Bài giảng Toán cao cấp - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính (2019)

10/11/2019

NỘI DUNG
 Hệ phương trình, dạng ma trận, nghiệm
Giải hệ bằng phương pháp khử Gauss

 Giải và biện luận hệ Cramer
Hệ phương trình thuần nhất
 Ứng dụng

HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG 2

10/10/2019

1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

10/10/2019

2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Dạng ma trận

Dạng tổng quát

a11x 1 a12x 2 ... a1n x n

b1
a21x 1 a 22x 2 ... a 2n x n
b2
...............................................
am 1x 1 am 2x 2 ... amn x n
bm

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
......................
am 1 am 2 ... amn

aij gọi là các hệ số
bj: hệ số tự do

A X

10/10/2019

3

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Dạng ma trận

x1
x2
...
xn

A X

b1
b2
...
bm

B

10/10/2019

4

MỘT SỐ KHÁI NIỆM
 Nếu số phương trình bằng số ẩn và detA≠0  Hệ Crammer

B

 Nếu hệ số tự do triệt tiêu  Hệ thuần nhất

Ma trận A gọi là ma trận hệ số.
X: ma trận cột các ẩn số

 Hai hệ phương trình tuyến tính gọi là tương đương nếu
chúng có cùng tập nghiệm.

B: ma trận hệ số tự do hay cột tự do

 Ma trận hệ số bổ sung hay ma trận mở rộng

Nghiệm của phương trình là một bộ số:

x1, x 2,..., x n

c1, c2,..., cn

Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình trong hệ đều thỏa
mãn.
10/10/2019

5

 a11 a12

a
a22
A   A B    21


 am1 am 2
10/10/2019

a1n b1 

a2 n b2 


amn bm 

Augmented matrix

6

1


10/11/2019

ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM

VÍ DỤ
Các hệ phương trình sau có nghiệm hay không?

 a11 a12

a
a22
A   A B    21


 am1 am 2

x 2 2x 3
1
a) x1 x 3
2
2x 1 2x 2 2x 3

a1n b1 

a2 n b2 

 r A  r  A


amn bm 

 

 a11 a12

 a21 a22


0
0

1

x 3 4x 4
2
x3 x4
1
4x 3 11x 4
5

x 1 2x 2 x 3
2
2x 1 x 2 4x 3
1
c)
3x 1 4x 2 x 3

0
x 1 2x 2 4x 3
1

a1n b1 

a2 n b2 
 r A  r  A


0 b  0

 

10/10/2019

x 1 2x 2
b) 2x 1 x 2
x 1 7x 2

7

VÍ DỤ 2

10/10/2019

8

HỆ CRAMER



Phương pháp ma trận nghịch đảo

A.X

B

A 1.B

X

Phương pháp định thức
Định lý. Hệ Cramer với ma trận hệ số là A có nghiệm duy nhất và
nghiệm của nó được xác định bởi: xi=Di/D. Trong đó D=detA và
Di là định thức của ma trận thu được từ A bằng cách thay cột
thứ i bởi cột hệ số tự do.

xi
10/10/2019

9

HỆ CRAMER – SỬ DỤNG ĐỊNH THỨC

A

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
;B

......................
an 1 an 2 ... ann

D1

10/10/2019

det A1

b1
b2
...
bn

A1

det Ai
det A

Di
D

10/10/2019

10

HỆ CRAMER – SỬ DỤNG ĐỊNH THỨC

b1 a12 ... a1n
b2 a22 ... a2n

......................
bn an 2 ... ann

Vì detA khác 0 nên tồn tại ma trận nghịch đảo A -1. Do đó:

A.X

B

X

A 1.B

Ta có:

b1 a12 ... a1n
b2 a22 ... a2n
....................
bn an 2 ... ann
11

10/10/2019

12

2


10/11/2019

V D 3

V D 3
Cỏch 2. Ta cú:

Gii h phng trỡnh sau:

Ta tớnh c:

Gii.
Cỏch 1. Ta cú:

Vy nghim ca h l:

Vy h cú nghim duy nht.

X A1B

Nghim ca h (1,1,-2)
10/10/2019

13

3
0 5
3
18 1
1
1 1 18 1
12

18
12
18

18

36 2
12 6 6 5



10/10/2019

V D 4

14

S NGHIM CA H TNG QUT

Tỡm iu kin h sau õy l h Cramer. Tỡm nghim
ca h trong trng hp ny.

Cho h phng trỡnh A.X=B vi m phng trỡnh v n n.

i) Heọ pt coự nghieọm duy nhaỏt
ii) Heọ pt coự voõ soỏ nghieọm

r A
r A

iii) Heọ pt voõ nghieọm

r A

r A

iv) Heọ pt coự nghieọm

r A

r A

r A
r A

n
n

Trong trng hp ii) h cú vụ s nghim ph thuc vo nr(A) tham s.
10/10/2019

15

10/10/2019

PP KH GAUSS - JORDAN

16

PHNG PHP GAUSS JORDAN

- Dựng cỏc phộp bin i s cp trờn hng a ma
trn h s m rng v dng bc thang.



- dng ny ta d dng nhn bit h cú nghim hay
khụng v vic gii tỡm nghim cng n gin hn.

A

Cỏc phộp bin i s cp trờn hng?

AB

bdsc hang

Ar

Ar B

-

-

10/10/2019

17

10/10/2019

18

3


10/11/2019

VÍ DỤ 5

VÍ DỤ 6



Giải và biện luận hệ phương trình:
Giải.
Ma trận hệ số bổ sung:

10/10/2019

19

10/10/2019

VÍ DỤ 6

20

BIỆN LUẬN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CRAMER

Biện luận.

Cho hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số A là ma
trận vng.
Đặt: D
i ) Nếu D

det A ; D1
det A1 ; ...; Dn
det An
0 thì hệ có nghiệm duy nhất:
Di
xi
D
ii ) Nếu D
0 và tồn tại Di
0 thì hệ vô nghiệm.
ii ) Nếu D
D1 ... Dn
0 thì hệ vô nghiệm
hoặc vô số nghiệm.
Ta giải tiếp bằng phương pháp Gauss.

10/10/2019

21

10/10/2019

VÍ DỤ 6

VÍ DỤ 7

Ta có:
D

det A

D2

detA1

22

Giải và biện luận hệ phương trình sau
m
1
1
m
1
1

1
m
1
1
1
1

1
1
m
1
1
m

D1

detA1

1
1
1

D3

det A3

m
1
1

1
m
1

1
1
m

1
m
1

1
1
1

mx 1 x 2
a ) x 1 mx 2
x1

x2

x3
x3
mx 3

1
m
m2

ax y z 4
b) x by z 8
x 2by z 4

Sinh viên tự làm tiếp

10/10/2019

23

10/10/2019

24

4


10/11/2019

HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT

TÍNH CHẤT

Hệ thuần nhất có dạng:

1. Hệ phương trình thuần nhất luôn luôn có nghiệm.

a11 x1  a12 x2   a1n xn  0
a x  a x   a x  0
 21 1 22 2
2n n


am1 x1  am 2 x2   amn xn  0

2. (0,0,…,0) luôn là nghiệm của hệ, gọi là nghiệm tầm
thường.

3. Mọi tổ hợp tuyến tính các nghiệm của hệ thuần nhất
cũng là nghiệm. Do đó, hệ thuần nhất hoặc chỉ có
nghiệm tầm thường hoặc có vô số nghiệm.

Hoặc dạng ma trận: A. X  0
Ma trận mở rộng: A   A | 0   r A  r  A 
Để thuận tiện ta chỉ xét và biến đổi trên ma trận A.

 

10/10/2019

Q. Khi nào thì hệ có nghiệm tầm thường? Vô số nghiệm?
A.

25

10/10/2019

26

VÍ DỤ 8

VÍ DỤ 8

Giải hệ phương trình

Hệ đã cho tương đương với hệ:

Giải.

Xét ma trận hệ số của phương trình.

Tập nghiệm của hệ là:

Nghiệm cơ sở (basic solutions):

8, 6,1,0  ;  7,5,0,1
10/10/2019

27

BÀI 1

28

BÀI 2
Giải các phương trình sau

Cho hai ma trận:
 1 2 3 
A   3 2 4 
 2 1 0 



10/10/2019

 1 2 1
B   3 1 0 

2 1 1 



x 1 2x 2 2x 3 1
a ) 2x 1 3x 2 6x 3 1
x 1 x 2 7x 3 m

x1 x 2 x 3 x 4 0
3x 1 x 2 x 3 2x 4 5
b)
5x 1 x 2 x 3
4
7x 1 x 2 x 3 3x 4 10

Tìm ma trận nghịch đảo của A.
Tìm X biết: X.A=3B

10/10/2019

29

10/10/2019

30

5


10/11/2019

BÀI 3

BÀI 4

Giải các hệ phương trình sau
2x
a ) 3x
4x

y 3z
5y z
7y z

2x 1
4x 1
c)
8x 1
3x 1

2x 2
3x 2
5x 2
3x 2

Tìm m để ma trận sau khả nghịch
x y z 6
b) 2x 3y 4z 21
7x y 3z 6

9
4
5

m 
1 1

A  1 m
1 
 1 m  1 m  1



x3 x4 4
x 3 2x 4 6
3x 3 4x 4 12
11x 3 5x 4 6

10/10/2019

31

10/10/2019

BÀI 5

BÀI 6

Cho hệ phương trình tuyến tính.

Giải và biện luận theo m

x
x
x

y mz 1
my z a
(m 1)y (m

1)z

 x1  x2 

a)  m x1  2 x2 

 x1  x2 

b

A) Tìm a, b để hệ có nghiệm duy nhất

mx3

 2m  2  x3




m

4

3x3  m2  3m  3

y
zm
mx 

b) 2 x  (m  1) y  (m  1) z  m  1
 x
y
mz  1


B) Tìm a, b để hệ trên có nghiệm với mọi m

10/10/2019

33

ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG KINH TẾ

10/10/2019

34

GIẢI

Công ty Honda có hai đại lý bán xe X và Y. Hai đại lý này chỉ
chuyên bán xe Dream II và xe môtô. Doanh số bán hàng trong

tháng 8 & 9 của 2 đại lý được ghi lại như sau:
Tháng 9

Tháng 8

32

Dream II

Môtô

Dream II

Môtô

Đại lý X

$ 18,000

$ 36,000

Đại lý X

$ 72,000

$ 144,000

Đại lý Y

$ 36,000

$0

Đại lý Y

$ 90,000

$ 108,000

a/ Tính toán doanh số trong 2 tháng 8 và 9 cho mỗi đại lý và mỗi
loại xe.
b/ Tính sự gia tăng doanh số từ tháng 8 đến tháng 9.

Ta có:

90000
a) A  B  
126000

180000  X
108000  Y

54000
b) B  A  
54000
3600
c)5%.B  
 4500

108000  X

108000  Y
7200  X
5400  Y

c/ Nếu tiền huê hồng Công ty Honda trả cho đại lý là 5% doanh
thu. Tính tiền huê hồng của mỗi đại lý cho mỗi loại xe nhận
được trong tháng 9.
10/10/2019

35

10/10/2019

36

6


10/11/2019

VÍ DỤ

ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG KINH TẾ

 a/ Kích thước của M, N và M*N

Số giờ công lao động cho mỗi sản phẩm được cho như sau:
cut

0.6

M  1.0
1.5

assemble

0.6
0.9
1.2

 b/ Tính M*N và giải thích kết quả.

package

 Giải.

0.2 product A
0.3 product B
0.4  product C

9
M .N  14.1
 B) Ta có:
19.8

 A)

6
 
0.2   8   9$
3

 
 a11: chi phí lao động cho sản phẩm A tại nhà máy I.

Tiền lương tính theo giờ:

a11   0.6

Factory Factory
I
II

6
N  8
3

7  cut
10  assemble
4  package

10/10/2019

0.6

 Bảng kết quả của M*N cho thấy rằng chi phí lao động cho
mỗi sản phẩm tại mỗi nhà máy.
37

BÀI 1

10/10/2019

38

BÀI 2
A) Giải phương trình:

A) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm

3x 2  x 2 x 2
1 2 3 4
0
3 2 2 2
9
2 3 18

 x1  x2  x3  1

 x1  ax2  3x3  2
2 x  3x  ax  3
2
3
 1

B) Tìm ma trận nghịch đảo:
1

A  2
1

10/10/2019

11  product A
17.2  product B
24.1 product C

2
5
0

B) Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất:
3

3
8 

 1 m 1 2 


B   2 1 m 5 
 1 10 6 1 


39

10/10/2019

40

7