bài giảng giải tích 12 chương 3 bài 3 ứng dụng tích phân trong hình học

TRƯỜNG CĐN QUY NHƠN
BÀI GIẢNG
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
TRONG HÌNH HỌC
Năm học 2011 - 2012
BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 1)
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
y = 2x + 1; y = 0; x = 1 và x = 5.
5
1
I = (2x + 1)dx
∫
Giải: Ta có (đvdt)
và
(AD + BC).CD
S = =28
2
5
2
1
= 28
I = (x +x)
a) Dùng công thức hình học tính diện tích hp.
b) Tính tích phân sau
o
BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 1)
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Bài toán: Tính diện tích hp
'

y = f(x) lt u c/[a;b]
y = 0
x = a; x = b





o
a
y = f(x)
x
y
b
S
y = - f(x)
B’
A’
x
o a
b
y
y = f(x)
S
B
A
S’
- Nếu f(x) ≥ 0 trên [a;b] thì
b
a

S = f(x).dx
∫
- Nếu f(x) ≤ 0 trên [a;b] thì
[ ]
b
a
S = S' = -f(x) .dx
∫
- Nếu f(x) ≥ 0 trên [a;c] và [d;b], f(x) ≤ 0 trên [c;d] thì
[ ]
1 2 3
c d b
a c d


S = S + S + S
= f(x).dx + -f(x) .dx + f(x).dx
∫ ∫ ∫
b
a
c d b
a c
d
f(x) f(x) f(x f(x) .dx)
= dx + dx + dx
=
∫
∫ ∫ ∫
b
a

= f(x) dx
∫
b
a
= f(x) dx
∫
b
a
S = f(x) dx⇒
∫
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 1)
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Bài toán: Tính diện tích hp
'
y = f(x) lt u c /[a;b]
y = 0
x = a; x = b





o
a
y = f(x)
x
y
b

S
b
a
S = f(x) dx⇒
∫
Ví dụ: Tính diện tích hp giới hạn bởi
3
y = x
y = 0
x = -1; x = 2





Chú ý: Khi tính tích phân phải xét dấu f(x) để bỏ dấu gt tuyệt đối
2
3
-1
.
S = x dx
∫
0 2
3 3
-1 0
( - x ).dx + x .dx=
∫ ∫
4 4
0 2
1 0

17
| |
4 4 4
x x
−
= − + =
(đvdt)
BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 1)
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Bài toán: Tính diện tích hình phẳng
1
2
'
'
uc/
uc/
[a;b]
[a;b]
y = f (x) lt
y = f (x) lt
x = a; x = b








BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 1)
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Bài toán: Tính diện tích hình phẳng
1
2
'
'
uc/
uc/
[a;b]
[a;b]
y = f (x) lt
y = f (x) lt
x = a; x = b







- Xét TH f
1
(x) ≥ f
2
(x) ≥ 0 x  [a;b].
Khi đó S = S
1

- S
2

b b b
1 2 1 2
a a a
f (x).dx - f (x).dx = (f (x) - f (x)).dx
=
∫ ∫ ∫
b
1 2
a
S = f (x) - f (x).dx⇒
∫
Chúng ta có thể tính S thông qua S
1
và S
2
không?
Và tính như thế nào?
b
1 2
a
f (x) - f (x).dx=
∫
BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 1)
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Bài toán: Tính diện tích hình phẳng

1
2
'
'
uc/
uc/
[a;b]
[a;b]
y = f (x) lt
y = f (x) lt
x = a; x = b







Chú ý về cách tính:
- Giải pt f
1
(x) = f
2
(x)
(f
1
(x) - f
2
(x) = 0)
[a;b]

x c
x d



=
⇔ ∈
=
- Tách tích phân thành
b c d b
1 2 1 2 1 2 1 2
a a c d
S = f (x) - f (x).dx = f (x) - f (x)dx + f (x) - f (x) dx + f (x) - f (x) dx
∫ ∫ ∫ ∫
c d b
1 2 1 2 1 2
a c
d
= [f (x) - f (x)]dx + [f (x) - f (x)]dx + [f (x) - f (x)]dx
∫ ∫ ∫
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng:
b
1 2
a
S = f (x) - f (x).dx⇒
∫
1
2
2
2

(x)
(x)
=
=
- 4x +1
- 3x + 3
y = f x
x = 0; x =
y =
3
f 2x





BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 1)
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Bài toán: Tính diện tích hình phẳng
1
2
'
'
uc/
uc/
[a;b]
[a;b]
y = f (x) lt

y = f (x) lt
x = a; x = b







Ví dụ: Tính diện tích hp:
b
1 2
a
S = f (x) - f (x).dx⇒
∫
1
2
2
2
(x)
(x)
=
=
- 4x +1
- 3x + 3
y = f x
x = 0; x =
y =
3
f 2x






Giải: - Ta có f
1
(x) - f
2
(x) = x
2
-

x - 2 = 0
x = -1 [0;3]
x = 2 (t/m)



∉
⇔
- Ta có
2 3
2 1 1 2
0 2
2 3
2 2
0 2
]
31

6
S = [f (x) - f (x)]dx + [f (x) - f (x) dx
= (-x +x+2)dx + (x -x-2)dx
=
∫ ∫
∫ ∫
(đvdt)
BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 1)
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Hoạt động nhóm: Cho các hình phẳng sau
Nhóm 1: Hãy cho biết S
1
giới hạn bởi các đường nào?
Nhóm 2: Hãy nêu công thức tính diện tích S
1
bằng tích phân trong đó đã phá bỏ
(không có) dấu giá trị tuyệt đối?
Nhóm 3: Hãy cho biết S
2
giới hạn bởi các đường nào?
Nhóm 4: Hãy nêu công thức tính diện tích S
2
bằng tích phân trong đó đã phá bỏ
(không có) dấu giá trị tuyệt đối?
BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 1)
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Bài toán: Tính dt
'
y = f(x) lt u c/[a;b]
y = 0
x = a; x = b
S





b
a
S = f(x) dx⇒
∫
o
a
y = f(x)
x
y
b
S
Bài toán: Tính dt
1
2
'
'
uc/
uc/
[a;b]

[a;b]
y = f (x) lt
S y = f (x) lt
x = a; x = b







b
1 2
a
S = f (x) - f (x).dx⇒
∫
Chú ý: Tính tích phân phải xét dấu f(x) để bỏ dấu gt tuyệt đối
Cách tính: - Giải pt f
1
(x) - f
2
(x) = 0
- Tách tích phân và đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân
[a;b]
x c
x d



=

⇔ ∈
=
b c d b
1 2 1 2 1 2 1 2
a a c
d
S = f (x) - f (x).dx = f (x) - f (x)dx + f (x) - f (x) dx + f (x) - f (x) dx
∫ ∫ ∫ ∫
BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 1)
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Bài toán: Tính dt hình phẳng
1
2
'
'
uc/
uc/
[a;b]
[a;b]
y = f (x) lt
S y = f (x) lt
x = a; x = b








Bài tập: Tính diện tích hp:
b
1 2
a
S = f (x) - f (x).dx⇒
∫
x

y = e
y = 1
x = 1; x = 2





Giải: - Ta có pt e
x
= 1
 x = 0  [1;2]
- Ta có
2 2
x x
1 1
2
x 2
1
S = e - 1dx = (e - 1)dx
= (e - x) = e - e - 1

∫ ∫
(đvdt)
BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 1)
Bài tập về nhà: 1 + 2 + 3 trang 121 SGK
Bài tập thêm: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
2
2
2
4
y x
y x
y





=
=
=
Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô
và các em!