Bài giảng Toán cao cấp: Chương 2 - GV. Ngô Quang Minh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (218.51 KB, 4 trang )
10/13/2012
1
§3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
3.1. Định nghĩa
Hệ gồm
n
ẩn
(1, ,)
i
xin
và
m
phương trình:
11112211
21122222
1122
nn
nn
mmmnnm
axaxaxb
axaxaxb
axaxaxb
()
I
trong đó, các hệ số
(1, ,;1, ,)
ij
ainjm
¡
,
được gọi là hệ phương trình tuyến tính.
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
Đặt:
111
1
n
ij
mn
mmn
aa
Aa
aa
,
1
T
m
Bbb
và
1
T
n
Xxx
l
ầ
n lượt là
ma trận hệ số
,
ma trận cột
hệ số
tự do
và
ma trận cột ẩn.
Khi đó, hệ
()
I
trở thành
AXB
.
• Bộ số
1
T
n
hoặc
1
; ;
n
được gọi là nghiệm của
()
I
nếu
AB
.
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
VD 1.
Cho hệ phương trình:
1234
123
23
244
243
275.
xxxx
xxx
xx
Hệ phương trình được viết lại dưới dạng ma trận:
1
2
3
4
11244
21403
02705
x
x
x
x
và
(1;1;1;1)
là 1 nghiệm của hệ.
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
3.2. Định lý Crocneker – Capelli
Cho hệ phương trình tuyến tính
AXB
.
Gọi
ma trận
mở rộng là
111211
12
n
mmmnm
aaab
AAB
aaab
.
Định lý
Trong trường hợp hệ
AXB
có nghiệm thì:
§
Nếu
():
rAn
kết luận
hệ có nghiệm duy nhất
;
§
Nếu
():
rAn
kết luận hệ có vô số nghiệm
phụ thuộc vào
nr
tham số.
Hệ
AXB
có nghiệm khi và chỉ khi
()().
rArA
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
3.3. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
a)
Phương pháp ma trận
(
tham khảo
)
Cho hệ phương trình tuyến tính
AXB
, với
A
là
ma trận vuông cấp
n
khả nghịch.
Ta có:
1
.
AXBXAB
VD
4
.
Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng
phương pháp ma trận:
21
33
21.
xyz
yz
xyz
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
Giải.
1
211112
1
013323
2
211101
AA
.
Hệ phương trình
1
XAB
11213
1
32336
2
10111
xx
yy
zz
.
Vậy hệ đã cho có nghiệm
3,
6,
1.
x
y
z
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
10/13/2012
2
Cho hệ
AXB
,
với
A
là
ma trận vuông cấp
n
.
•
Bước
1.
Tính các định thức:
1111
1
det
jn
nnjnn
aaa
A
aaa
,
11
1
11
,1,
n
n
j
nnn
aa
j
ba
b
n
a
(thay cột thứ
j
trong
bởi cột tự do).
b) Phương pháp định thức (
hệ
Cramer
)
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
•
Bước
2.
Kết luận:
§
Nếu
0
thì hệ có nghiệm duy nhất:
,1,.
j
j
xjn
§
Nếu
0,1,
j
jn
thì hệ có vô số nghiệm
(ta thay tham số vào hệ và tính trực tiếp).
§
Nếu
0
và
0,1,
j
jn
thì hệ vô nghiệm.
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
VD
5
.
Giải hệ phương trình sau bằng định thức:
21
33
21.
xyz
yz
xyz
Giải
.
Ta có:
211
0134
211
,
1
11
13
1
3
1
12
11
,
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
2
1
3
21
0324
2 1 1
,
3
1
3
21
014
2 11
.
Vậy
123
3,6,1.
xyz
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
VD 6. Hệ phương trình
(1)2
(1)0
mxym
xmy
có nghiệm khi và chỉ khi:
A.
2
m
; B.
20
mm
;
C.
0
m
; D.
2
m
.
Giải. Ta có:
11
(2)
11
m
mm
m
020
mm
.
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
•
2:
m
Hệ
0
xy
hệ có vô số nghiệm.
•
0:
m
Hệ
2
0
xy
xy
hệ vô nghiệm.
Vậy với
0
m
thì hệ có nghiệm
C
.
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
10/13/2012
3
c) Phương pháp
ma trận b
ậc thang
(phương pháp Gauss)
Xét
hệ phương trình
tuyến tính
AXB
.
• Bước 1. Đưa ma trận mở rộng
AB
về dạng bậc
thang bởi PBĐSC trên dòng.
•
Bước
2
.
Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên.
Chú ý
.
Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu:
§
có 2 dòng tỉ lệ thì xóa đi 1 dòng;
§
có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng đó;
§
có 1 dòng dạng
0 0,0
bb
thì hệ vô nghiệm.
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
VD
7
.
Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss:
21
33
21.
xyz
yz
xyz
Giải
.
Ta có:
2111
0133
2111
AB
331
2111
0133.
0022
ddd
Hệ
213
336
221
xyzx
yzy
zz
.
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
Giải. Ta có:
52533
41321
27101
AB
VD
8
.
Giải hệ phương trình tuyến tính:
1234
1234
123
52533
4321
27 =1.
xxxx
xxxx
xxx
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
221
331
54
52
52533
013527
03915611
ddd
ddd
332
3
52533
013527
000
10
0
ddd
.
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
VD 9. Tìm nghiệm của hệ
x451
27112
31161
yz
xyz
xyz
.
A.
;
B.
Hệ có vô số nghiệm
;
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
Giải. Ta có:
14511451
2711201214
3116101214
.
Hệ
1579
451
421
214
x
xyz
yD
yz
z
¡
.
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
10/13/2012
4
Giải. Ta có:
31233123
2127051015
.
VD 10. Tìm nghiệm của hệ
323
227
xyz
xyz
.
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
Hệ
2
323
32
23
x
xyz
yB
yz
z
¡
.
34
1227
2415
363
cc
m
m
Giải
.
Ta có:
1272
2451
363
m
AB
m
VD
11
.
Giá trị của tham số
m
để hệ phương trình
tuyến tính
2(7)2
2451
363
xymz
xyz
xymz
có vô số nghiệm là:
A.
1
m
; B.
1
m
; C.
7
m
; D.
7
m
.
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
12271227
003219003219
00342100022
mm
mm
mm
.
Hệ có vô số nghiệm
()()31
rArAm
.
…………………………………………………………………
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
