Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Bài 5 - ĐH Kinh tế Quốc dân

BÀI 5 – BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
▪ 5.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên nhiều chiều
▪ 5.2. Bảng phân phối xác suất hai chiều
▪ 5.3. Tham số đặc trưng

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

115


5.1. KHÁI NIỆM BNN NHIỀU CHIỀU
Chiều cao nữ sinh viên VN (m): 𝑋 là biến ngẫu nhiên 1
chiều
𝑃 𝑋 = 1,5 = 0,25
▪ Điểm 10%, 20%, 70% của môn LT Xác suất &TKT:
(𝑋, 𝑌, 𝑍) là biến ngẫu nhiên 3 chiều
𝑃 𝑋 = 9, 𝑌 = 9, 𝑍 = 9 = 0,01
𝑃 𝑋 = 9 = 0,3
Hệ 𝑛 biến ngẫu nhiên 1 chiều được xét một cách đồng
thời tạo nên biến ngẫu nhiên 𝑛 chiều.
Kí hiệu: (𝑋1, 𝑋2, … . 𝑋𝑛)
▪

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

116


Biến ngẫu nhiên hai chiều
▪ Hệ hai biến ngẫu nhiên 1 chiều được xét một cách
đồng thời tạo nên biến ngẫu nhiên 2 chiều.

▪ Kí hiệu: (𝑋, 𝑌)
▪ Ví dụ: Thu nhập và tiêu dùng của hộ gia đình; chiều dài
và chiều rộng của 1 sản phẩm.
▪ Phân loại
• BNN 2 chiều rời rạc: nếu 𝑋, 𝑌 đều rời rạc
• BNN 2 chiều liên tục: nếu 𝑋, 𝑌 đều liên tục

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

117


Ví dụ
▪ Ví dụ 5.1. Cho các biến ngẫu nhiên:
▪ 𝑋: Doanh thu (triệu), 𝑌: Chi quảng cáo (triệu)

𝑌

3

6

9

0,02
0,12
0,17

0.01
0,08

?

𝑋

100
0,1
200
0,16
300
0,2
a) 𝑃(𝑋 = 200, 𝑌 = 6) =
b) 𝑃 𝑋 = 300 𝑌 = 9) =

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

118


5.2. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Y
X

x1
x2
…
xn

y1

y2

…

ym

p11
p21
…
pn1

p12
p22
…
pn2

…
…
…
…

p1m
p2m
…
pnm
1

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

119

Bảng phân phối xác suất đồng thời
Y

y1

y2

…

ym

P(X)

x1
x2
…
xn

p11
p21
…
pn1

p12
p22
…
pn2

…

…
…
…

p1m
p2m
…
pnm

P(x1)
P(x2)
…
P(xn)

P(Y)

P(y1)

P(y2)

…

P(ym)

1

X

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

120


Bảng phân phối xác suất biên
▪ Bảng phân phối xác suất biên của 𝑋
𝑋
𝑃

𝑥1
𝑃(𝑥1)

…
…

𝑥𝑖
𝑃(𝑥𝑖)

…
…

𝑥𝑛
𝑃(𝑥𝑛)

…
…

𝑦𝑚
𝑃(𝑦𝑚)

▪ Bảng phân phối xác suất biên của 𝑌

𝑌
𝑃

𝑦1
𝑃(𝑦1)

…
…

𝑦𝑗
𝑃(𝑦𝑗)

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

121


Bảng phân phối xác suất có điều kiện
▪ Bảng phân phối của (𝑋 | 𝑌 = 𝑦𝑗):
P ( xi , y j )
P ( xi | y j ) =
P( y j )
(𝑋 | 𝑌 = 𝑦𝑗)
𝑃

𝑥1
𝑃(𝑥1 | 𝑦𝑗 )

𝑥2
𝑃(𝑥2| 𝑦𝑗)

…

𝑥𝑛
𝑃(𝑥𝑛 | 𝑦𝑗)

…

▪ Bảng phân phối của (𝑌 | 𝑋 = 𝑥𝑖 )
(𝑌 | 𝑋 = 𝑥𝑖)

𝑦1

𝑦2

…

𝑦𝑚

𝑃

𝑃(𝑦1 | 𝑥𝑖)

𝑃(𝑦2| 𝑥𝑖)

…

𝑃(𝑦𝑚 | 𝑥𝑖)

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

122


5.3. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG
▪ 5.3.1. Kì vọng
n

n

m

E ( X ) =  xi P( xi ) =  xi P( xi , y j )
i =1

i =1 j =1

m

m

n

j =1

j =1 i =1

E (Y ) =  y j P( y j ) =  y j P( xi , y j )

▪ 5.3.2. Phương sai

n

m

V ( X ) =  xi2 P( xi , y j ) − [E ( X )]2
i =1 j =1

m

n

V (Y ) =  y 2j P( xi , y j ) − [E (Y )]2
j =1 i =1

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

123


Kì vọng có điều kiện và tính độc lập BNN
▪ Từ bảng phân phối có điều kiện, ta có

E (Y / X = xi ) =  y j P( y j / xi )
j

E ( X / Y = y j ) =  xi P( xi / y j )
i

▪ Tính độc lập: 𝑋, 𝑌 độc lập nếu
P (Y = y j / X = xi ) = P (Y = y j )

i, j

𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑗 ) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ). 𝑃(𝑌 = 𝑦𝑗 )∀𝑖, 𝑗

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

124


Hiệp phương sai và hệ số tương quan
▪ Hiệp phương sai (covariance): 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)

Cov ( X ,Y ) = E ( X − E ( X ) Y − E (Y ) )
n

m

=  xi y j P ( x i , y j ) − E ( X ).E (Y )
i =1 j =1

▪ Hệ số tương quan (correlation) của 𝑋 và 𝑌: X,Y

ρX ,Y

Cov ( X ,Y )
=
σ X . σY

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

125


Hiệp phương sai
▪ Tính chất của hiệp phương sai
• 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐶𝑜𝑣(𝑌, 𝑋)
• 𝑋, 𝑌 độc lập  𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0
• 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) > 0 thì 𝑋, 𝑌 có “tương quan dương”
• 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) < 0 thì 𝑋, 𝑌 có “tương quan âm”
▪ Phương sai tổng hiệu tổng quát
• 𝑉(𝑎𝑋  𝑏𝑌) = 𝑎2 𝑉(𝑋) + 𝑏2 𝑉(𝑌)  2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

126


Hệ số tương quan
Tính chất của hệ số tương quan
▪ X,Y = Y,X
▪ –1  X,Y  1
▪ X,Y > 0: tương quan cùng chiều, X,Y < 0: ngược chiều
▪ X,Y = 0: không tương quan
▪ 𝑋, 𝑌 độc lập  X,Y = 0
▪ X,Y =  1: 𝑋, 𝑌 có quan hệ hàm số bậc 1 với nhau

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

127