bài giảng giải tích 12 chương 2 bài 5 phương trình mũ - phương trình logarit

1
GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 (NÂNG CAO)
Chương II : HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LÔGARIT
2
NỘI DUNG BÀI HỌC
TIẾT 1
Kiểm tra bài cũ
1. Khái niệm hàm số mũ, hàm số lôgarit.
2. Một số giới hạn liên quan
TIẾT 2
3. Đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit
TIẾT 3
4.Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ,
hàm số lôgarit
Củng cố
Bài tập làm thêm
3
KIỂM TRA BÀI CŨ :
Câu hỏi : Viết công thức tính lãi kép .
Aùp dụng : Một người gửi 15 triệu đồng vào Ngân
hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một năm với lãi suất
7,56% một năm . Hỏi số tiền người đó nhận được (cả
vốn lẫn lãi) sau 2 năm, sau 5 năm là bao nhiêu triệu
đồng .(Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai )
4
TRẢ LỜI :
Công thức : C= A(1 + r)
N

A : Số tiền gửi ban đầu
r : lãi suất

N : Số kì hạn
C : Số tiền thu được ( cả vốn lẫn lãi )
Aùp dụng :
C= 15(1 + 0,0756)
N
N = 2 : C = 17 triệu 35
N = 5 : C = 21 triệu 59
5
Câu 1 : Tính các giá trị cho trong bảng sau
x -2 0 1 2
2
x

x 1 2 4
log
2
x
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
4
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1 2
4

2
-1
0 1
6
1. Khái niệm hàm số muÕ, hàm số lôgarit :
a)Định nghĩa : Cho a là số thực dương, khác 1.
+ Hàm số y = a
x
, xác định trên R
được gọi là hàm số mũ cơ số a .
+ Hàm số y = log
a
x , xác định trên (0; + ∞) được
gọi là hàm số lôgarit cơ số a .
b) Chú ý :
+ Hàm số y = e
x
kí hiệu y = exp(x).
+ Hàm số y =logx = log
10
x (hoặc y= lgx) ,
+ Hàm số y = lnx = log
e
x .
7
3
) 5
x
a y
=

) 4
x
b y
−
=
)
x
c y
π
=
( )
3
)d y x
=
3
) log=f y x
1
4
) log
=
g y x
) log 5
=
x
h y
) log (2 1)= +
x
j y x
Câu 2 : Các biểu thức sau biểu thức nào là hàm số
mũ, hàm số lôgarit. Khi đó cho biết cơ số :

e) y = x
x
.
i) y = lnx
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
8
( )
3
3
) 5 5
x
x
a y
= =
1
) 4
4
x
x
b y
−
 
= =
 ÷
 
)
x
c y
π
=

( )
3
)d y x
=
e) y = x
x
.
TRẢ LỜI
Hàm số mũ cơ số a =
3
5
Hàm số mũ cơ số a = 1/4
Hàm số mũ cơ số a = π
Không phải hàm số mũ
Không phải hàm số mũ
9
3
) log=f y x
1
4
) log
=
g y x
) log 5
=
x
h y
) log (2 1)= +
x
j y x

i) y = lnx
TRẢ LỜI
Hàm số lôgarit cơ số a = 3
Hàm số lôgarit cơ số a = 1/4
Không phải hàm số lôgarit
Hàm số lôgarit cơ số a = e
Không phải hàm số lôgarit
10
0
0
0
, lim
x
x
x x
x R a a
→
∀ ∈ =
0
0 0
(0; ), lim log log
a a
x x
x x x
→
∀ ∈ +∞ =
2. Một số giới hạn liên quan đến hàm số mũ, hàm số lôgarit :
a) Tính liên tục
Các hàm số y = a
x

, y = log
a
x liên tục trên tập xác định của nó :
11
1
) lim
x
x
a e
→∞
0
sin
) lim ln
x
x
c
x
→
 
 ÷
 
Ví dụ : Tính các giới hạn sau :
( )
2
8
) lim log
x
b x
→
12

1
0
lim 1
x
x
e e
→∞
= =
0
sin
lim ln ln1 0
x
x
x
→
 
= =
 ÷
 
GIẢI
( )
2 2
8
) lim log log 8 3
x
b x
→
= =
a) Khi x  + ∞ ⇒ 1/x  0 . Do đó :
c) Khi x  0 ⇒

0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
Do đó :
13
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
1 1
lim 1 ; lim 1
t t
x x
e e
t t
→+∞ →−∞
   
+ = + =
 ÷  ÷
   
1
.x
t
= ⇒
( )
1
0
lim 1 (1)

x
x
x e
→
+ =
1ln)1ln(lim
)1ln(
lim
1
00
==+=
+
→→
ex
x
x
x
xx
1
)1ln(
1
lim
)1ln(
lim
1
lim
000
=
+
=

+
=
−
→→→
t
t
t
t
x
e
tt
x
x
1
ln(1 )
2) ln(1 )
+
= +
x
x
x
x
Do đó :
3) Đặt t = e
x
= t => e
x
= t + 1 => x = ln(1 + t )
Khi x  0 khi và chỉ t  0
Aùp dụng công thức (1) . Do tính liên tục của

hàm số lôgarit , ta có :
Đặt :
1) Các em đã biết :
14
b) ĐỊNH LÝ 1 :
0
ln(1 )
lim 1 (2)
x
x
x
→
+
=
0
1
lim 1 (3)
x
x
e
x
→
−
=
15
Aùp dụng : Tính các giới hạn sau :
3 2 2
0
)
lim

x
x
e e
a
x
+
→
−
0
ln(1 3 )
)
lim
x
x
b
x
→
+
16
GIẢI
3 2 2 3 2 2
0 0
.
)
lim lim
+
→ →
− −
=
x x

x x
e e e e e
a
x x
0 0
ln(1 3 ) ln(1 3 )
) 3 3
3
lim lim
x x
x x
b
x x
→ →
+ +
= =
2 3 3
2
0 0
( 1) ( 1)
3 3
3
lim lim
→ →
− −
= = =
x x
x x
e e e
e e

x x
17
3. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôragit :
a) Đạo hàm của hàm số mũ :
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3
a) Phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số :
b) Aùp dụng tính đạo hàm của hàm số y=f(x)= e
x
Cho x số gia ∆x
+ ∆y = f(x + ∆x ) – f(x) = e
x + ∆x
– e
x
= e
x
(e
∆x
– 1).
+ Kết luận : (e
x
)’ = e
x
.
x
x
x
x
xx
xx
e

x
e
e
x
ee
x
y
=
∆
−
=
∆
−
=
∆
∆
+
∆
→∆
∆
→∆→∆
)1(
lim
)1(
limlim
000
18
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3
c) Chứng minh (a
x

)’ = a
x
. lna .
Biến đổi số a dương khác 1 thành lũy thừa theo cơ số e
a= e
lna
=> a
x
= e
(lna)x
= e
x.lna
.
Do đó theo công thức đạo hàm của hàm số hợp . Ta có :
aaaxeea
xaxaxx
ln.)'ln.()'()'(
lnln
===
19
ĐỊNH LÝ 2 :
i) Hàm số y = a
x
có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ R và .
(a
x
)’ = a
x
.lna
Đặc biệt :

(e
x
)’ = e
x
.
ii) Nếu hàm số y = u(x) có đạo hàm trên tập J thì hàm số
y = a
u(x)
có đạo hàm trên J và
(a
u(x)
)’ = u’(x).a
u(x)
.lna
Đặc biệt :
(e
u(x)
)’ =u’(x)e
u(x)
.
20
Ví dụ : Tính đạo hàm các hàm số sau :
1)y = (x
2
+ 2x).e
x
.
2) .sin
x
y e x

=
3
3) 2 .( 2)
x
y x
= +
21
1)y = (x
2
+ 2x).e
x
.
y’= (2x + 2)e
x
+ (x
2
+ 2x).e
x
y’ = (x
2
+ 4x + 2).e
x
( )
' '. .sin . s
1
' sin cos
2
= +
 
= +

 ÷
 
x x
x
y x e x e co x
y e x x
x
3 2
3 2
' 2 ln 2.( 2) 2 .3
' 2 [ln 2.( 2) 3 ]
= + +
= + +
x x
x
y x x
y x x
GIẢI :
2) .sin=
x
y e x
3
3) 2 .( 2)
= +
x
y x
22
b) Đạo hàm của hàm số loragit :
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 4







∆
+=
∆+
=
x
x
x
xx
1lnln
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
y
xxx
1
1ln
lim
1
1ln

limlim
000
=
∆






∆
+
=
∆






∆
+
=
∆
∆
→∆→∆→∆
x
x
1
)'(ln =

Do đó :
a) Aùp dụng tính đạo hàm của hàm số y=f(x)= lnx
Cho x > 0 số gia ∆x
+ ∆y = f(x + ∆x ) – f(x) = ln(x + ∆x) – lnx
23
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 4
( )
1
log '
.ln
a
x
x a
=
Aùp dụng công thức đổi cơ số a về cơ số e . Ta có :
ln
log . :
ln
a
x
x Suy ra
a
=
( )
1 1
log ' (ln )'
ln .ln
a
x x
a x a

= =
b) Chứng minh :
24
ĐỊNH LÝ 3 :
i) Hàm số y =log
a
x có đạo hàm tại mọi điểm x> 0 và
Đặc biệt :
ii) Nếu hàm số u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên tập J
thì hàm số y = log
a
u(x) có đạo hàm trên J và
Đặc biệt :
( )
ax
x
a
ln.
1
'log =
( )
1
ln 'x
x
=
( )
'( )
log ( ) '
( ).ln
a

u x
u x
u x a
=
( )
'( )
ln ( ) '
( )
u x
u x
u x
=
25
Ví dụ : Tính đạo hàm các hàm số sau :
1) y = (x
2
+ 1).lnx
2) y = ln(x
2
– x + 1)
3) y = log
2
(2 + sinx).