Bài giảng Giải tích: Chương 6 - Phan Trung Hiếu (2018)

11/15/2018

Chương 6:

Tích phân suy rộng

§1. Các loại tích phân suy rộng

GV. Phan Trung Hiếu

§1. Các loại tích phân suy rộng
§2. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng
LOG
O
2

Loại 1: 


a

b

f ( x )dx;





f ( x) dx;





f ( x) dx.



Loại 2:

 /2

b

 f ( x)dx trong đó lim f ( x)   với c  [a, b].
a

Ví dụ 1.1: Tích phân nào sau đây là tích phân
suy rộng? Nếu là tích phân suy rộng thì hãy
cho biết nó thuộc loại nào.


1
dx
a )  2 dx
b)  2
x
x 1
1


xc

c) 
0

sin xdx
cos x

1

dx
x
1

d )

1

dx
.
x
2

e) 

3

4

TH1 (Dễ tính nguyên hàm): Ta dùng giới hạn
tại điểm suy rộng của tích phân xác định để
tính tích phân.

§2. Khảo sát sự hội tụ

của tích phân suy rộng

TH2 (Khó tính nguyên hàm): Ta dùng tiêu
chuẩn so sánh với tích phân đã có kết quả
hoặc tích phân dễ tính nguyên hàm.
Từ đó, đưa ra kết luận tích phân hội tụ hay
phân kỳ.

5

6

1


11/15/2018

TH1 (Dễ tính nguyên hàm của f(x)):

Chú ý 2.1:

Phương pháp:
-Chú ý những điểm suy rộng:  , điểm
c  [ a, b] mà lim f ( x )  .

xc
-Dùng giới hạn tại điểm suy rộng của tích
phân xác định để tính tích phân.

f ( x ) dx
  f ( x) dx  alim
  

b

b

a



b







f ( x )dx  lim

b  

a



a



b





f ( x )dx   f ( x )dx 



a

a

b

c





 f ( x)dx



f ( x )dx 







f ( x )dx 

x  a



 Điểm suy rộng tại c  ( a, b )
b



b

 f ( x)dx  lim  f ( x)dx
t a 

a



a

t

 Điểm suy rộng tại b lim f ( x)  
xb





f ( x )dx  lim  f ( x )dx
t b

a

a

 Điểm suy rộng tại a và b
c

b


a

b

c

f ( x) dx   f ( x)dx   f ( x )dx
a

c

-Trong công thức ,,, nếu giới hạn tồn
tại hữu hạn thì kết luận tích phân hội tụ, ngược
lại là tích phân phân kỳ.
-Trong công thức ,,, nếu cả 2 tích
phân (bên phải) hội tụ thì kết luận tích phân
hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.



t

b

b

f ( x )dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx, c  (a, b)
a

c

9

10

Định lí 2.2:



a)

Ví dụ 2.1: Khảo sát sự hội tụ và tính các tích
phân sau (trong trường hợp hội tụ)

0

dx
ln x
a)  2
b)  e  x dx
c) 
dx
x
x
1

1



f ( x) dx hội tụ và



a 

 g ( x)dx hội tụ

a

   f ( x)  g ( x )  dx hội tụ và
a




  f ( x)  g ( x) dx  
a

a



f ( x) dx 





g ( x )dx.



a

11

0

1

0

2



  k . f ( x )dx hội tụ và  k . f ( x) dx  k .  f ( x )dx
a



g) 

a

f ( x ) dx hội tụ và k là một hằng số

a 





d)



b)

f ( x )dx, c   tùy ý

8

 Điểm suy rộng tại a lim f ( x )  
b


c



7



f ( x )dx , b  (0,  ) tùy ý

a

j) 

2

xe x dx
dx
1 x 2

e)

2 xdx
 1  x2

 /2

h)


0

sin xdx
1  cos x



f)

dx

 1 x

2


1

e x dx
ex 1
1

i) 

dx
4  x2
12

2


11/15/2018

TH2 (Khó tính nguyên hàm của f(x)):
Phương pháp:
-Chú ý những điểm suy rộng:  , điểm
c  [ a, b] mà lim f ( x )  .
xc

-Dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân đã
có kết quả hoặc tích phân dễ tính nguyên
hàm.

Định lí 2.2: f(x), g(x) dương trên [ a, ) và khả tích
trên mọi đoạn [a,b], b  a.
f ( x)
 k.
Xét xlim
 g ( x )
i) 0  k   :






f ( x )dx ,

a

 g ( x)dx

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

a



ii) k  0 :



 g ( x)dx hội tụ  

a


a



f ( x)dx phân kỳ 

a





 g ( x)dx phân kỳ.

a




iii) k   :

f ( x )dx hội tụ.

f ( x )dx hội tụ 

a




13

Hệ quả 2.3: f(x), g(x) dương, liên tục trên [ a, ) và

f ( x )  g ( x) khi x  
thì





f ( x)dx và

g ( x)dx phân kỳ 
14





a

a

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

b


0

1
dx
xn

1
dx
xn

15

b

1
a (b  x) n dx

hội tụ  n  1

 Với a  b   , ta có
b

1
a ( x  a) n dx

hội tụ  n  1

f ( x) dx phân kỳ.

a

hội tụ  n  1
phân kỳ  n  1

hội tụ  n  1

phân kỳ  n  1
16

Ví dụ 2.2: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân


a) 
1

phân kỳ  n  1



 Với 0  b   , ta có

[ a, b), (a, b]

 Với a  b   , ta có



Chú ý 2.4:
 Với 0  a   , ta có

 g ( x)dx

Định lý và Hệ quả trên tương tự cho trường hợp trên

a

a



a

 g ( x)dx hội tụ.



c)


1



dx
x  x 1

b) 

3

1



( x  5)dx
3

x 1 x

d)

3


0

2 xdx
x5  x  1
dx
x3

1

dx
sin
x
0

1

ln(1  x ) dx
x3/2
0

f )

e) 

phân kỳ  n  1
17

18

3


11/15/2018

Ví dụ 2.3: Tìm tất cả giá trị thực của m để tích
phân suy rộng sau hội tụ


x

Ví dụ 2.4: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân


a) 

m 1

 1  x dx

0

0



x2
ex

1

b) 

dx

2

1
1

1

2

d) 

1
dx
ln x
0

c )  xe x dx
0

2

e) 
1

x 2  x  5ln x
dx
2 x3  x  1

1

dx

f )

x2  1

0

x3dx
3

(1  x 2 )5

1

5 x3  x
dx
tan x  x
0

g) 
19

20

Ví dụ 2.5: Tìm tất cả giá trị thực của m để tích
phân suy rộng sau hội tụ

0  f ( x) 





Định lí 2.5:

x m1e  x dx

0

Khi đó:
b


[ a, )
g ( x) với mọi x trên [a, b), lim f ( x)  
xb

 ( a, b], lim f ( x)  

xa

b

i)  g ( x) dx hội tụ   f ( x) dx hội tụ.
a

b

a

b

ii)  f ( x)dx phân kỳ   g ( x)dx phân kỳ.
a

a

21

22

Ví dụ 2.6: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân


a) 
1



dx
2 x 2  sin 2 3x

b) 
1



1

e x 1dx
c) 
x
0


e) 
0

d)


0

arctan x
dx
2  ex

ln 3 x
dx

x 5

sin 2 x
dx
x2

Chú ý 2.7: Trường hợp hàm f(x) đổi dấu
Phương pháp: Lấy trị tuyệt đối và đánh giá theo Định
lý sau
Tích phân suy rộng của f (x) hội tụ
 Tích phân suy rộng của f (x) hội tụ.
Khi đó, ta nói tích phân suy rộng của f(x) hội tụ tuyệt
đối.
Chú ý kết quả: sin X 1; cos X 1, X .

Ví dụ 2.7: Khảo sát sự hội tụ của tích phân



1

23

sin x
dx
x3
24

4

Bài tập Giải tích
BÀI TẬP CHƯƠNG 6
Bài 1: Tính các tích phân sau và cho biết tích phân hội tụ hay phân kỳ


1

x

 e 2 dx.

1)





0





dx

2

.

3 x

xe

6)






9)

e

 (x

7)

0

0



1

dx
13)  2 .
x

0



14)

0

1

1 x

2

1

2

.

16)

0

dx

 (2  x)


20)


2

1 x

.

dx
.
x x2
2

2

1/ x

e
23)  3 dx.
x
1

xdx.

.

0

(ln x )3 dx
0 x .

0

 sin

22)

4 x

2

x

dx
.
x

1

1

19)



xdx
21) 
.
1 x
0


0

x dx

0

dx
0 ( x  1)2 .

18)

12)

5



15)

4

dx
1 x 2 .

dx.



.

3

e2

1

xe

11)

dx

 x ln

8)

dx.

x

1

xdx
.
 2) 2

x

e



2

2  x3

2

xdx



4)



xdx
10) 
.
2
1

x


dx
.
x ln x ln x

1

17)

dx.



4
 (2  x )dx.

3)

4

 4 x

5)



2 x
 e dx.

2)

24)

x

2

ln xdx.

0

1

ln x
0 x dx.

25)

Bài 2: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau


1)

dx

x



.

1  x 5  x10
 1
 x ln  1 


x

5) 
dx.
2
x

1
1

2)

1

1

9)

e

dx
x

0

.
1



2
13)  (1  cos )dx.
x
1



xdx



1  x3 3 1  x 5

1

.

3)



10)

0

xdx
2  x2

 2 5 x4  1



dx.

4)

7)

.



11)

x 3x

0

 /2

1

dx
14) 
.
0 x2 x



15)

0

8)


dx

.

dx
.
x sin x

x3  2
dx.
2x2  x  1

1

ln(1  5 x 3 )
0 esin x  1 dx.



1

2

dx

0 x( x  1) .


2

1

1

6)

x

x  x 1

12)

x
0 sin 2 x dx.
5x  1
dx.
2
2

x
2



16)

dx

 (1  x

2 2

0

)

.

Bài 3: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau


1)


e


5)


1

4

9)


0

1
dx.
ln x

dx
.
2
ln (1  x)
dx
.
x 2



2)


1

1

6)


0

1

ln(1  x)
dx.
x

3)

x



1  x4

0



x

e
dx.
1  cos x

7)


1

2



dx
10) 
.
ln
x
1

11)


1

5

 /2

dx.

dx
.
5 x  ln x
ex
dx.
2x  1

dx

 cos x .

4)

0



8)

2

x
 e dx.
1

2

12)


0

dx
2 x  x2

.


Bài tập Giải tích





13)

1

ln x
dx.
x( x 2  1)

1

17)



3

0

dx
14)  x
.
e  cos x
0
1

dx

x (e x  e  x )

.

1

1

18)

ln x



1  x2

0

15)

1

2dx



(1  x 2 )(4  x 2 )

0

dx
.
cos x  cos1

. 16) 
0

dx.

Bài 4: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau


1)


1





5)

8)

7

5

0



12)


0



dx.

6)

1  x3

dx.

arctan x
dx.
x 3/ 2

x arctan x



1 x

1



0



13)



arctan x
dx.
2  ex



9)


0

1  x2
4) 
dx.
x3
1

sin 2 x
3) 
dx.

x
0

x  cos x  sin 2 x

sin x  cos x



1





dx
.
2
x (1  e x )



2)

x  sin x
3

1

1



2  e x
dx.
x

10)

x
0

3

3

1

dx.

7)

sin 2 x



3

0



x
dx.
1



11)

1

1 x

3

dx.

x 1
x4  x

dx.

2

e x
dx.
x

14)

cos 2 x
0 3 1  x dx.

Bài 5: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau


cos x
1) 
dx.
x
0


5)


1

sin x  3
dx.
x





cos x
2)  3/2 dx.
x

 /2

3)

4)

x
 e s in2xdx.

8)


0

1  cos x
1 x 2 dx.

7)



sin x

1





6)



cos x
dx.
x2  1





0

0

x3

dx.

sin x
dx.
x (1  x)

Bài 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để tích phân suy rộng sau hội tụ


m 
 x
1)   2


 dx. 2)
x  1 3x  1 
0 




e

1

1
dx.
x (ln x) m

3) x ln xdx.



4)

0





1
5)  ( x  1) arctan   dx.
x

0
2

1
m

m

6)


0

6

dx

x 

2

x 1



m

.

ln(1  x )

dx.
xm
0

