Bài giảng toán cao cấp chương 2 ths nguyễn phương

Chương 2:
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản
Trường Đại học Ngân hàng TPHCM
Blog:
Email:
Yahoo: nguyenphuong1504
Ngày 17 tháng 2 năm 2014
1


1

Đạo hàm của hàm số
Định nghĩa
Các công thức đạo hàm cơ bản
Đạo hàm cấp cao

2

Vi phân của hàm số
Khái niệm
Vi phân cấp cao và ứng dụng vi phân vào tính gần đúng

3

Các định lý về giá trị trung bình

4

Ứng dụng của đạo hàm
Công thức Taylor
Quy tắc L’Hospital
Sự biến thiên của hàm số
Cực trị của hàm số

5

Ứng dụng trong kinh tế
Giá trị biên tế (Marginal quantity)
Độ co dãn (Elasticity)
Tối ưu trong kinh tế


Đạo hàm của hàm số

Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trong lân cận (a, b), x0 ∈ (a, b).Kí hiệu:
∆x = x − x0 : số gia của đối số (lượng thay đổi của x từ x0 đến x)
∆y = ∆f(x0 ) = f(x) − f(x0 ) = f(x0 + ∆x) − f(x0 ): số gia của hàm số f(x)
(lượng thay đổi của f(x) khi x thay đổi lượng ∆x)
f(x0 + ∆x) − f(x0 )
f(x) − f(x0 )
∆y
=
=
⇒?

∆x
∆x
x − x0
∆y
⇒?
∆x→0 ∆x
lim


Đạo hàm của hàm số

Định nghĩa

Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định trong lân cận (a, b), x0 ∈ (a, b). Nếu giới hạn
lim

∆x→0

f(x0 + ∆x) − f(x0 )
f(x) − f(x0 )
∆y
= lim
= lim
.
x→x0
∆x ∆x→0
∆x
x − x0

tồn tại thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 . Kí
hiệu là f (x0 ) hay y (x0 ).
Ví dụ. Tính đạo hàm tại x0 = 2 của hàm số y = f(x) = x2 + 3x
Giải:
f(x) − f(2)
(x2 + 3x) − (22 + 3.2)
= lim
x→2
x→2
x−2
x−2
2
x + 3x − 10
= lim
= lim (x + 5) = 7.
x→2
x→2
x−2

f (2) = lim

Vậy f (2) = 7.


Đạo hàm của hàm số

Định nghĩa

Định nghĩa
Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm bên phải tại x0 , kí hiệu f+ (x0 ), nếu tồn tại

giới hạn
f+ (x0 ) = lim +
∆x→0

f(x0 + ∆x) − f(x0 )
f(x) − f(x0 )
= lim+
∆x
x − x0
x→x0

Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm bên trái tại x0 , kí hiệu f− (x0 ), nếu tồn tại
giới hạn
f− (x0 ) = lim −
∆x→0

f(x0 + ∆x) − f(x0 )
f(x) − f(x0 )
= lim−
x→x0
∆x
x − x0


Đạo hàm của hàm số

Định nghĩa

Định lý
Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi

f+ (x0 ) = f− (x0 )
Ví dụ
Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 + 2|x| + 1 tại x0 = 0.
Giải. Ta có
f(x) =

x3 + 2x + 1
x3 − 2x + 1

nếu x > 0
nếu x ≤ 0

+ (0) = lim+

f(x) − f(0)
(x3 + 2x + 1) − 1
= lim+
= lim+ (x2 + 2) = 2
x→0
x→0
x−0
x

f − (0) = lim+

f(x) − f(0)
(x3 − 2x + 1) − 1
= lim−
= lim− (x2 − 2) = −2
x→0

x→0
x−0
x

f

x→0

x→0

Tại x0 = 0, đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau nên hàm số không
có đạo hàm tại x0 = 0.


Đạo hàm của hàm số

Định nghĩa

Ví dụ
Cho hàm số

 x+1

e
−x−2



f(x) = 
x+1




a

nếu x

−1

nếu x = −1

i) Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = −1.
ii) Tìm đạo hàm f (−1) ứng với a vừa tìm được trong câu i).
Giải. i) Ta có
lim +

x→−1

ex+1 − x − 2
ex+1 − x − 2
= lim −
=0
x→−1
x+1
x+1

và f(−1) = a

Để hàm số liên tục tại x0 = −1 khi và chỉ khi
ex+1 − x − 2

= f(−1) ⇐⇒ a = 0
x→−1
x+1
lim


Đạo hàm của hàm số

Định nghĩa

ii) Thay a = 0 thì
 x+1

−x−2
e



f(x) = 
x+1



0

nếu x

−1

nếu x = −1

Ta có,
f(x) − f(−1)
f (−1) = lim
= lim
x→−1
x→−1
x+1
ex+1 − x − 2
1
= lim
=
2
x→−1
(x + 1)
2

8

ex+1 − x − 2
−0
x+1
x+1


Đạo hàm của hàm số

Các công thức đạo hàm cơ bản

Các công thức đạo hàm của hàm sơ cấp

1) (k) = 0 , k là hằng số
2) (xα ) = αxα−1
3) (ex ) = ex
1
4) (lnx) =
x
5) (cosx) = −sinx
6) (sinx) = cosx
1
7) (tanx) =
cos2 x

1
sin2 x
1
(arcsinx) = √
1 − x2
1
(arccosx) = − √
1 − x2
1
(arctanx) =
1 + x2
1
(arccotgx) = −
1 + x2

8) (cotgx) = −
9)
10)

11)
12)

Tính chất
1) (ku) = ku
2) (u ± v) = u ± v
3) (uv) = u v + uv
u v − uv
u
=
với v 0
4)
v
v2
5) Cho hai hàm số y = f(u), u = u(x) và tồn tại u (x), y (u), khi đó
yx = fu (u).ux .


Đạo hàm của hàm số

Các công thức đạo hàm cơ bản

Các công thức đạo hàm của hàm hợp
1) (uα ) = αuα−1 u

5) (sinu) = u cosu
1
6) (tanu) =
u
cos2 u

1
7) (cotgu) = − 2 u
sin u

2) (eu ) = eu u
1
3) (lnu) = u
u
4) (cosu) = −u sinu
Định lý

Giả sử f là một hàm số đơn điệu và f (x0 )
1
tại y0 = f(x0 ) và (f −1 ) (y0 ) =
f (x0 )

0 . Khi đó, hàm ngược f −1 khả vi

Các công thức đạo hàm của hàm ngược
1
1
1) (arcsin x) = √
, x ±1
3) (arc tan x) =
1 − x2
1 + x2
1
1
2) (arccos x) = − √
, x ±1

4) (arccotgx) = −
1 + x2
1 − x2
10


Đạo hàm của hàm số

Ví dụ
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = −8x4 + ln x
b) y = sin(13 − x − x4 )
√
c) y = ln2 x + 1 + cot 3x
1 + x2
1 − x3
2
x −1
e) y =
ln x
f) y = (x2 + 1)sin x

d) y = ln

4

Các công thức đạo hàm cơ bản


Đạo hàm của hàm số

Đạo hàm cấp cao

Định nghĩa
- Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x thì ta nói f(x) có đạo hàm cấp 1 tại x. Kí
hiệu f (x).
- Đạo hàm (nếu có) của đạo hàm cấp 1 được gọi là đạo hàm cấp 2 của f(x) tại
x. Kí hiệu f (x).
- Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp n − 1 của f(x) được gọi là đạo hàm cấp
n của f(x). Kí hiệu f (n) (x)
f (n) (x) = (f (n−1) (x))
Công thức Leibniz
Giả sử các hàm số u(x), v(x) có đạo hàm liên tiếp đến cấp n. Khi đó, ta có
n

Ckn u(n−k) .v(k) , trong đó Ckn =

(uv)(n) =
k=0

n!
và u(0) = u, v(0) = v
k!(n − k)!


Đạo hàm của hàm số

Đạo hàm cấp cao

Một số công thức tính đạo hàm cấp cao

α
1) (x + a)

2)

1
x+a

(n)

α−n

= α · (α − 1) · · · (α − n + 1) (x + a)

(n)

= (−1)n n!

1
(x + a)n+1

(n)
3) (eax ) = an · eax

(n − 1)!
xn
(n)
n
5) (sin(ax)) = a · sin(ax + n π2 )
π

(n)
6) (cos(ax)) = an · cos(ax + n )
2

(n)
4) (ln x) = (−1)n−1 ·

α
7) (ax + b)

(n)

α−n

= α · (α − 1) · · · (α − n + 1) (ax + b)

(n − 1)!
· an
(ax + b)n
π
(n)
9) (sin(ax + b)) = an · sin(ax + b + n )
2
π
(n)
n
10) (cos(ax + b)) = a · cos(ax + b + n )
2
(n)
8) (ln(ax + b)) = (−1)n−1 ·

13

· an


Đạo hàm của hàm số

Đạo hàm cấp cao

Ví dụ
Tính f (100) (1) của hàm số f(x) = (3x2 + 1) ln x.
Giải. Ta có u = 3x2 + 1, v = ln x. Áp dụng công thức Leibniz
(2) (98)
(1) (99)
+ C99
f (100) (x) = C0100 u(100) v(0) + C1100 u(99) v(1) + . . . + C98
100 u v
100 u v
(0) (100)
+C100
100 u v

Ta thấy f (k) = 0 khi ∀k > 2. Vậy
(2) (98)
(1) (99)
(0) (100)
f (100) (x) = C98
+ C99
+ C100

100 u v
100 u v
100 u v

Mà
(ln(x))(98) = (−1)97

97!
98!
99!
, (ln(x))(99) = (−1)98 99 , (ln(x))(100) = (−1)99 100
x98
x
x

Suy ra
97!
98!
99!
+ 6x.100. 99 − (3x2 + 1). 100
98
x
x
x
=⇒f (100) (1) = −6.4950.97! + 6.100.98! − 4.99! = −9708.97!
f (100) (x) = −6.4950.


Vi phân của hàm số

Khái niệm

Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) được gọi khả vi tại x0 ∈ Df nếu
∆f(x0 ) = f(x0 + ∆x) − f(x0 ) có thể biểu diễn dưới dạng
∆f(x0 ) = A.∆x + 0(∆x)
với A là hằng số và 0(∆x) là VCB cấp cao hơn ∆x khi ∆x → 0.
Khi đó, A.∆x được gọi là vi phân (cấp 1) của hàm số y = f(x) tại x0 . Ký hiệu
df(x0 ) hay dy(x0 ).
Định lý
- Hàm số khả vi tại x0 khi và chỉ khi hàm số có đạo hàm tại x0 . Khi đó,
A = f (x0 ).
- Nếu hàm số có đạo hàm tại x0 thì biểu thức vi phân của f(x) là df = f (x0 )dx
Ví dụ
a) Với y = x3 thì dy = y dx = (x3 ) dx = 3x2 dx
b) Với f(x) = ex thì df(x) = f (x)dx = (ex ) dx = ex dx


Vi phân của hàm số

Khái niệm

Tính chất (Vi phân của tổng, tích và thương)
Từ công thức tính đạo hàm tổng, tích và thương của hai hàm số, ta có:
1) d(ku) = kdu
2) d(u + v) = du + dv
3) d(u.v) = udv + vdu
u
vdu − udv
4)

=
, v
v
v2

0

Ví dụ
a) d(x3 + ex ) = d(x3 ) + d(ex ) = 3x2 dx + ex dx = (3x2 + ex )dx;
b) d(x3 ex ) = ex d(x3 ) + x3 d(ex ) = 3x2 ex dx + x3 ex dx = x2 ex (x + 3)dx

16


Vi phân của hàm số

Vi phân cấp cao và ứng dụng vi phân vào tính gần đúng

Định nghĩa (Vi phân cấp cao)
Vi phân cấp n của hàm số y = f(x) là vi phân của vi phân cấp n − 1 của f(x),
kí hiệu là dn f(x).
dn y = d(dn−1 y)
dn f(x) = d(dn−1 f(x)) = f (n) (x)dxn
Một số quy tắc tính vi phân cấp cao
1) dn (cu) = cdn u
2) dn (u + v) = dn u + dn v
3) dn (uv) =

n
k=0

Ckn dn−k u.dk v (d0 u = u, d0 v = v)

Nếu ∆x → 0 thì f(x0 + ∆x) − f(x0 ) và f (x0 )∆x là 2 VCB tương đương. Do đó,
khi |∆x| khá nhỏ, ta có công thức gần đúng f(x0 + ∆x) ≈ f(x0 ) + f (x0 )∆x
√
Ví dụ: Tính gần đúng 4 15, 8
√
Giải. Xét hàm số f(x) = 4 x và x0 = 16, ∆x = −0, 2. Ta có
f(x0 + ∆x) ≈ f(x0 ) + f (x0 )∆x = f(16) + f (16)(−0, 2) = 1, 9938
√
Suy ra, 4 15, 8 ≈ 1, 9938


Các định lý về giá trị trung bình

Định lý Rolle
Nếu f(x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và f(a) = f(b) thì
∃c ∈ (a, b) : f (c) = 0
Định lý Lagrange - Định lý giá trị trung bình
Nếu f(x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) thì
∃c ∈ (a, b) : f (c) =

f(b) − f(a)
, a
b−a

b

Định lý Cauchy

Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và g (x)
∃c ∈ (a, b) :

f(b) − f(a)
f (c)
=
g(b) − g(a)
g (c)

0, ∀x ∈ (a, b) thì


Ứng dụng của đạo hàm

Công thức Taylor

Định lý (Công thức khai triển Taylor tại x0 )
Giả f(x) xác định trong [a, b] và f(x) có đạo hàm cấp n + 1 trên (a, b). Khi đó,
với mọi x0 ∈ (a; b) thì ta có thể khai triển f(x) dưới dạng sau:
n

f (x) =
k=0

f (k) (x0 )
(x − x0 )k + Rn (x; x0 )
k!

Rn (x; x0 ) được gọi là phần dư bậc n của khai triển Taylor
Lưu ý.

1) Phần dư dạng Peano (khi không quan tâm đến sai số)
Rn (x; x0 ) = 0((x − x0 )n )

2) Phần dư dạng Lagrange (khi cần đánh giá sai số)
Rn (x; x0 ) =

f (n+1) (c)
(x − x0 )n+1 với c nằm giữa x và x0 .
(n + 1)!


Ứng dụng của đạo hàm

Công thức Taylor

Khai triển Taylor của hàm số tại x0 = 0 được gọi là khai triển Maclaurin.
Khai triển Maclaurin với phần dư Peano:
n

f (x) =
k=0

f (k) (0) k
x + 0(xn ).
k!

Khai triển Maclaurin với phần dư Lagrange:
n

f (x) =

k=0

f (k) (0) k f (n+1) (c) n+1
x +
x
(n + 1)!
k!

Ví dụ
Viết khai triển Maclaurin của hàm số f(x) = ex .
Giải. Ta có f (x) = ex , f (x) = ex , . . . , f (n)(x) = ex =⇒ f (n) (0) = 1, ∀n ≥ 0 . Khi
đó,với θ ∈ (0, 1)
f(x) = 1 +

f (0)
f (0) 2
f (n) (0) n f (n+1) (c) n+1
x+
x + ... +
x +
x
1!
2!
n!
(n + 1)!


Ứng dụng của đạo hàm

hay ex = 1 + x +

Công thức Taylor

x2
xn
eθx xn+1
+ ... +
+
2!
n!
(n + 1)!

Ví dụ
Viết khai triển Maclaurin của hàm số f(x) = sin x.
Giải. Ta có f (n) (x) = sin x + n
=⇒ f (n) (0) = sin n

π
2
π
=
2

0
(−1)k

nếu n = 2k
nếu n = 2k + 1

Khi đó,với θ ∈ (0, 1), ta có khai triển Maclaurin

sin x = x −

(−1)k x2k+1
(−1)k+1 cos θx 2k+3
x3
x5 x7
+
−
+ ... +
+
x
(2k + 1)!
(2k + 3)!
3!
5!
7!


Ứng dụng của đạo hàm

Công thức Taylor

Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp
x2
x3
xn
1) ex = 1 + x +
+
+ ··· +
+ 0(xn )

2!
3!
n!
x2
x3
xn
2) ln(1 + x) = x −
+
− · · · + (−1)n−1
+ 0(xn+1 )
2
3
n
x3
x5
x2n+1
3) sinx = x −
+
− · · · + (−1)n
+ 0(x2n+1 )
3!
5!
(2n + 1)!
x2
x4
x2n
4) cosx = 1 −
+
− · · · + (−1)n
+ 0(x2n+2 )

2!
4!
(2n)!
α (α − 1) · · · (α − (n − 1)) n
α
x + 0(xn )
5) (1 + x) = 1 + αx + · · · +
n!

22


Ứng dụng của đạo hàm

Khử dạng vô định

Quy tắc L’Hospital

0
∞
và
0
∞

(Quy tắc L’Hospital)
Cho các hàm số f(x) và g(x) khả vi trong lân cận của điểm x0 và g (x0 )
Nếu:
f(x)
0
∞

i) Giới hạn lim
có dạng vô định hoặc .
x→x0 g(x)
0
∞
f (x)
ii) Giới hạn lim
tồn tại
x→x0 g (x)
f(x)
f (x)
thì lim
= lim
.
x→x0 g(x)
x→x0 g (x)

0.


Ứng dụng của đạo hàm

Quy tắc L’Hospital

Ví dụ
Tính giới hạn của hàm số sau
ex − e−x − 2 sin x
x→0
x − sin x
lim

Giải. Ta có
ex − e−x − 2 sin x
ex + e−x − 2 cos x
ex − e−x + 2 sin x
lim
= lim
= lim
x→0
x→0
x→0
x − sin x
1 − cos x
sin x
ex + e−x + 2 cos x
= lim
=4
x→0
cos x
Ví dụ
Tính giới hạn của hàm số sau
lim

x→0

x − sin x
x3

Giải. Ta có
lim

x − sin x
3

= lim

1 − cos x
2

= lim

24

sin x

= lim

cos x

=

1


Ứng dụng của đạo hàm

Quy tắc L’Hospital

Khử dạng vô định 0.∞ và ∞ − ∞: dùng phép biến đổi đưa về dạng

0
∞
hoặc .
0
∞

Ví dụ
Tính giới hạn lim+ xα ln x ; α > 0
x→0

Ví dụ
Tính giới hạn lim

x→0

1
− cot2 x
x2

Giải. Ta có
lim

x→0

1
sin2 x − x2 cos2 x
2
−
cot
x

=
lim
x→0
x2
x2 sin2 x
(sin x + x cos x) (sin x − x cos x)
= lim
.
x→0
x
x3
sin x − x cos x
= 2 lim
x→0
x3
cos x − cos x + x sin x
sin x
2
= 2 lim
= 2 lim
=
x→0
x→0 3x
3x2
3