) B = TK ; c)
T
(=
T
K +

T K
);
d) D =
T K
; e)
T
K ; f) T
K
+
T
K ; g) G =
T K
+ T
K
+
T
K ( = D + F =
B
).

2.4. B
IẾN
C
Ố
S
Ơ
C
ẤP
-

K
HÔNG
G
IAN CÁC BIẾN CỐ SƠ CẤP
–

N
HÓM
Đ
ẦY
Đ
Ủ
C
ÁC
B
IẾN
C
Ố

• Biến cố sơ cấp là biến cố khơng thể phân tích được qua các biến cố nào khác
∅

và khác chính nó. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp trong một phép thử được gọi
là khơng gian mẫu. Khơng gian mẫu thường được ký hiệu là Ω. Cũng có khi
dùng chính ký hiệu U của biến cố chắc chắn để ký hiệu.
• Tập hợp n biến cố (n ≥ 2) A
1
, A
2
,…,A

n
được gọi là một nhóm (hay hệ) đầy đủ
các biến cố nếu sau khi thực hiện phép thử, có một và chỉ một trong các biến cố
đó xẩy ra. Tức là
φ
= ≤≠ ≤
⎧
⎨
+++=
⎩
L
12
, 1 ;
.
ij
n
A Aijn
A AAU

Nói riêng,
{ }
,AA là một nhóm đầy đủ gồm hai biến cố. Ngược lại , mỗi nhóm đầy
đủ hai biến cố ắt phải gồm hai biến cố đối lập.
Ví dụ 1.6.
Xét lại ví dụ về gieo con xúc xắc. Đặt
• là biến cố mặt i chấm xuất hiện,
i
A
6,1=i
.

• C là biến cố mặt chẵn chấm xuất hiện.
• L là biến cố mặt lẻ chấm xuất hiện.
Khi đó , , , , , là tất cả các biến cố sơ cấp. Khơng gian các biến cố
sơ cấp là .
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
A
{}
654321
,,,,, AAAAAA=Ω
Các biến cố C, L khơng là biến cố sơ cấp vì:
246
135
;
.
CAAA
LAA A
=++
⎧
⎨
=++

⎩

2.5. B
IẾN
C
Ố
Đ
ỘC
L
ẬP

• Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau, nếu sự xẩy ra hay khơng xẩy
ra của biến cố nào trong chúng đều khơng ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của
biến cố còn lại.
• Hệ n biến cố (n ≥ 3) A
1
, A
2
…, A
n
gọi là độc lập tồn phần nếu A
2
độc lập với
A
1
, A
3
độc lập với A
1
A

2
, … , A
n
độc lập với A
1
A
2
…A
n-1
.
I.4
Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS. Lê Anh Vũ
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê
Ví dụ 1.7.
Hai sinh viên Lan và Tuấn cùng đi thi mơn Kinh tế lượng. Gọi L, T lần lượt là
biến cố Lan, Tuấn đậu. Rõ ràng L và T độc lập với nhau.
Chú ý
Hai biến cố đối lập thì khơng thể độc lập vì sự xẩy ra của biến cố này đã phủ định
sự xẩy ra của biến cố kia.
2.6. V
ÀI
T
ÍNH
C
HẤT
C
ỦA
C
ÁC
P

HÉP
T
OÁN
T
RÊN
C
ÁC
B
IẾN CỐ

1) Tính giao hốn:
ABBA +=+
và
ABBA .. =
.
2) Tính kết hợp:
()( )
CBACBA ++=++
và
( ) ( )
CBACBA .... =
.
3) Tính phân phối:
()
CABACBA ... +=+
và
( ) ( )( )
CABACBA ++=+ ..
.
4)

AAA =+
;
AAA =.
;
( )
AA = .
5) Luật DeMorgan:
•
nn
AAAAAA LL
2121
.=+++
.
•
12 1 2
... ...
nn
A AA A A A=+++
.
3. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT
3.1. N
HẬN XÉT
–
Ý NGHĨA CỦA XÁC SUẤT


Các biến cố ngẫu nhiên có đặc điểm chung là có thể xẩy ra, có thể khơng
xẩy ra sau khi thực hiện phép thử. Khi phép thử chưa thực hiện xong ta
khơng thể biết chắc chắn là biến cố ngẫu nhiên mà ta quan tâm có xẩy ra
hay khơng. Tuy nhiên dường như ta vẫn trực cảm được rằng biến cố này

dễ xẩy ra hơn, còn biến cố kia khó xẩy ra hơn. Nói một cách khác, khả
năng (dễ hay khó) xẩy ra của mỗi biến cố ngẫu nhiên nói chung là khác
nhau

Ta muốn lượng hóa, tức là tìm cách đo khả năng xẩy ra của mỗi biến cố
bởi một con số. Con số đó gọi là xác suất của biến cố đang xét. Nói rõ
hơn, xác suất của một biến cố A nào đó là một số, ký hiêu P(A), dùng để
đo khả năng (dễ hay khó) xẩy ra của biến cố A. Xác suất P(A) càng nhỏ
thì biến cố A càng khó xẩy ra, xác suất P(A) càng lớn thì biến cố A càng
dễ xảy ra.

Chú ý rằng, trong khoa học xác suất, ta chủ yếu quan tâm đến sự xẩy ra
hay khơng xẩy ra của các biến cố chứ dường như khơng mấy quan tâm
đến bản chất thực tế của biến cố. Bởi thế, nếu hai biến cố A, B khác nhau
nhưng có xác suất bằng nhau, tức là chúng có khả năng xẩy ra như nhau
thì về một mặtnào đó, có thể xem là chúng tương đương với nhau.

Vấn đề đặt ra là, với mỗi biến cố A đã cho, làm thế nào để xác định P(A)?
Dưới đây ta sẽ giới thiệu một vài cách xác định P(A). Chú ý rằng dù xác
định xác suất như thế nào thì nó cũng phải thỏa mãn những tính chất hiển
nhiên như sau
• P(∅) = 0% = 0; P(U) = 100% = 1;
• 0% = 0 ≤ P(A) ≤ 1 = 100%, v A. ới mọi biến cố ngẫu nhiên
I.5