Bài giảng Giải tích 1: Chương 3 - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 1

Chương 3: Tích phân
•

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008)



Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 – Tích phân bất định.
2 – Tích phân xác định.
3 – Tích phân suy rộng.
4 – Ứng dụng của tích phân.
Tài liệu: Кудрявцев

Л.Д.

Сборник

математическому анализу, Том 2, 2003.

задач

по

I. Tích phân bất định
Định nghĩa
Hàm số y = F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm
hàm y  f ( x) trong [a,b], nếu y = F(x) liên tục, có đạo
tại mọi điểm thuộc đoạn [a,b] và F ' ( x)  f ( x) .
Hai nguyên hàm sai khác nhau một hằng số.
Tập hợp tất cả các nguyên hàm của y = f(x) được gọi là
tích phân bất định của hàm y = f(x), ký hiệu

 f ( x)dx  F ( x)  C


I. Tích phân bất định
Tính chất

1.

  f ( x)dx 

'

 f ( x)

2. d   f ( x )dx   f ( x)dx
'

3. Nếu f(x) là hàm khả vi, thì

 f ( x)dx  f ( x)  C

4. Nếu f(x) là hàm khả vi, thì

 df ( x)  f ( x)  C

5.   f ( x)dx    f ( x)dx

6.   f ( x)  g ( x)  dx   f ( x)dx   g ( x)dx


Tích phân của một số hàm cơ bản

1.  sinh xdx  cosh x  c

 cosh xdx  sinh x  c

dx
2. 
 tanh x  c
2
cosh x

dx
  coth x  c

2
sinh x

dx

1
x
3.  2
 arctan  c
2
a
a
x a
dx

x
x
4. 
 arcsin  c   arccos  c
2
2
a
a
a x
5. 

dx
2

x a

2



2

 ln x  x  a

2

C

a0


Phương pháp đổi biến
Nếu tồn tại hàm hợp f ( ( x)) và hàm t   ( x) liên tục
trên đoạn [a,b] và khả vi trong khoảng (a,b), thì
'
f
(

(
x
))


( x) dx   f (t )dt t  ( x )


Nếu tồn tại hàm hợp x   1 (t ) của hàm t   ( x) , thì
'

 f (t )  dt   f ( ( x)) ( x)dx x  1 (t )

'

 f ( x)  dx   f ( (t )) (t )dt t  1 ( x )


dx
Ví dụ Tính
I 
sin x
dx
sin xdx
dt
d cos x
I 

 
 
2
2
2
sin x
sin x
1 t
1  cos x
1 
x
1  dt
dt  1  cos x  1 
 


  2 ln  cos x  1   C  2 ln  tan 2   C
2  t 1 t  1 




Ví dụ

Tính

I 

ln(arccos x)dx
1  x  arccos x

t  ln(arccos x)  dt 
I 

2

 dx
1  x 2 arccos x

t2
1 2
  tdt   C  ln  arccos x   C
2
2
2
1  x  arccos x

ln(arccos x)dx


Phương pháp tích phân từng phần.
Giả sử hai hàm u  u ( x), v  v( x) liên tục trên đoạn [a,b]
và khả vi trong khoảng (a,b).
'

Nếu tồn tại  v  u dx , thì tồn tại
'

'
u

v
dx . Ngoài ra:


'

 u  v dx  u  v   v  u dx

 u  dv  u  v   v  du


Phương pháp tích phân từng phần.
dx
u  ln  ax   du 
x

 Pn ( x)ln  ax  dx đặt dv  P ( x)dx  v   P ( x)dx
n
n
ax
 Pn ( x)  e  dx

 Pn ( x)  cos ax  dx
 Pn ( x)  sin ax  dx
 Pn ( x)  arcsin ax  dx
 Pn ( x)  arccos ax  dx
 Pn ( x)  arctan ax  dx
 Pn ( x)  arccot  ax   dx



đặt u  Pn ( x)

dv  phaà
n coø
n laïi .


Ví dụ

2
I

arccos
xdx
Tính



2

Đặt u  arccos x  du 

2arccos xdx
2

dv  dx  v  x

1 x
2 x arccos x
2
2

x
arccos
x  I1
 I  x arccos x  
dx
2
1 x
dx
u  arccos x  du 
2
1 x
xdx
xdx
2

dv 

v



1

x
C

2
1 x
1  x2
2

2

I1   1  x arccos x   dx   1  x arccos x  x  C2


Tích phân của hàm hữu tỷ

Pn , Qm các đa thức bậc n và
m với hệ số thực.

Pn ( x)
 Qm ( x)dx

1. Chia tử cho mẫu, đưa về tích phân phân thức đúng.

2. (Đại số). Mẫu là đa thức với hệ số thực, phân tích ra
thừa số bậc nhất và bậc hai.
s1

sk



2

t1

 

2

Qm ( x)   x  a1  ... x  ak   x  p1 x  q1  x  pv x  qv



tv


Tích phân của hàm hữu tỷ.
3. Phân tích:

Pn ( x)

Qm ( x)  x  a

1

Pn ( x)



s1

x

2

 p1 x  q1



t1

As1
A1
A2




2
s1
 x  a1   x  a1 
 x  a1 



B1 x  C1

x

2

 p1 x  q1



 x

B2 x  C2
2

 p1 x  q1



2

 

Bt1 x  Ct1

x

2

 p1 x  q1



t1

4. Qui đồng, đồng nhất hai vế, giải tìm các hệ số.
5. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau.


Tích phân của hàm hữu tỷ.
dx
1
1. 

 C, n  1
n
n 1
( x  a)
 n  1 x  a 

2.

 Mx  n  dx  M

2x  p
Mp 
dx


dx   N 
 2
2

2 x  px  q
2  x  px  q


 x2  px  q

3. I n  

dx

x

2

a

u

2 n



1

x

2

a

2 n



 du 

dv  dx  v  x
In 

x

x

2

a

2 n



 2n 

x 2 dx

x

2

a

2 n 1



2nxdx

x

2

a

2 n 1




Tích phân của hàm hữu tỷ.

In 
In 
In 

x

x

2

a

2 n



x

x

2

a

2 n



x

x

2

a

2 n



 2n 
 2n 

x

2

2

2

x

2

a

2 n 1

dx

x

2



 a  a dx

a

2 n





 2na

2



dx

x

2

a

2 n 1



 2nI n  2na 2 I n1


1 
x
Hệ thức truy hồi: I n 1 
2na 2  x 2  a 2

dx
1
x
I1   2
 arctan  C
2
a
a
x a





n


  2n  1 I n 




Ví dụ

Tính

dx
I 
( x  2)3

d ( x  2)
3
  ( x  2) d ( x  2)
I 
3
( x  2)
1
1
31
   x  2
C 
C
2
2
2( x  2)
Ví dụ

dx
Tính I   2
x  2x  5

dx
d  x  1

1
x

1
I 

arctan
C
2
2
2
2 
( x  1)  2
( x  1)  2
2
2


Ví dụ

Tính

( x  4) dx
I 
( x  2)( x  1)

x4
A
B



( x  2)( x  1) x  2 x  1

(*)

Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm được A = 2, B = -1.
2
2dx
dx
( x  2)
I 

C
 2ln( x  2)  ln( x  1)  C  ln
x  2 x 1
x 1

Chú ý. Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:
Để tìm A, nhân hai vế (*) cho (x – 2) rồi thay x = 2 vào.
Để tìm B, nhân hai vế (*) cho (x +1) rồi thay x = -1 vào.


3

Ví dụ

Tính

2

2 x  x  5x  1
I  2
dx
2
( x  3)( x  x  1)

2 x3  x 2  5 x  1
Ax  B Cx  D
 2
 2
2
2
( x  3)( x  x  1) x  3 x  x  1
Qui đồng, đồng nhất, tìm có: A = 0, B = 1, C = 2, D = 0.

2 x  1  1
dx
2 xdx

dx
I  2
 2
 2
 2
dx
x 3
x  x 1
x 3
x  x 1

1
x
2
2x 1
2

arctan
 ln( x  x  1) 
arctan
C
3
3
3
3


2

Ví dụ

4 x  8x
I 
dx
2
2
2
( x  1) ( x  1)

Tính

P( x)
A
B
Cx  D Ex  F


 2

2
2
2
2
2
2
x  1  x  1
( x  1) ( x  1)
x 1
x 1





(*)

Tìm được: A = 2, B = -1, C = -2, D = -1, E = -2, F = 4.



(2 x  4) dx

x

2



1

2



2 xdx

x

2



1

2



4dx

x

Dùng hệ thức truy hồi, tính I 2  

2



1

2

4dx





x2  1

2 qua

I1.


Để tìm các hệ số A, B, C, … nhanh, có thể sử dụng khai
triển Heaviside: tham khảo bài giảng Hàm phức toán tử,
giảng viên Đặng Văn Vinh.
Từ (*) , ta có: 4 x 2  8 x  A( x  1)( x 2  1) 2  B( x 2  1)2 

(Cx  D)( x  1) 2 ( x 2  1)  ( Ex  F )( x  1) 2

Thay x = 1, tìm được B = -1.
Thay x = -1, cân bằng phần thực, ảo: E = -2, F = 4.
Đạo hàm 2 vế, chỉ quan tâm số hạng khác 0 khi x = i
Thay x = i, tìm được C= -2, D = -1.


Tích phân của hàm hữu tỷ: Phương pháp Ostrogradskii

P( x)
P1 ( x)
P2 ( x)
 Q( x) dx  Q ( x)   Q ( x) dx
1
2

(*)

Q2 ( x) đa thức chỉ có nghiệm đơn là nghiệm của Q(x),

Q ( x)
Q1 ( x) 
Q2 ( x)

P1 ( x), P2 ( x) là hai đa thức với các hệ
số cần tìm, có bậc tương ứng nhỏ
hơn bậc của Q1 ( x), Q2 ( x).

Để tìm các hệ số của P1 ( x), P2 ( x), đạo hàm hai vế (*),
Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm các hệ số.

Ví dụ

4 x2  8x
I 
dx
2
2
2
( x  1) ( x  1)

Tính

Sử dụng phương pháp Ostrogradskii

(*)

2

4 x  8x
P1
P2
I 
dx    dx
2
2
2
Q1
Q2
( x  1) ( x  1)

2

2

Q2  ( x  1)( x  1)  P2  ax  bx  c bậc nhỏ hơn bậc Q2
2

Q1  ( x  1)( x  1)  Q / Q2

2

 P1  Ax  Bx  C
2

Đạo hàm hai vế (*)

'

 P1  P2
4x  8x
  
2
2
2
( x  1) ( x  1)  Q1  Q2

Đồng nhất hai vế, tìm A, B, C, a, b, c.


Tích phân của hàm vô tỷ

p1




q1
ax

b



R x, 

  cx  d 


p2

 ax  b  q 2
,

 cx  d 

ax  b
,
Cách giải: đổi biến t 
cx  d
n

n là Bội số chung nhỏ nhất của q1 , q2 ,...



, dx




Ví dụ

Tính

I 

dx
2x 1  4 2x 1

Đổi biến: 2 x  1  t 4  2dx  4t 3dt

1 
2t 3dt
2t 2 dt

2
 2  t  1 
I  2

 dt  t  2t  ln | t  1| C
t 1 

t 1
t t

2

x  1  ( x  1)  6 x  1
3

Ví dụ

Tính

I 

Đổi biến: x  1  t

6

( x  1)(1  3 x  1)

dx

5

 dx  6t dt

(t 6  t 4  t )t 5dt
33 2
dt
3

6
I  6
 6  t dt  6  2

x  6arctan x  C
6
2
t (1  t )
t 1 2


Tích phân của hàm vô tỷ: Tích phân Euler



2

R x, ax  bx  c dx



2

a  0, b  4ac  0

Cách giải: Đổi biến Euler
a  0 : ax 2  bx  c   a x  t
2

c  0 : ax  bx  c   xt  c

2

ax  bx  c  ( x  x1 )t
Trong đó x1 là một nghiệm thực của ax 2  bx  c  0


Ví dụ

Tính

I 

Tích phân Euler:

1  1  x  x2
x 1  x  x2

dx

2

1  x  x  tx  1

2t  1
Đổi biến: 1  x  x  t x  2tx  1  x 
2
1

t
2

1 t  t
 dx  2
dt
2
2
1 t
2



2 2



2
2
1

t

t
1

1

x

x
2
1 x  x 


 t
2
1 t
x

2

2t
2

ln
1

t
C
I 
dt
2
1 t

 1  x  x2  1 
 ln 1  
 C


x

