Bài giảng giải tích 2 (đh bách khoa tp HCM) chương 7 chuỗi số, chuỗi lũy thừa

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 2
Chương 7. Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa.
thừa

•

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008)



Nội dung

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I – Khái niệm chuỗi số.

II – Chuỗi không âm.

III- Chuỗi có dấu tuỳ ý. Hội tụ tuyệt đối.

IV- Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẩn Leibnitz.

V- Chuỗi luỹ thừa. Bán kính và miền hội tụ.


II. Chuỗi không âm

Định nghĩa chuỗi không âm

Chuỗi số không âm là chuỗi



 an ,

(n)an  0,

n 1

Nhận xét

Với chuỗi không âm, dãy tổng riêng S n là dãy không giảm

Vậy chuỗi không âm hội tụ khi và chỉ khi bị chặn trên.


Tiêu chuẩn so sánh 1


Hai chuỗi

 an ,  bn
n 1

thoả điều kiện 0  an  bn , n  n0

n 1





 bn

1) Nếu chuỗi

hội tụ, thì chuỗi

n 1

 an

 an

hội tụ.

n 1



2) Nếu chuỗi

CM





phân kỳ, thì chuỗi

n 1

 an

phân kỳ.

n 1



Chuỗi



b n hội tụ nên dãy tổng riêng S n bị chặn tr

n 1

n

n

k 0

k 0

 S n'   an   bn S n



dãy

tổng

riêng an của
n 1

bị chặn trên, vậy chuỗi hội


Tiêu chuẩn so sánh 2

Hai chuỗi





 an
n 1

(1) ,  bn (2) thoả 0  an  bn , n  n0
n 1

an
K  lim
n b
n

1) K  0 : Nếu chuỗi (2) hội tụ, thì chuỗi (1) hội tụ.

2) K hữu hạn,  0 : Chuỗi (1) và (2) cùng HT hoặc cùng P

3) K   :

Nếu chuỗi (1) HT, thì chuỗi (2) HT.




2


cos n
  an
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 
n 1 n( n  1)
n 1
2

Chuỗi dương

cos n
1
1

 2
n(n  1) n(n  1) n




1
Chọn chuỗi số  2   bn
n 1 n
n 1

an
lim  1
n b
n

hữu hạn, khác không.


Suy ra hai chuỗi




 an ,  bn
n 1


cùng tính chất hội tụ.

n 1

1

Vì chuỗi  bn   2 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ.
n 1
n 1 n


5  3(1)n 
  an
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 
n 3
2
n 1
n 1


n
5

3(

1)
8
1
Chuỗi dương 0 
 n 3  n
n 3
2
2
2

1

1
Vì chuỗi  n , |q |  1 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ.
2
n 1 2



n

3


e n
  an
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n
3
n 1 2  ln n
n 1
n

3

n

n

e

n
e

e


Chuỗi dương
 n  
n
3
2  ln n 2  2 
n

e
e


chuỗi    , |q |  1 FK, nên chuỗi đã cho FK.
2
n 1  2 




Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

ln(1  sin(1/ n) 
 n  ln 2 n   an
n 1
n 1

ln(1  sin(1/ n) 1/ n 1
Chuỗi dương


 2
2
n
n  ln n
n

1
Vì chuỗi  2 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ.
n 1 n


Ví dụ Khảo sát sự hội tụ


n 1





an  n  cosh  1
n 



chuỗi



2

 2n3/ 2
n 1







n  cosh  1   an
n  n1


2
2




 n1/ 2  1  2  1  3/ 2
 2n
 2n

HT, nên chuỗi đã cho HT.




Ví dụ Khảo sát sự hội tụ





n  1  ln  cosh(1/ n)    an

n 1

n 1

1
an  n  1  ln  cosh(1/ n)   n  ln(1  1/(2n ))  3/ 2
2n

1
Vì chuỗi  3/ 2 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ.
n 1 2n
2



Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

2

arctan(n  2n) 
 3n  n2   an
n 1

n 1

 /2  1
arctan(n 2  2n)
 n 
an 
n
n
2
2
3
3
3 n

1
chuỗi  n HT, nên chuỗi đã cho HT.
n 1 3




Ví dụ Tìm  để chuỗi HT



 1  n  sin(1/ n) 
n 1




1 
1
1
an  1  n  sin(1/ n)   1  n   
3     2
6 n
 n 3!n  

1
Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi  
2






Ví dụ Tìm  để chuỗi HT


1
1

  ln sin n  ln n 
n 1


 1
1 

1  
1
1


an   ln   3   ln   ln 1 
  2

2 
n    6n  
6 n
  n 6n 
1
Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi  
2








1
 cos(1/ n) 
Ví dụ Tìm  để chuỗi HT  
n 1  n sin(1/ n)




1
1 

an  
 1  2  
3
 n(1/ n  1/ 6n )  2n  



1
1 

an  
 1  2  
2
 1  1/ 6n  2n  



2
1

1 
1 
an  1  2  1  2      2
3 n
 6n  2n  

1
Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi  
2


n 

e  1  1/ n  




Ví dụ Tìm  để chuỗi HT

n 1

1  cos(1/ n) 

2

n

 1
n ln(11/ n )
n (1/ n 1/ 2 n2 )
11/ 2n
e  1    e  e
 ee

e


e
 n
e
1 

1/ 2 n
 e  e 1   
 e  e.e
 2n  2n

1  cos(1/ n) 

2

1
 2
4n







e /2 n
 an 
4n 2





e

2  2 n 2

Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi 2    1    1


iêu chuẩn d'Alembert

Chuỗi dương



 an
n 1

an 1
. Giả sử lim
D
n a
n

1) D  1: chuỗi hội tụ.

2) D  1: chuỗi phân kỳ.

) D  1: không kết luận được, chuỗi có thể HT, hoặc PK.

Tiêu chuẩn Cô si

Chuỗi dương



 an

. Giả sử lim n an  C

n 1

1) C  1: chuỗi hội tụ.

n

2) C  1: chuỗi phân kỳ.

3) C  1: không kết luận được, chuỗi có thể HT, hoặc PK.




n

3  n! 
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n   an
n 1 n

n 1
n 1

n

n

 (n  1)! 3  3  (n  1)  n!
3  3  n!
an 1 


n 1
n
n
(n  1)
(
n

1)
(n  1)  (n  1)
3

3
3
an 1 3  3n  n! n n
n




 n
  1 Phân kỳ
n 
n
e
an
(n  1) 3  n! (1  1/ n)


n


3
n

2


5
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n 
  a
 4n  3  n1
n 1

lim an
n

n

3n  2 n 5 3

 lim
 n  1
n 4n  3
4

HT theo t/c Cô si.




Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

 an
n 1

2  5  8 (3n  1)
an 
1  6 11 (5n  4)
2  5  8 (3(n  1)  1)
2  5  8 (3n  2)

an 1 
1  6 11 (5(n  1)  4)
1  6 11 (5n  1)
2  5  8 (3n  1)(3n  2)
(3n  2)

 an 
1  6 11 (5n  4)(5n  1)
(5n  1)

an 1
3n  2 3
 lim
 lim


1
n a
n 5n  1
5
n
Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn d'Alembert.




Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

 an
n 1

2  5  8 (3n  2)
an 
n
2  (n  1)!
2  5  8 (3(n  1)  2)
2  5  8 (3n  5)
an 1 
 n

n 1
2  (n  1  1)!
2  2  (n  2)!

2  5  8 (3n  2)  (3n  5)
(3n  5)

 an 
n
2  2  (n  1)!(n  2)
2( n  2)
an 1
3n  5
3
 lim
 lim
 1
n  a
n  2n  4
2
n
Chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn d'Alembert.


n
,  0
í dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 
n/2
n 1 (ln( n  1))



1
n
n
 lim
 0 1
lim an  lim n
n
/
2
n ln( n  1)
n
n (ln( n  1))

Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô si với mọi 


Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n

3

n2

1 

  cos n 

n 1 

n3

1
2 n 2  2 n 2
 1


1
1




1

m n an  lim n  cos   lim  cos 

1 2 

n 
 

n  n
n   nlim
 
2n 
1



1/ 2 

1
Hội tụ theo Cô si.
e
e








n

1


í dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  

n 1  n  1 
n3 3 n 1

n 4 3n 1

 ( n 1)


n


1


n
2
2


lim n an  lim 


 lim 1 
n
n  n  1 

nn
 

n 1 


Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô si.



3

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

n 1
1
 ( n 3) n 3 n

 1


1

n

n
lim an  lim 3  3  1 

n
n 
 n  3 


n 1





2 n 4 3 n 1

n 1
n

n2


 n3

1
 2
e
n2

3
  1 Phân kỳ
e


II. Chuỗi có dấu tuỳ ý. Hội tụ tuyệt đối.

Định nghĩa hội tụ tuyệt đối

Chuỗi





 an gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi  an
n 1

hội tụ

n 1

Định lý

Nếu chuỗi



 an
n 1



hội tụ, thì chuỗi

 an

hội tụ.

n 1

Theo định lý: chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.

Mệnh đề ngược lại không đúng:
đúng có những chuỗi hội tụ,

tuy nhiên chuỗi của trị tuyệt đối không hội tụ.




Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi



(2n  3)cos3n

n 1

3

7

n  n 1



Chuỗi có dấu tuỳ ý. Xét chuỗi

 | an | là chuỗi dương
n 1

an |

2n  3

(2n  3) cos3n
3

Hội tụ

2n
2

 7 / 3  4 / 3  tuyệt đố
3 7
n
n  n 1 n

n7  n  1



Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

4
n 1

n

| an |

| arctan(n) |
4

n6  3n  1



 /2

n

6/4




2n

3/ 2

arctan(n)

n

6

n  3n  1

 Hội tụ tuyệt đối


II. Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẫn Leibnitz.

ịnh nghĩa chuỗi đan dấu


 (1)

n

an , n, an  0 hoặc n, an  0 gọi là chuỗi đan dấu

n 1

Định nghĩa chuỗi Leibnitz


Chuỗi đan dấu

n
(

1)
an gọi là chuỗi Leibnitz, nếu:

n 1

1) lim an  0
n


n n 1

2) dãy (a )

là dãy giảm.
giảm

II. Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẫn Leibnitz.

ịnh lý (Leibnitz)

Chuỗi Leibnitz hội tụ. Tổng của chuỗi này thoả 0 | S | a1




Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi


n 1


(1) n
  (1) n an
n  2 n1

1
0
Chuỗi không hội tụ tuyệt đối. lim an  lim
n 
n n  2

 1 

 là dãy giảm. Đây là chuỗi Leibnitz và hội tụ.
 n  2 n 1


Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của

ln n
lim an  lim
 0.
n
n
n


n 1



(1)

n 1

n

ln n



n

  (1) an
n 1

 ln n 

 dãy giảm (có thể k/s đạo hà
 n n1
Chuỗi Leibnitz nên hội tụ (theo tiêu chuẩn Leibnitz)


Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
khoâ
ng
Điều kiện cần 
 Phân kỳ thô

có

Sử dụng các tiêu chuẩn

Chuỗi dương

có

hội tụ của chuỗi dương

không
đan dấu

có

Leibnitz

không

t/chuẩn khác

không

Hội tụ

không


Đ/nghĩa, các

có

 an hội tụ
n 1

có

HT tuyệt đố