Bài giảng Giải tích 1: Chương 2.2 - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 1

Chương 2: Ứng dụng Đạo hàm
•

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)



Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 – Taylor Maclaurint.
2 – Qui tắc Lôpital.
3 – Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số.


II. Qui tắc Lôpital
Định lý 1
Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa:
1) Xác định trong lân cận của điểm x0 và f ( x0 )  g ( x0 ) .
'

'

2) Tồn tại đạo hàm hữu hạn f ( x0 ), g ( x0 )  0.
'

Khi đó:

f ( x)
f ( x)
lim
 lim '
x  x0 g ( x )
x  x0 g ( x )

f ( x)  f ( x0 )
x  x0
f ( x)
lim
 lim
x  x0 g ( x )
x  x0 g ( x )  g ( x0 )
x  x0

'

f ( x)
 lim '
x  x0 g ( x )


II. Qui tắc Lôpital
0
Định lý 2 (Qui tắc Lôpital )
0

Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa:
1) Khả vi trong khoảng (a,b).
2) x  (a, b) : g ' ( x)  0.
3) Tồn tại lim f ( x)  lim g ( x)  0
x a

x a

f ' ( x)
4) Tồn tại lim '
hữu hạn hay vô hạn.
x a g ( x )
'
f ( x)
f ( x)
f ( x)
Khi đó tồn tại lim
và lim
 lim '
x a g ( x )
x a g ( x )
x a g ( x )


II. Qui tắc Lôpital
Chứng minh


II. Qui tắc Lôpital


Định lý 2 (Qui tắc Lôpital )

Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa:
1) Khả vi trong khoảng (a,b).
2) x  (a, b) : g ' ( x)  0.
3) Tồn tại lim f ( x)  lim g ( x)  
x a

xa

'

f ( x)
4) Tồn tại lim '
hữu hạn hay vô hạn.
x a g ( x )
'
f ( x)
f ( x)
f ( x)
Khi đó tồn tại lim
và lim
 lim '
x a g ( x )
x a g ( x )
x a g ( x )


II. Qui tắc Lôpital
Chứng minh

II. Qui tắc Lôpital
Dạng vô định:

 f 0

g  

0
0
f
dạng
 f g 
0
1/ g
f

dạng
 f g 
1/ g


Các dạng vô định:

  , 1 ,  , 0


0

0

Các dạng vô định trên đều đưa về dạng vô định 0.


III. khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
1) Tìm miền xác định, tính chẵn, lẻ, tuần hoàn.
'
y
2) Tìm đạo hàm cấp 1: ( x)
''

3) Tìm đạo hàm cấp hai y ( x)
4) Tìm tiệm cận. Khảo sát khi x ra vô cùng.
5) Lập bảng biến thiên.
6) Tìm điểm đặc biệt, vẽ.


Ví dụ.
Tìm cực trị của hàm y  f ( x) cho bởi p/trình tham số
t3
t 3  2t 2
x 2 ,y 2
t 1
t 1
2

2

'

2

t (t  3)
y (t ) (t  1)(t  t  4)
'
x (t )  2
 0  t  0   y ( x)  '

2
(t  1)
x (t )
t (t 2  3)
'
y ( x)  0  t  1 Tồn tại hai điểm tới hạn:
1
x  0 (t  0); x  (t  1)
2
'
y ( x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = 0: hàm đạt
cực đại tại x = 0.
'

'

y ( x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 1/2: hàm đạt
cực tiểu tại x = 1/2.

Ví dụ.
Tìm điểm uốn của hàm y  y( x) cho bởi p/trình tham số
cos(2t )
x  1  cot(t ), y 
,0  t  
sin t

y '' ( x) 

y '' (t )  x ' (t )  x '' (t )  y ' (t )

 x (t ) 
'

3

3
y ( x)  0  t   t 
4
4
''



3
y ( x) đổi dấu khi qua t   t 
4
4
''



Vậy hàm có hai điểm uốn:  0,0  và (2,0)
(ứng với hai giá trị của t ở trên)


Tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x)
Tiệm cận đứng: lim f ( x)    x  x0 là tiệm cận đứng.
x  x0

Tìm tiệm cận đứng tại những điểm gián đoạn của hàm.

f ( x)

 a  xlim
 x
Tiệm cận xiên: 
b  lim  f ( x)  ax 
x 


 y  ax  b
là tiệm cận xiên

Nếu a = 0, thì y = b là tiệm cận ngang.


Ví dụ.
Tìm tiệm cận của đồ thị

arctan 2 x
y
x(1  x)

Tiệm cận đứng: có hai điểm gián đoạn x = 0 và x = 1.

arctan 2 x
lim
2
x 0 x (1  x )

x = 0 không là tiệm cận đứng.

arctan 2 x
lim

x 1 x (1  x )

x = 1 là tiệm cận đứng.

arctan 2 x
lim
0
x  x (1  x )

y = 0 là tiệm cận ngang.


Hàm cho bởi phương trình tham số x = x(t), y = y(t):
Nếu x(t): hàm chẳn, y(t): hàm lẻ, thì đồ thị đối

xứng qua Ox.
Nếu x(t): hàm lẻ, y(t): hàm chẵn, thì đồ thị đối
xứng qua Oy.
Nếu x(t) và y(t) cùng lẻ, thì đồ thị đối xứng qua
gốc O.


Tiệm cận của đường cong tham số x = x(t), y = y(t):

 lim x(t )  a
 t t0
Nếu 
 x  a , thì x  a là tiệm cận đứng
y (t )  
tlim
 t0
 lim x(t )  
 t  t0
Nếu 
 y  b , thì y  b là tiệm cận ngang
y (t )  b
 tlim
 t0

y (t )

 lim x(t )  
lim
a


t t0 x(t )
 t t0
và
Nếu 

y (t )  
 lim  y (t )  a  x(t )   b
tlim
 t0
 t t0
thì y  ax  b là tiệm cận xiên.


Các bước vẽ đường cong tham số x = x(t), y = y(t):
1) Khảo sát hàm một biến x = x(t) theo t.
2) Khảo sát hàm một biến y = y(t) theo t.
3) Lập trên cùng bảng biến thiên hai hàm x(t) và y(t).
4) Tìm tiệm cận và một số điểm đặc biệt của x(t), y(t).
5) Vẽ. Dựa vào bảng biến thiên: từ trái qua phải, xét x
biến thiên và y biến thiên trên từng đoạn.


Ví dụ.
Khảo sát vẽ đồ thị hàm y  y( x) cho bởi p/trình tham số
2

3

x  t , y  t  3t
'

x (t )  2t

x ' (t )  0  t  0

y ' (t )  3t 2  3  0  t  1  t  1
Tiệm cận xiên: không có.


'

y ' (t )  3t 2  3

x (t )  2t

t




'

x (t )

1

 3


0



0



3

1











3

x(t )
'

y (t )



1


0

1

0



3



0







2

y (t )



0

0
2

0



Ví dụ.
Khảo sát vẽ đồ thị hàm y  y( x) cho bởi p/trình tham số
2
3
t
t
x
,y
4(1  t )
8(t  1)

t (2  t )
x (t ) 
2
4(1  t )
'

2

x ' (t )  0  t  0  t  2

t (2t  3)

2
y (t ) 
 0  t  0t 
2
3
8(t  1)
'

Điểm đặc biệt:


2

t (2  t )
x (t ) 
2
4(1  t )

t (2t  3)
y (t ) 
2
8(t  1)

'

t

'

1

0




'

x (t )

0









0

1






0






0






y (t )

0


9 / 8

0

y (t )



2



x(t )
'

3/ 2




27 / 32

1


Cách tìm tiệm cận

t2
t3
x
,y 
4(1  t )
8(t  1)

t t0
t

1) Tìm những điểm 0 : x(t ) 

Kiểm tra có phải là tiệm cận đứng bằng công thức.
t t0


2) Tìm những điểm t0 : y (t ) 
Kiểm tra có phải là tiệm cận ngang bằng công thức.
t t0
t

3) Tìm những điểm 0 : x(t ) & y (t ) 

Kiểm tra có phải là tiệm cận xiên bằng công thức.

x 1

Kết luận: hàm đã cho có một tiệm cận xiên: y 
2 8




Các bước vẽ đường cong trong toạ độ cực r  r  
1) Tìm miền xác định, tính tuần hoàn, chẵn (đồ thị
đối xứng qua Ox, lẻ: qua Oy).
Nếu hàm tuần hoàn chu kỳ T thì chỉ cần khảo sát trên
một chu kỳ  0,T 

 T T
hoặc   ,  rồi quay đồ thị quanh
 2 2

gốc O một góc T đến khi không sinh ra nhánh mới.
2) Tính đạo hàm của r theo 

3) Lập bảng biến thiên của hàm r ( )