SLIDE BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Chương 0.
BỔ TÚC GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1. Quy tắc nhân:
Một công việc được chia làm hai giai
đoạn mới hòan thành.
Có n cách thực hiện giai đọan I;
Có m cách thực hiện giai đọan II.
Khi đó có n.m cách thực hiện xong công
việc.


Ví dụ: Muốn đi từ A đến C phải qua B. Đi
từ A đến B có 3 con đường, đi từ B đến C
có 4 con đường. Hỏi có bao nhiêu con
đường từ A đến C mà phải qua B ?
Giải:
Công việc của chúng ta là đi từ A  C, có
hai giai đọan:
Giai đọan I: từ AB có 3 cách;
Giai đọan II: từ BC có 4 cách.
Vậy theo quy tắc nhân có 3x4=12 cách đi.


2. Quy tắc cộng:
Một công việc được chia làm hai
phương án thực hiện vẫn hòan thành.
Có n cách thực hiện phương án I;
Có m cách thực hiện phương án II.
Khi đó có n+m cách thực hiện xong công
việc.
Ví dụ: Muốn đi từ A đến C phải qua B, hoặc qua D

(giữa B và D không có đường nối). Đi từ A đến B có 3
con đường, đi từ B đến C có 4 con đường. Đi từ A

đến D có 5 con đường, đi từ D đến C có 2
con đường. Hỏi có bao nhiêu con đường từ A đến C


Giải:
Công việc của chúng ta là đi từ A đến
C. Có hai phương án đi:
Hoặc lộ trình ABC;
Hoặc lộ trình ADC;
Theo quy tắc nhân lộ trình ABC có 12
cách đi (hay 12 con đường đi).
lộ trình ADC có 10 cách đi (hay
10 con đường đi).
Vậy theo quy tắc
cộng có 12+10=22 đường đi.


3. Hóan vị:
3.1.Định nghĩa: Ta gọi một hóan vị của tập
n phần tử là một cách sắp xếp n phần tử vào
n vị trí khác nhau.
Ví dụ: Xếp 5 người ngồi vào 5 ghế khác
nhau là một hóan vị.
Theo quy tắc nhân số cách sắp xếp là

1× 2 × 3 × 4 × 5 = 120
Theo quy tắc nhân ta có

3.2. Định lý 1: Số các hóan vị của tập n
phần tử khác nhau là

Pn = 1× 2 × 3 × ... × n = n !
Ví dụ: Có 12 quyển sách gồm 5 quyển
Tóan; 4 quyển Lý; 3 quyển Hóa.
Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển
sách này lên một kệ hàng ngang mà các
quyển sách cùng lọai đứng cạnh nhau.
Giải: Số cách sắp xếp là: 3!× 5!× 4!× 3!


4. Chỉnh hợp:
4.1.Định nghĩa: Ta gọi một chỉnh hợp chập
k của n phần tử là một cách sắp xếp k phần
tử vào n vị trí khác nhau ( k ≤ n )
Vậy nếu k=n thì đây là một hóan vị.
4.2.Định lý 2: Số chỉnh hợp chập k của n
phần tử là
n!
k
An = n P k =
(n − k )!


5. Tổ hợp:
5.1.Định nghĩa: Ta gọi một tổ hợp chập k
của n phần tử là một tập con có k phần tử

của tập có n phần tử.
Hoặc định nghĩa tổ hợp chập k của n phần
tử là một cách sắp xếp không phân biệt
thứ tự k phần tử vào n vị trí khác nhau
Ví dụ 1: Cho tập A={1; 2; 3; 4}. Các tập
con sau đây là tổ hợp chập 2 của 4 phần tử.


A1={1; 2}={2; 1}, A2={1; 3}={3; 1},
A3={1; 4}={4; 1}, A4={2; 3}={3; 2},
A5={2; 4}={4; 2}, A6={3; 4}={4; 3}.
Ví dụ 2: Xét 4 cái ghế có đánh số thứ tự.
1

2

3

4

Xếp 2 người A, B ngồi lên 4 ghế trên mà
không phân biệt thứ tự.
Ta có các cách xếp như sau


1A
B

2B
A

3

4

1A
B

2

3B
A

4

1A
B

2

3

4B
A

1

2A
B

3B
A

4

1

2A
B

3

4B
A

1

2

3A
B

4B
A

Nhận xét: Với cách xếp như trên ta chỉ chú
ý đến cách chọn các cái ghế để xếp người
ngồi mà không chú ý đến thứ tự.

5.2. Định lý 3: Số tổ hợp chập k của n phần
tử là

n!
C = nCk =
k !(n − k )!
k
n

Chứng minh:
Trong mỗi tổ hợp thì có k! chỉnh hợp. Vậy
trong tập có n phần tử số chỉnh hợp là Akn
k
k
thì số tổ hợp là Ckn . Vậy An = k !Cn
(đpcm)
(Dùng quy tắc tam suất.)


Ví dụ: Một đội văn nghệ có 7 thành viên.
Cần chọn ra 3 thành viên để hát chung với
nhau một bài hát. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn nếu:
a) Chọn tùy ý.
b) Nhìn vào danh sách gọi lần lượt để
được 3 thành viên.( Không nhất thiết theo
thứ tự)
3
3
a) C7 = 35

b) A7 = 210