Bài giảng Giải tích 1: Chương 3.2 - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 1

Chương 3: Tích phân suy rộng
•

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008)



Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3 – Tích phân suy rộng.
Tài liệu:
1) Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по мат. анализу, Том 2, Москва, 2003.

2) James Stewart. Calculus. 6th edition, USA, 2008


I. Tích phân suy rộng loại một
Bài toán
Tìm diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi đường cong:
y  f ( x )  0, trục hoành, đường thẳng x = a.


b

s   f ( x )dx  lim  f ( x )dx
b
a

a

b

 


Tích phân suy rộng loại một
y  f ( x) khả tích trên đoạn


Tích phân

 a, b, với mọi b  a
b

f ( x )dx
 f ( x)dx  blim


a

a

được gọi là tích phân suy rộng loại một.
Các tích phân sau cũng là tích phân suy rộng loại một

a

a

f ( x )dx
 f ( x)dx  blim







b

a



 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx




a




b

f ( x) dx
 f ( x)dx  blim


a

a

Nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn thì tích phân gọi là hội tụ.
Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô
cùng, thì tích phân gọi là phân kỳ.
Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng
1) Tính tích phân suy rộng (thường rất phức tạp)
2) Khảo sát sự hội tụ.


Tính tích phân suy rộng (công thức Newton – Leibnitz)
Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên  a,  
b



F (b)  F ( a ) 

f ( x) dx  blim
 f ( x)dx  blim




a

a

Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim F (b) : F ()
b






a

f ( x)dx  F ( x)

 F ()  F (a )
a


Ví dụ

Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi

1
y  2 , trục hoành và đường thẳng x = 1.
x
b

b

 1 
dx
dx

1


S   2  lim  2  lim 

lim

1

1



b
b
x 
1 x
1 x
x
 b

 1

Diện tích của miền S
bằng 1, hữu hạn.

Ví dụ

Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi

1
y
x

, trục hoành và đường thẳng x = 1.

b
b
dx
dx
 blim
ln
|
x
|

lim
ln
b


 lim 
S 



1

b
x 
1 x
1 x







S là miền có diện tích
vô hạn, bằng 


Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi

Ví dụ

1
y  2 , trục hoành.
x 1

dx
dx
b
S 2
2 2

 2  blim
arctan
x


0

 x  1
0 x 1






Diện tích của miền S
bằng  .




Ví dụ

Tính tích phân

I

e

2 x

dx

1


I

e

2 x

dx  

e

2 x 

2

1

1

 e  e 2 
1
 

  2
2  2e

 2


Ví dụ

Tính tích phân

I


e



I


e

dx

2
x ln x




e



dx
2
x ln x

d (ln x)
1
 1
1 

 

 1.
2

ln x
ln x e
 ln() ln e 




Ví dụ

Tính tích phân

I


4

dx
2
x  5x  6

1
1
1
1



2
x  5 x  6 ( x  2)( x  3)
x 3 x 2

1 


 1
I 

dx  ln | x  3 | 4  ln | x  2 | 4
x2
4  x 3

 ()  () Dạng vô định.?
Không được phép dùng: lim ( f  g )  lim f  lim g
x 

x 

x 

khi chưa đảm bảo hai giới hạn vế phải chắc chắn tồn tại.


x 3
 x 3
I  ln
 lim  ln
x  2 4 x  x  2


43
1
  ln 4  2  ln1  ln 2  ln 2





Tính

Ví dụ

I


1



I

1

x
0

I  
1

6

1
1
 5 1
10
x
x

dt
t2  t 1

x 1  x5  x10

1
1
Đổi biến: t  5  dt   6 dx

x
x

dx



dx

Đổi cận:

x    t  0

1


0

x 1 t 1

dt

 t  1/ 2 

2

 3/ 4
1

 ln  t  1/ 2  

 t  1/ 2 

2

 3/ 4
0




Tính

Ví dụ

I

e

2 x

cos xdx

0

u  e2 x  du  2e 2 x dx

Đặt

I e

2 x

sin x


0

dv  cos xdx  v  sin x



2 e

2 x

sin xdx

0







lim e2 x sin x  0 nên I  2  e 2 x sin xdx

Ta có

x 

0

u  e 2 x  du  2e 2 x dx dv  sin xdx  v   cos x



I  2 e

2 x

cos x




0



4 e
0

2 x

2
cos xdx  2  4I  I 
5



Ví dụ

Tính I 


0

arctan x
2 3/ 2

1  x 

dx

dx
Đổi biến: t  arctan x  dt 
2
1 x
Đổi cận: x  0  t  0 x    t 


2

1
x  tan t  1  x 
cos 2 t
2



I


0

arctan x
2 3/ 2

1  x 



dx 


0

 /2
dx


  t cos tdt   1
2
2 1 x
2
1 x
0

arctan x


Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ)
Trường hợp 1:

 1


1
1
1
1
1 hữu hạn, khác 0.
  1 
  1
  dx 
1  x a  1 a
a 0 x
tích phân hội tụ.
Trường hợp 2:   1
1 

1
x


Tích phân phân kỳ.
dx


 
1 a
a 0 x


Trường hợp 3:

 1

1

 dx  ln | x | a  
a 0 x


Tích phân phân kỳ.


Kt qu (c s dng kho sỏt s hi t)

i tuù, neỏ
u 1
hoọ
1
dx
n kyứ
, neỏ
u 1
a 0 x

phaõ


Neỏ
u 1, thỡ I hoọ
i tuù.

1
I dx
2 x ln x


Neỏ
u 1, thỡ I phaõ
n kyứ
.
Neỏ
u 1, 1, thỡ I hoọ
i tuù.
Neỏ
u 1, 1, thỡ I PK.


Tích phân hàm không âm
Tiêu chuẩn so sánh 1.

 x  a  f ( x)  0, g ( x)  0
f ( x)  g ( x)

và khả tích trên  a,  

ở lân cận của . Khi đó:




1) Nếu



g ( x)dx

hội tụ, thì


a

a



2) Nếu



f ( x)dx hội tụ.


f ( x)dx

phân kỳ, thì

a

 g ( x)dx

phân kỳ.

a



Để khsát sự hội tụ của I 


với


a

dx
đã
biết
kết
quả.
x


a

f ( x)dx, thường đem so sánh


Chú ý (trong tiêu chuẩn 1):
1) f(x) và g(x) là hai hàm không âm.
2) Chỉ cần tồn tại   a  x   ,    f ( x)  g ( x)


3) Cận dưới của tích phân


a

dx
là số dương ( a  0. )

x


Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ I 


1

dx
2
2
2 x  sin 3 x

1
1
Ta có f ( x)  2
 2  g ( x)
2
2 x  sin 3 x 2 x


Vì


1

dx
2x2

hội tụ , nên I hội tụ theo tchuẩn so sánh 1.




Khảo sát sự hội tụ

Ví dụ

I


1

dx
2
2
x  sin 3 x

1
2
Ta có f ( x)  2
 2  g ( x)
2
x  sin 3 x x

dx
Vì  2 hội tụ , nên I hội tụ theo tchuẩn so sánh 1.
1 x


Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ

I


1

ln 3 xdx
x5

3

Ta có


Vì


1

dx
2x

ln x
1
1
f ( x) 


 g ( x) x  5
x  5 x  5 2x
phân kỳ , nên I phân kỳ theo tchuẩn ssánh 1.


Tích phân hàm không âm
Tiêu chuẩn so sánh 2.

 x  a  f ( x)  0, g ( x)  0

và khả tích trên  a,  

f ( x)
K  xlim

g ( x)

Khi đó:



1) K  0 : nếu



 g ( x)dx
a

hội tụ, thì



f ( x)dx hội tụ.

a

2) K höõ
u haïn,  0 :






f ( x)dx và

a

 g ( x)dx cùng HT hoặc cùng PK.
a



3) K   : nếu


a



f ( x)dx hội tụ, thì


a

g ( x)dx hội tụ.


Cách sử dụng tiêu chuẩn so sánh 2.


Để khảo sát sự hội tụ của



f ( x)dx

a

1) kiểm tra f(x) có là hàm không âm (trong lân
cận của  )
2) Tìm hàm g(x) bằng cách: tìm hàm tương
đương của f(x) khi x tiến ra dương vô cùng.
3) Tính

f ( x)
, kết luận.
K  lim
x 
g ( x)
x

Hai hàm f(x) và g(x) không âm: nếu f ( x)



a



f ( x)dx vaø g ( x)dx cùng tính chất.

a

g ( x) , thì


Hội tụ tuyệt đối
Định lý


Nếu





f ( x) dx hội tụ, thì

a



f ( x)dx hội tụ.

a

Định nghĩa


Nếu





f ( x) dx hội tụ, thì

a



f ( x)dx gọi là hội tụ tuyệt đối

a

Nếu hàm f(x) có dấu tùy ý, để khảo sát sự hội tụ của



a

f ( x)dx

ksát sự HT của
tích phân hàm
không âm




a

f ( x) dx

để sử dụng
được hai tiêu
chuẩn so sánh




Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ

I


1

1
Ta có f ( x) 
5 x  ln x

x 

f ( x) 1

Khi đó: lim
x  g ( x )
5



Tích phân


1



Vì


1

1
1/ 2
5x

dx
5 x  ln x
1
Chọn g ( x)  1/ 2
x

hữu hạn, khác 0.



f ( x)dx và

 g ( x)dx cùng hội tụ hay phân kỳ.
1

1
g ( x)dx phân kỳ (    1 ), nên tích phân I phân kỳ.
2




Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ

I


1

3 xdx
2 x3  sin 3x

x  3 x
3x
3
Ta có f ( x)  3
 2
3
2 x  sin 3 x
2x

2x

f ( x) 1
1

Chọn g ( x)  2  lim
x  g ( x )
x
5


Tích phân


1

hữu hạn, khác 0.



f ( x)dx và

 g ( x)dx cùng hội tụ hay phân kỳ.
1



Vì

 g ( x)dx hội tụ (   2  1 ), nên tích phân I hội tụ.

1




Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ

I


1

Ta có

arctan x x 

f ( x)  2
 2
2
2 x  2ln x
2  2x
4x

1
Chọn g ( x)  2
x

f ( x) 

 lim

x  g ( x )
4



Tích phân

arctan xdx
2 x 2  2ln x


1

hữu hạn, khác 0.



f ( x)dx và

 g ( x)dx cùng hội tụ hay phân kỳ.
1



Vì

 g ( x)dx hội tụ (   2  1 ), nên tích phân I hội tụ.
1